上海市浦东新区2015年高三三模数学试卷(理科)(最棒三模!)

浦东新区 2015 年高三综合练习 数学试卷(理科答案）
注意：1. 答卷前，考生务必在答题纸上指定位置将学校、班级、姓名、考号填写清楚； 2. 本试卷共有 23 道试题，满分 150 分，考试时间 120 分钟. 一、填空题： （本大题满分 56 分，每小题 4 分）本大题共有 14 小题，考生应在答题纸相应 的编号的空格内直接填写结果，每个空格填对得 4 分，否则一律得零分． 1．若集合 A ? x 1 ? x ? 3 ，集合 B ? x x ? 2 ，则 A ? B ? 2．函数 f ( x) ? x 2 ,( x ? ?2) 的反函数是

?

?

?

?

? ?1, 2

．

y ? ? x, ( x ? 4 ) ．
．

3．过点 (1, 0) 且与直线 2 x ? y ? 0 垂直的直线的方程 x ? 2 y ? 1 ? 0

4．已知数列 ?an ? 为等比数列，前 n 项和为 S n ，且 a5 ? 2S 4 ? 3 ， a6 ? 2S 5 ? 3 ，则此数 列的公比 q ?

3

． 1 ．

5．如果复数 z 满足 z ? i ? z ? i ? 2 （ i 是虚数单位） ，则 | z | 的最大值为 6．函数 y ? cos x 的单调增区间为
2

[k? ?

?
2

, k? ] （ k ? Z ） ．

4
7． 行列式 ?3

2

k
则实数 k = 4 中第 2 行第 1列元素的代数余子式的值为 ?10 ， ?2

5 ?1 1

?14

．

y2 ?1 8．设 F1 , F2 是双曲线 x ? 24
2

的两个焦点， 且 3 PF P 是双曲线上的一点， 1 ? 4 PF 2 ，

则 ?PF 1 F2 的周长 24

．

9．设 A 、 B 、C 、 D 是球面上的四个点，且在同一个平面内， AB ? BC ? CD ? DA ? 1 ，

球心到该平面的距离是球半径的

3 倍，则球的体积是 2

8 2? 3
1 9

．

10．掷两颗骰子得两数，则事件“两数之和为 5 ”的概率为

．

11．数列 ?an ? 中， an ?1 ?

1 ? an 且 a1 ? 2 ，则数列 ?an ? 前 2015 项的积等于 1 ? an

3

．

12．若 a, b, c 均为平面单位向量,且 a ? b ? c ? ( 标表示）

? ? ?

?

? ?

? 3 3 3 , ) ，则 c ? 2 2

? 3 1? ? ? ? 2 ,? 2 ? ? ? ?

． （用坐

13．在极坐标系中，动点 M 从 M 0 (1,0) 出发，沿极轴 ox 方向作匀速直线运动，速度为 3 米/秒， 同时极轴 ox 绕极点 o 按逆时针方向作等角速度旋转， 角速度为 2 米/秒． 则动点 M 的

3 ． 2 14．记符号 min ?c1, c2 ,?, cn ? 表示集合 ?c1, c2 ,?, cn ? 中最小的数．已知无穷项的正整数数
极坐标方程

? ? 1? ?

列 ?an ? 满足 ai ? ai ?1

? i ? N ? ，令 b
?

k

? min ?n | an ? k ?, ? k ? N? ? ，若 a20 ? 14 ，
．

则 a1 ? a2 ? ... ? a20 ? b1 ? b2 ? ... ? b14 = 294

二、选择题(本大题共有 4 题，满分 20 分) 每小题都给出四个选项，其中有且只有一个选项 是正确的，选对得 5 分，否则一律得零分. 15． 二元一次方程组 ?

? a1 x ? b1 y ? c1 , 存在唯一解的必要非充分条件是 ?a2 x ? b2 y ? c2 a b A．系数行列式 D ? 0 B．比例式 1 ? 1 a2 b2
C．向量 ?

（ D ）

? a1 ? ? b1 ? ? , ? ? 不平行 ? a2 ? ? b2 ?

D． 直线 a1x ? b1 y ? c1 , a2 x ? b2 y ? c2 不平行

16．用符号 ? x ? 表示不小于 x 的最小整数，如 ?? ? ? 4 ， ? ?1.2? ? ?1 ．则方程 ? x ? ? x ?

1 在 2

(1,4) 上实数解的个数为
A．0
2

（ D ） B．1 C ．2 D．3

x ? y 2 ? 1 的左顶点．如果存在过点 M ? x0 ,0? , ? x0 ? 0? 的直线交椭圆 4 A 、 B 于 两点， 使得 S△ AOB ? 2S△ AOP ， 则 x 0 的取值范围为 （ C ）
17．已知 P 为椭圆 A． 1, 3 ?

?

?

B． ? 3, 2

?

?

C． ?1,2 ?

D． ?1, ?? ?

18．在圆锥 PO 中，已知高 PO =2，底面圆的半径为 4 ， M 为母线 PB 上一点；根据圆锥 曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆、椭圆、双曲线及抛物线，下面四个命 题， 正确的个数为 （ B ） ① 圆的面积为 4? ； ② 椭圆的长轴为 37 ； ③ 双曲线两渐近线的夹角为 ? ? arcsin

4 ； 5

④ 抛物线中焦点到准线的距离为 A．1 个 B．2 个

4 5 ． 5
C．3 个 D．4 个

三、解答题（本大题共有 5 题，满分 74 分）解答下列各题必须写出必要的步骤． 19． （本题满分 12 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 5 分，第（2）小题满分 7 分. 如图，正方形 ABCD 所在平面与圆 O 所在平面相交于 CD ， CE 为圆 O 的直径，线段

CD 为圆 O 的弦， AE 垂直于圆 O 所在平面．
（1）求证： CD ? 平面 AED ；

B A O D E

? （ 2 ）设异面直线 CB 与 DE 所成的角为 且 6 C AE ? 1 ，将 ?ACD （及其内部）绕 AE 所在直
线旋转一周形成一几何体，求该几何体的体积． 解：（1）证明：因为 CE 为圆 O 的直径，所以 ?CDE ?

?
2

，即 CD ? ED ????2 分

又因为 AE 垂直于圆 O 所在平面，所以 CD ? AE ???????????????4 分 又 CD ? ED 所以 CD ? 平面 AED ??????????????????????5 分 （2）由题意知，将 ?ACD （及其内部）绕 AE 所在直线旋转一周形成一几何体的体积是两 圆锥的体积之差． 因为异面直线 CB 与 DE 所成的角为

? ? ，且 CB // DA ，所以 ?ADE ? ，?????7 分 6 6
?????????9 分

又因为 AE ? 1 ，所以，在 Rt ?AED 中， DE ? 3 ， DA ? 2 在 Rt ?CDE 中， CD ? DA ? 2 ， DE ? 3 ，所以 CE ? 所以该几何体的体积 V ?

7 ??????????10 分

1 1 4 ? ? CE 2 ? AE ? ? ? DE 2 ? AE ? ? ????????12 分 3 3 3

20． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分. 如图在半径为 5 cm 的圆形的材料中，要截出一个“十字形” ABCDEFGHIJKL ,其为 一正方形的四角截掉全等的小正方形所形成的图形． （ O 为圆心） （1）若要使截出的“十字形”的边长相等（ DE ? CD ） （图 1）,此时边长为多少？

（2）若要使截出的“十字形”的面积为最大（图 2 ） ，此时 ?DOE 为多少？（用反三 角函数表示）

图（1）

图（2）

解： （1） 当 “十字形” 的边长相等时， 过 O 作 OM ? DE 交 DE 于 E ， 作 CN ⊥ OM 交 OM 于 N ．设该“十字形”的边长为 2 x ，则 DM ? x ， OM ? 3x ． 在 Rt ?OMD 中，由勾股定理得， x ? ? 3x ? ? 25 ? x ?
2 2

10 ??????????5 分 2

所以，边长 2 x ? 10cm ???????????????????????????6 分 （2）过 O 作 OM ? DE 交 DE 于 E ，作 CN ⊥ OM 交 OM 于 N ．设∠ DOM ? ? ， 则 OM ? 5cos ? , DM ? 5sin ? ．

? ON ? CN ? 5sin ? ， NM ? 5cos ? ? 5sin ? ．????????????????8 分
所以， “十字形”的面积为

S ? (2OM )2 ? 4( NM )2 ? 100cos2 ? ?100(cos? ? sin ? )2
1 2 5 ?? ? 或 tan ? ? ） ? 0 ? ? ? ? 2 5 2? ?

? 100(

5 1 sin(2? ? ? ) ? ) 2 2

（ 其中 cos ? ?

?????????????10 分

所以，当 2? ? ? ?

?
2

时， S max ? 50 5 ? 1 cm2 ???????????????12 分

?

?

此时， ?DOE ? 2? ?

?
2

? arccos

? 1 2 5 或 ? arctan 2 2 5

???????????14 分

21． （本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第（1）小题满分 6 分，第（2）小题满分 8 分. 设函数 f ( x) 对任意 x ? R ，都有 f (2 x) ? a ? f ( x) ，其中 a 为常数．当 x ? [1,2) 时，

f ( x ) ? sin(

?
2

x) ．

（1）设 a ? 0 ， f ( x) 在 x ? [4,8) 时的解析式及其值域； （2）设 ? 1 ? a ? 0 ，求 f ( x) 在 x ? [1 , ? ?) 时的值域．

解： （1）当 x ? [4,8) 时，于是

x ? [1,2) ，又 f (2 x) ? af ( x) 4
2

所以 f ( x) ? af ( ) ? a f ( ) 即 f ( x) ? a sin(
2

2 8 （2）由于 [1 , ? ?) ? [1,2) ? [2,22 ) ? [22 ,23 ) ? ? ? [2n ,2n ?1 ) ? ?
对于 x ? [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) 得 于是 f ( x) ? af ( ) ? a f (
2

x ? [4,8) ?

?

x 2

?

?x

x 4

?

8

x) ??????????????3 分

? ? ? 0 ? f ( x) ? a 2 即 f ( x) 在 x ? [4,8) 时的值域为 (0, a 2 ] ?6 分

只研究函数 f ( x) 在 [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) 值域即可??????????????7 分

x ? [1,2) 2n

x 2

所以 f ( x ) ? a sin(
n

?x
2 n ?1

x x ) ? ? ? an f ( n ) 2 2 2

)

x ? [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) ???????????????9 分

) ?1 2 2 n ?1 因为 ? 1 ? a ? 0 n n n?1 所以当 n 为偶数时， f ( x) 在 [2 ,2 ) ( n ? N ) 上单调减，值域为 (0, a ] ； 2
n ?1

?

?

?x

? ? ? 0 ? sin(

?x

且 (0,1] ? (0, a ] ? (0, a ] ? ? ? (0, a ] ? ? ???????????????10 分
2 4 2k
n 当 n 为奇数时， f ( x) 在 [2 n ,2 n?1 ) ( n ? N ) 上单调增，值域为 [a ,0)

且 [a,0) ? [a3 ,0) ? [a5 ,0) ? ? ? [a2k ?1,0) ? ? ???????????????12 分 所以 f ( x) 的值域为 [a,0) ? (0,1] ??????????????????????14 分 22． （本题满分 16 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 6 分. 已知在数列 {an } 中， a1 ? 1 ． （1）设 an ?1 ? 2an ? 1 （ n ? N ） ，求数列 {an } 的通项公式； （2）若 an?1 ? ?
?

?an ? 1 当n为偶数时 ，求数列 {an } 的前 2 m 项和 S 2 m ； 当n奇数时 ? 2an
1 时，是否存在一个常数 p ，使 a2n ? p ? a2n?1 对任意正整数 n 都 an ? 1

（3）当 an ?1 ?

成立？如果存在，请求出 p 的值，并证明；如果不存在，请说明理由． 解： （1）由题意 an?1 ? 2an ? 1，令 an?1 ? x ? 2?an ? x ? ，比较得到 x ? 1 ， 故有 an?1 ? 1 ? 2?an ? 1? ，所以数列 ?a n ? 1?是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列，??2 分 因此 an ? 1 ? 2 ? 2 n?1 ? 2 n ，所以 an ? 2 n ? 1 ，n ? N
?

.?????????????4 分

（2）由题意可知 a2n?1 ? a2n ? 1， a2n ? 2a2n?1 ，所以 a2n?1 ? 2a2n?1 ? 1 ，

所以 a2n?1 ? 1 ? 2(a2n?1 ? 1) ，所以数列 ?a2n?1 ? 1? 是以 2 为首项， 2 为公比的等比数列， 由 a1 ? 1 ，可得到 a2n?1 ? 1 ? 2 n ， a2n?1 ? 2 n ? 1 ， n ? N ? 又因为 a2n?2 ? 2a2n?1 ? 2?a2n ? 1? ，所以 a2 n?2 ? 2a2n ? 2 ??????????6 分 由 a 2 ? 2 ，同样可以求得 a2n ? 2 n?1 ? 2 ， n ? N ? ?????????????8 分 所以 S 2m ? a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? ?? ? a2m?1 ? a2m

? ?a1 ? a3 ? ? ? a2m?1 ? ? ?a2 ? a4 ? ? ? a2m ?

? 2 ? 2 2 ? ? ? 2 m ? m ? 2 2 ? 23 ? ? ? 2 m?1 ? 2m ? (2 m?1 ? 2 ? m) ? (2 m?2 ? 4 ? 2m) ? 3 ? 2 m?1 ? 3m ? 6 ，即 S 2 m ? 3 ? 2 m?1 ? 3m ? 6 ???????????10 分 1 （3）因为 f ( x ) ? 在 ?0, ? ?? 上单调递减且 f ( x) ? 0 ， x ?1 由 an?1 ? f (an ) ， a1 ? 1 可知数列 ?an ? 中的各项均满足 0 ? an ? 1
由要证明不等式的结构可令 f ( x) ? x ，解得 x ? 故猜想： 0 ? a 2 n ?

?

? ?

?

5 ?1 ， 2

5 ?1 ? a2 n?1 ? 1 ，??????????????????13 分 2
1 1 2 ， a3 ? f ( ) ? ， 2 2 3

下面用数学归纳法证明： 证明：（i）当 n ? 1 时， a 2 ? f (1) ? 所以 0 ? a 2 ?

5 ?1 ? a3 ? 1 ，命题成立； 2

（ii）假设 n ? k k ? N ? 时，命题成立，即有 0 ? a 2 k ? 由于 f ( x) 在区间 ?0, ? ?? 上单调递减， 所以 f (0) ? f (a 2 k ) ? f ( 即0 ?

?

?

5 ?1 ? a2 k ?1 ? 1 ， 2

5 ?1 ) ? f (a2 k ?1 ) ? f (1) 2

1 5 ?1 ? a2k ?2 ? ? a 2 k ?1 ? 1 ， 2 2 再次利用函数 f ( x) 在区间 ?0, ? ?? 上单调递减，
得到 f (0) ? f (a 2 k ? 2 ) ? f ( 即0 ?

5 ?1 ) ? f (a2 k ?1 ) ? f (1) ， 2

1 5 ?1 ? a2k ?2 ? ? a 2 k ?3 ? 1 ， 2 2 所以 n ? k ? 1 时命题也成立， 5 ?1 所以 0 ? a 2 n ? ? a2 n?1 ? 1 2 5 ?1 即存在常数 p ? ，使 a2n ? p ? a2n?1 对任意正整数 n 都成立.???????16 分 2

23． （本题满分 18 分）本题共有 3 个小题，第（1）小题满分 4 分，第 2 小题满分 6 分，第 3 小题满分 8 分. 如图， 矩形 ABCD 中，AB ? 2, BC ? 4 ， 以矩形 ABCD 的 中心为原点，过矩形 ABCD 的中心平行于 BC 的直线为 x 轴， A 建立直角坐标系， （1） 求到直线 AD、BC 的距离之积为 1 的动点 P 的轨迹； （2）若动点 P 分别到线段 AB、CD 中点 M、N 的距离之 积为 4，求动点 P 的轨迹方程，并指出曲线的性质（对称性、 顶点、范围） ； （3） 已知平面上的曲线 C 及点 P ， 在 C 上任取一点 Q ， 线段 PQ 长度的最小值称为点 P 到曲线 C 的距离．若动点 P 到线段 AB 的距离与射线 CD 的距离之积为 4，求动点 P 的轨迹 方程，并作出动点 P 的大致轨迹． 解： （1）设 P ( x, y ) ，则 y ? 1 ? y ? 1 ? 1. ??????????????????2 分 化简得 y ? ? 2或y ? 0 . 故动点 P 的轨迹为三条平行线；?????????4 分 （2）

D

2 B 4 C

? x ? 2?

2

? y2 ?

? x ? 2?
2

2

? y 2 ? 4.

化简得

?

x 2 ? 1 ? 2 ? y 2 ? 1.

?

?x

2

? y 2 ?4 ?

2

?1 6 x 2 ? 1 6 .

对称性：关于原点、 x、y 轴对称；???????6 分 顶点： 2 2,0 , ?2 2,0 , ? 0,0 ? ；???????8 分 范围： x ? 2 2, y ? 1. ???????????10 分 作图如图（不计分） （3）同时从几何和代数角度进行分析 当 y ? ?1 时， y ? ?1 ? 4 x ? 1 ? x ? 4 ，????12 分
2 2

?

??

?

当 ?1 ? y ? 1 时， x ? ?2 2 或 x ? 0 ，???????14 分 当 y ? 1 时， y ? 1 ?

16

? x ? 2?

2

? ? x ? 2 ? ，?????16 分
2

作轨迹大致如图.分三个区域给分： ① 在直线 y ? ?1 的下方：两段曲线； ② 在两直线 y ? ?1, y ? 1之间：三条平行线； ③ 在直线 y ? 1 的上方：三条曲线.??????????????????18 分