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2016届绵阳一诊数学试题及答案


绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试

数学(文史类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CBCBD BACCC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?10 , ? ?? 12. 3 13.a≥2 14.7 15.②③ 三、解答题:本大题共 6 小题

,共 75 分. 16.解 : (1)≧ m⊥n, ? m·n=(cosα ,1-sinα )·(-cosα ,sinα )=0, 2 2 即-cos α +sinα -sin α =0. ……………………………………………………3 分 2 2 由 sin α +cos α =1,解得 sinα =1, ? ? ? ? 2k? ? ,k∈Z.…………………………………………………………6 分 2 (2) ≧ m-n=(2cosα ,1-2sinα ), ? |m-n|= (2 cos? ) 2 ? (1 ? 2 sin? ) 2
? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 1 ? 4 sin?
? 5 ? 4 sin? ,

………………………………………………………9 分 1 ? 5-4sinα =3,即得 sin? ? , 2 1 ? cos2? ? 1 ? 2 sin2 ? ? . ……………………………………………………12 分 2 17.解: (1)由已知 an+1=2an+1,可得 an+1+1=2(an+1). a ?1 ? 2 (常数) ? n ?1 .………………………………………………………3 分 an ? 1 此时,数列 {an ? 1} 是以 a1 ? 1 ? 2 为首项,2 为公比的等比数列, ? an ? 1 ? 2 ? 2n ?1 ? 2n ,于是 an=2 -1. ………………………………………6 分
n

n .…………………………………………………………………7 分 2n 1 2 3 n ? Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n 1 两边同乘以 ,得 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 2 ? n ? 1 2 n?1 1? 2 1 n ? 1 ? n ? n?1 , 2 2 1 n ? Sn ? 2 ? n?1 ? n .…………………………………………………………12 分 2 2 18.解: (1)设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an,捐资总额为 bn. 则 an=80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2 分 ? 当 a=10 时,an=10n+70, b 40 ? 10n ? 0.8 , ? n ? an 10n ? 70
(2)≧ bn ?

解得:n>8. ……………………………………………………………………5 分 即从第 9 年起每年的受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8 万元. …6 分 b b (2)由题意: n ?1 ? n (n>1), an ?1 an

40 ? 10(n ? 1) 40 ? 10n ? ,………………………………………………8 分 80 ? na 80 ? (n ? 1)a 整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 2 2 即 400+5na-5a+80n+n a-na-320-4na-80n-n a>0, 化简得 80-5a>0, 解得 a<16,……………………………………………………………………11 分 ? 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过 15 人. ……………………………………………12 分 1 1 19.解: (1)在 Rt△ABC 中,AC=ABcos60?= 6 ? ? 3 , AD ? AB ? 2 . 2 3 ≧ CD ? CA ? AD ,
即 ? CD ? CA ? (CA ? AD) ? CA ? CA ? AD ? CA
2

?| CA|2 ? | AD | ? | CA| ? cos ? AD , CA ?
=9+2×3×cos120? =6. …………………………………………………………………4 分 (2)在△ACD 中,∠ADC=180?-∠A-∠DCA=120?-θ ,

3 CD AC 3 3 2 由正弦定理可得 ,即 CD ? . ? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(120? ? ? ) sin A sin ?ADC ……………………………………… 3?
5分 在△AEC 中,∠ACE=θ +30?,∠AEC=180?-60?-(θ +30?)=90?-θ ,

3 3? CE AC 3 3 2 由正弦定理可得: ,即 CE ? , ……6 分 ? ? sin(90? ? ? ) 2 cos ? sin A sin ?AEC
?

1 1 3 3 3 3 S ?DCE ? CD ? CE ? sin 30? ? ? ? 2 4 2 sin(120? ? ? ) 2 cos ?
27 1 ? ,………………………7 分 16 sin(120? ? ? ) ? cos ? 令 f(θ )=sin(120?-θ )cosθ ,0?≤θ ≤60?, ≧ f(θ )=(sin120?cosθ -cos120?sinθ )cosθ ? 3 1 cos 2 ? ? sin? cos ? 2 2 3 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? ? sin 2? 2 2 2 2 3 1 3 1 ? ? ( cos 2? ? sin 2? ) 4 2 2 2 3 1 ? ? sin(2? ? 60?) ,………………………………………………10 分 4 2 由 0?≤θ ≤60?,知 60?≤2θ +60?≤180?, ? 0≤sin(2θ +60?)≤1, ?
?

3 3 1 ? , ≤f(θ )≤ 4 4 2

? 4(2 ? 3 ) ≤ ? S ?DCE ≥

1 4 3 ≤ , f (? ) 3

27 (2 ? 3 ) , 4 27 即 S ?DCE 的最小值为 (2 ? 3 ) .……………………………………………12 分 4 20.解: (1) f ?( x) ? 3ax 2 ? bx ? c , 2 由题意得 3ax +bx+c≥0 的解集为{x|-2≤x≤1}, 2 ? a<0,且方程 3ax +bx+c=0 的两根为-2,1. b c 于是 ? ? ?1 , ? ?2 , 3a 3a 得 b=3a,c=-6a.………………………………………………………………2 分 2 ≧ 3ax +bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>1}, ? f(x)在(-≦,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+≦)上是减函数. ? 当 x=-2 时 f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把 b=3a,c=-6a,代入得-8a+6a+12a-1=-11, 解得 a=-1. ……………………………………………………………………5 分 1 (2)由方程 f(x)-ma+1=0,可整理得 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 ? ma ? 1 ? 0 , 2 3 即 ax3 ? ax2 ? 6ax ? ma . 2 3 ? m ? x3 ? x 2 ? 6 x .…………………………………………………………7 分 2 3 3 令 g ( x) ? x ? x 2 ? 6x , 2 2 ? ? g ( x) ? 3x ? 3x ? 6 ? 3( x ? 2)( x ?1) .
列表如下:

x ? g ( x) g(x)
?

(-≦,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,1) ↘

1 0 极小值

(1,+≦) + ↗

g(x)在[-3,-2]是增函数,在[-2,0]上是减函数.……………………11 分 9 又≧ g (?3) ? ,g(-2)=10,g(0)=0, 2 3 由题意知直线 y=m 与曲线 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 6x 有两个交点, 2
于是
9 <m<10.…………………………………………………………………13 分 2

1 ? a ,x>0, x ? 当 a<0 时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(0,+≦)上是增函数. 1 1 1 1 当 a>0 时, x∈(0, )时 f ?( x) ? 0 , f(x)在(0, )上是增函数; x∈( , +≦) 时 f ?( x) ? 0 , f(x)在( , a a a a
21.解: (1)≧ f ?( x) ? +≦)上是减函数. ? 综上所述, 当 a<0 时 f(x)的单调递增区间为(0, +≦); 当 a>0 时, f(x)的单调递增区间为(0, ), f(x) 的单调递减区间为(

1 a

1 ,+≦).…………5 分 a (2)当 a=1 时, f ( x) ? ln x ? x ? 1 ,

? k?

y2 ? y1 ln x2 ? x2 ? ln x1 ? x1 ln x2 ? ln x1 ? ? ?1 , x2 ? x1 x2 ? x1 x2 ? x1
ln x2 ? ln x1 . x2 ? x1

? k ?1 ? 要证 x1 ?

1 ln x2 ? ln x1 1 1 ? , ? x2 ,即证 ? x x2 ? x1 x1 k ?1 2 x ? x1 x x ?x 因 x2 ? x1 ? 0 ,即证 2 ? ln 2 ? 2 1 , x2 x1 x1 x 1 令 2 ? t ( t ? 1 ),即证 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ). t x1 令 k (t ) ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),由(1)知, k (t ) 在(1,+ ? )上单调递减, ? k (t ) ? k ?1? ? 0 即 ln t ? t ? 1 ? 0 ,
? ln t ? t ? 1 .① 1 1 1 t ?1 令 h(t ) ? ln t ? ? 1 ( t ? 1 ),则 h?(t ) ? ? 2 ? 2 >0, t t t t ? h(t ) 在(1,+ ? )上单调递增,

1 ? h(t ) ? h(1) =0,即 ln t ? 1 ? ( t ? 1 ).② t 1 1 综①②得 1 ? ? ln t ? t ? 1 ( t ? 1 ),即 x1 ? ? x2 .……………………9 分 t k ?1
(3)由已知 f ( x) ? ax ? 2 ? k (1 ? ) 即为 x(ln x ? 1) ? k ( x ? 2) ,x>1, 即 x(ln x ? 1) ? kx ? 2k ? 0 ,x>1. 令 g ( x) ? x(ln x ? 1) ? kx ? 2k ,x>1,则 g ?( x) ? ln x ? k . 当 k≤0 时, g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在(1,+≦)上是增函数, 由 g(1)=-1-k+2k=k-1>0,则 k>1,矛盾,舍去. k k 当 k>0 时,由 ln x ? k >0 解得 x>e ,由 ln x ? k <0 解得 1<x<e , k k 故 g ( x) 在(1,e )上是减函数,在(e ,+≦)上是增函数, ? g ( x) min=g(e )=2k-e .
k k

2 x

即讨论 g ( x) min=2k-e >0(k>0)恒成立,求 k 的最小值.
k t 令 h(t)=2t-e ,则 h?( x) ? 2 ? et ,

当 2 ? et >0,即 t<ln2 时,h(t)单调递增, 当 2 ? et <0,即 t>ln2 时,h(t)单调递减, ? t=ln2 时,h(t)max=h(ln2)=2ln2-2. ≧ 1<ln2<2, ? 0<2ln2-2<2. 2 又≧ h(1)=2-e<0,h(2)=4-e <0, k ? 不存在整数 k 使 2k-e >0 成立. 综上所述,不存在满足条件的整数 k.………………………………………14 分

绵阳市高 2013 级第一次诊断性考试

数学(理工类)参考解答及评分标准
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分. CDADD BACBC 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分. 11. ?0 , 10? 12. 3 13.a≥2 14.2 15.①③ 三、解答题:本大题共 6 小题,共 75 分. 16.解 : (1)≧ m⊥n, ? m·n=(cosα,1-sinα)·(-cosα,sinα)=0, 即-cos2α+sinα-sin2α=0. ……………………………………………………3 分 由 sin2α+cos2α=1,解得 sinα=1, ? ? ? ? 2k? ? ,k∈Z.…………………………………………………………6 分 2 (2) ≧ m-n=(2cosα,1-2sinα), ? |m-n|= (2 cos? ) 2 ? (1 ? 2 sin? ) 2
? 4(cos2 ? ? sin2 ? ) ? 1 ? 4 sin?
? 5 ? 4 sin? ,

………………………………………………………9 分 1 ? 5-4sinα=3,即得 sin? ? , 2 1 ? cos2? ? 1 ? 2 sin2 ? ? .……………………………………………………12 分 2 17.解: (1)由已知 an+1=2an+λ,可得 an+1+λ=2(an+λ). ≧ a1=1, 当 a1+λ=0,即 λ=-1 时,an+λ=0,此时{an+λ}不是等比等列. …………3 分 a ?? ? 2 (常数) 当 a1+λ≠0,即 λ≠-1 时, n?1 . an ? ? 此时,数列 {an ? ?} 是以 a1 ? ? ? 1 ? ? 为首项,2 为公比的等比数列, ? an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 ,于是 an ? ? ? (1 ? ? ) ? 2n ?1 . (2)当 λ=1 时,an=2 -1,
n

………………………6 分

n . ……………………………………………………………………7 分 2n 1 2 3 n ? Sn ? 1 ? 2 ? 3 ? ? ? n , 2 2 2 2 1 1 2 3 n 1 两边同乘以 ,得 Sn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? n?1 , 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 n 两式相减得 Sn ? ? 2 ? ? ? n ? n?1 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ? 2 1 2 n?1 1? 2 1 n ? 1 ? n ? n?1 , 2 2 1 n ? Sn ? 2 ? n?1 ? n .…………………………………………………………12 分 2 2 18.解: (1)设第 n 年的受捐贫困生的人数为 an,捐资总额为 bn. 则 an =80+(n-1)a,bn=50+(n-1)×10=40+10n. ……………………………2 分
? bn ?

? 当 a=10 时,an=10n+70, b 40 ? 10n ? 0.8 , ? n ? an 10n ? 70 解得:n>8. ……………………………………………………………………5 分 即从第 9 年起受捐大学生人均获得的奖学金才能超过 0.8 万元. …………6 分 b b (2)由题意: n ?1 ? n , an ?1 an

40 ? 10(n ? 1) 40 ? 10n ? ,………………………………………………8 分 80 ? na 80 ? (n ? 1)a 整理得 (5+n)[80+(n-1)a]-(4+n)(80+na)>0, 即 400+5na-5a+80n+n2a-na-320-4na-80n-n2a>0, 化简得 80-5a>0, 解得 a<16,……………………………………………………………………11 分 ? 要使人均奖学金年年有增加,资助的大学生每年净增人数不超过 15 人. ……………………………………………12 分 1 1 19.解: (1)在 Rt△ABC 中,AC=ABcos60? = 6 ? ? 3 , AD ? AB ? 2 . 2 3 ≧ CD ? CA ? AD ,
即 ? CD ? CA ? (CA ? AD) ? CA ? CA ? AD ? CA
2

?| CA|2 ? | AD | ? | CA| ? cos ? AD , CA ?
=9+2×3×cos120? =6.…………………………………………………………………4 分 (2)在△ACD 中,∠ADC=180? -∠A-∠DCA=120? -θ,

3 3? CD AC 3 3 2 由正弦定理可得 ,即 CD ? . ? ? sin(120? ? ? ) 2 sin(120? ? ? ) sin A sin ?ADC
……………………………………… 5分 在△AEC 中,∠ACE=θ+30? ,∠AEC=180? -60? -(θ+30? )=90? -θ,

3 CE AC 3 3 2 由正弦定理可得: ,即 CE ? , ? ? sin(90? ? ? ) 2 cos ? sin A sin ?AEC 3?
?

…6 分

1 1 3 3 3 3 S ?DCE ? CD ? CE ? sin 30? ? ? ? 2 4 2 sin(120? ? ? ) 2 cos ?
27 1 ? , 16 sin(120? ? ? ) ? c o s ? 令 f(θ)=sin(120? -θ)cosθ,0? ≤θ≤60? , ≧ f(θ)=(sin120? cosθ-cos120? sinθ)cosθ ?
?
…………………7 分

3 1 cos 2 ? ? sin? cos ? 2 2 3 1 ? cos 2? 1 1 ? ? ? ? sin 2? 2 2 2 2 3 1 3 1 ? ? ( cos 2? ? sin 2? ) 4 2 2 2 3 1 ? ? sin(2? ? 60?) ,………………………………………………10 分 4 2 由 0? ≤θ≤60? ,知 60? ≤2θ+60? ≤180? ,

? 0≤sin(2θ+60? )≤1,

3 3 1 ? , ≤f(θ)≤ 4 4 2 1 4 3 ? 4(2 ? 3 ) ≤ ≤ , f (? ) 3
?

27 3 27 .……………………………………………12 分 (2 ? 3 ) ≤ S ?DCE ≤ 12 4 20.解: (1) f ?( x) ? 3ax 2 ? bx ? c , 由题意得 3ax2+bx+c≥0 的解集为{x|-2≤x≤1}, ? a<0,且方程 3ax2+bx+c=0 的两根为-2,1. b c 于是 ? ? ?1 , ? ?2 , 3a 3a 得 b=3a,c=-6a. ………………………………………………………………2 分 ≧ 3ax2+bx+c<0 的解集为{x|x<-2 或 x>1}, ? f(x)在(-≦,-2)上是减函数,在[-2,1]上是增函数,在(1,+≦)上是减函数. ? 当 x=-2 时 f(x)取极小值,即-8a+2b-2c-1=-11, 把 b=3a,c=-6a 代入得-8a+6a+12a-1=-11, 解得 a=-1.………………………………………………………………………5 分 1 (2)由方程 f(x)-ma+1=0,可整理得 ax3 ? bx2 ? cx ? 1 ? ma ? 1 ? 0 , 2 3 即 ax3 ? ax2 ? 6ax ? ma . 2 3 ? m ? x3 ? x 2 ? 6 x .…………………………………………………………7 分 2 3 令 g ( x) ? x3 ? x 2 ? 6x , 2 ? g ?( x) ? 3x 2 ? 3x ? b ? 3( x ? 2)( x ? 1) .
? 列表如下:

x g ?( x) g(x)
又≧ g (?3) ?

(-≦,-2) + ↗

-2 0 极大值

(-2,1) ↘

1 0 极小值

(1,+≦) + ↗

? g(x)在[-3,-2]是增函数,在[-2,0]上是减函数.……………………11 分

9 ,g(-2)=10,g(0)=0, 2 3 2 x ? 6x 仅有一个交点, 2

由题意,知直线 y=m 与曲线 g ( x) ? x3 ? 于是 m=10 或 0<m< 21.解: (1) f ?( x) ?
9 . 2

………………………………………………………13 分

1 x , ?1 ? x ?1 x ?1 ?当 x∈(-1,0)时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(-1,0)上是增函数, 当 x∈(0,+≦)时, f ?( x) ? 0 ,即 f(x)在(0,+≦)上是减函数. ? f(x)的单调递增区间为(-1,0),单调递减函数区间为(0,+≦).………3 分 3 3 (2)由 f(x-1)+x>k (1 ? ) 变形得 ln x ? ( x ? 1) ? x ? k (1 ? ) , x x 整理得 xlnx+x-kx+3k>0, 令 g(x)=xlnx+x-kx+3k,则 g ?( x) ? ln x ? 2 ? k. ≧ x>1, ? lnx>0

若 k≤2 时, g ?( x) ? 0 恒成立,即 g(x)在(1,+≦)上递增, ? 由 g(1)>0 即 1+2k>0 解得 k ? ?

1 , 2

1 ? k ? 2. 2 又≧ k∈Z, ? k 的最大值为 2.
? ? 若 k>2 时,由 lnx+2-k>0 解得 x> e k ? 2 ,由 lnx+2-k<0,解得 1<x< e k ? 2 . 即 g(x)在(1, e k ? 2 )上单调递减,在( e k ? 2 ,+≦)上单调递增. ? g(x)在(1,+≦)上有最小值 g( e k ? 2 )=3k- e k ? 2 , 于是转化为 3k- e k ? 2 >0(k>2)恒成立,求 k 的最大值. 令 h(x)=3x- e x ? 2 ,于是 h?( x) ? 3 ? e x?2 . ≧ 当 x>2+ln3 时, h?( x) ? 0 ,h(x)单调递减,当 x<2+ln3 时 h?( x) ? 0 ,h(x)单调递增. ? h(x)在 x=2+ln3 处取得最大值. ≧ 1<ln3<2, ? 3<2+ln3<4, ≧ h(1) ? 3 ?

? k≤4. ? k 的最大取值为 4. ? 综上所述,k 的最大值为 4.…………………………………………………9 分 (3)假设存在这样的 x0 满足题意,则 a 2 x ?1 a 2 由 e f ( x0 ) ? 1 ? x0 等价于 x0 ? 0 x 0 ? 1 ? 0 (*) . 2 e 2 要找一个 x0>0,使(*)式成立,只需找到当 x>0 时,函数 h(x)=

1 ? 0 ,h(2+ln3)=3+3ln3>0,h(4)=12-e2>0,h(5)=15-e3<0, e

h(x)min<0 即可.
1 ), ex 1 令 h?( x) =0,得 ex= ,则 x=-lna,取 x0=-lna, a ? 在 0<x<x0 时, h ( x) <0,在 x>x0 时, h?( x) >0,
≧ h?( x ) ? x ( a ?

a 2 x ?1 x ? x ? 1 的最小值 h(x)min 满足 2 e

a (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 , 2 a 下面只需证明:在 0<a<1 时, (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 <0 成立即可. 2 a 又令 p(a)= (ln a) 2 ? a ln a ? a ? 1 ,a∈(0,1), 2 1 则 p?(a) ? (ln a)2 ≥0,从而 p(a)在 a∈(0,1)时为增函数. 2 ? p(a)<p(1)=0,因此 x0=-lna 符合条件,即存在正数 x0 满足条件.……14 分
? h(x)min=h(x0)=h(-lna)=


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