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2011年高考数学一轮复习精品课件:函数模型及其应用


§2.9 函数模型及其应用 基础知识 自主学习
要点梳理
1.两种增长型函数模型的图象与性质 1.两种增长型函数模型的图象与性质 性 函 数 y=ax (a>1) y=logax (a>1) _______ 增函数

质 (0,+∞)上 在(0,+∞)上 ________ 增函数 的增减性 增长速度

________ 越来越慢 越来越快 ________

随x增大逐渐 随x增大逐 表现为与 渐表现为与 图象的变化 ______平行 ______平行 y轴 x轴 ______平行 ______平行 2.常用的几类函数模型 2.常用的几类函数模型 (1)一次函数模型f )=kx+ 为常数, (1)一次函数模型f(x)=kx+b (k、b为常数,k≠0); 一次函数模型 kx (2)反比例函数模型 (2)反比例函数模型 f ( x) = a≠0); ≠0); (4)指数函数模型f )=a 为常数, (4)指数函数模型f(x)=abx+c(a、b、c为常数, 指数函数模型 a≠0,b>0,b≠1); ≠0,b>0,b≠1); (5)对数函数模型f (5)对数函数模型f(x)=mlogax+n(m、n、a为常 对数函数模型 0,a>0,a≠1) 数,m ≠ 0,a>0,a≠1); (3)二次函数模型f )=ax bx+ 为常数, (3)二次函数模型f(x)=ax2+bx+c (a、b、c为常数, 二次函数模型

k 为常数, + b(k、b为常数,k≠0); x

3.求解函数应用问题的思路和方法, 3.求解函数应用问题的思路和方法,我们可以用示意 求解函数应用问题的思路和方法 图表示为

4.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外, 4.实际问题中函数的定义域要特别注意,另外,结果 实际问题中函数的定义域要特别注意 要回到实际问题中写答案. 要回到实际问题中写答案.

基础自测
1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控, 1.我国为了加强对烟酒生产的宏观调控,除了应征税 我国为了加强对烟酒生产的宏观调控 外还要征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元 外还要征收附加税,已知某种酒每瓶售价为70元, 70 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 不收附加税时,每年大约销售100万瓶,若每销售100 100万瓶 元国家要征附加税为x 元国家要征附加税为x元(税率x%),则每年销售量 税率x 减少10x万瓶, 减少10x万瓶,为了要使每年在此项经营中收取的附 10 加税额不少于112万元, 加税额不少于112万元,则x的最小值为 112万元 A.2 解析 B.6 C.8 D.10 ( A)

依题意 (100 10 x) 70 x ≥ 112, 100 解得2≤ ≤8,则 的最小值为2. 2≤x 解得2≤x≤8,则x的最小值为2.

2.从1999年11月 日起,全国储蓄存款征收利息税, 2.从1999年11月1日起,全国储蓄存款征收利息税, 利息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收, 利息税的税率为20%,由各银行储蓄点代扣代收, 20% 某人2000年 某人2000年6月1日存入若干万元人民币,年利率 2000 日存入若干万元人民币, 为2%,到2001年6月1日取款时被银行扣除利息税 2%, 2001年 138.64元 138.64元,则该存款人的本金介于 A.3~ A.3~4万元 C.5~ C.5~6万元 解析 B.4~ B.4~5万元 D.2~ D.2~3万元 ( A)

设存入的本金为x 设存入的本金为x,

则x2%20%=138.64, 2%20%=138.64,

1 386 400 ∴x = = 34 660. 40

3.在一定范围内,某种产品的购买量y 与单价x 3.在一定范围内,某种产品的购买量y t与单价x元 在一定范围内 之间满足一次函数关系,如果购买1 t,每 之间满足一次函数关系,如果购买1 000 t,每t为 800元 购买2 t,每 700元 800元;购买2 000 t,每t为700元;一客户购买 t,单价应该是 400 t,单价应该是 A.820元 A.820元 解析 B.840元 B.840元 C.860元 C.860元 ( C) D.880元 D.880元

依题意,可设y与x的函数关系式为 依题意,可设y

000及 =700,y y=kx+b,由x=800,y=1 000及x=700,y=2 000, kx+ =800,y 可得k 10,b 000,即 10x 可得k=-10,b=9 000,即y=-10x+9 000, 将y=400代入得x=860. =400代入得x 代入得

4.某物体一天中的温度T 单位: 4.某物体一天中的温度T(单位:℃)是时间t(单位:h) 某物体一天中的温度 是时间t 单位: 的函数; +60,t=0表示中午12∶00,其后t 表示中午12∶00 的函数;T(t)=t3-3t+60,t=0表示中午12∶00,其后t取 )=t 正值,则下午3 正值,则下午3时温度为 A.8℃ 解析 B.78℃ C.112℃ ( B) D.18℃

由题意,下午3时,t=3,∴T(3)=78℃. 由题意,下午3 =3,

5.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式, 5.为了保证信息安全,传输必须使用加密方式,有一 为了保证信息安全 种方式其加密、解密原理如下: 种方式其加密、解密原理如下: 明文 加密 密文 发送 密文 解密 明文 已知加密为y 为明文, 为密文), ),如果明 已知加密为y=ax-2(x为明文,y为密文),如果明 文“3”通过加密后得到密文为“6”,再发送,接 3”通过加密后得到密文为“6”,再发送, 通过加密后得到密文为 受方通过解密得到明文“3”,若接受方接到密文 受方通过解密得到明文“3”, 为“14”,则原发的明文是______. 14”,则原发的明文是______. 4 解析 依题意y =3时 =6,故6=a 依题意y=ax-2中,当x=3时,y=6,故6=a3-2, 解得a=2.所以加密为y 因此, =14时 解得a=2.所以加密为y=2x-2,因此,当y=14时,由 所以加密为 2,解得 解得x 14=2x-2,解得x=4.

题型分类 深度剖析
题型一 一次、 一次、二次函数模型 【例1】如图所示,在矩形 如图所示, ABCD中 已知AB= ABCD中,已知AB=a,BC=b AB BC= (b<a),在AB,AD,CD, AB,AD,CD, CB上分别截取AE,AH,CG, CB上分别截取AE,AH,CG, 上分别截取AE CF都等于x CF都等于x,当x为何值时,四边形EFGH的面积最 都等于 为何值时,四边形EFGH的面积最 EFGH 大?并求出最大面积. 并求出最大面积. 依据图形建立四边形EFGH的面积S EFGH的面积 思维启迪 依据图形建立四边形EFGH的面积S关于 自变量x的目标函数, 自变量x的目标函数,然后利用解决二次函数的最 值问题求出S的最大值. 值问题求出S的最大值.

设四边形EFGH的面积为S EFGH的面积为 解 设四边形EFGH的面积为S, 1 2 则S△AEH=S△CFG= x, 2 1 (a )(b S△BEF=S△DGH= (a-x)(b-x), 2 1 2 1 ∴ S = ab 2 [ x + (a x)(b x)] 2 2 a + b 2 ( a + b) 2 2 = 2 x + (a + b) x = 2( x ) + , 4 8 由图形知函数的定义域为{ |0<x 由图形知函数的定义域为{x|0<x≤b}. 0<b ,∴0<b a + b , 又0<b<a,∴0<b< 2

a+b ≤3b 若 ≤b,即a≤3b时, 4 ( a + b) 2 a+b ; 则当 x = 时,S有最大值 8 4 a+b > b, 即a>3b时,S(x)在(0,b]上是增函数, >3b 0,b 上是增函数, 若 4 此时当x 此时当x=b时,S有最大值为 a + b 2 ( a + b) 2 2(b ) + = ab b 2 , 4 8 a+b 综上可知, ≤3b 综上可知,当a≤3b时,x = 时, 4 2 ( a + b) , 四边形面积S 四边形面积Smax= 8

ab当a>3b时,x=b时,四边形面积Smax=ab-b2. >3b 四边形面积S

探究提高

二次函数是我们比较熟悉的基本函数, 二次函数是我们比较熟悉的基本函数,建

立二次函数模型可以求出函数的最值, 立二次函数模型可以求出函数的最值,解决实际中的 最优化问题,值得注意的是: 最优化问题,值得注意的是:一定要注意自变量的取 值范围, 值范围,根据图象的对称轴与定义域在数轴上表示的 区间之间的位置关系讨论求解. 区间之间的位置关系讨论求解.

知能迁移1 知能迁移1

某人要做一批地砖,每块地砖(如图1 某人要做一批地砖,每块地砖(如图1所

示)是边长为0.4米的正方形ABCD,点E、F分别在 是边长为0.4米的正方形ABCD, 0.4米的正方形ABCD 边BC和CD上,△CFE、△ABE和四边形AEFD均由 BC和CD上 CFE、 ABE和四边形AEFD均由 和四边形AEFD 单一材料制成,制成△CFE、 ABE和四边形AEFD 单一材料制成,制成△CFE、△ABE和四边形AEFD 和四边形 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 的三种材料的每平方米价格之比依次为3∶2∶1.若 3∶2∶1. 将此种地砖按图2所示的形式铺设, 将此种地砖按图2所示的形式铺设,能使中间的深色 阴影部分成四边形EFGH. 阴影部分成四边形EFGH. EFGH

图1

图2

(1)求证:四边形EFGH是正方形; (1)求证:四边形EFGH是正方形; 求证 EFGH是正方形 (2)E (2)E、F在什么位置时,做这批地砖所需的材料费用 在什么位置时, 最省? 最省? (1)证明 (1)证明 图2是由四块图1所示地砖组成,由图1依次 是由四块图1所示地砖组成,由图1

逆时针旋转90°,180°,270°后得到, 逆时针旋转90° 180°,270°后得到, 90 ∴EF=FG=GH=HE, EF=FG=GH=HE, ∴△CFE为等腰直角三角形, CFE为等腰直角三角形, 为等腰直角三角形 ∴四边形EFGH是正方形. 四边形EFGH是正方形. EFGH是正方形

(2)解 CE= BE=0.4 =0.4(2)解 设CE=x,则BE=0.4-x, 每块地砖的费用为W, 每块地砖的费用为W 制成△CFE、 ABE和四边形AEFD三种材料的每平 制成△CFE、△ABE和四边形AEFD三种材料的每平 和四边形AEFD 方米价格依次为3 方米价格依次为3a、2a、a(元),

0.2x+0.24) =a(x2-0.2x+0.24)

1 2 1 W = x 3a + × 0.4 × (0.4 x) × 2a 2 2 1 2 1 + [0.16 x × 0.4 × (0.4 x)]a 2 2

0<x<0.4) =a[(x-0.1)2+0.23] (0<x<0.4), [(x ∵a>0,∴x=0.1时,W有最小值,即总费用最省. >0, =0.1时 有最小值,即总费用最省. CE=CF=0.1米时,总费用最省. =0.1米时 答 当CE=CF=0.1米时,总费用最省.

题型二

分段函数模型

某公司研制出了一种新产品, 【例2】 某公司研制出了一种新产品,试制了一批样 品分别在国内和国外上市销售, 品分别在国内和国外上市销售,并且价格根据销售 情况不断进行调整,结果40天内全部销完. 情况不断进行调整,结果40天内全部销完.公司对 40天内全部销完 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示, 销售及销售利润进行了调研,结果如图所示,其中 图①(一条折线)、图②(一条抛物线段)分别是 一条折线)、图 )、 一条抛物线段) 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、 国外和国内市场的日销售量与上市时间的关系、 图③是每件样品的销售利润与上市时间的关系. 是每件样品的销售利润与上市时间的关系.

(1)分别写出国外市场的日销售量f (1)分别写出国外市场的日销售量f(t)与上市时间t 分别写出国外市场的日销售量 与上市时间t 的关系及国内市场的日销售量g 的关系及国内市场的日销售量g(t)与上市时间t的关 与上市时间t 系; (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 (2)国外和国内的日销售利润之和有没有可能恰好等 300万元 若有,请说明是上市后的第几天; 万元? 于6 300万元?若有,请说明是上市后的第几天;若 没有,请说明理由. 没有,请说明理由.

思维启迪

第(1)问就是根据图①和②所给的数据, (1)问就是根据图① 问就是根据图 所给的数据,

运用待定系数法求出各图象中的解析式;第(2)问 运用待定系数法求出各图象中的解析式; 先求得总利润的函数关系式, 先求得总利润的函数关系式,再将问题转化为方程是 否有解. 否有解. (1)图 是两条线段,由一次函数及待定系数法, 解 (1)图①是两条线段,由一次函数及待定系数法,

0 ≤ t ≤ 30, 2t , 得f (t ) = 6t + 240, 30 < t ≤ 40.
图②是一个二次函数的部分图象, 是一个二次函数的部分图象,

3 2 故g (t ) = t + 6t (0 ≤ t ≤ 40). 20

(2)每件样品的销售利润h (2)每件样品的销售利润h(t)与上市时间t的关系为 每件样品的销售利润 与上市时间t

3t ,0 ≤ t ≤ 20, h(t ) = 60,20 < t ≤ 40.
故国外和国内的日销售利润之和F 故国外和国内的日销售利润之和F(t)与上市时间t的 与上市时间t 关系为

3 2 3t ( 20 t + 8t ),0 ≤ t ≤ 20, 3 2 F (t ) = 60( t + 8t ),20 < t ≤ 30 20 3 2 60( 20 t + 240),30 < t ≤ 40.

当0≤t≤20时, 0≤t≤20时

3 2 9 3 F (t ) = 3t ( t + 8t ) = t + 24t 2 , 20 20 27 2 27 ∴ F ' (t ) = t + 48t = t (48 t ) ≥ 0, 20 20
∴F(t)在[0,20]上是增函数, 20]上是增函数, ∴F(t)在此区间上的最大值为 F(20)=6 000<6 300. 20) 当20<t≤30时, (t ) = 60( 3 t 2 + 8t ). 20<t≤30时 F 由F(t)=6 解得t 解得t= 300, 160t 300,得3t2-160t+2

20

100=0,

70 (舍去 舍去) (舍去)或t=30. 3

当30<t≤40时, (t ) = 60( 30<t≤40时 F 得F(t)<F(30)=6 300. )<F

由F(t)在(30,40]上是减函数, 30,40]上是减函数,

3 2 t + 240). 20

故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 故国外和国内的日销售利润之和可以恰好等于6 300 万元,为上市后的第30天 万元,为上市后的第30天. 30 探究提高 (1)分段函数主要是每一段自变量变化 (1)分段函数主要是每一段自变量变化 所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题, 所遵循的规律不同,可以先将其当作几个问题,将各 段的变化规律分别找出来,再将其合到一起, 段的变化规律分别找出来,再将其合到一起,要注意 各段自变量的范围,特别是端点值. 各段自变量的范围,特别是端点值. (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁, (2)构造分段函数时,要力求准确、简洁,做到分段 构造分段函数时 合理不重不漏. 合理不重不漏.

知能迁移2 知能迁移2

某公司生产一种电子仪器的固定成本为

000元 每生产一台仪器需增加投入100 100元 20 000元,每生产一台仪器需增加投入100元,已知

1 2 400 x x 总收益满足函数: 总收益满足函数: ( x) = R 2 80 000 其中x是仪器的月产量. 其中x是仪器的月产量.

(0 ≤ x ≤ 400) , ( x > 400)

(1)写出利润f(x)与月产量x的函数关系式; 写出利润f 与月产量x的函数关系式; (2)当月产量为何值时公司所获利润最大?最大 当月产量为何值时公司所获利润最大? 利润是多少元?(总收益=总成本+利润) 利润是多少元?(总收益=总成本+利润) ?(总收益

由题意得, 解 (1)由题意得, 总成本为( 000+100x 总成本为(20 000+100x)元,

1 2 从而 f ( x) = 2 x + 300 x 20 000 (0 ≤ x ≤ 400). 60 000 100 x ( x > 400) 1 0≤x≤400时 (2)当0≤x≤400时, f ( x) = ( x 300) 2 + 25 000, 2 当x=300时,有最大值25 000; =300时 有最大值25 000;
000-100x是减函数, 当x>400时,f(x)=60 000-100x是减函数, >400时 000-100× f(x)<60 000-100×400<25 000. 所以, 所以,当x=300时,有最大值25 000. =300时 有最大值25 所以,当月产量为300台时,公司所获利润最大, 所以,当月产量为300台时,公司所获利润最大,最 300台时 大利润是25 000元 大利润是25 000元.

题型三

函数的综合应用

12分 【例3】 (12分)一位牧民计划用篱笆为他的马群围 一个面积为1 的矩形牧场, 一个面积为1 600 m2的矩形牧场,由于受自然环境 的影响,矩形的一边不能超过a 的影响,矩形的一边不能超过a m,求用最少篱笆 围成牧场后的矩形长与宽. 围成牧场后的矩形长与宽. 解题示范 解 设一边的长为x m,0<x≤a,则宽为 设一边的长为x 0<x 矩形的周长为W 矩形的周长为W, [2分]
1 600 m, x

2 1 600 40 那么W = 2( x + ), 则 W = 2 x + 80, 显然 x x

40 当 x= ,即x = 40时, 若a ≥ 40时, 周长 W 最小, 其最小 x 值为160, 此时, 矩形长与宽都是 40. [6分]

若0<a<40时,由于函数 W = 2 x + 1 600 在区间(0,a] 0<a<40时 在区间(0,a 上是减函数,则当x 上是减函数,则当x=a时,周长W最小,其最小值为 周长W最小, 1 600 此时,矩形长与宽分别是a 2(a + ),此时,矩形长与宽分别是a与 1 600 . a a 10分 [10分] 故当a≥40时 矩形长与宽都是40; 0<a<40时 故当a≥40时,矩形长与宽都是40;当0<a<40时,矩 40 形长与宽分别是a 形长与宽分别是a与 分类讨论是本题的一个重要内容. 探究提高 分类讨论是本题的一个重要内容. 40为标准分为 ≥40,0<a<40两种 为标准分为a 两种. 以40为标准分为a≥40,0<a<40两种. 本题易出现不讨论, 本题易出现不讨论,而直接按重要不等式求最值 的错误. 的错误.
1 600 . a
x

[12分] 12分

知能迁移3 知能迁移3

经市场调查, 经市场调查,某城市的一种小商品在过去

的近20天内的销售量( 的近20天内的销售量(件)与价格(元)均为时间 20天内的销售量 与价格( t(天)的函数,且销售量近似满足g(t)=80-2t(件), 的函数,且销售量近似满足g =80价格近似满足 1 f (t ) = 20 | t 10 | (元). 2 (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t≤20) (1)试写出该种商品的日销售额y与时间t(0≤t 试写出该种商品的日销售额 的函数表达式; 的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. (2)求该种商品的日销售额y的最大值与最小值. 求该种商品的日销售额

解 (1)y=g(t)f(t)

1 = (80 2t ) (20 | t 10 |) 2 40- )(40 4010|) =(40-t)(40-|t-10|)

(30 + t )(40 t ),0 ≤ t < 10, =

(40 t )(50 t ),10 ≤ t ≤ 20.

(2)当0≤t<10时,y的取值范围是[1 200,1 225], 0≤t<10时 的取值范围是[1 在t=5时,y取得最大值为1 225; =5时 取得最大值为1 225; 当10≤t≤20时,y的取值范围是[600,1 200], 10≤t≤20时 的取值范围是[600, 200], 在t=20时,y取得最小值为600. =20时 取得最小值为600. 答 第5天,日销售额y取得最大值为1 225元; 日销售额y取得最大值为1 225元 第20天,日销售额y取得最小值为600元 . 20天 日销售额y取得最小值为600元 600

思想方法 感悟提高
方法与技巧
1.求解函数应用题的一般方法 1.求解函数应用题的一般方法 “数学建模”是解决数学应用题的重要方法,解应 数学建模”是解决数学应用题的重要方法, 用题的一般程序是: 用题的一般程序是: (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; (1)审题:弄清题意,分清条件和结论,理顺数量关系; 审题 (2)建模:将文字语言转化成数学语言, (2)建模:将文字语言转化成数学语言,用数学知识建 建模 立相应的数学模型; 立相应的数学模型; (3)求模:求解数学模型,得到数学结论; (3)求模:求解数学模型,得到数学结论; 求模 (4)还原: (4)还原:将用数学方法得到的结论还原为实际问题 还原 的意义. 的意义.

2.几种重要的函数模型 2.几种重要的函数模型 (1)一次函数模型:f(x)=kx+b (k,b为常数,k≠0); (1)一次函数模型: )=kx+ 为常数, 一次函数模型 kx (2)二次函数模型: 为常数, (2)二次函数模型:f(x)=ax2+bx+c(a,b,c为常数, 二次函数模型 )=ax bx+ a≠0); ≠0); k≠0);

k (3)反比例型函数模型 反比例型函数模型: (3)反比例型函数模型: f ( x) = + b x

(k,b为常数

(4)指数型函数模型: 为常数, (4)指数型函数模型:f(x)=abx+c(a,b,c为常数,a≠0, 指数型函数模型 )=ab b>0,b≠1); >0,b≠1); (5)对数型函数模型: 为常数, (5)对数型函数模型:f(x)=mlogax+n(m,n,a为常数, 对数型函数模型 )=m m≠0,a>0,a≠1); ≠0,a>0,a (6)分段函数模型. (6)分段函数模型. 分段函数模型

失误与防范
1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以, 1.函数模型应用不当,是常见的解题错误.所以,正 函数模型应用不当 确理解题意,选择适当的函数模型. 确理解题意,选择适当的函数模型. 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围, 2.要特别关注实际问题的自变量的取值范围,合理确 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 定函数的定义域. 定函数的定义域. 3.注意问题反馈.在解决函数模型后, 3.注意问题反馈.在解决函数模型后,必须验证这个 注意问题反馈 数学解对实际问题的合理性. 数学解对实际问题的合理性.

定时检测
一、选择题 1.某电信公司推出两种手机收费方式: 1.某电信公司推出两种手机收费方式: 某电信公司推出两种手机收费方式 A种方式是月租20元,B种方式是月 种方式是月租20元 20 租0元.一个月的本地网内打出电话 时间t(分钟)与打出电话费s(元) 时间t 分钟)与打出电话费s 的函数关系如图,当打出电话150分钟时, 的函数关系如图,当打出电话150分钟时,这两种方 150分钟时 式电话费相差 A.10元 A.10元 B.20元 B.20元 C.30元 C.30元 ( D. 40 元 3 )

解析

设A种方式对应的函数解析式为S=k1t+20, 种方式对应的函数解析式为S

B种方式对应的函数解析式为S=k2t, 种方式对应的函数解析式为S

1 =100时 100k +20=100k ∴ 当t=100时,100k1+20=100k2, k 2 k1 = , 5 =150时 150k 150k 当t=150时,150k2-150k1-20= 150 × 1 20 = 10. 5 答案 A

2.由方程x |+y |=1确定的函数y 2.由方程x|x|+y|y|=1确定的函数y=f(x)在(-∞,+∞) 由方程 确定的函数 ∞,+∞) 上是 A.增函数 A.增函数 C.先增后减 C.先增后减 解析 B.减函数 B.减函数 D.先减后增 D.先减后增 (B )

①当x≥0且y≥0时,x2+y2=1, ≥0且 ≥0时

②当x>0且y<0时,x2-y2=1, >0且 <0时 ③当x<0且y>0时,y2-x2=1, <0且 >0时 ④当x<0且y<0时,无意义. <0且 <0时 无意义. 由以上讨论作图如右, 由以上讨论作图如右, 易知是减函数. 易知是减函数.

3.国家规定个人稿费纳税办法是: 不超过800 800元的不纳 3.国家规定个人稿费纳税办法是: 不超过800元的不纳 国家规定个人稿费纳税办法是 元的按超过800 税;超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分 超过800元而不超过4 000元的按超过800元部分 800元而不超过 元的按全部稿酬的11%纳税. 的14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税. 14%纳税;超过4 000元的按全部稿酬的11%纳税 纳税 已知某人出版一本书,共纳税420元 已知某人出版一本书,共纳税420元,这个人应得稿 420 费(扣税前)为 扣税前) 800元 A.2 800元 ( ) 800元 C.3 800元 818元 D.3 818元

000元 B.3 000元

解析

设扣税前应得稿费为x 设扣税前应得稿费为x元,则应纳税额为分段

函数,由题意, 函数,由题意,得

0 y = ( x 800) ×14% 11% x

(0 ≤ x ≤ 800) (800 < x ≤ 4 000). ( x > 4 000)

如果稿费为4 000元应纳税为448元,现知某人共纳税 元应纳税为448 如果稿费为4 000元应纳税为448元 420元 所以稿费应在800~ 000元之间 元之间, 420元,所以稿费应在800~4 000元之间, 800 ∴(x 800)×14%=420,∴x ∴(x-800)×14%=420,∴x=3 800. 答案 C

4.某医药研究所开发一种新药, 4.某医药研究所开发一种新药,如 某医药研究所开发一种新药 果成年人按规定的剂量服用, 果成年人按规定的剂量服用,据 监测, 监测,服药后每毫升血液中的含 药量y 微克)与时间t 小时) 药量y(微克)与时间t(小时)之 间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定, 间近似满足如图所示的曲线.据进一步测定,每毫 升血液中含药量不少于0.25微克时,治疗疾病有 升血液中含药量不少于0.25微克时, 0.25微克时 效,则服药一次治疗该疾病有效的时间为( 则服药一次治疗该疾病有效的时间为( A.4 小时 15 C. 4 小时 16 B.4 7 小时
8



D.5 小时

解析

1 ( )t 3 = 0.25, =0.25, =0.25或 令y=0.25,得4t=0.25或 2

1 t a 过点M(1,4)得 =3,k 由 y = kt , y = ( 2 ) 过点M(1,4)得a=3,k=4.

1 ∴ t1 = 或t 2 = 5, 16 1 15 t 2 t1 = 5 = 4 (小时). 16 16

因此服药一次治疗疾病有效时间为 4 答案 C

15 小时. 16

5.某产品的总成本y 万元)与产量x 5.某产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数 某产品的总成本 关系是y 000+20x 0.1x (0<x<240,x ),若每台 关系是y=3 000+20x-0.1x2(0<x<240,x∈N*),若每台 产品的售价为25万元,则生产者不亏本时( 产品的售价为25万元,则生产者不亏本时(销售收 25万元 入不小于总成本) 入不小于总成本)的最低产量是 A.100台 A.100台 解析 B.120台 B.120台 C.150台 C.150台 设利润为f(x)(万元), 设利润为f 万元) ( C) D.180台 D.180台

000+20x 0.1x 则f(x)=25x-(3 000+20x-0.1x2) )=25x =0.1x +5x =0.1x2+5x-3 000≥0, ∴x ≥150.

6.已知a>0且 ≠1, ∈(-1,1)时均有 时均有f 6.已知a>0且a≠1,f(x)=x2-ax,当x∈(-1,1)时均有f(x) 已知 )=x 1 则实数a < , 则实数a的取值范围是 ( ) 2 A. (0, 1 ] ∪ [2,+∞) B.[ 1 ,1) ∪ (1,4] 2 4 C. [ 1 ,1) ∪ (1,2] D. (0, 1 ] ∪ [4,+∞) 2 4

由题意可知 a x > x 2 1 2 上恒成立, 在(-1,1)上恒成立, 1 令y1 =ax , y 2 = x 2 , 2 由图象知: 由图象知: 解析

1 1 2 a ≥ (1) 2 , 1 1 2 1 ∴ ≤ a < 1或1 < a ≤ 2. a ≥1 , 2 2 a > 0且a ≠ 1,
答案 C

二、填空题

2 7.计算机的价格大约每3年下降 , 那么今年花8 100元 7.计算机的价格大约每3 那么今年花8 100元 计算机的价格大约每 3 买的一台计算机,9年后的价格大约是_____ ,9年后的价格大约是_____元 买的一台计算机,9年后的价格大约是_____元. 300
解析 设计算机价格平均每年下降p 设计算机价格平均每年下降p%,

1 = (1 p%)3 , 3 1 1 3 ∴ p% = 1 ( ) , 3 ∴9年后的价格
由题意可得

1 3 1 3 9 y = 8 100[1 + ( ) 1] = 8 100 × ( ) = 300(元). 3 3

1

8.设函数f )=x |+bx+ 8.设函数f(x)=x|x|+bx+c,给出下列命题: 设函数 bx 给出下列命题: ①b=0,c>0时,方程f(x)=0只有一个实数根; =0,c>0时 方程f )=0只有一个实数根; 只有一个实数根 ②c=0时,y=f(x)是奇函数; =0时 是奇函数; ③方程f(x)=0至多有两个实根. 方程f )=0至多有两个实根. 至多有两个实根 上述三个命题中所有正确命题的序号为 解析
x 2 + c ( x ≥ 0) ①f ( x ) = x | x | + c = 2 , x + c ( x < 0)

.

如图① 曲线与x轴只有一个交点, 如图①,曲线与x轴只有一个交点, 所以方程f )=0只有一个实数根,正确. 所以方程f(x)=0只有一个实数根,正确. 只有一个实数根

②c=0时,f(x)=x|x|+bx,显然是奇函数. =0时 )=x |+bx,显然是奇函数. bx ③当c=0,b<0时, =0,b<0时

x 2 + bx ( x ≥ 0) f ( x) = x | x | +bx = 2 . x + bx ( x < 0) 如图② 方程f )=0可以有三个实数根 可以有三个实数根. 如图②,方程f(x)=0可以有三个实数根.
综上所述,正确命题的序号为①②. 综上所述,正确命题的序号为①②. ①② 答案 ①②

9.已知f )=9.已知f(x)=-logcos 已知 解析

φ(x

2-ax+3a)(φ为锐角),在区间 ax+3 +3a 为锐角)

4<a [2,+∞)上为增函数,则实数a的取值范围是 -4<a≤4 . 2,+∞)上为增函数,则实数a 上为增函数 ax+3 +3a 令u=x2-ax+3a,∵0<cos φ<1, 在定义域内为减函数, φu在定义域内为减函数,
φ(x
2-ax+3a)在[2,+∞)上为增函数, ax+3 +3a 2,+∞)上为增函数 上为增函数,

∴y=logcos

∴f(x)=-logcos )=-

则u=x2-ax+3a>0在[2,+∞)上恒成立,且为增函数, ax+3 >0在 2,+∞)上恒成立 且为增函数, +3a 上恒成立,
a ≤2 所以 2 , 解得 4 < a ≤ 4. u (2) = 4 2a + 3a > 0

三、解答题 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用,管理这些 10.某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用, 某旅游点有50辆自行车供游客租赁使用 自行车的费用是每日115元 根据经验, 自行车的费用是每日115元.根据经验,若每辆自行车 115 的日租金不超过6 的日租金不超过6元,则自行车可以全部租出;若超 则自行车可以全部租出; 出6元,则每超过1元,租不出的自行车就增加3辆. 则每超过1 租不出的自行车就增加3 为了便于结算,每辆自行车的日租金x 为了便于结算,每辆自行车的日租金x(元)只取整 数,并且要求出租自行车一日的总收入必须高于这 一日的管理费用, 一日的管理费用,用y(元)表示出租自行车的日净 收入( 收入(即一日中出租自行车的总收入减去管理费用后 的所得) 的所得).

(1)求函数y (1)求函数y=f(x)的解析式及其定义域; 求函数 的解析式及其定义域; (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时, (2)试问当每辆自行车的日租金为多少元时,才能使 试问当每辆自行车的日租金为多少元时 一日的净收入最多? 一日的净收入最多? 解 (1)当x≤6时,y=50x-115, ≤6时 =50x 令50x-115>0,解得x>2.3. 50x 115>0,解得x ∵x∈N*,∴x≥3,∴3≤x≤6,x∈N*, ≥3, 3≤x≤6, 当x>6时,y=[50-3(x-6)]x-115. >6时 =[5068x 令[50-3(x-6)]x-115>0,有3x2-68x+115<0, [50115>0,有 上述不等式的整数解为2≤x (x 上述不等式的整数解为2≤x≤20 (x∈N*), 2≤ ∴6<x (x ∴6<x≤20 (x∈N*).

50 x 115 (3 ≤ x ≤ 6, x ∈ N * ) 故 y= , 2 * 3x + 68 x 115 (6 < x ≤ 20, x ∈ N )
定义域为{ |3≤x≤20,x 定义域为{x|3≤x≤20,x∈N*}. (2)对于y=50x (3≤x≤6,x (2)对于y=50x-115 (3≤x≤6,x∈N*). 对于 显然当x=6时 =185(元 显然当x=6时,ymax=185(元), 对于y +68x 对于y=-3x2+68x-115

34 2 811 = 3( x ) + (6 < x ≤ 20, x ∈ N * ). 3 3 =11时 =270( 当x=11时,ymax=270(元).
∵270>185, ∵270>185, ∴当每辆自行车的日租金定在11元时,才能使一日的 当每辆自行车的日租金定在11元时, 11元时 净收入最多. 净收入最多.

11.通过研究学生的学习行为,专家发现, 11.通过研究学生的学习行为,专家发现,学生的注意 通过研究学生的学习行为 力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时, 力随着老师讲课时间的变化而变化,讲课开始时, 学生的兴趣激增;中间有一段时间, 学生的兴趣激增;中间有一段时间,学生的兴趣保持 较理想的状态,随后学生的注意力开始分散, 较理想的状态,随后学生的注意力开始分散,设f(t) 表示学生注意力随时间t 分钟)的变化规律( 表示学生注意力随时间t(分钟)的变化规律(f(t) 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知: 越大,表明学生注意力越集中),经过实验分析得知: ),经过实验分析得知

t 2 + 24t + 100,0 < t ≤ 10, f (t ) = 240,10 < t ≤ 20, 7t + 380,20 < t ≤ 40.

(1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中? (1)讲课开始后多少分钟,学生的注意力最集中?能 讲课开始后多少分钟 持续多少分钟? 持续多少分钟? (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较, (2)讲课开始后5分钟与讲课开始后25分钟比较,何时 讲课开始后 25分钟比较 学生的注意力更集中? 学生的注意力更集中? (3)一道数学难题,需要讲解24分钟,并且要求学生 (3)一道数学难题,需要讲解24分钟, 一道数学难题 24分钟 的注意力至少达到180,那么经过适当安排, 的注意力至少达到180,那么经过适当安排,教师能 180 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目? 否在学生达到所需的状态下讲授完这道题目?



(1)当0<t≤10时,f(t)=-t2+24t+100 0<t≤10时 )=- +24t

+244是增函数 是增函数, (10)=240; =-(t-12)2+244是增函数,且f(10)=240; 当20<t≤40时,f(t)=-7t+380是减函数, 20<t≤40时 )=- +380是减函数, 是减函数 且f(20)=240. 所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中, 所以,讲课开始10分钟,学生的注意力最集中,能持 10分钟 续10分钟. 10分钟. 分钟 (2)f(5)=195,f(25)=205, =195, 25)=205, 故讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5 故讲课开始25分钟时,学生的注意力比讲课开始后5 25分钟时 分钟更集中. 分钟更集中.

+24t+100=180, (3)当0<t≤10时,f(t)=-t2+24t+100=180, 0<t≤10时 则t=4; =4; 当20<t≤40时,令f(t)=-7t+380=180, 20<t≤40时 )=t≈28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间 ≈28.57,则学生注意力在180以上所持续的时间 则学生注意力在180 28.57-4=24.57>24, 28.57所以,经过适当安排, 所以,经过适当安排,老师可以在学生达到所需要的 状态下讲授完这道题. 状态下讲授完这道题.

12.某化工厂引进一条先进生产线生产某种 化工产品, 12.某化工厂引进一条先进生产线生产某种 化工产品, 其生产的总成本y 万元)与年产量x 其生产的总成本y(万元)与年产量x(吨)之间的函数
x2 关系式可以近似地表示为y 48x 关系式可以近似地表示为y= -48x+ 5

000,已知 8 000,已知

此生产线年产量最大为210吨 此生产线年产量最大为210吨. 210 本最低,并求最低成本; 本最低,并求最低成本;

(1)求年产量为多少吨时, (1)求年产量为多少吨时,生产每吨产品的平均成 求年产量为多少吨时 (2)若每吨产品平均出厂价为40万元, (2)若每吨产品平均出厂价为40万元,那么当年产量 若每吨产品平均出厂价为40万元
为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? 为多少吨时,可以获得最大利润?最大利润是多少? y (1)每吨平均成本为 万元). 解 (1)每吨平均成本为 (万元). x y x 8 000 x 8 000 则 = + 48 ≥ 2 48 = 32, x 5 x 5 x

x 8 000 =200时取等号 时取等号. 当且仅当 = , 即x=200时取等号.

∴年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元. 年产量为200吨时,每吨平均成本最低为32万元. 200吨时 32万元 (2)设年获得总利润为R (2)设年获得总利润为R(x)万元, 设年获得总利润为 万元,
x2 )=40x =40x +48x 则R(x)=40x-y=40x+48x-8 000 5 2 x =+88x-8 000 +88x 5 1 680(0≤x =(x-220)2+1 680(0≤x≤210). 5

5

x

∵R(x)在[0,210]上是增函数, 0,210]上是增函数, ∴x=210时,R(x)有最大值为 =210时 万元. ∴年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元. 年产量为210吨时,可获得最大利润1 660万元 210吨时
1 (210(210-220)2+1 680=1 660. 5



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