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10.1立体几何平行证明题常见模型及方法


立体几何平行证明题常见模型及方法
平行转化:线线平行 线面平行 面面平行;

类型一:线面平行证明(中位线法,构造平行四边形法,面面平行法)
(1) 方法一:中位线法 以锥体为载体

P

例 1:如图,在底面为平行四边形的四棱锥 P ? ABCD 中, 点 E 是 PD 的中点. 求证: PB ∥平

面 AEC ;

E

A

B

D
变式 1:若点 M 是 PC 的中点, 求证:PA||平面 BDM;

C

变式 2:若点 M 是 PA 的中点,求证:PC||平面 BDM。 变式 3 如图,在四棱锥 S ? ABCD 中,底面 ABCD 是菱形, , 点 M 是 SD 的中点, 求证: SB // 平面 ACM

A _

B _

C _
(2) 以柱体为载体 例2 S 在直三棱柱 ABC ? A1B1C1 ,D 为 BC 的中点,求证: AC 1 ||平面 AB 1D

变式 1 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 E 是 CD 的中点,求证: B 1 D ||平面 BC1E 变式 2 在正方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,若 E 是 CD 的中点,求证: B 1 D ||平面

BC1E
变式 3 如图, 在直三棱柱 ABC—A1B1C1 中, AA1= 5 , AC=BC=2, ∠C=90°, 点 D 是 A1C1 的中点. 求证:BC1//平面 AB1D;

方法 2:构造平行四边形法

例 1 如图, 在四棱锥 S ? ABCD 中, 底面 ABCD 为正方形, E 、F 分别为 AB,SC 的中点. 证明○ 1 EF ∥
平面 SAD 2 BF ∥平面 SDE ○ S F

D A 变式 1:若 E 、 F 分别为 AD,SB 的中点.证明 EF ∥ 平面 SCD E B

C

变式 2

若 E 、 F 分别为 SD,AB 的中点.证明 EF ∥ 平面 SCB

例 2 如图, 在直四棱柱 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中, 底面 ABCD 为等腰梯形, AB//CD, AB=4, BC=CD=2, AA 1 =2, E、E 1 分别是棱 AD、AA 1 的中点. D1
w.w.w. k.s.5. u.c.o.m

C1 B1

A1 设 F 是棱 AB 的中点,证明:直线 EE 1 //平面 FCC 1 E1 D E A F C

方法 3:面面平行法 (略)
举一反三 1

B

如图,已知 AB ? 平面 ACD , DE ? 平面 ACD ,△ ACD 为等边三角形, AD ? DE ? 2 AB , F 为 CD B A C D E

的中点. (1) 求证: AF // 平面 BCE ; (2) 求证:平面 BCE ? 平面 CDE ; F

3 直四棱柱 ABCD-A1B1C1D1 中,底面 ABCD 是等腰梯形,AB∥DC,AB=2AD=2DC=2,E 为 BD1 的 中点,F 为 AB 中点.

(1)求证 EF∥平面 ADD1A1; (2)求几何体 DD1AA1EF 的体积。


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