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数列


数列
1、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 2、数列的项:数列中的每一个数. 3、有穷数列:项数有限的数列. 4、无穷数列:项数无限的数列. 5、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 6、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 7、常数列:各项相等的数列. 8、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 9、数列的通项公式:表示数列 ? an ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 10、数列的递推公式:表示任一项 an 与它的前一项 an ?1 (或前几项)间的关系的公式. 11、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称 为等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 12、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ?

a?c ,则称 b 为 a 与 c 的等差中项. 2

13、若等差数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公差是 d ,则 an 14、通项公式的变形:

? a1 ? ? n ? 1? d .

an ? am ? ? n ? m ? d ; d ?

an ? a1 an ? am ;d ? . n ?1 n?m
*

15、若 ? an ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an 若 ? an ? 是等差数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2an
*

? a p ? aq ;

? a p ? aq .
? na1 ? n ? n ? 1? 2 d.

16、等差数列的前 n 项和的公式: (1) Sn

?

n ? a1 ? an ? 2

; (2) S n

17、等差数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 和 an 的关系:

(1)等差数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 与 an 有如下关系: an ? ?

? S1 (n ? 1) ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

(2)若已知等差数列 ? an ? 的前 n 项和 S n 求通项公式 an ,要分两步进行: ①先求 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn ?1 ; ②再令 n ? 1 求得 a1 .若 a1 ? S1 ,则 an 即为所求;若 a1 ? S1 ,则 an ? ? 即必须表示为分段函数形式. 18、等差数列的前 n 项和 S n 的性质: (1)项数(下标)的“等和”性质: Sn ? (2)项的个数的“奇偶”性质:
* ①若项数为 2n n ? ? ,则 S2 n

? S1 (n ? 1) , ? S n ? S n ?1 (n ? 2)

n ? a1 ? an ? 2

?

n(am ? an ?m?1 ) 2

?

?

? n ? an ? an ?1 ? ,且 S偶 ? S奇 ? nd ,


S奇 S偶


?

an . an ?1


②若项数为 2n ? 1 n ? ? * ,则 S2 n ? 1 ? ? 2n ? 1? an ? 1 ,且 S

?

?

? S

? ?an?1 , S 偶 : S

? n : n ?1
(3) “片段和”性质:等差数列 ? an ? 中,公差为 d ,前 k 项的和为 S k ,则 S k 、 S 2k ? k 、

S3k ? 2 k ,……, Smk ?( m ?1) k ,……构成公差为 k 2 d 的等差数列.
19、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称 为等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 20、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. 在 使 则 若

G 2 ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
21、若等比数列 ? an ? 的首项是 a1 ,公比是 q ,则 an ? a1q 22、通项公式的变形:
n ?1



an ? am q n ? m ; q n ?1 ?

a n?m an ? n . ;q am a1
*

23、若 ? an ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 am ? an ? a p ? aq ;

若 ? an ? 是等比数列,且 2n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 an
*

2

? a p ? aq .

?na1 ? q ? 1? ? 24、等比数列 ? an ? 的前 n 项和的公式: Sn ? ? a1 ?1 ? q n ? a ? a q . ? 1 n ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q
25、等比数列的前 n 项和的性质: (1)项的个数的“奇偶”性质: ①若项数为 2n n ? ? * ,则

?

?

S偶 S奇

?q

* ②若项数为 2n ? 1 n ? ? ,则 S 奇 ? S

?

?



?

a1 ? a2 n ? 2 ( q ? ?1 ) 1? q

S (2) 片段和” “ 性质: 等比数列 ? an ? 中, 公比为 q , k 项的和为 S k ( S k ? 0) , S k 、 2k ? k 、 前 则 S3k ? 2 k ,……, Smk ?( m ?1) k ,……构成公比为 q k 的等比数列.
(3) “相关和”性质: S n ? m ? S n ? q ? S m
n

26、数列的通项公式的求法 (1)观察法(2)代换法(3)迭代法(4)累加法(5)累乘法(6)待定系数法 27、数列的前 n 项和的求法 (1)公式法(2)倒序相加法(3)裂项相消法(4)错位相减法(5)分段求和法


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