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高中数学竞赛教材讲义 第十四章 极限与导数讲义高考


第十四章 极限与导数 一、基础知识 1.极限定义: (1)若数列{un}满足,对任意给定的正数ε ,总存在正数 m,当 n>m 且 n∈N 时, 恒有 |un-A|< ε 成立( A 为常数) ,则称 A 为数列 un 当 n 趋向于无穷大时的极限,记为
x ? ??

lim f ( x), lim f ( x) ,另外 lim f (

x) =A 表示 x 大于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)极限为 A,称右极 ?
x ? ??

x ? x0

f ( x) 表示 x 小于 x0 且趋向于 x0 时 f(x)的左极限。 限。类似地 lim ?
x ? x0

2 . 极 限 的 四 则 运 算 : 如 果 lim f(x)=a, lim g(x)=b , 那 么 lim [f(x) ± g(x)]=a ± b,
x ? x0 x ? x0 x ? x0

x ? x0

lim [f(x)?g(x)]=ab, lim
x ? x0

f ( x) a ? (b ? 0). g ( x) b
x ? x0 x ? x0

3.连续:如果函数 f(x)在 x=x0 处有定义,且 lim f(x)存在,并且 lim f(x)=f(x0),则称 f(x) 在 x=x0 处连续。 4.最大值最小值定理:如果 f(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,那么 f(x)在[a,b]上有最大值和 最小值。 5.导数:若函数 f(x)在 x0 附近有定义,当自变量 x 在 x0 处取得一个增量Δ x 时(Δ x 充分小) , 因变量 y 也随之取得增量Δ y(Δ y=f(x0+Δ x)-f(x0)).若 lim

?y 存在,则称 f(x)在 x0 处可导, ?x ?0 ?x

此极限值称为 f(x) 在点 x0 处的导数(或变化率) ,记作 f ' (x0) 或 y ' x ? x0 或

dy dx

,即
x0

f ' ( x0 ) ? lim
x ? x0

f ( x) ? f ( x0 ) 。 由定义知 f(x)在点 x0 连续是 f(x)在 x0 可导的必要条件。 若 f(x) x ? x0

在区间 I 上有定义,且在每一点可导,则称它在此敬意上可导。导数的几何意义是:f(x)在 点 x0 处导数 f ' (x0)等于曲线 y=f(x)在点 P(x0,f(x0))处切线的斜率。 6.几个常用函数的导数: (1) (c )' =0(c 为常数) ; (2) ( xa )' ? axa?1 (a 为任意常数) ; (3)

(sin x)' ? cos x; (4) (cos x)' ? ? sin x ;(5) (a x )' ? a x ln a ;(6) (e x )' ? e x ; ( 7 )

(loga x)' ?

1 1 log a x ; (8) (ln x )' ? . x x

7.导数的运算法则:若 u(x),v(x)在 x 处可导,且 u(x)≠0,则 ( 1 ) [u( x) ? v( x)]'? u' ( x) ? v' ( x) ; ( 2 ) [u( x)v( x)]'? u' ( x)v( x) ? u( x)v' ( x) ; (3)

[cu( x)]'? c ? u' ( x)(c 为常数) [ ; (4)

u ( x) u ( x)v' ( x) ? u ' ( x)v( x) 1 ? u ' ( x) ]' ? 2 [ ]' ? ; (5) 。 u ( x) u ( x) u 2 ( x) u ( x)

8 .复合函数求导法:设函数 y=f(u),u= ? (x) ,已知 ? (x) 在 x 处可导, f(u) 在对应的点

u(u= ? (x))处可导,则复合函数 y=f[ ? (x)]在点 x 处可导,且(f[ ? (x)] )' = f '[? ( x)]? ' ( x) . 9.导数与函数的性质: (1)若 f(x)在区间 I 上可导,则 f(x)在 I 上连续; (2)若对一切 x∈ (a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在(a,b)单调递增; (3)若对一切 x∈(a,b)有 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x) 在(a,b)单调递减。 10.极值的必要条件:若函数 f(x)在 x0 处可导,且在 x0 处取得极值,则 f ' ( x0 ) ? 0. 11.极值的第一充分条件:设 f(x)在 x0 处连续,在 x0 邻域(x0-δ ,x0+δ )内可导, (1)若当 x ∈(x-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2) 若当 x∈(x0-δ ,x0)时 f ' ( x) ? 0 ,当 x∈(x0,x0+δ )时 f ' ( x) ? 0 , 则 f(x)在 x0 处取得极大值。 12.极值的第二充分条件:设 f(x)在 x0 的某领域(x0-δ ,x0+δ )内一阶可导,在 x=x0 处二阶可 导,且 f ' ( x0 ) ? 0, f ' ' ( x0 ) ? 0 。 (1)若 f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极小值; (2)若

f ' ' ( x0 ) ? 0 ,则 f(x)在 x0 处取得极大值。
13.罗尔中值定理:若函数 f(x)在[a,b]上连续,在(a,b)上可导,且 f(a)=f(b),则存在ξ ∈(a,b),使 f ' (? ) ? 0. [证明] 若当 x∈(a,b), f(x)≡f(a), 则对任意 x∈(a,b),f ' ( x) ? 0 .若当 x∈(a,b)时, f(x) ≠f(a),因为 f(x)在[a,b]上连续,所以 f(x)在[a,b]上有最大值和最小值,必有一个不等于 f(a),不妨设最大值 m>f(a)且 f(c)=m,则 c∈(a,b),且 f(c)为最大值,故 f ' (c) ? 0 ,综上 得证。 14 . Lagrange 中值定理:若 f(x)在 [a,b] 上连续,在 (a,b)上可导,则存在 ξ ∈(a,b) ,使

f ' (? ) ?
[ 证明 ]

f (b) ? f ( a ) ( x ? a ) , 则 F(x) 在[a,b]上连续,在 (a,b) 上可导,且 b?a f (b) ? f (a) . F(a)=F(b),所以由 13 知存在ξ ∈(a,b)使 F ' (? ) =0,即 f ' (? ) ? b?a
令 F(x)=f(x)15.曲线凸性的充分条件:设函数 f(x)在开区间 I 内具有二阶导数, (1)如果对任意 x∈ I, f ' ' ( x) ? 0 ,则曲线 y=f(x)在 I 内是下凸的; (2)如果对任意 x∈I, f ' ' ( x) ? 0 ,则 y=f(x) 在 I 内是上凸的。通常称上凸函数为凸函数,下凸函数为凹函数。 + 16.琴生不等式:设α 1,α 2,…,α n∈R ,α 1+α 2+…+α n=1。 (1)若 f(x)是[a,b]上的凸函数, 则 x1,x2,…,xn∈[a,b]有 f(a1x1+a2x2+…+anxn)?a1f(x1)+a2f(x2)+…+anf(xn). 二、方法与例题 1.极限的求法。 例 1 求下列极限: ( 1 ) lim?

f (b) ? f (a) . b?a

an 2 n ? ? 1 lim (a ? 0) ; ; ( 2 ) (3) ? ? ? ? ? n ?? 1 ? a n n ?? n 2 n2 n2 ? ?

? 1 ? 1 1 ?; n ( n ? 1 ? n ). lim? ? ??? ? ? (4) lim 2 n ?? n ?? n2 ? 2 n2 ? n ? ? n ?1
[解](1) lim?

n( n ? 1) 2 n ? ? 1 ?1 2 ? 1 ? lim? ? ? 2 ? ? ? 2 ? = lim ?? ; 2 2 n ? ? n ?? n n ?? 2 2n 2n ? 2 n n ? ? ?

(2)当 a>1 时, lim

an 1 1 ? lim ? ? 1. n n n n?? 1 ? a n?? ?1? ?1? ? ? ? 1 lim? ? ? 1 n?? a ?a? ? ?
n

lim a an 0 n?? 当 0<a<1 时, lim ? ? ? 0. n n n?? 1 ? a 1? 0 1 ? lim a
n??

当 a=1 时, lim

an 1 1 ? lim ? . n n ?? 1 ? a n ?? 1 ? 1 2

(3)因为

n n2 ? n
n

?

1 n2 ? 1
1 1 1? n

?

1 n2 ? 2

???

1 n2 ? n
1

?

n n2 ?1
? 1,

.

而 lim
n ??

n2 ? n

? lim
n ??

? 1, lim
n ??

1 n2 ?1

? lim
n ??

1 1? 2 n

所以 lim?

? 1 ? 1 1 ? ? 1. ? ? ? ? ? 2 2 2 n ??? n ?2 n ?n? ? n ?1

(4) lim n ( n ? 1 ? n ) ? lim
n?? n ??

n n ?1 ? n
22

? lim
n ??

1 1?
2n

1 ?1 n

1 ? . 2

例 2 求下列极限: (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x )…(1+ x )(|x|<1);
n??

(2) lim?

1 ? x2 ?1 ? 3 ; ( 3 ) 。 ? lim ? x ?1 1 ? x 3 x ?1 1? x ? 3 ? x ? 1? x ?
22 2n
n??

[解] (1) lim (1+x)(1+x2)(1+ x )…(1+ x )

(1 ? x)(1 ? x)(1 ? x 2 ) ?(1 ? x 2 ) 1? x2 1 ? lim ? . = lim n?? n?? 1 ? x 1? x 1? x
(2) lim?

n

n ?1

? 3 ?1? x ? x2 ? ?1? x ?1? x2 ? 1 ? ? 3 ? ? ? ? ? lim ? lim ? 3 ? x?1 ? ? 1 ? x3 ? x ?1 1 ? x 3 1 ? x ? x?1 ? ? ? 1? x ? ? ?

= lim?

2? x ? (1 ? x)(2 ? x) ? ? 1. ? ? lim 3 2 x ?1 1? x ? ? x?1 1 ? x ? x

(3) lim
x ?1

x2 ?1 3 ? x ? 1? x

? lim
x ?1

( x 2 ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ( 3 ? x ? 1 ? x )( 3 ? x ? 1 ? x )

= lim

( x ? 1)(x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ? ( x ? 1)( 3 ? x ? 1 ? x ) ? lim x ?1 x ?1 2(1 ? x) 2

? ?2 2.
2.连续性的讨论。 例 3 设 f(x) 在 (- ∞ ,+ ∞ ) 内 有 定 义 , 且 恒 满足 f(x+1)=2f(x) , 又当 x ∈ [0,1) 时, 2 f(x)=x(1-x) ,试讨论 f(x)在 x=2 处的连续性。 2 [解] 当 x∈[0,1)时, 有 f(x)=x(1-x) , 在 f(x+1)=2f(x)中令 x+1=t, 则 x=t-1, 当 x∈[1,2) 2 时 , 利 用 f(x+1)=2f(x) 有 f(t)=2f(t-1) , 因 为 t-1 ∈ [0,1), 再 由 f(x)=x(1-x) 得 2 2 f(t-1)=(t-1)(2-t) ,从而 t∈[1,2)时,有 f(t)=2(t-1)?(2-t) ;同理,当 x∈[1,2)时,令 2 x+1=t , 则 当 t ∈ [2,3) 时 , 有 f(t)=2f(t-1)=4(t-2)(3-t) . 从 而 f(x)= ?
2 ? ?2( x ? 1)(2 ? x) , x ? ?1,2 ?; 所以 2 ? ? ? 4 ( x ? 2 )( 3 ? x ) , x ? 2 , 3 . ?

x ?2?

lim f ( x) ? lim 2( x ? 1)( 2 ? x) 2 ? 0, lim f ( x) ? lim 4( x ? 2)( 3 ? x) 2 ? 0
x ?2? x ?2? x ?2 ?
x?2?







x?2?

lim f(x)= lim f(x)=f(2)=0,所以 f(x)在 x=2 处连续。

3.利用导数的几何意义求曲线的切线方程。 [解] 因 为 点 (2,0) 不 在 曲 线 上 , 设 切 点 坐 标 为 (x0,y0) , 则 y 0 ?

1 ,切线的斜率为 x0

x' | x ? ?
0

1 1 1 1 ,所以切线方程为 y-y0= ? 2 ( x ? x0 ) ,即 y ? ? ? 2 ( x ? x0 ) 。又因为此切 2 x0 x0 x0 x0 1 1 ? ? 2 (2 ? x0 ) ,所以 x0=1,所以所求的切线方程为 y=-(x-2),即 x0 x0

线过点(2,0) ,所以 ? x+y-2=0. 4.导数的计算。 例 5

求下列函数的导数: (1)y=sin(3x+1); (2) y ?

5 x 2 ? 3x ? x cos2x ; (3)y=e ; (4) x

x (5)y=(1-2x) (x>0 且 x ? y ? ln(x ? x 2 ? 1) ;

1 )。 2

[解] (1) y' ? cos(3x ? 1) ? (3x ? 1)' ? 3cos(3x+1).

(5 x 2 ? 3x ? x )'?x ? (5 x 2 ? 3x ? x ) ? ( x)' (2) y ' ? x2

? 1 ? 2 ? ? ?10x ? 3 ? ? x ? 5 x ? 3x ? x 2 x? ?? x2

? 5?

1 2 x3

.

(3) y' ? e cos 2 x ? (cos2x)' ? e cos2x ? (? sin 2x) ? (2x)' ? ?2e cos 2 x ? sin 2x. (4) y ' ?

1 x ? x2 ?1

? ( x ? x 2 ? 1)' ?

? ? x ?? ? 1? ? ? x ? x2 ?1 ? x2 ?1 ? 1

?

1 x2 ?1

.

(5) y' ? [(1 ? 2x) x ]' ? [e x ln(1?2 x) ]' ? e x ln(1?2 x ) ( x ln( 1 ? 2x))'

2x ? ? ? (1 ? 2 x) x ?ln(1 ? 2 x) ? . 1 ? 2x ? ? ?
5.用导数讨论函数的单调性。 例 6 设 a>0,求函数 f(x)= [解]

x -ln(x+a)(x∈(0,+∞))的单调区间。

f ' ( x) ?

1 2 x

?

1 ( x ? 0) ,因为 x>0,a>0,所以 f ' ( x) ? 0 ? x2+(2a-4)x+a2>0; x?a

f ' ( x) ? 0 ? x2+(2a-4)x+a+<0.
(1)当 a>1 时,对所有 x>0,有 x +(2a-4)x+a >0,即 f ' (x)>0,f(x)在(0,+∞)上单调递增; (2)当 a=1 时,对 x≠1,有 x +(2a-4)x+a >0,即 f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1)内单调递
2 2 2 2

增,在(1,+∞)内递增,又 f(x)在 x=1 处连续,因此 f(x)在(0,+∞)内递增; (3)当 0<a<1 时,令 f ' ( x) ? 0 ,即 x +(2a-4)x+a >0,解得 x<2-a- 2 1 ? a 或 x>2-a+ 2 1 ? a ,因此,f(x)
2 2

在 (0,2-a- 2 1 ? a ) 内 单 调 递 增 , 在 (2-a+ 2 1 ? a ,+ ∞ ) 内 也 单 调 递 增 , 而 当 2-a- 2 1 ? a <x<2-a+ 2 1 ? a 时 , x +(2a-4)x+a2<0 , 即 f ' ( x) ? 0 , 所 以 f(x) 在
2

(2-a- 2 1 ? a ,2-a+ 2 1 ? a )内单调递减。

6.利用导数证明不等式。 例 7 设 x ? (0, [ 证 明 ]

?
2

) ,求证:sinx+tanx>2x.
2

设 f(x)=sinx+tanx-2x , 则 f ' ( x) =cosx+sec x-2 , 当 x ? (0,

?
2

) 时,

c o xs?

1 1 2 ? 2 c o xs? ? ?2 2 2 co s x c o sx c o xs

( 因 为

0<cosx<1 ) , 所 以

f ' ( x) =cosx+sec2x-2=cosx+

1 ? ?? ? ?? ? 2 ? 0 .又 f(x)在 ? 0, ? 上连续,所以 f(x)在 ? 0, ? 上 2 cos x ? 2? ? 2?

单调递增,所以当 x∈ ? 0,

? ?? ? 时,f(x)>f(0)=0,即 sinx+tanx>2x. ? 2?

7.利用导数讨论极值。 2 例 8 设 f(x)=alnx+bx +x 在 x1=1 和 x2=2 处都取得极值,试求 a 与 b 的值,并指出这时 f(x) 在 x1 与 x2 处是取得极大值还是极小值。 [ 解 ] 因 为 f(x) 在 (0,+ ∞ ) 上 连 续 , 可 导 , 又 f(x) 在 x1=1 , x2=2 处 取 得 极 值 , 所 以

2 ? a ? ? , ?a ? 2b ? 1 ? 0, ? a ? ? 3 f ' (1) ? f ' (2) ? 0 ,又 f ' ( x) ? +2bx+1,所以 ? a 解得 ? x ? 4 b ? 1 ? 0 , ?b ? ? 1 . ? ?2 ? 6 ?
所以 f ( x) ? ?

2 1 2 1 ( x ? 1)( 2 ? x) ln x ? x 2 ? x, f ' ( x) ? ? ? x ? 1 ? . 3 6 3x 3 3x

所以当 x∈(0,1)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在(0,1]上递减; 当 x∈(1,2)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在[1,2]上递增; 当 x∈(2,+∞)时, f ' ( x) ? 0 ,所以 f(x)在[2,+∞)上递减。 综上可知 f(x)在 x1=1 处取得极小值,在 x2=2 处取得极大值。 例 9 设 x∈[0,π ],y∈[0,1],试求函数 f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x 的最小值。 [解] 首先,当 x∈[0,π ],y∈[0,1]时, f(x,y)=(2y-1)sinx+(1-y)sin(1-y)x=(1-y) x
2

? sin(1 ? y ) x 2 y ? 1 sin x ? ? ? ? ? x ? (1 ? y ) 2 ? (1 ? y ) x

=(1-y) x

2

? sin(1 ? y ) x sin x sin x y2 sin x ? ? ? ? ? ? ,令 g(x)= x , 2 x x ? (1 ? y) ? (1 ? y) x
g ' ( x) ? cos x( x ? tan x) ? ( x ? ), 2 2 x

当 x ? ? 0,

? ?? ? 时,因为 cosx>0,tanx>x,所以 g ' ( x) ? 0 ; ? 2?

当 x ??

?? ? , ? ? 时,因为 cosx<0,tanx<0,x-tanx>0,所以 g ' ( x) ? 0 ; ?2 ?
sin(1 ? y ) x sin x ? ? 0, (1 ? y ) x x

又因为 g(x)在(0,π )上连续,所以 g(x)在(0,π )上单调递减。 又因为 0<(1-y)x<x<π ,所以 g[(1-y)x]>g(x),即

又因为

y2 sin x ? ? 0 ,所以当 x∈(0,π ),y∈(0,1)时,f(x,y)>0. 2 x (1 ? y)

其次,当 x=0 时,f(x,y)=0;当 x=π 时,f(x,y)=(1-y)sin(1-y)π ?0. 当 y=1 时,f(x,y)=-sinx+sinx=0;当 y=1 时,f(x,y)=sinx?0. 综上,当且仅当 x=0 或 y=0 或 x=π 且 y=1 时,f(x,y)取最小值 0。 三、基础训练题 1. lim

2 n ?1 ? 3 n ?1 =_________. n ?? 2 n ? 3 n

2.已知 lim? ?

? n2 ?1 ? ? an ? b ? ? ? 2 ,则 a-b=_________. n ?? n ? 1 ? ?

1 ? cos
3. lim
n ??

?

3

3x 2 ? 4 x ? 1 2(n ? 1) ? lim ? _________. 3 n ?? n 3x ? 2 x 2 ? 2

x n?1 ? (n ? 1) x ? n 4. lim ? _________. x ?1 ( x ? 1) 2
5.计算 lim

2 ? (?1) n ? lim ( x 2 ? 1 ? x 2 ? 1) ? _________. n ?? x ??? n

6.若 f(x)是定义在(-∞,+∞)上的偶函数,且 f ' (0) 存在,则 f ' (0) ? _________. 7.函数 f(x)在(-∞,+∞)上可导,且 f ' (2) ? 1,则 lim
h ?0

f ( 2 ? h) ? f ( 2 ? h) ? _________. 2h

8.若曲线 f(x)=x -x 在点 P 处的切线平行于直线 3x-y=0,则点 P 坐标为_________. 9.函数 f(x)=x-2sinx 的单调递增区间是_________. 10.函数 f ( x) ? ln

4

1? x2 的导数为_________. 1? x2

11.若曲线 y ?
0

1 1 1 在点 M ( 2, ) 处的切线的斜率为 ,求实数 a. 2 4 4 ( x ? ax)
2

12.求 sin29 的近似值。

13.设 0<b<a<

? sin a a tan a ? ? . ,求证: sin b b tan b 2

四、高考水平练习题 1.计算 lim

1 ? 2 ? 4 ? ? ? 2 n?1 =_________. n ?? 1 ? 3 ? 3 2 ? ? ? 3 n ?1

? x3 x2 ? ? ? ? _________. 2.计算 lim ? ? x ? ?? ? 2 x 2 ? 1 2 x ? 1 ? ?
3.函数 f(x)=2x -6x +7 的单调递增区间是_________.。 4.函数 y ?
3 2

e x ? e?x 的导数是_________. e x ? e?x

5 . 函 数 f(x) 在 x0 邻 域 内 可 导 , a,b 为 实 常 数 , 若 f ' ( x0 ) ? c , 则

f ( x ? a?x) ? f ( x0 ? b?x) l i m 0 ? _________. ?x ?0 ?x
6.函数 f(x)=

1 x ? e (sinx+cosx),x x ? [0, ] 的值域为_________. 2 2

7.过抛物线 x =2py 上一点(x0,y0)的切线方程为_________. 8.当 x>0 时,比较大小:ln(x+1) _________x. 5 4 3 9.函数 f(x)=x -5x +5x +1,x∈[-1,2]的最大值为_________,最小值为_________. -x -t 10.曲线 y=e (x?0)在点 M(t,e )处的切线 l 与 x 轴、y 轴所围成的三角形面积为 S(t),则 S(t)的最大值为_________. 2 2 11.若 x>0,求证:(x -1)lnx?(x-1) . 12 .函数 y=f(x) 在区间 (0,+ ∞ ) 内可导。导函数 f ' ( x) 是减函数,且 f ' ( x) >0 , x0 ∈ (0,+ ∞ ).y=kx+m 是 曲 线 y=f(x) 在 点 (x0,f(x0)) 处 的 切 线 方 程 , 另 设 g(x)=kx+m , (1)用 x0,f(x0), f ' ( x0 ) 表示 m; (2)证明:当 x∈(0,+∞)时,g(x)?f(x); (3)若关于 x 的不等式
2

2

x +1?ax+b? 系。

3 3 x 在(0,+∞)上恒成立,其中 a,b 为实数,求 b 的取值范围及 a,b 所满足的关 2 1 xn ?1

2

13.设各项为正的无穷数列{xn}满足 lnxn+ 五、联赛一试水平训练题

? 1(n ? N ? ) ,证明:xn?1(n∈N+).

1.设 Mn={(十进制)n 位纯小数 0? a1 a 2 ? a n | ai 只取 0 或 1(i=1,2,…,n-1) ,an=1},Tn 是 Mn 中元素的个数,Sn 是 Mn 中所有元素的和,则 lim

Sn ? _________. n?? T n

2.若(1-2 ) 展开式的第 3 项为 288,则 lim?
x 9

1 ? ?1 1 ? 2 ? ? ? n ? ? _________. n ?? x x x ? ?

3.设 f(x),g(x)分别是定义在 R 上的奇函数和偶函数,当 x<0 时,

f ' ( x) g ( x) ? f ( x) g ' ( x) ? 0 ,且 g(-3)=0,则不等式 f(x)g(x)<0 的解集为_________.
4.曲线 y ? 2 ?
+

1 2 1 x 与 y ? x 3 ? 2 的交点处的切线夹角是_________. 2 4
2 ax

5.已知 a∈R ,函数 f(x)=x e 的单调递增区间为_________.

x 2 在(a,3-a )上有最大值,则 a 的取值范围是_________. 2 1? x x ? a (a ? 0) 恒成立,则 y=lg(a2-a+3)的最小值为_________. 7.当 x∈(1,2]时,f(x)= 2x ? 1
6.已知 f ( x ) ? 8. 已知 f(x)=ln(e +a)(a>0), 若对任意 x∈[ln(3a),ln(4a)], 不等式|m-f (x)|+ln[ f ' ( x) ]<0 恒成立,则实数 m 取值范围是_________. 9.已知函数 f(x)=ln(1+x)-x,g(x)=xlnx,(1)求函数 f(x)的最大值; (2)设 0<a<b,证明: 0<g(a)+g(b)- 2 g ?
x -1

?a?b? ? <(b-a)ln2. ? 2 ?

10.(1) 设 函 数 f(x)=xlog2x+(1-x)log2(1-x) (0<x<1) , 求 f(x) 的 最 小 值 ; (2)设正数 p1,p2,…, p 2 n 满足 p1+p2+p3+…+ p 2 n =1,求证:p1log2p1+p2 log2p2+…+ p 2 n log2 p 2 n ?-n. 11.若函数 gA(x)的定义域 A=[a,b), 且 gA(x)= ? 且 a<b, (1)求 gA(x)的最小值; (2)讨论 gA(x)的单调性; (3)若 x1∈Ik=[k ,(k+1) ],x2∈Ik+1=[(k+1) ,(k+2) ],证明: g I ( x1 ) ? g I
2 2 2 2
k

? x ? ?b ? ? 1? ? ? ? 1? ,其中 a,b 为任意的正实数, ?a ? ?x ?

2

2

k ?1

( x2 ) ?

4 . k (k ? 1)

六、联赛二试水平训练题 1.证明下列不等式: (1) x ?

x2 x2 ? ln(x) ? x ? ( x ? 0) ; 2 2(1 ? x)

(2)

tan x x ? ?? ? , x ? ? 0, ? 。 x sin x ? 2?

ab ? bc ? c d ? d a 2.当 0<a?b?c?d 时,求 f(a,b,c,d)= a b 的最小值。 b ? c ? d c ? ad
3.已知 x,y∈(0,1)求证:x +y >1.
y x

高 考


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