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2015学年浙江省第一次五校联考数学理答案


2015 学年浙江省第一次五校联考

数学(理科)答案
说明: 一、本解答给出了一种或几种解法供参考,如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的 主要考查内容制订相应的评分细则. 二、对计算题,当考生的题答在某一步出现错误时,如果后续部分的解答未改变该题的内 容与难度,可视影响的程度决定后续部分的给分,但不得超过该部分正确解答应得分数的一半; 如果后续

部分的解答有较严重的错误,就不再给分. 三、解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数. 四、只给整数分数.选择题和填空题不给中间分. 一、选择题:本题考查基本知识和基本运算.每小题 5 分,满分 40 分. 1 D 2 A 3 D 4 B 5 D 6 A 7 A 8 C

二、填空题: 本题考查基本知识和基本运算.每小题 4 分,满分 36 分. 9.

24?

?

1 2

10.

7 9



7?4 6 18

11.

4 3

,

12?

12. 2012

,

1006

,

13.

[

1 ,?? ) 2 cos 1

14.

4?2 2

15.

1?

2 2

三、解答题:本大题共 5 小题,共 74 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16. 答案: P: ?5 ? a ? 1 …………5 分 Q: a ? ?1 …………10 分 P,Q 一真一假

1

??5 ? a ? ?1或a ? 1
17. 解:(1) f ( x) ?

…………14 分

3 1 3 1 ? cos 2 x 1 sin 2 x ? ? ? sin 2 x ? cos 2 x ? 1 2 2 2 2 2

? sin(2 x ? ) ? 1 。……………3 分 6 ? 5? ? ? 2? ?x? ∵? ,∴ ? ? 2 x ? ? , 12 12 3 6 3
∴?

?

3 ? 3 ? ? sin(2 x ? ) ? 1 ? 0 。 ? sin(2 x ? ) ? 1 ,从而 ? 1 ? 2 6 2 6

则 f ( x ) 的最小值是 ? 1 ? (2) f (C ) ? sin(2C ?

3 ,最大值是 0 。……………7 分 2

? ) ? 1 ? 0 ,则 sin(2C ? ) ? 1 , 6 6 ? ? 11? ? ? ? ∵ 0 ? C ? ? ,∴ ? ? 2C ? ? ,∴ 2C ? ? ,解得 C ? .……………10 分 3 6 6 6 6 2
∵向量 m ? (1, sinA) 与向量 n ? (2, sinB) 共线,∴ sin B ? 2sin A , 由正弦定理得, b ? 2a
2 2

?


2

由余弦定理得, c ? a ? b ? 2ab cos

?
3

,即 a 2 ? b 2 ? ab ? 3



由①②解得 a ? 1, b ? 2 .……………15 分 18. (1)证明:∵ AD ? 平面 PDC , PD ? 平面PCD, DC ? 平面PDC ∴ AD ? PD, AD ? DC 在梯形 ABCD 中,过点作 B 作 BH ? CD于H , 在 ?BCH 中, BH ? CH ? 1,??BCH ? 45?. 又在 ?DAB 中, AD ? AB ? 1,??ADB ? 45?.

??BDC ? 45?, ??DBC ? 90?? BC ? BD .……3 分

? PD ? AD, PD ? DC, AD ? DC ? D .

AD ? 平面ABCD, DC ? 平面ABCD.

? PD ? 平面ABCD,? BC ? 平面ABCD,? PD ? BC, ? BD ? PD ? D, BD ? 平面PBD, PD ? 平面PBD .
? BC ? 平面PBD, ? BC ? 平面PBC,?平面PBC ? 平面PBD ………………7 分
(2)法一:过点Q 作QM ∥BC 交PB 于点M ,过点M 作MN 垂直于BD 于点N ,连QN . …8 分 2

由(1)可知 BC ? 平面 PDB ,? QM ? 平面 PDB ,? QM ? BD ,? QM ? MN ? M

? BD ? 平面 MNQ ,? BD ? QN ,
??QNM 是二面角 Q ? BD ? P 的平面角, ??QNM ? 60?
…………………10 分

? PQ ? ? PC
?

?

PQ ? ? ? QM ‖ BC , PC

PQ QM PM ? ? ?? PC BC PB

? QM ? ?BC ,

由(1)知 BC = 2 ,?QM ? 2? ,又? PD ? 1

? MN ∥PD
? tan ?MNQ ?

?

MN BM ? PD PB

? MN ?

BM PB ? PM PM ? ?1? ?1? ? PB PB PB

……12 分

QM MN

?

2? ? 3, 1? ?

?? ? 3 ? 6 . …………………………………15 分
(2)法二:以 D 为原点, DA, DC , DP 所在直线为

x, y, z 轴建立空间直角坐标系 (如图)
则 P ? 0,0,1?,C ? 0,2,0?,A?1,0,0?,B ?1,1,0? . 令 Q ? x0 , y0 , z0 ? ,则

??? ? ??? ? ??? ? ??? ? PQ ? (x0,y0 , z0 ?1 ), PC ? (0,2, ?1 ) ? PQ ? ? PC,? (x0,y0 , z0 ?1 ) ?? (0, 2, ?1 )
…………………………………………………………………9 分

(0, 2?,1 ? ?) . ?Q?

? 是平面 PBD 的法向量. ………………………10 ? BC ? 平面 PBD , ? n ? (? 1,1,0)
分 设平面 QBD 的法向量为 m ? . (x,y,z)

??

? ??? ? ?x ? ? y ? n ? DB ?0 ?x ? y ? 0 ? ? 则 ? ? ???? ,即 ? 即 ? . 2? 2 ? y ? (1 ? ? ) z ? 0 z ? y n ? DQ ? 0 ? ? ? ? ? ?1 ?
令 y ? 1 ,得 m ? ? ?1,1,

??

? ?

2? ? ? ?1 ? ?

…………………………………………… …………12 分

? 二面角 Q ? BD ? P 为 60 ? ,

3

?? ? m?n ?? ? ∴ cos m, n ? ?? ? ? m n

? ?

2 ? 2? ? 2? 2?? ? ? ? ?1 ?
2

?

1 解得 ? ? 3 ? 6 , 2

? Q 在棱 PC 上, 0 ? ? ?????? ? ?? 6 为所求. ………………………15 分
19. 解答: (1)若 a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ) 和 ( , ??) ………………………2 分 若 a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 ( ??, ) 和 ( , ??) ………………………4 分 若 a ? 0 , f ( x) 的单调增区间为 R ………………………5 分 (2) ? a ? 0, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减,在 [ , ??) 单调递增,

a 2

a 4

a 4

a 2

a 2

a a 2 4

a 4

a a2 a ? a 2 ? 8a ? 8 ? a ? 0 f ( ) ? ? 若 时,令 x(a ? 2 x) ? a 解得: x1 ? ? a即 4 8 4

a ? a 2 ? 8a …………7 分 ? 不等式的解为: x ? 4
若 f( )??

a 4

a2 a ? a 2 ? 8a ? a 即 a ? ?8 时,令 x(2 x ? a) ? a 解得: x1,2 ? 8 4

据图像:不等式的解为:

a ? a 2 ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a ?x? 或x ? 4 4 4

综上: ?8 ? a ? 0 不等式的解为: x ?

a ? a 2 ? 8a 4 2 a ? a ? 8a a ? a 2 ? 8a a + a 2 ? 8a a ? ?8 不等式的解为: ……9 分 ?x? 或x ? 4 4 4
2

a 2 a a ? (x- )+    x ? ? ?2 4 8 2 (3) f ( x) ? x 2x ? a ? ? a 2 a2 a (x- ) ?    x ? ? 4 8 2 ?2 a a a ? 0 ? a ? 12, ? f ( x) 在 (??, ] 单调递增,在 [ , ] 单调递减 4 4 2 a a 在 [ , ??) 单调递增,? 3 ? ? 5 即 6 ? a ? 10 2 2

? g ( x) ?

1? a x2 ? a ? 1 在 x ? [3,5] 单调递增, = x ?1? x ?1 x ?1

? g ( x) ? [

9 ? a 25 ? a , ] 2 4

………………………11 分

4

a a f ( x) 在 [3, ] 单调递减在 [ , 5] 单调递增 2 2 a ? 必须 [ g (3), g (5)] ? [ f ( ), min{ f (3), f (5)}] 2


) ? g (3)? f ( a 2 ? g (5)? f (3), g (5)? f (5) ? ?
20.解:(1)易知 a2 n ? an ?

?

97 ? a ? 9 ………………………15 分 13

1 1 1 ? ??? =f(n) .......... n ?1 n ? 2 2n 1 1 1 1 1 1 ? ?? ? ? ?? ? ? f(n+1)-f(n)= 2n n ? 2 n ?1 2n ? 2 n ? 1 n ? 2 1 1 1 ? ? = 2n ? 1 2n ? 2 n ? 1 1 1 ? = >0 2n ? 1 2n ? 2 ? f(n)单调递增,………………………………………4 分 7 即 a2 n ? an ? f (2) ? , 12 7 7 ? (log ( a ?1) x ? log a x ? 1) 故 log( a?1) x ? loga x 。 12 12
因 log ( a ?1) x ?

.2 分

lg x lg x , log a x ? , lg(a ? 1) lg a

且 lg(a ? 1) ? lg a ? 0 ,故 x ? 1 。………………………………………7 分 (2) an ? an ?1 ?

1 n

1 ? (an ? ) 2 ? an ?12 n 2a 1 ? an 2 ? an ?12 ? n ? 2 n n

………………………………..9 分

an?12 ? an?2 2 ?
.....

2an?1 1 ? n ? 1 (n ? 1)2

2a3 1 ? 3 32 2a 1 a2 2 ? a12 ? 2 ? 2 2 2 a32 ? a2 2 ?
5

累加得: an 2 ? a12 ? 2 ?

1 a ? 1 1 ? a2 a3 ? ? ? ? n ? - ( 2 ? 2 ? ???? 2 ) n n? 2 3 ? 2 3

1 1 1 a ? a a ? ? an 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? - (1 ? 2 ? 2 ? ???? 2 ) …………………………11 分 2 3 n 2 3 n? ?

? an 2 ?

7 ? 4

1 1 1 7 a ? a a ? ? ?? 2 ) + 2 ? a1 ? 2 ? 3 ? ? ? n ? - (1 ? 2 ? 2 ? ? 4 2 3 n 2 3 n? ?

要证原不等式成立,只需证:

(1 ?

1 1 1 7 ? 2 ?? ? ?? 2 ) < 2 4 2 3 n

n=1,2 显然成立

n ? 3 时,左边< 1 ?

1 1 1 1 ? ? ?? ? ?? 2 2 2? 3 3? 4 n(n ? 1)
1 1 1 1 1 1 1 ? ? ? ? ?? ? ?? ? 4 2 3 3 4 n ?1 n

? 1?
? 7 4

? 原不等式成立………………………………..15 分

6


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