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2015届高三 文科数学阶段性检测试题(8—1)含解析


2015 届高三 文科数学阶段性检测试题(8—1)
集合与常用逻辑用语、基本初等函数、导数及其应用 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. (2014· 天津河西质量调查)设集合 A={4,5,7,9}, B={3,4,7,8,9}, 全集 U=A∪B, 则集合?U(A∩B) 中的元素共有( A.3

个 ) B.4 个 D.6 个 )

A.{x|x<2} C.{x|1<x≤2}

B.{x|-2≤x<1} D.{x|-2≤x≤2} )

7.(2013· 安徽)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 8.(2014· 北京东城期末)有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题;

装 考号

C.5 个

2.(2014· 陕西质检)若集合 A={x||x+1|=x+1},B={x|x2+x<0},则 A∩B=( A.(-1,0) C.(-1,0] B.[-1,0) D.[-1,0]

③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A B”的逆否命题. 其中真命题为( ) B.②③ D.①②③

3.(2014· 浙江金华十校期末)满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( ) B .2 D.4 )

姓名



A.1 C.3

A.①② C.④

1 4.(2014· 南京调研)设集合 P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y= x2-1,x∈P},则 P∩Q=( 2 A.{m|-1≤m<2} B.{m|-1<m<2} D.{-1} )

9.(2014· 辽宁大连期末)已知命题 p:?x∈R, 使 sinx-cosx= 3,命题 q: 集合{x|x2-2x+1=0, x∈R}有 2 个子集, 下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧(綈 q)”是假命题; ③命题“(綈 p)∨(綈 q)”是真命题,正确的个数是( A.0 C .2 B.1 D.3 )

班级

C.{m|m≥2}

1 5.(2013· 山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=( x

线

A.2 C.0

B .1 D.-2

10.(2014· 浙江嘉兴第二次测试)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)]· (x2- 1 x1)>0 恒成立,设 a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( 2 A.b<a<c C.b<c<a B.c<b<a D.a<b<c )

学校

2 6.(2014· 广州综合测试)设全集 I 是实数集 R,M={x|x2>4}与 N={x| ≥1}都是 I 的子集(如 x-1 图所示),则阴影部分所表示的集合为( )

11.(2014· 江苏苏北四市第一次调研)若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足不等式 xf′(x)+f(x)>0 恒 成立,且常数 a,b 满足 a>b,则下列不等式一定成立的是 ( A.af(a)>bf(b) B.af(b)>bf(a) )

1

C.af(a)<bf(b)

D.af(b)<bf(a)

12.(2014· 海口调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),当 x≥2 时,f(x)单调递增, 如果 x1+x2>4,且(x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值为( A.恒小于 0 C.可能为 0 B.恒大于 0 D.可正可负 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(2014· 安徽皖南八校第二次联考)(本小题满分 12 分) 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2014· 苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0, +∞)时,f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________. 已知集合 A={x|2<x<3},集合 B={x|kx2+2x+6k>0}. (1)若 A=B,求实数 k 的值; (2)若 B∩R=R,求实数 k 的取值范围. )

18.(2014· 北京西城抽样测试)(本小题满分 12 分) 1 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x+1<1+ax 对一切正实 16 14.(2014· 东北三校联考)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为________. 15. (2014· 沈阳第二次质量监测)已知函数 f(x)的定义域为 R, 且满足 f(x+3)+f(x)=2, 又当 x∈[- 3,0]时,f(x)= 1 ,则 f(5)=________. x2+1 数均成立.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围.

16.(2014· 辽宁重点中学协作体一模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6) =f(x)+f(3)成立,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 ①f(3)=0; ②直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上) 19.(2014· 广东六校联考)(本小题满分 12 分)
? ?f?x?,x>0, 已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数),x∈R;F(x)=? ?-f?x?,x<0. ?

f?x1?-f?x2? >0,给出下列命题: x1-x2

(1)若 f(-1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 F(x)的表达式;

2

(2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零?

1 (3)当 b>-1 时,若 f(x)≥2bx- 2在 x∈(0,1]内恒成立,求 b 的取值范围. x

请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 20.(2014· 山东青岛质检)(本小题满分 12 分) 22.(2014· 乌鲁木齐地区高三第一次测验)(本小题满分 10 分) 已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 3 1 m (2)函数 y=f(x)的图象在 x=4 处的切线的斜率为 ,若函数 g(x)= x3+x2[f′(x)+ ]在区间(1,3) 2 3 2 上不是单调函数,求 m 的取值范围. 1 已知函数 f(x)= x3-x2+ax-a(a∈R). 3 (1)当 a=-3 时,求函数 f(x)的极值; (2)求证:当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点.

21.(2014· 天津十二区县重点中学第一次联考)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x2-alnx 在区间(1,2]内是增函数,g(x)=x-a x在区间(0,1)内是减函数. (1)求 f(x)、g(x)的表达式; (2)求证:当 x>0 时,方程 f(x)-g(x)=x2-2x+3 有唯一解;

23.(2014· 安徽江南十校素质测试)(本小题满分 10 分) 1 已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x

3

A.3 个 C .5 个 答案:A

B.4 个 D.6 个

解析:由题意得 A∩B={4,7,9},U=A∪B={3,4,5,7,8,9},所以?U(A∩B)={3,5,8}. 2.(2014· 陕西质检)若集合 A={x||x+1|=x+1},B={x|x2+x<0},则 A∩B=( A.(-1,0) C.(-1,0] 答案:A 24.(2014· 长沙模考(一))(本小题满分 10 分) 已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=a· b 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的取值 范围. 3.(2014· 浙江金华十校期末)满足 M?{a1,a2,a3,a4},且 M∩{a1,a2,a3}={a1,a2}的集合 M 的个数是( ) A.1 C .3 B.2 D.4 B.[-1,0) D.[-1,0] )

解析:因为 A={x|x≥-1},B={x|-1<x<0},所以 A∩B={x|-1<x<0}.

解析:由题意得{a1,a2}?M?{a1,a2,a4}, 所以 M={a1,a2}或 M={a1,a2,a4}. 答案:B 1 4.(2014· 南京调研)设集合 P={x|x2-x-2≥0},Q={y|y= x2-1,x∈P},则 P∩Q=( 2 A.{m|-1≤m<2} C.{m|m≥2} B.{m|-1<m<2} D.{-1} )

1 1 1 解析: P={x|x≥2 或 x≤-1}, 又 x∈P 时, y= x2-1∈[- , +∞), 故 Q={y|y≥- }, 故 P∩Q 2 2 2 ={m|m≥2}. 答案:C 1 5.(2013· 山东)已知函数 f(x)为奇函数,且当 x>0 时,f(x)=x2+ ,则 f(-1)=( x A.2 C .0 答案:D 2 6.(2014· 广州综合测试)设全集 I 是实数集 R,M={x|x2>4}与 N={x| ≥1}都是 I 的子集(如 x-1 图所示),则阴影部分所表示的集合为( ) B.1 D.-2 )

解析:因 f(x)为奇函数,故 f(-1)=-f(1)=-(1+1)=-2.

参考答案(教师用卷)
第Ⅰ卷(选择题,共 60 分) 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目 要求的) 1. (2014· 天津河西质量调查)设集合 A={4,5,7,9}, B={3,4,7,8,9}, 全集 U=A∪B, 则集合?U(A∩B) 中的元素共有( ) A.{x|x<2} C.{x|1<x≤2} B.{x|-2≤x<1} D.{x|-2≤x≤2}

4

3-x 解析: M={x|x>2 或 x<-2}, N={x| ≥0}={x|1<x≤3}, 阴影部分所表示的集合为(?RM)∩N x-1 ={x|-2≤x≤2}∩{x|1<x≤3}={x|1<x≤2}. 答案:C 7.(2013· 安徽)“(2x-1)x=0”是“x=0”的( A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 1 1 解析:由(2x-1)x=0 可得 x= 或 0,因为“x= 或 0”是“x=0”的必要不充分条件,故答案 2 2 选 B. 答案:B 8.(2014· 北京东城期末)有下列四个命题: ①“若 xy=1,则 x,y 互为倒数”的逆命题; ②“面积相等的三角形全等”的否命题; ③“若 m≤1,则 x2-2x+m=0 有实数解”的逆否命题; ④“若 A∩B=B,则 A B”的逆否命题. 其中真命题为( A.①② C.④ ) B.②③ D.①②③ )

A.b<a<c C.b<c<a

B.c<b<a D.a<b<c

解析:本题主要考查抽象函数的性质.由函数 f(x+1)为偶函数知 f(x)的对称轴为 x=1. 当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)]· (x2-x1)>0 得到 f(x)在(1,+∞)上是递增的, 1 5 5 所以 f(- )=f( ),所以 f(2)<f( )<f(3).即 b<a<c. 2 2 2 答案:A 11.(2014· 江苏苏北四市第一次调研)若函数 y=f(x)在 R 上可导且满足不等式 xf′(x)+f(x)>0 恒 成立,且常数 a,b 满足 a>b,则下列不等式一定成立的是 ( ) A.af(a)>bf(b) C.af(a)<bf(b) 又 a>b,∴F(a)>F(b). ∴af(a)>bf(b). 答案:A 12.(2014· 海口调研)定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(-x)=-f(x+4),当 x≥2 时,f(x)单调递增, 如果 x1+x2>4,且(x1-2)(x2-2)<0,则 f(x1)+f(x2)的值为( ) A.恒小于 0 C.可能为 0 B.恒大于 0 D.可正可负 B.af(b)>bf(a) D.af(b)<bf(a)

解析:由题意设 F(x)=xf(x),则 F′(x)=xf′(x)+f(x),则 F′(x)>0,∴F(x)为单调增函数,

解析:①中逆命题为“若 x,y 互为倒数,则 xy=1”,为真命题. ②中否命题为“若两三角形面积不相等,则两三角形不全等”,为真命题. ③中 x2-2x+m=0 有实数解?Δ=4-4m≥0?m≤1, 故原命题正确,其逆否命题为真命题. ④若 A∩B=B,则 B?A,为假命题,故其逆否命题为假命题. 答案:D 9.(2014· 辽宁大连期末)已知命题 p:?x∈R, 使 sinx-cosx= 3,命题 q: 集合{x|x2-2x+1=0, x∈R}有 2 个子集, 下列结论: ①命题“p∧q”是真命题; ②命题“p∧(綈 q)”是假命题; ③命题“(綈 p)∨(綈 q)”是真命题,正确的个数是( ) A.0 C.2 B .1 D.3

解析:可以由 f(x)=-f(4-x)得函数图象关于点(2,0)成中心对称直观解答;也可直接推理,由(x1 -2)(x2-2)<0 不妨设 x1>2,x2<2,由条件得 f(x2)=-f(4-x2),故 f(x1)+f(x2)=f(x1)-f(4-x2),由 x2<2 且 x1+x2>4?x1>4-x2>2,由于函数在[2,+∞)上为增函数,可得 f(x1)>f(4-x2),故选 B. 答案:B 第Ⅱ卷(非选择题,共 90 分) 本卷包括必考题和选考题两部分,第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做答,第 22 题~第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.(2014· 苏、锡、常、镇四市第二次情况调查)设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,若当 x∈(0, +∞)时,f(x)=lgx,则满足 f(x)>0 的 x 的取值范围是________.

π 解析:sinx-cosx= 2sin(x- )∈[- 2, 2],而 3?[- 2, 2],故命题 p 是假命题;集合{x|x2 4 -2x+1=0,x∈R}={1},故其子集有 ? 与{1}两个,故命题 q 是真命题,所以命题“p∧q”是假命 题,命题“p∧(綈 q)”是假命题,命题“(綈 p)∨(綈 q)”是真命题,②③正确. 答案:C 10.(2014· 浙江嘉兴第二次测试)已知函数 f(x+1)是偶函数,当 x2>x1>1 时,[f(x2)-f(x1)]· (x2- 1 x1)>0 恒成立,设 a=f(- ),b=f(2),c=f(3),则 a,b,c 的大小关系为( ) 2

解析:根据题意,画出 y=f(x)的草图如图所示,则 f(x)>0 的 x 的取值范围是(-1,0)∪(1,+∞). 答案:(-1,0)∪(1,+∞) 14.(2014· 东北三校联考)曲线 y=xex+2x+1 在点(0,1)处的切线方程为________. 解析:∵f′(x)=ex+xex+2,∴f′(0)=3, ∴函数 f(x)在点(0,1)处的切线方程为 y-1=3x,即 y=3x+1. 答案:y=3x+1

5

15. (2014· 沈阳第二次质量监测)已知函数 f(x)的定义域为 R, 且满足 f(x+3)+f(x)=2, 又当 x∈[- 1 3,0]时,f(x)= 2 ,则 f(5)=________. x +1 解析:由 f(x+3)=2-f(x)得, f(x+6)=f(x+3+3)=2-f(x+3)=2-(2-f(x))=f(x), ∴函数 f(x)的周期为 6, 1 1 ∴f(5)=f(5-6)=f(-1)= = . 1+1 2 1 答案: 2 16.(2014· 辽宁重点中学协作体一模)已知函数 y=f(x)是 R 上的偶函数,对于 x∈R 都有 f(x+6) f?x1?-f?x2? =f(x)+f(3)成立,当 x1,x2∈[0,3],且 x1≠x2 时,都有 >0,给出下列命题: x1-x2 ①f(3)=0; ②直线 x=-6 是函数 y=f(x)的图象的一条对称轴; ③函数 y=f(x)在[-9,-6]上为增函数; ④函数 y=f(x)在[-9,9]上有四个零点. 其中所有正确命题的序号为________.(把所有正确命题的序号都填上)

?k>0, ? 6 ∴? 解得 k> , 2 6 ?Δ=4-24k <0, ?

∴k 的取值范围是{k|k>

6 }. 6

18.(2014· 北京西城抽样测试)(本小题满分 12 分) 1 设命题 p:函数 f(x)=lg(ax2-x+ a)的定义域为 R;命题 q:不等式 2x+1<1+ax 对一切正实 16 数均成立.如果命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题,求实数 a 的取值范围. 1 1 解:命题 p 为真命题?函数 f(x)=lg(ax2-x+ a)的定义域为 R?ax2-x+ a>0 对任意实数 x 16 16 均成立. 当 a=0 时,-x>0,解集不为 R,故 a≠0,

?a>0 ? 所以? 1 2 ?a>2.故命题 p 为真命题?a>2. ?1-4a <0 ?
命题 q 为真命题? 2x+1-1<ax 对一切正实数 x 均成立?a> = 2 对一切正实数 x 均成立, 2x+1+1 2x+1-1 2x = x x? 2x+1+1?

由于 x>0,所以 2x+1>1,所以 2x+1+1>2, 2 所以 0< <1,所以命题 q 为真命题?a≥1. 2x+1+1 解析:由已知 f(x+6)=f(x)+f(3),令 x=-3 得 f(3)=f(-3)+f(3),则 f(-3)=0,又函数为偶函 数,故 f(-3)=f(3)=0,故①正确.据此可得 f(x+6)=f(x),即函数以 6 为周期,由条件还可知函数 在[0,3]上递增,据此可作出满足题意的函数图象如图: 观察图象可知函数在[-9,-6]上递减,即③错,②④均正确,故应填①②④. 答案:①②④ 三、解答题(本大题共 6 小题,解答时应写出必要的文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(2014· 安徽皖南八校第二次联考)(本小题满分 12 分) 已知集合 A={x|2<x<3},集合 B={x|kx2+2x+6k>0}. (1)若 A=B,求实数 k 的值; (2)若 B∩R=R,求实数 k 的取值范围. 解:(1)∵B=A={x|2<x<3}, ∴kx2+2x+6k=0 有两个实数根 2,3,且 k<0, 根据题意知,命题 p 与 q 有且只有一个是真命题,当命题 p 为真命题且命题 q 为假命题时,a 不 存在;当命题 p 为假命题且命题 q 为真命题时,a 的取值范围是[1,2]. 综上,命题 p 或 q 为真命题,命题 p 且 q 为假命题时,实数 a 的取值范围是[1,2]. 19.(2014· 广东六校联考)(本小题满分 12 分)
? ?f?x?,x>0, 已知函数 f(x)=ax2+bx+1(a,b 为实数),x∈R;F(x)=? ?-f?x?,x<0. ?

(1)若 f(-1)=0,且函数 f(x)的值域为[0,+∞),求 F(x)的表达式; (2)在(1)的条件下,当 x∈[-2,2]时,g(x)=f(x)-kx 是单调函数,求实数 k 的取值范围; (3)设 mn<0,m+n>0,a>0,且 f(x)为偶函数,判断 F(m)+F(n)能否大于零? 解:(1)∵f(-1)=0,∴a-b+1=0, 又 x∈R,f(x)≥0 恒成立,
? ?a>0, ∴? ∴b2-4(b-1)=0,解得 b=2,a=1, 2 ?Δ=b -4a=0, ?

? ?2+3=-2. k ∴? 6k ? ?2×3= k ,

k<0,

2 ∴k=- . 5

∴f(x)=x2+2x+1=(x+1)2,
??x+1?2,x>0, ? F(x)=? 2 ? ?-?x+1? ,x<0.

(2)∵B∩R=R,∴B=R,

(2)g(x)=f(x)-kx=x2+2x+1-kx

6

2-k 2 ?2-k?2 =x2+(2-k)x+1=(x+ ) +1- , 2 4 k-2 k-2 当 ≥2 或 ≤-2,即 k≥6 或 k≤-2 时,g(x)是单调函数, 2 2 ∴k 的取值范围是(-∞,-2]∪[6,+∞). (3)∵f(x)是偶函数,∴f(x)=ax2+1,
?ax2+1,x>0, ? F(x)=? 2 ?-ax -1,x<0. ?

即 a≥2 x,x∈(0,1). ∵上式恒成立,∴a≥2.② 由①②得 a=2,∴f(x)=x2-2lnx,g(x)=x-2 x. (2)由(1)可知,方程 f(x)-g(x)=x2-2x+3, 即 x+2 x-2lnx-3=0. 设 h(x)=x+2 x-2lnx-3,则 h′(x)=1+ 1 2 - . x x

令 h′(x)>0,并由 x>0,得 x+ x-2>0,解得 x>1; 令 h′(x)<0,并由 x>0,解得 0<x<1. 列表分析: x h′(x) h(x) 知 h(x)在 x=1 处取得最小值 0, 当 x>0 且 x≠1 时,h(x)>0, ∴h(x)=0 在(0,+∞)上只有一个解, 即当 x>0 时,方程 f(x)-g(x)=x2-2x+3 有唯一解. 1 1 (3)由题意知 f(x)≥2bx- 2,即 x2-2lnx-2bx+ 2≥0, x x 1 设 φ(x)=x2-2lnx-2bx+ 2, x 1 1 则 φ′(x)=2[(x- )-(b+ 3)]. x x ∵x∈(0,1],b>-1,∴φ′(x)<0, ∴φ(x)在(0,1]上为减函数, ∴φ(x)min=φ(1)=2-2b≥0. 又 b>-1,∴-1<b≤1,∴b 的取值范围为(-1,1]. 请考生在第 22、23、24 三题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22.(2014· 乌鲁木齐地区高三第一次测验)(本小题满分 10 分) 1 已知函数 f(x)= x3-x2+ax-a(a∈R). 3 (1)当 a=-3 时,求函数 f(x)的极值; (2)求证:当 a≥1 时,函数 f(x)的图象与 x 轴有且只有一个交点. 解:(1)当 a=-3 时,f′(x)=x2-2x-3,令 f′(x)=0 得 x1=-1,x2=3.分区间讨论函数的单调 14 性知 f(x)的极大值为 ,极小值为-6. 3 (2)求导得 f′(x)=x2-2x+a,由 a≥1,得 Δ=4-4a≤0,易知原命题成立. 23.(2014· 安徽江南十校素质测试)(本小题满分 10 分) 1 已知函数 f(x)的图象与函数 h(x)=x+ +2 的图象关于点 A(0,1)对称. x (0,1) - 递减 1 0 极小值 0 (1,+∞) + 递增

∵mn<0,m+n>0,设 m>n,则 n<0, ∴m>-n>0.∴|m|>|n|, 于是有 F(m)+F(n)=f(m)+f(n)=(am2+1)-an2-1=a(m2-n2)>0, ∴F(m)+F(n)能大于零. 20.(2014· 山东青岛质检)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=alnx-ax-3(a∈R). (1)求函数 f(x)的单调区间; 3 1 m (2)函数 y=f(x)的图象在 x=4 处的切线的斜率为 ,若函数 g(x)= x3+x2[f′(x)+ ]在区间(1,3) 2 3 2 上不是单调函数,求 m 的取值范围. a?1-x? 解:(1)f′(x)= (x>0), x 当 a>0 时,f(x)的单调增区间为(0,1],单调减区间为(1,+∞); 当 a<0 时,f(x)的单调增区间为(1,+∞),单调减区间为(0,1]; 当 a=0 时,f(x)不是单调函数. 3a 3 1 m (2)由 f′(4)=- = 得 a=-2,则 f(x)=-2lnx+2x-3,∴g(x)= x3+( +2)x2-2x, 4 2 3 2 ∴g′(x)=x2+(m+4)x-2. ∵g(x)在区间(1,3)上不是单调函数,且 g′(0)=-2,

? ? ? ?g′?1?<0, ∴? ∴? 19 ?g′?3?>0, ? ?m>- ,
m<-3, 3

?

19 ∴m∈(- ,-3). 3

21.(2014· 天津十二区县重点中学第一次联考)(本小题满分 12 分) 已知函数 f(x)=x2-alnx 在区间(1,2]内是增函数,g(x)=x-a x在区间(0,1)内是减函数. (1)求 f(x)、g(x)的表达式; (2)求证:当 x>0 时,方程 f(x)-g(x)=x2-2x+3 有唯一解; 1 (3)当 b>-1 时,若 f(x)≥2bx- 2在 x∈(0,1]内恒成立,求 b 的取值范围. x a 解:(1)f′(x)=2x- ,(x>0)依题意 f′(x)≥0,x∈(1,2],即 a≤2x2,x∈(1,2]. x ∵上式恒成立,∴a≤2.① a 又 g′(x)=1- ,(x>0)依题意 g′(x)≤0,x∈(0,1), 2 x

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(1)求 f(x)的解析式; a (2)若 g(x)=f(x)+ ,且 g(x)在区间(0,2]上为减函数,求实数 a 的取值范围. x 解:(1)任取 f(x)上一点 B(x,y),其关于 A(0,1)对称的点为 B′(-x,2-y),又点 B′在函数 h(x) 1 上,代入可得 f(x)=x+ . x x2-?1+a? (2)代入求导得 g′(x)= ,由 1+a>0 或 1+a≤0 分类讨论易得 a 的取值范围为[3,+ x2 ∞). 24.(2014· 长沙模考(一))(本小题满分 10 分) 已知向量 a=(x2,x+1),b=(1-x,t),若函数 f(x)=a· b 在区间(-1,1)上是增函数,求 t 的取值 范围. 解:利用向量乘法得 f(x)=-x3+x2+tx+t,求导令 f′(x)≥0?t≥3x2-2x 在(-1,1)上恒成立, 易得 t 的取值范围为[5,+∞).

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