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专题20直线与圆的位置关系含答案


专题 20
阅读与思考

直线与圆的位置关系(1)

圆心到直线的距离与圆的半径的大小量化确定直线与圆的相离、 相切、 相交三种位置关系.直线与圆相 切是研究直线与圆的位置关系的重点.与切线相关的知识,包括弦切角、切线的性质和判断、切线长定理、 切割线定理等. 证明一直线是圆的切线是平面几何问题中一种常见的题型,证明的基本方法有: 1.利用定义,判断直线和圆只有一个公共点; 2.当已知一条直线和圆有一个公共点时,就把圆心和这个公共点连接起来,再证明这条半径和直线垂 直; 3.当直线和圆的公共点没有确定时,就过圆心作直线的垂线,再证明圆心到直线的距离等于半径. 熟悉如下基本图形和以上基本结论.

例题与求解
【例 1】如图,已知 AB 为⊙O 的直径,CB 切⊙O 于点 B,CD 切⊙O 于点 D,交 BA 的延长线于 E. 若 AB=3,DE=2,则 BC 的长为( ) (青岛市中考试题) A.2 B.3 C.3.5 D.4

C D E

O
O B

A

A

D B

C

例 1 题图 例 2 题图 解题思路:本例包含了切线相关的丰富性质,从 C 点看可应用切线长定理,从 E 点看可应用切割线定 理,又 EC 为⊙O 的切线,可应用切线性质,故解题思路广阔. 【例 2】如图,⊙O 是△ABC 的外接圆,已知∠ACB=45°,∠ABC=120°,⊙O 的半径为 1. (1) 求弦 AC,AB 的长; (2) 若 P 为 CB 的延长线上一点,试确定 P 点的位置,使 PA 与⊙O 相切,并证明你的结论. (哈尔滨市中考试题) 解题思路:第(2)题是考查探索能力的开放性几何题,只要探求得 PB 与 BC,或 PC 与 BC 的关系,或 求得 PB 或 PC 的长,点 P 的位置即可确定.

【例 3】已知△ABC 是⊙O 的内接三角形,BT 为⊙O 的切线,B 为切点,P 为直线 AB 上一点.过点 P 作 BC 的平行线交 BT 于点 E,交直线 AC 于点 F. (1) 当点 P 在线段 AB 上时(如图),求证:PA?PB=PE?PF; (2) 当点 P 为线段 BA 的延长线上一点时,第(1)题的结论还成立吗?如果成立,请证明;如果不成立, 请说明理由. (北京市中考试题)

A P

F O B C

A C O T B T

E

解题思路:本例是“运动型”的开放性问题,要求点在运动变化中,判断原结论是否成立,通过观察、 比较、归纳、分析等系列活动,逐步确定应有的结论. 【例 4】已知:如图 1,把矩形纸片 ABCD 折叠,使得顶点 A 与边 DC 上的动点 P 重合(P 不与点 D, C 重合) ,MN 为折痕,点 M,N 分别在边 BC,AD 上.连接 AP,MP,AM,AP 与 MN 相较于点 F,⊙O 过 点 M,C,P. (1) 请你在图 1 中作出⊙O(不写作法,保留作图痕迹) ; (2) AF AP 与 是否相等?请说明理由; AN AD

(3) 随着点 P 的运动,若⊙O 与 AM 相切于点 M 时,⊙O 又与 AD 相切于点 H.设 AB 为 4,请你通过 计算,画出这时的图形(图 2、图 3 供参考). (宜昌市中考试题)

B

M

C

B

M O

C F

B

M O

C F

F A N D A

N

P D

A

N

P D

解题思路:对于(3),只依靠 AB 的长不能画出图形,需求出关键的量,因为∠C=90°,⊙O 过点 M, C,P,故将画出矩形的条件转化为求出 CP(或 MP)的长.当矩形确定后,依据线段 CP 的长,就可确定 P 点的位置. 有些竞赛培优的 Word 初中的一套 小学竞赛培优的视频讲义 小初高 各科视频讲义 新概念 可以 加我 q 468453607 威 信 t442546597 13699771074

【例 5】如图,已知△ABC 内接于⊙O,AD,BD 为⊙O 的切线,作 DE∥BC,交 AC 于点 E,连接 EO 并 延长交 BC 于点 F.求证:BF=FC. (太原市竞赛试题) 解题思路:要证明 BF=FC,只需证 FO⊥BC 即可,连接 OA,OB,OD,将问题转化为证明∠DAO =∠EFC.

A D E O B F C

【例 6】如图,在等腰△ABC 中,已知 AB=AC,∠C 的平分线与 AB 交于点 P,M 是△ABC 的内切⊙I 与 边 BC 的切点,作 MD∥AC,交⊙I 于点 D,求证:PD 是⊙I 的切线. (全国初中数学联赛试题) 解题思路:设⊙I 切 AB 于点 S,连接 IM,IS,ID,直接证明∠PDI=90°困难,不妨证明∠PDI=∠ PSI,即证明△PIS≌△PID.

A P D B M C S I

能力训练 A 级
1. PA, PB 切⊙O 于 A, B, ∠APB=78°, 点 C 是⊙O 上异于 A, B 的任意一点, 则∠ACB=__________. 2.如图,以△ABC 的边 AB 为直径作⊙O 交 BC 于点 D,过点 D 作⊙O 的切线交 AC 于点 E.要使 DE⊥ AC,则△ABC 的边必须满足的条件是__________. (武汉市中考试题)

C E D

B O C P

A

O
第 2 题图

B

A
第 3 题图

3. 如图,PA 切⊙O 于点 A,C 是 ? AB 上任意一点,∠PAB=62°,则∠C 的度数是__________.

(荆门市中考试题) 4.直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠B=90°,AD+BC<DC.若腰 DC 上有一点 P,使 AP⊥BP,则这 样的点( ) A.不存在 B.只有一个 C.只有两个 D.有无数个 5.如图,已知 AB 是⊙O 的直径,CD,CB 是⊙O 的切线,D,B 为切点,OC 交⊙O 于点 E,AE 的 延长线交 BC 于点 F,连接 AD,BD,给出以下四个结论:①AD∥OC;②E 为△CDB 的内心;③FC=FE. 其中正确的结论是 ( ) A.①② B.②③ C.①③ D.①②③ 6.如图,ABCD 为⊙O 的内接四边形,AC 平分∠BAD 并与 BD 相交于 E 点,CF 切⊙O 于点 C 并与 AD 的延长线相交于点 F.图中的四个三角形①△CAF,②△ABC,③△ABD,④△BEC,其中一定相似的是 ( ) (连云港市中考试题) A.①②③ B.②③④ C.①③④ D.①②④

C D A E F O O B B C

A

B

E

O

D F

A E

C

第 5 题图 第 6 题图 第 7 题图 7.如图,△ABC 内接于⊙O,AE 切⊙O 于点 A,BC∥AE. (1) 求证:△ABC 是等腰三角形; (2) 设 AB=10cm,BC=8cm,点 P 是射线 AE 上的点,若以 A,P,C 为顶点的三角形与△ABC 相似, 问这样的点有几个? ( 南昌市中考试题)

8.如图,Rt△ABC 中,∠C=90°,以 AC 为直径的⊙O 交斜边 AB 于点 E,OD∥AB. 求证:(1) ED 是⊙O 的切线; (2) 2DE2=BE?OD.

C O A E D B

9.如图,在△ABC 中,a,b,c 分别是∠A,∠B,∠C 的边,且 a,b 是关于 x 的一元二次方程 x2+ 4(c+2)=(c+4)x 的两个根. 点 D 在 AB 上,以 BD 为直径的⊙O 切 AC 于点 E. (1) 求证:△ABC 是直角三角形; 3 (2) 若 tanA= 时,求 AE 的长. 4 (内蒙古中考试题)

C E B A

O

D

10.如图,在 Rt△ABC 中,∠ABC=90°,以 AB 为直径作⊙O 交 AC 边于点 D,E 是边 BC 中点,连 接 DE. (1) 求证:直线 DE 是⊙O 的切线; (2) 连接 OC 交 DE 于点 F,若 OF=CF,求 tan∠ACO 的值. (武汉市中考试题)

C D F A E B

O

11.如图,⊙O 的半径 r=25,四边形 ABCD 内接于⊙O,AC⊥BD 于点 H,P 为 CA 延长线上一点, 且∠PDA=∠ABD. (1) 试判断 PD 与⊙O 的位置关系,并说明理由; 4 3-3 3 (2) 若 tan∠ADB= ,PA= AH,求 BD 的长; 4 3 (3) 在(2)的条件下,求四边形 ABCD 的面积. (成都市中考试题)

D P H C O

A

B

B 级
1.如图,AB 是⊙O 的直径,CD 是弦,过点 C 的切线与 AD 的延长线交于点 E.若∠DAB=56°, ∠ABC=64°,则∠CED=__________.

? 上的一点,则∠EPF 2.如图,⊙O 与矩形 ABCD 的边 AD,AB,BC 分别相切于点 E,F,G,P 是 EG
=__________. (广州市中考试题)

E D C

A F

E O

D

M A P N

B Q O C

A

O

B

B

G

C

第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图 3.如图,直线 AB,AC 与⊙O 分别相切于点 B,C 两点,P 为圆上一点,P 到 AB,AC 的距离分别为 4cm,6cm,那么 P 到 BC 的距离为__________cm. (全国初中数学联赛试题) 4.如图,在 Rt△ABC 中,∠A=90°,⊙O 分别与 AB,AC 相切于点 E,F,圆心 O 在 BC 上,若 AB =a,AC=b,则⊙O 的半径等于( ) A. ab a+b B. 2 ab C. a+b a+b D. ab

5. 如图, 在⊙O 的内接△ABC 中, ∠ABC=30°, AC 的延长线与过点 B 的⊙O 的切线相交于点 D. 若 ⊙O 的半径 OC=1,BD∥OC,则 CD 的长为( ) A.1+ 3 3 2 3 B. 3 C. 3 3 D. 2

A F E B O C
A O B

D E O F
C D

C B

A

第 4 题图 第 5 题图 第 6 题图 6.如图,⊙O 的内接△ABC 的外角∠ACE 的平分线交⊙O 于点 D.DF⊥AC,垂足为 F,DE⊥BC,

? .其 垂足为 E.给出以下四个结论:①CE=CF;②∠ACB=∠EDF;③DE 是⊙O 的切线;④ ? AD = BD
中正确的结论是( A.①②③ ) B.②③④ C.①③④ D.①②④ ( 苏州市中考试题)

7.如图,已知 AC 切⊙O 于点 C,CP 为⊙O 的直径,AB 切⊙O 于点 D,与 CP 的延长线交于点 B.若 AC=PC. 求证:(1) BD=2BP;(2) PC=3BP. ( 天津市中考试题)

A D B P O C

8.如图,在直角梯形 ABCD 中,AD∥BC,∠ABC=90°,AB=12cm,AD=8cm,BC=22cm,AB 为 ⊙O 的直径.动点 P 从点 A 开始沿 AD 边向点 D 以 1cm/s 的速度运动,动点 Q 从点 C 开始沿 CB 边向点 B 以 2cm/s 的速度运动. P,Q 分别从点 A,C 同时出发,当其中一个动点到达端点时,另一个动点也随之停 止.设运动时间为 t(s). (1) 当 t 为何值时,四边形 PQCD 为平行四边形? (2) 当 t 为何值时,PQ 与⊙O 相切? (呼和浩特市中考试题)

A P O B

D

Q

C

9.如图,已知在△ABC 中,∠ABC=90°,O 是 AB 上一点,以 O 为圆心,OB 为半径的半圆与 AB 交于 点 E,与 AC 切于点 D,AD=2,AE=1.求证:S△AOD,S△BCD 是方程 10x2-51x+54=0 的两个根. (河南 省中考试题)

C D A B

E

O

10.如图,点 O 在∠APB 的平分线上,⊙O 与 PA 相切于点 C. (1) 求证:直线 PB 与⊙O 相切; (2) PO 的延长线与⊙O 交于点 E,若⊙O 的半径为 3,PC=4,求弦 CE 的长.(武汉市中考试题)

A

C O D

E

B

4 11.如图,直线 y= x+4 交 x 轴于点 B,交 y 轴于点 A,⊙O′过 A,O 两点. 3 (1) 如图 1,若⊙O′交 AB 于点 C,当 O′在 OA 上时,求弦 AC 的长; (2) 如图 2,当⊙O′与直线 l 相切于点 A 时,求圆心 O′的坐标; (3) 当 O′A 平分△AOB 的外角时,请画出图形,并求⊙O′的半径的长.

y A A C B O O' x B O

y

y A O' x B O x

12.如图,AB 是⊙O 的直径,AB=d,过点 A 作⊙O 的切线并在其上取一点 C,使 AC=AB,连接 OC 交⊙O 于点 D,BD 的延长线交 AC 于点 E. 求 AE 的长. (四川省竞赛试题)

B

O A

D E C

专题 20 直线与圆的位置关系(1)
例 1、B 提示:连接 OD ,则 ?ODE ~ ?CBE 例 2、 (1) AC ? 3 , AB ? 2 (2)提示:若 PA 是⊙ O 的切线,则 PA ? AO ,又

PB AD ? ,? ?AOD ? 90?,?OAC ? 30? , BC DC ?AOC ? 120? ,? AD ? 2OD ? 2 DC ,? PB ? 2 BC ,即当 PB ? 2 BC 时, PA 是 ⊙ O 的切线 例 3、 提示(1)证明 ?PFA ~ ?PBE (2)当 P 为 BA 延长线上一点时,第(1)题的

BO ? AO ,得 PA ∥ BD ,?

结论仍成立 例 4、 (1)略

AF AP AF AP ? ? ,理由如下:假设 ,则 MN ∥ CD 。? ?D ? 90? , AN AD AN AD ? CD ? AD , MN ? AD ,? A 与 P 关于 MN 对称,? MN ? AP ,而 P 与 D 不重 合,这与“过一点( A ) ”只能作一条直线与已知直线( MN )垂直”矛盾,? 假设 AF AP ? 不成立,即 AN AD (3)证明 ? ABM ≌ ?MCP ,得 MC ? AB ? 4 ,设 PD ? x ,则 CP ? 4 ? x , ? BM ? PC ? 4 ? x ,连接 HO 并延长交 BC 于 J ,则四边形 HDCJ 为矩形,? OJ OJ MO 1 1 1 ? ? ,? OJ ? ? (4 ? x) , OH ? MP ? ∥ CP ,??MOJ ~ ?MPC 得 CP MP 2 2 2 1 4 ? OJ ? (4 ? x) ,? MC 2 ? MP2 ? CP2 ,?(4 ? x)2 ? (4 ? x)2 ? 16 ,解得 x ? 1 2 即 PD ? 1 , PC ? 3 ,? BC ? BM ? MC ? PC ? AB ? 7 ,由此画图
(2)

例 6 连切点半径 IS , IM 和 ID ,得 D,A,E,O 四点共圆,得 SI ? DI ? MI , ?PSI ? ?IMC ? ?IMB ? 90? ,设 ?B ? ?ACB ? 2? ,则 ?PCB ? ? , ?SPI ? ?B ? ?PCB ? 3? ,则 ?SIP ? 90? ? ?SPI ? 90? ? 3? ,? MD ∥ AC ,??DMB ? ?ACB ? 2? , ?IMD ? 90? ? ?DMB ? 90? ? 2? ? ?IDM ??DIM ? 180? ? ?IDM ? ?IMD ? 4? , 而 ?MIC ? 90? ? ?ICM ? 90? ? ? ,??DIP ? 180? ? ?DIM ? ?MIC ? 90? ? 3? ? ?SIP ,? 在 ?PIS 与 ?PID 中, PI ? PI , ?SIP ? ?DIP , SI ? DI , ?PIS ≌ ?PID , ?PDI ? ?PSI ? 90? ,故 PD 是⊙ I 的切线 A级 1、51?或 129? 3、 62 ? 或 118? 5、 A 6、 D

2、 AB ? AC 4、D 提示:以 AB 为直径的圆与 DC 相交

AB 交 AE 于点 P ,则 ?APC ~ 7、(1)略 (2)满足条件的点有两个:?过点 C 作 CP 1∥ 1

C 作⊙ O 的切线交 AE 于点 P2 ,则 ?AP2C ~ ?BCA1 ,这时 AP 1 ? BC ? 8cm ; ?过点 ?CAB ,这时 AP 1 ?
25 cm 2

8、(1)提示:连接 OE ,证明 ?OED ? 90? , OD ?

1 AB , BC ? 2 DE 2

(2)在 Rt ?ACB 中, BC 2 ? BE?AB ,又 BC ? 2 DE ,?(2DE)2 ? BE?AB ,又 AB ? 2 OD ,?(2DE)2 ? BE ? OD 2OD ,? 2DE 2 ? BE ? 9、(1)由已知,得 x2 ? (c ? 4) x ? 4(c ? 2) ? 0 ,由两根关系得 a ? b ? c ? 4 , ab ? c ? 2 ,

?a2 ? b2 ? (a ? b)2 ? 2ab ? (c ? 4)2 ? 8(c ? 2) ? c2 ,??ABC 是直角三角形
(2)提示:连接 OE ,则 OE ∥ BC , a ? 6 , b ? 8 , c ? 10 , AE ? 5 10、(1)连接 OD , OE , BD ,? AB 是⊙ O 的直径,??CDB ? ?ADB ? 90? , ? E 是 BC 的中点,? DE ? CE ? BE ,? OD ? OB , OE ? OF ,? ?ODE ≌ ?OBE , ??ODE ? ?OBE ? 90? ,? 直线 DE 是⊙ O 的切线 1 (2)作 OH ? AC 于点 H ,由(1)知 BD⊥AC,EC=EB.∵OA=OB,∴OE∥AC 且 OE= AC ,∴∠CDF= 2 ∠OEF,∠DCF=∠EOF. ∵CF=OF,∴△DCF≌△EOF,∴DC=OE=AD,∴BA=BC,∴∠A=45°. ∵OH⊥AD,∴OH=AH=DH,∴CH=3OH,故 tan∠ACO= 11. (1)略
OH 1 ? . CH 3 (2)连接 DO 并延长与⊙O 相交于点 E,连接 BE.设 AH=3k.

∵tan∠ADB=

4 3 ?3 3 AH ,AC⊥BD 于点 H. ,PA= 3 4

∴DH=4k,AD=5k,PA= (4 3 ? 3)k ,PH=PA+AH= 4 3k .
DH 3 ? .∴∠P=30°,PD=8k. PH 3 ∵BD⊥AC,∴∠P+∠PDB=90°.

∴tan∠P=

∵PD⊥DE,∴∠PDB+∠BDE=90°.∴∠BDE=∠P=30°. ∵DE 是直径,∴∠DBE=90°,DE=2r=50. ∴BD=DE·cos∠BDE=50·cos30°= 25 3 . (3)连接 CE. ∵DE 是直径,∴∠DCE=90°.
4 ∴CD=DE·sin∠CED=DE·sin∠CAD= 50 ? =40 . 5

∵∠PDA=∠ABD=∠ACD,∠P=∠P,∴△PDA∽△PCD. ∴
8k 5k (4 3 ? 3)k PD DA PA ? ? .∴ . ? ? PC 40 8k PC CD PD

解得 PC=64,k= 4 3 ? 3 .

∴AC=PC-PA=64- (4 3 ? 3)k ? (4 3 ? 3)2 ? 7 ? 24 3 . ∴S 四边形 ABCD=S△ABD+S△CBD=
1 1 1 1 175 3 BD?AH ? BD? CH ? BD?AC ? ? 25 3 ? (7 ? 24 3) ? 900 ? . 2 2 2 2 2

B级 1.86° 2.45° 3.连接 BP,MQ,PC,QN, 由 PM⊥AB,PN⊥AC,PQ⊥BC 可得 P,Q,C,N 四点共圆,P,Q,B,M 四点共圆. 由△MPQ∽△QPN 得 PQ= MP?NP ? 2 6 . 4.C 5.B【提示】连接 OB,过 C 作 CH⊥BD 交 BD 于点 H. ∴OBHC 是正方形,CH=1. ∵∠ABC=30°,∴∠OAC=60°=∠D. 在 Rt△CDH 中, ∴CD= 6.D 7.提示: (1)连接 OD,由△BDO∽△BCA,得 BD= (2)由(1)可知 BC=2BD,BD=2BP,得 BC=4BP, ∴PC+BP=4BP,∴PC=3BP. 8. (1)∵直角梯形 ABCD,AD∥BC, ∴PD∥QC. ∴当 PD=QC 时,四边形 PQCD 是平行四边形. 由题意可知 AP=t,CQ=2t,
8 ∴8-t=2t,3t=8,t= 时,四边形 PQCD 为平行四边形. 3 (2)设 PQ 与⊙O 相切于点 H,过 P 作 PE⊥BC 于 E. ∵直角梯形 ABCD,AD∥BC,∴PE=AB. 有题意可知 AP=BE=t,CQ=2t, ∴BQ=BC-CQ=22-2t,EQ=BQ-BE=22-2t-t=22-3t. ∵AB 为⊙O 的直径,∠ABC=∠DAB=90°, ∴AD、BC 为⊙O 的切线. ∴AP=PH,HQ=BQ. ∴PQ=PH+HQ=AP+BQ=22-t. 在 Rt△PEQ 中,PE2+EQ2=PQ2, ∴122+(22-3t)2=(22-2t)2,即 8t2-88t+144=0,t2-11t+18=0, ∴t1=2,t2=9. 1 2 BC ,又 BD =BP·BC. 2
2 3 ?
CH 3 = sin ?D= , CD 2

2 3. 3

∵P 在 AD 边运动时间为

AD 8 ? ? 8s ,而 t=9>8,∴t=9 舍去. 1 1 3 . 2

∴当 t=2 时,PQ 与⊙O 相切. 9.提示:AB=4,BC=CD=3,S△AOD=

作 BH⊥AC 于 H,则 Rt△AOD∽Rt△ABH,得 ∴ BH ?

OD AO . ? BH AB

12 18 , S△BCD= . 5 5 10. (1)过点 O 作 OD⊥PB 于点 D,连接 OC. ∵PA 切⊙O 于点 C,∴OC⊥PA. 又∵点 O 在∠APB 的平分线上,∴OC=OD,∴PB 与⊙O 相切. (2)过点 C 作 CF⊥OP 于点 F.

在 Rt△PCO 中,PC=4,OC=3,OP= OC 2 ? PC 2 ? 5 , ∵OC·PC=OP·CF=2S△POD,∴CF= 在 Rt△COF 中, OF = OC 2 ? CF 2 ? ∴EF=EO+OF= 11. (1)AC=
12 . 5 9 . 5

24 12 ,∴ CE = EF 2 ? CF 2 ? 5. 5 5

16 . 5

(2)连接 AC,则 A,O’,C 共线. 设 OC=a,则 AC2=a2+42, 又 AC2=(a+3)2-52,即 a2+42=(a+3)2-52,解得 a=
16 , 3

8 ∴O’ ( , 2) . 3 (3)如图,设⊙O’交 x 轴于点 C,交 BA 的延长线于 D.

∵O’A 平分∠OAD,∴∠OAC=∠DAC,
? ? CD ? ,∴OC=CD. ∴ CO

∵∠AOC=90°,∴AC 是⊙O’的直径. ∴∠D=90°,∴△AOC≌△ADC,∴AD=AO=4. 设 OC=DC=a,在 Rt△BCD 中,BC=a+3,BD=9,CD=a, ∴(a+3)2=a2+92,解得 a=12, ∴AC2=OA2+OC2=42+122=160,AC= 4 10 , ∴⊙O’的半径长为 2 10 .

12.连接 AD,由△CDE∽△CAD,有 又由△ADE∽△BDA,有

CD CA ? ①. DE AD

AE AB ? ②. DE DA 由①②及 AB=AC,得 AE=CD. 由∠DAE=∠EDC,知 CD 是△ADE 外接圆的切线. 故 CD2=CE·CA,即 AE2=CE·CA. 设 AE=x,则 CE=d-x,

∴ x2 ? d (d ? x) ,即 x2+dx-d2=0, 解方程并取正根得 AE=x=
5 ?1 d. 2



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