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1988年全国高中数学联赛解答


1988 年全国高中数学联赛解答
一试题 一.选择题(本大题共 5 小题,每小题有一个正确答案,选对得 7 分,选错、不选或多选均得 0 分): 1.设有三个函数,第一个是 y=φ(x),它的反函数是第二个函数,而第三个函数的图象与第二个函数的 图象关于 x+y=0 对称,那么,第三个函数是( ) - - A.y=-φ(x) B.y=-φ(-x) C.y=-φ 1(x)

D.y=-φ 1(-x) -1 -1 解:第二个函数是 y=φ (x).第三个函数是-x=φ (-y),即 y=-φ(-x).选 B. 2.已知原点在椭圆 k2x2+y2-4kx+2ky+k2-1=0 的内部,那么参数 k 的取值范围是( ) A.|k|>1 B.|k|≠1 C.-1<k<1 D.0<|k|<1 2 解:因是椭圆,故 k≠0,以(0,0)代入方程,得 k -1<0,选 D. 3.平面上有三个点集 M,N,P: M={(x,y)| |x|+|y|<1}, N={(x,y)| 1 1 (x- )2+(y+ )2+ 2 2 1 1 (x+ )2+(y- )2<2 2}, 2 2

P={(x,y)| |x+y|<1,|x|<1,|y|<1}.则 A.M? ? P? ?N B.M? ? N? ?P C.P? ? N? ?M D.A、B、C 都不成立

解:M 表示以(1,0),(0.1),(-1,0),(0,-1)为顶点的正方形内部的点的集合(不包括边界);N 表 1 1 1 1 示焦点为( ,- ),(- , ),长轴为 2 2的椭圆内部的点的集合,P 表示由 x+y=±1,x=±1,y=±1 围成 2 2 2 2 的六边形内部的点的集合.故选 A. 4.已知三个平面 α、β、γ,每两个之间的夹角都是 θ,且 α∩β=a,β∩γ=b,γ∩α=c.若有 π 命题甲:θ> ; 3 命题乙:a、b、c 相交于一点. 则 A.甲是乙的充分条件但不必要 C.甲是乙的充分必要条件 B.甲是乙的必要条件但不充分 D.A、B、C 都不对

π π 解:a,b,c 或平行,或交于一点.但当 a∥b∥c 时,θ= .当它们交于一点时, <θ<π.选 C. 3 3 5.在坐标平面上,纵横坐标都是整数的点叫做整点,我们用 I 表示所有直线的集合,M 表示恰好通过 1 个整点的集合,N 表示不通过任何整点的直线的集合,P 表示通过无穷多个整点的直线的集合.那么表达 式 ⑴ M∪N∪P=I; ⑵ N≠?. ⑶ M≠?. ⑷ P≠? 中,正确的表达式的个数是 A.1 B.2 C.3 D.4 解:均正确,选 D. 二.填空题(本大题共 4 小题,每小题 10 分): 1.设 x≠y,且两数列 x,a1,a2,a3,y 和 b1,x,b2,b3,y,b4 均为等差数列,那么 b4-b3 8 1 2 解:a2-a1= (y-x),b4-b3= (y-x),? = . 4 3 a2-a1 3 2.( x+2)2n+1 的展开式中,x 的整数次幂的各项系数之和为
1 3


b4-b3 = a2-a1






解:( x+2)2n+1-( x-2)2n+1=2(C2n+12xn+C2n+123xn 1+C2n+125xn 2+…+C2n+122n+1). 1 令 x=1,得所求系数和= (32n+1+1). 2
-1-

5

2n+1

DE 3.在△ABC 中,已知∠A=α,CD、BE 分别是 AB、AC 上的高,则 = BC DE AD 解:△AED∽△ABC, = =|cosα|. BC AC



4.甲乙两队各出 7 名队员,按事先排好顺序出场参加围棋擂台赛,双方先由 1 号队员比赛,负者被淘 汰, 胜者再与负方 2 号队员比赛, ……直至一方队员全部淘汰为止, 另一方获得胜利, 形成一种比赛过程. 那 么所有可能出现的比赛过程的种数为 . 解 画 1 行 14 个格子,每个格子依次代表一场比赛,如果某场比赛某人输了,就在相应的格子中写上 他的顺序号(两方的人各用一种颜色写以示区别). 如果某一方 7 人都已失败则在后面的格子中依次填入另一 方未出场的队员的顺序号.于是每一种比赛结果都对应一种填表方法,每一种填表方法对应一种比赛结 果.这是一一对应关系.故所求方法数等于在 14 个格子中任选 7 个写入某一方的号码的方法数. ∴共有 C14种比赛方式. 三.(15 分)长为 2,宽为 1 的矩形,以它的一条对角线所在的直线为轴旋转一周,求得到的旋转体的 体积. D 解:过轴所在对角线 BD 中点 O 作 MN⊥BD 交边 AD、BC 于 M、N,作 AE⊥BD 于 E, 则△ABD 旋转所得旋转体为两个有公共底面的圆锥,底面半径 AE= 6 π 6 2 3 = .其体积 V= ( )2· 3= π.同样, 3 3 3 9 2 3 △BCD 旋转所得旋转体的体积= π. 9 其重叠部分也是两个圆锥,由△DOM∽△DAB,DO= 1 6 3 3 ∴其体积=2· π· ( )2· = π. 3 4 2 8 2 3 3 23 ∴ 所求体积=2· π- π= 3π. 9 8 72 四.(15 分) 复平面上动点 Z1 的轨迹方程为|Z1-Z0|=|Z1|,Z0 为定点,Z0≠0,另一个动点 Z 满足 Z1Z=- 1,求点 Z 的轨迹,指出它在复平面上的形状和位置. 1 1 1 1 1 1 1 解:Z1=- ,故得|- -Z0|=| |,即|ZZ0+1|=1.|Z+ |=| |.即以- 为圆心| |为半径的圆. Z Z Z Z0 Z0 Z0 Z0 1 1 五.(15 分)已知 a、b 为正实数,且 + =1.试证:对每一个 n∈N*, a b (a+b)n-an-bn?22n-2n+1. 证明:由已知得 a+b=ab.又 a+b?2 ab,∴ ab?2 ab,故 a+b=ab?4.于是(a+b)k=(ab)k?22k. 又 ak+bk?2 akbk=2 (a+b)k?2k+1.下面用数学归纳法证明: 1° 当 n=1 时,左=右=0.左?右成立. 2° 设当 n=k(k?1,k∈N)时结论成立,即(a+b)k-ak-bk?22k-2k+1 成立. - - 则(a+b)k+1-ak+1-bk+1=(a+b)(a+b)k-(ak+bk)(a+b)+ab(ak 1+bk 1) - - =(a+b)[(a+b)k-ak-bk]+ ab(ak 1+bk 1)?4?(22k-2k+1)+4?2k=22(k+1)-4?2k+1+4?2k=22(k+1)-2(k+1)+1.即命题 对于 n=k+1 也成立. 故对于一切 n∈N*,命题成立. 二试题
-27

2 3
A

M

O E N

C

B

3 DO· AB 6 ,OM= = . 2 DA 4

一.已知数列{an},其中 a1=1,a2=2,
?5an+1-3an(an· an+1为偶数), an+2=? an+1为奇数). ? an+1-an(an·

试证:对一切 n∈N*,an≠0. (1988 年全国高中竞赛试题) 分析:改证 an?0(mod 4)或 an?0(mod 3). 证明:由 a1=1,a2=2,得 a3=7,a4=29,…… ∴ a1≡1,a2≡2,a3≡3(mod 4). 设 a3k-2≡1,a3k-1≡2,a3k≡3(mod 4). 则 a3k+1≡5×3-3×2=9≡1(mod 4);a3k+2≡1-3=-2≡2(mod 4);a3k+3≡5×2-3×1=7≡3(mod 4). 根据归纳原理知,对于一切 n∈N,a3n-2≡1,a3n-1≡2,a3n≡3(mod 4)恒成立,故 an?0(mod 4)成立,从 而 an≠0. 又证:a1≡1,a2≡2(mod 3). 设 a2k-1≡1,a2k≡2(mod 3)成立,则 当 a2k-1?a2k 为偶数时 a2k+1≡5×2-3×1≡1(mod 3),当 a2k-1?a2k 为奇数时 a2k+1≡2-1≡1(mod 3),总之 a2k+1≡1(mod 3). 当 a2k?a2k+1 为偶数时 a2k+2≡5×1-3×2≡2(mod 3), 当 a2k?a2k+1 为奇数时 a2k+2≡1-2≡2(mod 3), 总之, a2k+2≡2(mod 3).于是 an?0(mod 3).故 an≠0. S?PQR 2 二.如图,在△ ABC 中,P、Q、R 将其周长三等分,且 P、Q 在 AB 边上,求证: > . S?ABC 9
A

P
H N Q B R C

1 证明:作△ABC 及△PQR 的高 CN、RH.设△ABC 的周长为 1.则 PQ= . 3 则 S?PQR PQ· RH PQ AR 1 PQ 2 = = · ,但 AB< ,于是 > , CN AB AC 2 AB 3 S?ABC AB·

1 1 1 1 1 1 AR 1 S?PQR 2 AP?AB-PQ< - = ,∴ AR= -AP> ,AC< ,故 > ,从而 > . 2 3 6 3 6 2 AC 3 S?ABC 9

三.在坐标平面上,是否存在一个含有无穷多直线 l1,l2,……,ln,…的直线 族,它满足条件: ⑴ 点(1,1)∈ln,(n=1,2,3,……); ⑵ kn+1=an-bn, 其中 kn+1 是 ln+1 的斜率, an 和 bn 分别是 ln 在 x 轴和 y 轴上的截距, (n=1, 2, 3, ……); ⑶ knkn+1?0,(n=1,2,3,……). 并证明你的结论. 证明:设 an=bn≠0,即 kn-1=-1,或 an=bn=0,即 kn=1,就有 kn+1=0,此时 an+1 不存在,故 kn≠±1. 1 1 现设 kn≠0,1,则 y=kn(x-1)+1,得 bn=1-kn,an=1- ,∴ kn+1=kn- .此时 knkn+1=kn2-1. kn kn ∴ kn>1 或 kn<-1.从而 k1>1 或 k1<-1. 1 1 ⑴ 当 k1>1 时,由于 0< <1,故 k1>k2=k1- >0,若 k2>1,则又有 k1>k2>k3>0,依此类推,知当 km>1 k1 k1

1 1 1 时,有 k1>k2>k3>?…>km>km+1>0,且 0< < <…< <1, k1 k2 km 1 1 1 1 2 m km+1=km- <km- =km-1- - <k - - <…<k1- . km k1 k1 km-1 k1 m 1 k1 m m0 由于 k1- 随 m 的增大而线性减小,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ?1,从而必存在一个 m 值 k1 k1 m=m1?m0,使 km1-1?1,而 1>km1=km1-1- 即此时不存在这样的直线族.
-3-

1 >0,此时 km1· km1+1<0. km1-1

1 1 ⑵ 当 k1<-1 时,同样有-1< <0,得 k1<k2=k1- <0.若 k2<-1,又有 k1<k2<k3<0,依此类推,知当 k1 k1 1 1 1 km<-1 时,有 k1<k2<k3<?…<km<km+1<0,且 0> > >…> >-1, k1 k2 km 1 1 1 1 2 m km+1=km- >km- =km-1- - >km-1- >…>k1- . km k1 k k k km-1 1 1 1 m m0 由于 k1- 随 m 的增大而线性增大,故必存在一个 m 值,m=m0,使 k1- ?-1,从而必存在一个 m km k1 值,m=m1(m1?m0),使 km1-1?-1,而-1<km1=km1- 即此时不存在这样的直线族. 综上可知这样的直线族不存在. 1 <0,此时 km1· km1+1<0. km1-1

-4-


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