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【全国百强校】宁夏六盘山高级中学2016届高三上学期期中考试数学(文)试题


宁夏六盘山高级中学 2015-2016 学年第一学期高三期中考试测试卷
学科:数学(文) 测试时间:120 分钟 满分:150 分 命题人: 一、选择 题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一
项是符合题目要求的.

1,2,3,4,5?, A ? ? 1,2,3?, B ? ?2,3,4?,则下列结论中正确的是( 1.设 U ? ?
A. A ? B
?



B. A ? B ? ?2? )

1,2,3,4,5? C. A ? B ? ?

1 D. A ? ?CU B? ? ??

2. cos(?2040 ) ? ( A.

3 2

B.

1 2

C. ?

1 2

D. ?

3 2
) )

3.已知扇形的周长是 4,圆心角的大小是 2 弧度,则扇形的面积是(

A.1 B.2 C.4 D.16 ? ? 4.已知函数 f ( x) 的导数为 f ( x) , p :f ( x0 ) ? 0 , ( x0 是函数 f ( x) 的极值点. 则 p 是 q 的 q: A.充分不必要条件 C.充要条件 B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件 )

5.下列函数中,既是偶函数又在区间 (0, ? ?) 上是减函数的是( A. y ? x
2

B. y ?

1 x ?1

C. y ? log 1 x
3

D. y ? sin x )

6. 已知角 ? 的终边上一点 P 的坐标是 ?1, 3 ,则 tan 2? ? (

?

?

3 3 ? 7.已知函数 y ? sin(? x ? ? ) , (? ? 0, 0 ? ?≤ ) , 2 且此函数的图象如图所示,则 ? , ? 的值分别为( )
A. 3 B. ? 3 C. A.2, C.2,

D.

3 2

? 2
? 4

B.4, D.4,

? 2
? 4


8.已知 tan ? ? 2 ,则 2sin 2 ? ? sin ? cos ? ? cos 2 ? =(

1

A. ?

5 3

B.

5 9

C. ?

3 5


D.

9 5

9.将函数 y ? cos 2 x 的图象向右平移

? 个单位,得到的函数图象的一个对称中心是( 6
C. ?

A. ?

?? ? ,0 ? ?3 ?

B. ?

? 2? ? ,?1? ? 3 ?

?? ? ,1? ?6 ?

D. ?

? 5? ? ,0 ? ? 12 ?
A 60

10.如图所示,从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B, C 的俯角分 别为 75°,30°,此时气球的高度是 60 m,则河流的宽度 BC 等 于( ) A. 120( 3 ? 1)m C. 180( 3 ? 1)m B. 240( 3 ? 1)m D. 30( 3 ? 1)m

300

750
C

750
5

B

11.设函数 y ? f ( x) 满足①对任意的 x ? R ,有 f ( x ? 2) ? f ( x) ;②当 x ?? ?1,1? 时, f ( x) ? x . 则函数 g ( x) ? f ( x) ? sin x ,在区间 ??? , ? ? 上的零点个数是 ( A.2 B.3 C.4 D.5 )

12.已知定义在 R 上的奇函数 f ( x) ,设其导函数 f ?( x) ,当 x ? (??,0] 时,恒有 xf ?( x) ? f (? x) , 则满足 f (3) ? A. ? ?1, 2?

2x ? 1 f (2 x ? 1) 的实数 x 的取值范围是( 3 1 1 B. ( ?1, ) C. ( ,2) 2 2

) D.

? ?2,1?

二、填空题:本大题共 4 个小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.若 sin ? ? cos ? ?

1 ,则 sin 2? = 4

.

14. 在 锐 角 ?ABC 中 , 内 角 A, B, C 所 对 的 边 分 别 是 a, b, c . 若 b ? 2a sin B , 则 ∠ A 的 值 为 __________. 15.已知函数 f ( x) ? ? 是

1 3 x ? mx 2 ? x ? 2 在区间 ?1, 2? 上是增函数,则实数 m 的取值范围 3

.

16.设函数 f ? x ? 的定义域为 D,若任取 x1 ? D ,存在唯一的 x2 ? D满足

f ? x1 ? ? f ? x2 ? ? C ,则称 C 2

2

为函数 y ? f ? x ? 在D 上的均值. 给出下列五个函数: ① y ? x ;② y ? x2 ;③ y ? 4sin x ;④ y ? 1 gx ; ⑤ y ? 2x .则所有满足在其定义域上的均值为 2 的函数的序号为 三、解答题:解答应写出文字说明, 证明过程或演算步骤. 17. (本小题满分 12 分) 在 ?ABC 中, 角 A、 B、 C 所对的边分别是 a、 b、 c, 若 a ? 2, b ? 2 3, cos A ? 且c ? b . (I)求 c 的值; (II)求 ?ABC 的面积及 AB 边上的高. .

3 2

18.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? (2 x2 ? x ? 1)e x (I)求函数在点 ? 0, ?1? 处的切线方程. (II)求函数 f ( x) 的极值.

19.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2 x ? a(a ? R) . (I)求函数 f ( x) 的最小正周期. (II)当 x ? [0,

?
6

] 时, f ( x) 的最大值为 2 ? 2 ,求 a 的值.

20.(本小题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? A sin(3x ? ? ) ( A ? 0, 0 ? ? ? ? ) ,当 x ? 最大值 4. (I)求函数 f ( x ) 的单调递增区间; (II)若 ? , ? ? ? 0,

?
12

时取得

? ? 12 ? ? ? ?? ? 且 f ( 3 ? 12 ) ? 5 , f ( 3 ? 4 ) ? ?2 ,求 sin(? ? ? ) 的值. ? 2?

21.(本小题满分 12 分)设函数 f ( x) ? ln x ?

1 2 ax ? 2bx . 2

(I)当 a ? ?3, b ? 1 时,求函数 f ( x) 的最大值. (II)令 F ( x) ? f ( x) ?

1 2 a 1 ax ? 2bx ? ( ? x ? 3) ,其图像上存在一点 P( x0 , y0 ) ,使此处切线的 2 x 2

3

1 ,求实数 a 的取值范围; 2 1 (Ⅲ)当 a ? 0, b ? ? , m ? 1时,方程 f ( x) ? mx 有唯一实数解,求 m 的值. 2
斜率 k ?

22.(本小题满分 10 分)选修 4—4:坐标系与参数方程. 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,以 x 轴非负半轴为极轴,与直角坐标系 xOy 取相同 的长

? x ? 3 cos? ? 度单位,建立极坐标系 . 设曲线 C 参数方程为 ? ( 为参数) ,直线 l 的极坐标方程为 ? y ? 3sin?

? cos(? ?

?
4

)? 2 2.

(I)写出曲线 C 的普通方程和直线 l 的直角坐标方程; (II)求直线 l 被曲线 C 所截得的弦长.

4

宁夏六盘山高级中学
2015-2016 学年第一学期高三期中考试答案
学科:数学(文)
一、选择题(每小题 5 分,共 60 分)
题 号 答 案

1 D

2 C

3 A

4 B

5 C

6 A

7 C

8 D

9 D

10 A

11 B

12 A

二、填空题(每小题 5 分,共 20 分) 13 、 ?
15 ; 16

14、

? ; 6

?5 ? 15、 ? ,?? ? ; ?4 ?

16、①④

三、解答题(共 6 道小题,70 分) 17.(12 分)解:(1)由余弦定理 a2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A 得

c 2 ? 6c ? 8 ? 0 ? c ? 2orc ? 4 ?c ? b?c ? 2
(2)因为在 ?ABC 中, cos A ?

3 1 ,? sin A ? 2 2

1 ? S?ABC ? bc s i n A? 2

3

1 ? S?ABC ? ah ? 3 ? h ? 3 2
18、 (12 分) 解: (1)由题意, f ( x) 定义域为 R

f ?( x) ? (2x 2 ? 3x ? 2)e x
? k ? f ?(0) ? ?2 ? 切线方程是y ? 1 ? ?2 x,即2 x ? y ? 1 ? 0
1 2

(2)令 f ?( x) ? (2 x 2 ? 3x ? 2)e x ? 0,? x ? ?2orx ?

5

?1 ? 易得 f ( x)在?? ?,?2?和? , ? ? ? 递增, ?2 ? 1? ? f ( x)在? ? 2, ? 递减 2? ?
? f 极大值 ( x) ? f (?2) ? 9 e2

1 f 极小值 ( x) ? f ( ) ? - e 2

19 题(12 分)
解: (1) f ( x) ? 2cos2 x ? sin 2x ? a ? 1 ? cos 2 x ? sin 2 x ? a

? 2 sin(2 x ? ) ? 1 ? a ……………………… 4 分 4 2? ? ? , …………………6 分 则 f ( x) 的最小正周期 T ?
(2)当 x ? [0,

?

?
6

] 时?

? ?
4

? 2x ?

?
4

?

7? ? ? ? ? ,当 2 x ? ? ,即 x ? 时 sin(2 x ? ) ? 1 . 8 12 4 2 4

所以 f ( x)max ? 2 ?1 ? a ? 2 ? 2 ? a ? 1.…………12

20.(12 分) 解: (1)由题意, A ? 4, ? ?
? f ( x) ? 4 sin( 3 x ?

?
4

?
4

) ?

? 2k? , k ? Z 2 ? 2 ? 2 ? k? , k ? Z 得 ? ? k? ? x ? 4 3 12 3

由?

?

2

? 2k? ? 3x ?

?

?

4

? 2 ? ? ? 2 所以 f ( x) 的递增区间为 ?? ? k? , ? k? ? k ? Z 12 3 ? ? 4 3
3 12 4 4 4 ? 4 ? cos ? ? 又? ? (0, ) ? sin ? ? 5 2 5 f(

(2) f (

?

?

?

) ? 4 sin(? ?

?

?

?

) ? 4 cos ? ?

12 5

?

3

?

?

4

) ? 4 sin( ? ? ? ) ? ?4 sin ? ? ?2

6

? 3 又? ? (0, ) ? cos ? ? 2 2 4 3 ?3 ? sin(? ? ? ) ? 10
? sin ? ? 1 2
21.(12 分) 解:(1) 由题意, f ( x) 定义域为 ?0,??? 当 a ? ?3, b ? 1 时,
f ( x) ? ln x ? 3 2 1 ? 3x 2 ? 2 x x ? 2 x,? f ?( x) ? 2 x

由 f ?( x) ?

1 ? 3x 2 ? 2 x 1 ? 0, 得 ? 1 ? x ? x 3 1 ? 3x 2 ? 2 x 1 ? 0, 得x ? ?1或x ? x 3

由 f ?( x) ?

? 1? ?1 ? 又 x ? 0,? f ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增,在 ? ,?? ? 上单调递减,所以 f ( x) 的极大值为 ? 3? ?3 ?
1 5 f ( ) ? ? ln x ? ,此即为最大值。 3 6

a ?1 ? (2)由题意得 F ( x) ? ln x ? , x ? ? ,3? x ?2 ?

则有 k ? F ?( x0 ) ?

x0 ? a x0
2

1 ?1 ? ? 在x0 ? ? ,3? 上有解 2 ?2 ?

1 2 ?1 ? ? a ? (? x0 ? x0 ) min , x0 ? ? ,3? 2 ?2 ?
3 3 ? x0 ? 3时, y min ? ? ,? a ? ? . 2 2 1 (3)当 a ? 0, b ? ? 时 , f ( x) ? ln x ? x , 2 ln x ? x ? mx ? 0 有唯一实数解 由已知得 1 ? (1 ? m) x 设 g ( x) ? ln x ? x(1 ? m), 则g ?( x) ? x

1 ? ? 可得 g ( x) 在 ? 0, ? 上单调递增, ? m ?1?

7

1 ? 1 ? ) 在? ,?? ? 上单调递减,所以 g ( x) max ? g ( m ?1 ? m ?1 ?

若 ln x ? x ? mx ? 0 有唯一实数解, 1 1 ) ? 0,? m ? 1 ? 所以 g ( x) max ? g ( m ?1 e 1 所以当 m ? 1 ? 时,方程 f ( x) ? mx 有唯一实数解。 e

22.(10 分)
解:⑴由 ? cos(? ?

?
4

) ? 2 2 得 ? (cos ? ? sin ? ) ? 4 ,

∴l : x ? y ?4 ? 0 由?

? x ? 3cos ? 得 C : x2 ? y 2 ? 9 y ? 3sin ? ?
4 2 ?2 2

(2)圆心到直线的距离 d ?

?弦长l ? 2 r 2 ? d 2 ? 2

8


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