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《第1章 空间几何体》单元试卷(3)菁优网


《第 1 章 空间几何体》单元试卷(3)
一、选择题(共 11 小题,每小题 3 分,满分 33 分) 1. (3 分) (2011?江西模拟)有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位 cm) ,则该几何体的表面积为( )

A.12cm2

B.15πcm2

C.24πcm2

D.36π

cm2 )

2. (3 分) (2011?淄博二模)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的表面积为(

A.4π

B.5π

C.8π

D.9π

3. (3 分) (2010?济宁一模)一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体 积为( )

A.24cm3

B.48cm3

C.32cm3

D.28cm3

4. (3 分) (2014?鹰潭二模)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

1

A.

B.

C.

D.

5. (3 分)已知直线 l,m 平面 α,β,且 l⊥ α,m?β,给出下列四个命题: ① 若 α∥ β,则 l⊥ m;② 若 l⊥ m,则 α∥ β;③ 若 α∥ β,则 l∥ m;④ 若 l∥ m,则 α⊥ β. 其中真命题是( ) ② ③ ④ ④ A.① B.① C.① D.② 6. (3 分)设 α,β,γ 为互不相同的三个平面,l、m、n 为不重合的三条直线,则 l⊥ β 的一个充分条件是( A.α⊥ γ, β⊥ γ, α∩ γ=lB.α⊥ β,α∩ β=m, C.m⊥ α,m⊥ β,l⊥ αD.α⊥ β,β⊥ γ,l⊥ α l⊥ m )

7. (3 分) (2011?武汉模拟)平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角是 45°,则 l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所成的 角中,最大的角是( ) A.45° B.90° C.135° D.60° 8. (3 分) (2008?东城区一模)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

9. (3 分)正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,E、F、G、H 分分别为 AA1、BB1、CC1、DD1 的中点,FD 与底面成 30° 夹角,若底面边长为 2,则四棱柱的高等于( ) A. B.2 C. D.

10. (3 分) (2005?广东)在正方体 ABCD﹣A′ B′ C′ D′ 中与 AD′ 成 60°角的面对角线的条数是(



2

A.4

B.6

C.8

D.10 )

11. (3 分)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为(

A.

B.

C.

D.

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 12. (4 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 _________ ,其外接球的 表面积为 _________ .

13. (4 分) (2011?惠州模拟)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2a 的等腰三角形,俯视图是半径为 a 的半圆,则该几何体的表面积是 _________ .

14. (4 分) (2010?济南一模)长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,对角线长为 l,则下列结论正确的是 _________ (所有正确的序号都写上) . (1)l<a+b+c;
3

(2)l =a +b +c ; 3 3 3 3 (3)l <a +b +c ; 3 3 3 3 (4)l >a +b +c . 15. (4 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F,G 分别是 AB,BC,B1C1 的中点.下列命题正确的 是 _________ (写出所有正确命题的编号) . ① 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形; ② P 在直线 FG 上运动时,AP⊥ DE; ③ Q 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A﹣D1QC 的体积不变; ④ M 是正方体的面 A1B1C1D1 内到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是一条线段. 三、解答题(共 16 小题,满分 203 分) 16. (12 分) (2007?西城区二模)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C∥ 平面 AB1D; (II)求二面角 B﹣AB1﹣D 的大小.

2

2

2

2

17. (12 分) (2011?乐山二模) 在如图所示的几何体中, AE⊥ 平面 ABC, CD∥ AE, F 是 BE 的中点, AC=BC=1, ∠ ACB=90°, AE=2CD=2. (Ⅰ )证明 DF⊥ 平面 ABE; (Ⅱ )求二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值.

4

18. (14 分) (2013?日照一模)如图,已知 AB⊥ 平面 ACD,DE∥ AB,△ ACD 是正三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点. (Ⅰ )求证:AF∥ 平面 BCE; (Ⅱ )求证:平面 BCE⊥ 平面 CDE.

19. (13 分) (2011?临沂二模) 如图, 已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC, ∠ BAC=∠ ACD=90°, ∠ EAC=60°, AB=AC=AE. (1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP∥ 平面 EAB?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 θ 的余弦值.

5

21. (14 分)如图:在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直(图 1) ,图 2 为该四棱锥的主 视图和侧视图,它们是腰长为 6cm 的全等的等腰直角三角形. (1)根据图 2 所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面图形的面积. (2)图 3 中,L、E 均为棱 PB 上的点,且 ,M、N 分别为棱 PA、PD 的中点,问在底面正方形的对

角线 AC 上是否存在一点 F,使 EF∥ 平面 LMN.若存在,请具体求出 CF 的长度;若不存在,请说明理由.

22. (12 分) (2010?湖南模拟)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 CF=2AD,侧 视图是边长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形,有关数据如图所示. (Ⅰ )求该几何体的体积; (Ⅱ )求二面角 B﹣DE﹣F 的余弦值.

6

23. (12 分)如图已知四棱锥 S﹣ABCD 的底面是直角梯形,AB∥ DC,∠ DAB=90°,SA⊥ 底面 ABCD,且 SA=AD=DC= 是 SB 的中点.

(1)证明:平面 SAD⊥ 平面 SCD; (2)求 AC 与 SB 所成的角; (3)求二面角 M﹣AC﹣B 的大小.

24. (12 分) (2004?浙江)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 段 EF 的中点. (Ⅰ )求证 AM∥ 平面 BDE; (Ⅱ )求二面角 A﹣DF﹣B 的大小.

,AF=1,M 是线

25. (12 分) (2010?济宁一模)四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,BC=2CD=2, 又 PA=PD,∠ APD=90°,E、G 分别是 BC、PE 的中点. (1)求证:AD⊥ PE; (2)求二面角 E﹣AD﹣G 的大小.

7

26. (14 分) (2010?广东模拟)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯 视图是有一条对角线的正方形.E 是侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ )求证:BD⊥ AE (Ⅱ )若 E 为 PC 的中点,求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ )若五点 A,B,C,D,P 在同一球面上,求该球的体积.

27. (12 分) (2014?沙坪坝区二模)直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,且∠ BAD=60°,AA1=AB1, E 为 BB1 延长线上的一点,D1E⊥ 面 D1AC. (Ⅰ )求二面角 E﹣AC﹣D1 的大小; (Ⅱ )在 D1E 上是否存在一点 P,使 A1P∥ 面 EAC?若存在,求 D1P:PE 的值,不存在,说明理由.

8

28. (14 分) (2014?安庆三模)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AD⊥ 平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (Ⅰ )求证:BC⊥ A1B; (Ⅱ )若 ,AB=BC=2,P 为 AC 的中点,求三棱锥 P﹣A1BC 的体积.

29. (12 分) (2010?济南一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=60°,M 为 PC 上一点,且 PA∥ 平面 BDM, (1)求证:M 为 PC 的中点; (2)求证:面 ADM⊥ 面 PBC.

9

30. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,且 PA=PD= 分别为 PC、BD 的中点. (Ⅰ ) 求证:EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ ) 求证:EF⊥ 平面 PDC.

AD,若 E、F

31. (14 分) (2008?安徽)如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,∠ ABC= ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (Ⅰ )证明:直线 MN∥ 平面 OCD; (Ⅱ )求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ )求点 B 到平面 OCD 的距离.

,OA⊥ 底面

10

《第 1 章 空间几何体》单元试卷(3)
参考答案与试题解析
一、选择题(共 11 小题,每小题 3 分,满分 33 分) 1. (3 分) (2011?江西模拟)有一个几何体的三视图及其尺寸如图(单位 cm) ,则该几何体的表面积为(



A.12cm2 考点: 专题: 分析:

B.15πcm2 由三视图求面 积、体积. 计算题. 由该几何体的 三视图,我们易 得到该几何体 为圆锥,且该圆 锥的底面直径 为 6,圆锥的母 线长为 5,由已 知中的数据我 们易求出底面 积和侧面积,进 而得到该几何 体的表面积. 解:由几何体的 三视图,我们可 得: 底面直径为 6, 底面半径为 3 圆锥的母线长 为 5, 故几何体的表
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C.24πcm2

D.36πcm2

解答:

面积 S=S 底面积+S
侧面积

点评:

=3 ?π+3?π?5=2 4π 故选:C 本题考查的知 识点是由三视 图求面积,由三 视图中的数据 求出底面半径,
11

2

进而求出底面 面积和侧面积 是解答本题的 关键. 2. (3 分) (2011?淄博二模)某器物的三视图如图所示,根据图中数据可知该器物的表面积为( )

A.4π 考点: 专题: 分析:

B.5π 由三视图求面 积、体积. 计算题;图表 型. 由某器物的三 视图知,此器物 为一个简单组 合体,其上部为 一个半径为 1 的 球体,下部为一 个圆锥,故分别 用公式求出两 个几何体的全 面积,相加即可 得该器物的表 面积. 解:此简单组合 体上部为一个 半径为 1 的球 体,其表面积为 4π, 下部为一个高 为 ,底面半 径为 1 的圆锥, 故其底面面积 为 π, 由图形知此圆 锥的母线长是
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C.8π

D.9π

解答:

12

=4, 故侧面积为 =4 π, 综上此简单组 合体的表面积 为 9π, 故选 D. 本题考点是由 三视图求几何 体的面积、体 积,考查对三视 图的理解与应 用,主要考对三 视图与实物图 之间的关系,用 三视图中的数 据还原出实物 图的数据,再根 据相关的公式 求表面积与体 积,本题求的是 简单几何体的 表面积,涉及到 球的表面积公 式与圆锥的表 面积公式.做对 此题要熟练掌 握三视图的投 影规则,即:主 视、俯视 长对 正;主视、左视 高平齐,左视、 俯视 宽相等.

点评:

3. (3 分) (2010?济宁一模)一个多面体的三视图分别为正方形、等腰三角形和矩形,如图所示,则该多面体的体 积为( )

A.24cm3

B.48cm3

C.32cm3

D.28cm3

13

考点: 专题: 分析:

解答:

由三视图求面 积、体积. 计算题. 由三视图我们 易判断出该几 何体是一个三 棱柱,其底面底 边长为 6,高为 4,棱柱高也为 4,代入棱柱体 积公式,即可得 到答案. 解:由三视图可 判断该几何体 是一个直三棱 柱 其底面边长为 6,高为 4 棱柱高也为 4 故 V=
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= 48 故选 B 本题考查的知 识点是由三视 图答案求体积, 其中根据三视 图判断几何体 的形状,底面边 长、高等几何 量,是解答的关 键.

点评:

4. (3 分) (2014?鹰潭二模)如图所示是某一容器的三视图,现向容器中匀速注水,容器中水面的高度 h 随时间 t 变化的可能图象是( )

14

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

解答:

点评:

函数的图象与 图象变化. 压轴题;数形结 合. 根据几何体的 三视图确定几 何体的形状是 解决本题的关 键,可以判断出 该几何体是圆 锥,下面细上面 粗的容器,判断 出高度 h 随时间 t 变化的可能图 象. 解:该三视图表 示的容器是倒 放的圆锥,下面 细,上面粗, 随时间的增加, 可以得出高度 增加的越来越 慢. 刚开始高度增 加的相对快 些.曲线越“竖 直”,之后,高 度增加的越来 越慢,图形越平 稳. 故选 B. 本题考查函数 图象的辨别能 力,考查学生对 两变量变化趋 势的直观把握 能力,通过曲线 的变化快慢进 行筛选,体现了 基本的数形结 合思想.
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5. (3 分)已知直线 l,m 平面 α,β,且 l⊥ α,m?β,给出下列四个命题:
15

① 若 α∥ β,则 l⊥ m;② 若 l⊥ m,则 α∥ β;③ 若 α∥ β,则 l∥ m;④ 若 l∥ m,则 α⊥ β. 其中真命题是( ) ② ③ ④ ④ A.① B.① C.① D.② 考点: 平面与平面之 间的位置关系; 空间中直线与 直线之间的位 置关系. 综合题. 在空间中:① 由 α∥ β,且 l⊥ α, m?β,容易得出 l⊥ m;② 由 l⊥ m, 且 l⊥ α,m?β, 不一定有 α∥ β; ③ 由 α∥ β,且 l⊥ α, m?β,不能得出 l∥ m;④ 由 l∥ m, 且 l⊥ α,m?β, 可以得出 β⊥ α. 解:① 是真命题, 因为当 α∥ β,且 l⊥ α 时,有 l⊥ β, 又 m?β,∴ l⊥ m; ② 是假命题,因 为当 l⊥ m 时, 由 m?β,不能得出 l⊥ β,故不能得 α∥ β; ③ 是假命题,因 为当 α∥ β 时, 由 l⊥ α,得 l⊥ β,且 m?β,∴ l⊥ m,故 l∥ m 错误; ④ 是真命题,因 为当 l∥ m 时, 由 l⊥ α,得 m⊥ α, 又 m?β,∴ α⊥ β. 所以,正确的命 题有① ④ ; 故选 C. 本题通过几何 符号语言考查 了空间中线线, 线面,面面之间 的平行和垂直 关系,是基础
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专题: 分析:

解答:

点评:

16

题,也是易错 题. 6. (3 分)设 α,β,γ 为互不相同的三个平面,l、m、n 为不重合的三条直线,则 l⊥ β 的一个充分条件是( A.α⊥ γ, β⊥ γ, α∩ γ=lB.α⊥ β,α∩ β=m, C.m⊥ α,m⊥ β,l⊥ αD.α⊥ β,β⊥ γ,l⊥ α l⊥ m 考点: 空间中直线与 平面之间的位 置关系;必要条 件、充分条件与 充要条件的判 断. 证明题. 本题为寻找能 够推出 l⊥ β 的条 件.C 由线面垂 直的判断和性 质可以证明正 确. A 中若 α∥ β 时, l∥ β,故结论错 误;B 中 l?α 时 结论不一定成 立;D 中 α⊥ β, l⊥ α 则 l?β 或 l∥ β,故结论错 误. 解:A 中若 α∥ β 时, l∥ β, 故结论 错误; B 中 l?α 时结论 不一定成立; D 中 α⊥ β,l⊥ α 则 l?β 或 l∥ β, 故结论错误. C 中:m⊥ α, m⊥ β?α∥ β, 因为 l⊥ α,故 l⊥ β 故选 C. 本题考查空间 的位置关系的 判断,考查逻辑 推理能力和空 间想象能力.
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专题: 分析:

解答:

点评:

7. (3 分) (2011?武汉模拟)平面 α 的斜线 l 与平面 α 所成的角是 45°,则 l 与平面 α 内所有不过斜足的直线所成的 角中,最大的角是( ) A.45° B.90° C.135° D.60°
17

考点:

专题: 分析:

解答:

点评:

两直线的夹角 与到角问题;直 线与平面所成 的角. 计算题. 根据斜线与平 面所成角的范 围,说明直线与 斜线垂直时,所 成角最大. 解:因为一个斜 线跟平面上的 直线所成的角 要小于等于 90°, 在平面 α 任意做 一条垂直于该 斜线在平面 α 内 的射影的直线, 该直线与斜线 成 90°为最大 角. 故选 B 本题考查两直 线的夹角与到 角问题,直线与 平面所成的角, 考查空间想象 能力,是基础 题.
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8. (3 分) (2008?东城区一模)长方体 ABCD﹣A1B1C1D1 中 AB=AA1=2,AD=1,E 为 CC1 的中点,则异面直线 BC1 与 AE 所成角的余弦值为( )

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

异面直线及其 所成的角. 计算题. 建立空间直角
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18

解答:

坐标系,先相关 点的坐标,再相 关向量的坐标, 再进行运算. 解析:建立坐标 系如图. 则A (1, 0,0) ,E(0,2, 1) , B (1, 2, 0) , C1(0,2,2) . =(﹣1,0,2) , A= (﹣1, 2, 1) , cos<BC1,AE >═ .

所以异面直线 BC1 与 AE 所成 角的余弦值为 . 故选 B

点评:

本题主要考查 用向量法求异 面直线所成的 角.

9. (3 分)正四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1,E、F、G、H 分分别为 AA1、BB1、CC1、DD1 的中点,FD 与底面成 30° 夹角,若底面边长为 2,则四棱柱的高等于( ) A. B.2 C. D.

考点:

专题: 分析:

异面直线及其 所成的角;棱柱 的结构特征. 计算题. 由正四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1, 结构 特征,得∠ FDB 为 FD 与底面成 的角,从而有 ∠ FDB=30°, 解得 BD=2 ,再解 棱长的一半,
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FD=BD?tan30 =

0

从而求得

解答:

四棱柱的高. 解:由正四棱柱 ABCD﹣ A1B1C1D1, 得∠ FDB 为 FD 与底面成的角 ∴ ∠ FDB=30 BD= 2 ∴ FD=BD?tan30 0= ∴ 四棱柱的高等 于
0

点评:

本题主要考查 空间几何体的 结构特征和线 面角的求法.要 先找或作出线 面角,再用三角 形的知识求解. )

10. (3 分) (2005?广东)在正方体 ABCD﹣A′ B′ C′ D′ 中与 AD′ 成 60°角的面对角线的条数是(

A.4 考点:

B.6 空间中直线与 平面之间的位 置关系. 计算题;存在 型. 欲找出与 AD1 成 60°角的面对 角线,可分成两 类:一类是与 AD1 成相交的, 一类是与 AD1 成异面的.最后 利用加法原理
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C.8

D.10

专题: 分析:

20

解答:

相加即可. 解:如图 AC、 CD′ 与 AD1 成 60°角 这样的直线有 4 条, 另外,这样的 A′ B、A′ C′ 与 AD1 成 60° 直线也有 4 条, 共 8 条. 故选 C.

点评:

本题主要考查 了空间中直线 与直线之间的 位置关系、直线 与直线所成的 角,考查空间想 象能力、运算能 力和推理论证 能力,属于基础 题. )

11. (3 分)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AB=AA1,则 AC1 与平面 BB1C1C 所成的角的正弦值为(

A.

B.

C.

D.

考点: 专题: 分析:

直线与平面所 成的角. 计算题. 要求 AC1 与平 面 BB1C1C 所成 的角的正弦值, 在平面 BB1C1C 作出 AC1 的射 影,利用解三角
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解答:

形,求出所求结 果即可. 解:由题意可知 底面三角形是 正三角形,过 A 作 AD⊥ BC 于 D,连接 DC1, 则∠ AC1D 为所 求, sin∠ AC1D=

=

=

点评:

故选 C 本题是中档题, 考查直线与平 面所成角正弦 值的求法,考查 计算能力,熟练 掌握基本定理、 基本方法是解 决本题的关键.

二、填空题(共 4 小题,每小题 4 分,满分 16 分) 12. (4 分)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,则四棱锥 P﹣ABCD 的体积为 6π . ,其外接球的表面积为

考点: 专题: 分析:

由三视图求面 积、体积. 计算题. 因为是四棱锥, 所以体积可求, 又因为是直四 棱锥,所以其外
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解答:

接球的直径是 四棱柱(2 个之 四棱直组成)的 体对角线. 解:由题意知, 图形为直四棱 锥, 所以 V= , 外接球的直径 为 , 所以 S=4 =6π. 本题考查学生 的空间想象能 力,是基础题.

点评:

13. (4 分) (2011?惠州模拟)如图是某几何体的三视图,其中正视图是腰长为 2a 的等腰三角形,俯视图是半径为 a 的半圆,则该几何体的表面积是 πa +
2

a

2



考点: 专题: 分析:

解答:

由三视图求面 积、体积. 计算题;综合 题. 三视图复原可 知几何体是圆 锥的一半,根据 三视图数据,求 出几何体的表 面积. 解:由题目所给 三视图可得,该 几何体为圆锥 的一半,那么该 几何体的表面
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积为该圆锥表 面积的一半与 轴截面面积的 和.又该圆锥的 侧面展开图为 扇形,所以侧面 积为 ×2a×2πa=2πa
2

, 底面积为 πa , 观察三视图可 知,轴截面为边 长为 2a 的正三 角形,所以轴截 面面积为 ×2a×2a×
2

2

=

a, 则该几何 体的表面积为 πa +
2

a.

2

故 答案为: πa + 点评:
2

a.

2

本题考查三视 图求表面积,考 查空间想象能 力,计算能力, 是基础题.

14. (4 分) (2010?济南一模)长方体的长、宽、高分别为 a,b,c,对角线长为 l,则下列结论正确的是 (1) (2) (4) (所有正确的序号都写上) . (1)l<a+b+c; (2)l =a +b +c ; 3 3 3 3 (3)l <a +b +c ; 3 3 3 3 (4)l >a +b +c . 考点: 专题: 分析: 棱柱的结构特 征. 计算题;作图 题. 画出长方体,标 出数据,容易判 定(1) (2)的 正误,利用不等
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2

2

2

2

24

解答:

式说明(4)是 正确的,即可. 解:如图:根据 三角形的定义, (1) , (2)显然 正确; l ﹣a ﹣b ﹣c = 2 2 2 (a +b +c )?l 3 3 ﹣a ﹣b ﹣ 3 2 2 c =a (l﹣a) +b 2 (l﹣b)+c (l ﹣c)>0 所以 l > 3 3 3 a +b +c 所以 (4)正确(3) 错误, 故答案为: (1) (2) (4) .
3 3 3 3 3

点评:

本题考查棱柱 的结构特征,不 等式的应用,考 查计算能力,推 理能力,是基础 题.

15. (4 分)已知正方体 ABCD﹣A1B1C1D1 的棱长为 1,E,F,G 分别是 AB,BC,B1C1 的中点.下列命题正确的 是 ② ③ ④ (写出所有正确命题的编号) . ① 以正方体的顶点为顶点的三棱锥的四个面最多只有三个面是直角三角形; ② P 在直线 FG 上运动时,AP⊥ DE; ③ Q 在直线 BC1 上运动时,三棱锥 A﹣D1QC 的体积不变; ④ M 是正方体的面 A1B1C1D1 内到点 D 和 C1 距离相等的点,则 M 点的轨迹是一条线段. 考点: 棱锥的结构特 征;四种命题的 真假关系;轨迹 方程. 作图题;综合 题. 画出正方体图 形, ① 以正方体的顶 点为顶点的三
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专题: 分析:

25

棱锥的四个面 最多只有三个 面是直角三角 形;作出反例否 定① ; ② P 在直线 FG 上 运动时, AP⊥ DE;如图 (2)DE⊥ 平面 FGP, 可得结论; ③ Q 在直线 BC1 上运动时,三棱 锥 A﹣D1QC 的 体积不变;如图 (2)三角形 AD1Q 面积不 变,C 到平面距 离不变,体积为 定值. 解:画出图形, 如图(1)四个 面都是直角三 角形,① 不正确. ② P 在直线 FG 上 运动时, AP⊥ DE;如图 (2)DE⊥ 平面 FGP, 可得结论; 正确. ③ Q 在直线 BC1 上运动时,三棱 锥 A﹣D1QC 的 体积不变;如图 (2)三角形 AD1Q 面积不 变, C 到平面距离不 变,体积为定 值. ④ M 是正方体的 面 A1B1C1D1 内 到点 D 和 C1 距 离相等的点,则 M 点的轨迹是 一条线段.线段 A1D1 满足题意. 故答案为:② ③ ④ .

解答:

26

点评:

本题考查棱锥 的结构特征,四 种命题的真假 关系,轨迹方 程,考查空间想 象能力,逻辑思 维能力,是基础 题.

三、解答题(共 16 小题,满分 203 分) 16. (12 分) (2007?西城区二模)如图,正三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,D 是 BC 的中点,AA1=AB=1. (I)求证:A1C∥ 平面 AB1D; (II)求二面角 B﹣AB1﹣D 的大小.

考点:

与二面角有关 的立体几何综 合题;直线与平 面平行的判定.
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专题: 分析:

计算题;证明 题. (I)欲证 A1C∥ 平面 AB1D,根 据直线与平面 平行的判定定 理可知只需证
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MN 与平面 A1ABB1 内一直 线平行,连接 A1B,设 A1B∩ AB1=E, 连 接 DE,根据中 位线定理可知 DE∥ A1C,DE? 平面 AB1D, A1C?平面 AB1D,满足定 理所需条件; (II) 作 DF⊥ AB 于点 F,作 FG⊥ AB1 于点 G,连接 DG, 根据二面角平 面角的定义可 知∠ FGD 是二面 角 B﹣AB1﹣D 的平面角, 在 Rt△ DFG 中, 求出二面角 B﹣ AB1﹣D 的大小 即可. (I)证明: 连接 A1B,设 A1B∩ AB1=E, 连 接 DE. ∵ ABC﹣A1B1C1 是正三棱柱,且 AA1=AB, ∴ 四边形 A1ABB1 是正方 形, ∴ E 是 A1B 的中 点, 又 D 是 BC 的中 点, ∴ DE∥ A1C. ∵ DE?平面 AB1D,A1C?平 面 AB1D, ∴ A1C∥ 平面 AB1D. (II)解:在面 ABC 内作 DF⊥ AB 于点 F,
28

解答:

在面 A1ABB1 内 作 FG⊥ AB1 于点 G,连接 DG. ∵ 平面 A1ABB1⊥ 平面 ABC, ∴ DF⊥ 平面 A1ABB1, ∴ FG 是 DG 在平 面 A1ABB1 上的 射影, ∵ FG⊥ AB1, ∴ DG⊥ AB1 ∴ ∠ FGD 是二面 角 B﹣AB1﹣D 的平面角 设 A1A=AB=1, 在正△ ABC 中, DF= .

在△ ABE 中,

, 在 Rt△ DFG 中,

, 所以,二面角 B ﹣AB1﹣D 的大 小为 .

点评:

本小题主要考 查直线与平面 的位置关系、二 面角及其平面 角等有关知识, 考查空间想象 能力和思维能 力,属于中档
29

题. 17. (12 分) (2011?乐山二模) 在如图所示的几何体中, AE⊥ 平面 ABC, CD∥ AE, F 是 BE 的中点, AC=BC=1, ∠ ACB=90°, AE=2CD=2. (Ⅰ )证明 DF⊥ 平面 ABE; (Ⅱ )求二面角 A﹣BD﹣E 的余弦值.

考点:

分析:

解答:

平面与平面之 间的位置关系; 直线与平面垂 直的判定. (1) 将 DF 平移 到 CG 的位置, 欲证 DF⊥ 平面 ABE, 即证 CG⊥ 平面 ABE, 根据 线面垂直的判 定定理可知,只 需证 CG 与平面 ABE 内的两相 交直线垂直即 可; (2)过点 A 作 AM⊥ BE 于 M, 过点 M 作 MN⊥ BD 于 N, 连接 AN, ∠ ANM 是二面 角 A﹣BD﹣E 的平面角,在 Rt△ AMN 中利 用余弦定理求 出此角. 解: (Ⅰ )取 AB 的中点 G,连接 CG、FG. 因为 CD∥ AE, GF∥ AE,所以 CD∥ GF. 又因为 CD=1,
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30

,所 以 CD=GF. 所以四边形 CDFG 是平行四 边形, DF∥ CG. (2 分) 在等腰 Rt△ ACB 中,G 是 AB 的 中点,所以 CG⊥ AB. 因为 EA⊥ 平面 ABC, CG?平面 ABC,所以 EA⊥ CG. 而 AB∩ EA=A, 所以 CG⊥ 平面 ABE. 又因为 DF∥ CG, 所以 DF⊥ 平面 ABE. (6 分) (Ⅱ )因为 DF⊥ 平面 ABE, DF? 平面 BDE, 所以 平面 BDE⊥ 平面 ABE. 过点 A 作 AM⊥ BE 于 M, 则 AM⊥ 平面 BDE,所以 AM⊥ BD. 过点 M 作 MN⊥ BD 于 N, 连接 AN,则 BD⊥ 平面 AMN, 所以 BD⊥ AN. 所以∠ ANM 是 二面角 A﹣BD ﹣E 的平面 角. (10 分) 在 Rt△ ABE 中,

. 因为 ,所以△ ABD 是 等边三角形.又
31

AN⊥ BD,所以

,NM=



在 Rt△ AMN 中,

. 所以二面角 A﹣ BD﹣E 的余弦 值是 . (12 分)

点评:

本题主要考查 线面关系及面 面关系的基础 知识,同时考查 空间想象能力 和逻辑推理能 力.

18. (14 分) (2013?日照一模)如图,已知 AB⊥ 平面 ACD,DE∥ AB,△ ACD 是正三角形,AD=DE=2AB,且 F 是 CD 的中点. (Ⅰ )求证:AF∥ 平面 BCE; (Ⅱ )求证:平面 BCE⊥ 平面 CDE.

考点:

专题: 分析:

平面与平面垂 直的判定;直线 与平面平行的 判定. 证明题. (Ⅰ ) 取 CE 中点 P, 连接 FP、 BP, 欲证 AF∥ 平面 BCE,根据直线 与平面平行的
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解答:

判定定理可知 只需证 AF 与平 面平面 BCE 内 一直线平行,而 AF∥ BP,AF?平 面 BCE, BP?平 面 BCE, 满足定 理条件; (Ⅱ )欲证平面 BCE⊥ 平面 CDE,根据面面 垂直的判定定 理可知在平面 BCE 内一直线 与平面 CDE 垂 直,而根据题意 可得 BP⊥ 平面 CDE,BP?平面 BCE,满足定理 条件. 证明: (Ⅰ )取 CE 中点 P, 连接 FP、BP, ∵ F 为 CD 的中 点, ∴ FP∥ DE,且 FP= .

又 AB∥ DE,且 AB= .

∴ AB∥ FP,且 AB=FP, ∴ ABPF 为平行 四边形, ∴ AF∥ BP. (4 分) 又∵ AF?平面 BCE,BP?平面 BCE, ∴ AF∥ 平面 BCE (6 分) (Ⅱ )∵ △ ACD 为 正三角形, ∴ AF⊥ CD ∵ AB⊥ 平面 ACD,DE∥ AB ∴ DE⊥ 平面 ACD 又 AF?平面
33

ACD ∴ DE⊥ AF 又 AF⊥ CD, CD∩ DE=D ∴ AF⊥ 平面 CDE (10 分) 又 BP∥ AF∴ BP⊥ 平面 CDE 又∵ BP?平面 BCE ∴ 平面 BCE⊥ 平 面 CDE(12 分)

点评:

本小题主要考 查空间中的线 面关系,考查线 面平行、面面垂 直的判定,考查 运算能力和推 理论证能力,考 查转化思想,属 于基础题.

19. (13 分) (2011?临沂二模) 如图, 已知直角梯形 ACDE 所在的平面垂直于平面 ABC, ∠ BAC=∠ ACD=90°, ∠ EAC=60°, AB=AC=AE. (1)在直线 BC 上是否存在一点 P,使得 DP∥ 平面 EAB?请证明你的结论; (2)求平面 EBD 与平面 ABC 所成的锐二面角 θ 的余弦值.

考点:

与二面角有关 的立体几何综 合题;直线与平 面平行的判定.
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专题:

综合题;转化思 想.
34

分析:

解答:

(1)由题意及 图形取 AB 的中 点 F,AC 的中 点 M, 得到四边 形 EMCD 为矩 形,利用线面平 行的判定定理 证得线面平行; (2)由题意利 用二面角的定 义得到二面角 的平面角,然后 在三角形中解 出即可. 解: (1)线段 BC 的中点就是 满足条件的点 P. 证明如下: 取 AB 的中点 F 连接 DP、PF、 EF,则 FP∥ AC, , 取 AC 的中点 M,连接 EM、 EC, ∵ AE=AC 且 ∠ EAC=60°, ∴ △ EAC 是正三 角形, ∴ EM⊥ AC. ∴ 四边形 EMCD 为矩形, ∴ .又∵ ED∥ AC, ∴ ED∥ FP 且 ED=FP, 四边形 EFPD 是 平行四边形. ∴ DP∥ EF, 而 EF?平面 EAB,DP?平面 EAB, ∴ DP∥ 平面 EAB. (2) 过 B 作 AC
35

的平行线 l, 过C 作 l 的垂线交 l 于 G, 连接 DG, ∵ ED∥ AC, ∴ ED∥ l, l 是平面 EBD 与平面 ABC 所成二面 角的棱. ∵ 平面 EAC⊥ 平 面 ABC, DC⊥ AC, ∴ DC⊥ 平面 ABC, 又∵ l?平面 ABC,∴ l⊥ 平面 DGC, ∴ l⊥ DG, ∴ ∠ DGC 是所求 二面角的平面 角. 设 AB=AC=AE=2a ,则 GC=2a, ∴ ,

, ∴



点评:

本题主要考查 直线与平面之 间的平行、垂直 等位置关系,二 面角的概念、求 法等知识,以及
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空间想象能力 和逻辑推理能 力. 21. (14 分)如图:在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面为正方形,PC 与底面 ABCD 垂直(图 1) ,图 2 为该四棱锥的主 视图和侧视图,它们是腰长为 6cm 的全等的等腰直角三角形. (1)根据图 2 所给的主视图、侧视图画出相应的俯视图,并求出该俯视图所在的平面图形的面积. (2)图 3 中,L、E 均为棱 PB 上的点,且 ,M、N 分别为棱 PA、PD 的中点,问在底面正方形的对

角线 AC 上是否存在一点 F,使 EF∥ 平面 LMN.若存在,请具体求出 CF 的长度;若不存在,请说明理由.

考点: 专题: 分析:

由三视图求面 积、体积. 计算题;综合 题;转化思想. (1)根据三视 图推出俯视图 的形状,求出面 积即可. (2) 如图, 以C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴,CP 为 Z 轴 建立空间直角 坐标系,利用
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求出 平面 LMN 的法 向量 ,然后证 明 EF∥ 平面 LMN, 说明底面正方 形的对角线 AC 上存在符合题 意的点 F,求出 CF,即可. 解: (1)该四棱 锥相应的俯视
37

解答:

图为内含对角 线、 边长为 6cm 的 正方形(如图) (2 分) 其面积为: 6×6=36(cm ) (4 分) (注:图正确, 面积计算体现 了图形为正方 形一样给分) (2) 如图, 以C 为原点,CD 为 x 轴,CB 为 y 轴, CP 为 Z 轴建立 空间直角坐标 系, 则D (6, 0, 0) , A(6,6,0) , B(0,6,0) , P(0,0,6) ,E (0,3,3) ,L (0,1,5) , M(3,3,3) , N(3,0,3) (6 分) ∴
2





(7 分) 设平面 LMN 的 法向量为 = (x, y,z) 由 得

38

令 x=2 则 = (2, 0,3) (9 分) 设

, (10 分) 则 =

(0,﹣3,﹣3) +(6λ,6λ,0) =(6λ,6λ﹣3, ﹣3) (11 分) 由 ,得

12λ﹣9=0,即 λ= (12 分) 又 EF?平面 LMN,所以, EF∥ 平面 LMN (13 分) 即在底面正方 形的对角线 AC 上存在符合题 意的点 F, CF= AC= cm. (14 分)

点评:

本题是基础题, 考查几何体的 三视图,准确判 断几何体的形
39

状是解题的关 键,注意空间直 角坐标系的应 用,是中档题, 考查计算能力, 逻辑思维能力. 22. (12 分) (2010?湖南模拟)如图是某三棱柱被削去一个底面后的直观图与侧视图、俯视图.已知 CF=2AD,侧 视图是边长为 2 的等边三角形;俯视图是直角梯形,有关数据如图所示. (Ⅰ )求该几何体的体积; (Ⅱ )求二面角 B﹣DE﹣F 的余弦值.

考点:

由三视图求面 积、体积;与二 面角有关的立 体几何综合题.
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专题: 分析:

计算题;综合 题. (Ⅰ ) 取 CF 中点 P,过 P 作 PQ∥ CB 交 BE 于 Q,连接 PD, QD,该几何体 的体积 V=V 三棱 柱 PDQ﹣ABC+VD﹣ EFPQ 然后求解 即可. (Ⅱ ) 取 BC 中点 O,EF 中点 R, 连接 OA,OR, 以 O 为原点, OB,OR,OA 所在直线分别 为 x, y, z 轴. 建 立空间直角坐 标系,求平面 ABED 的法向量 ,平面 DEF

40

的法向量为 利用



解答:

求二面角 B﹣ DE﹣F 的余弦 值. 解: (Ⅰ )取 CF 中点 P,过 P 作 PQ∥ CB 交 BE 于 Q, 连接 PD,QD, AD∥ CP,且 AD=CP. 四边形 ACPD 为平行四 边形, ∴ AC∥ PD, ∴ 平面 PDQ∥ 面 ABC. ∴

; (5 分) (Ⅱ ) 取 BC 中点 O,EF 中点 R, 连接 OA,OR. 则 OA⊥ BC, ∴ OA⊥ 平面 BCFE, OA⊥ OR. 又∵ OR⊥ BC,以 O 为原点,OB, OR, OA 所在直 线分别为 x,y, z 轴, 建立空间直角 坐标系, 则B (1, 0, 0) , D (0, 2, ) ,E(1,3, 0) ,F(﹣1,4, 0) 设平面 DEF 的 法向量为



41







设平面 ABED 的法向量



, ∴



∴ ∴

=

, 显然二面角 B﹣ DE﹣F 的平面 角为钝角, 所以二面角 B﹣ DE﹣F 的余弦 值为 分)
42

. (12

点评:

本题考查三视 图求体积,求几 何体的二面角, 考查学生空间 想象能力,逻辑 思维能力,是中 档题.

23. (12 分)如图已知四棱锥 S﹣ABCD 的底面是直角梯形,AB∥ DC,∠ DAB=90°,SA⊥ 底面 ABCD,且 SA=AD=DC= 是 SB 的中点.

(1)证明:平面 SAD⊥ 平面 SCD; (2)求 AC 与 SB 所成的角; (3)求二面角 M﹣AC﹣B 的大小.

考点:

专题: 分析:

平面与平面垂 直的判定;异面 直线及其所成 的角;与二面角 有关的立体几 何综合题. 计算题;证明 题. (1)利用面面 垂直的性质,证 明 CD⊥ 平面 SAD. (2)AC 中点 O,SC 中点 E, AB 中点 F,BC 中点 G,∠ EGF 是 AC、 SB 所成 的角(或补角) , △ EGF 中,使用 余弦定理求 ∠ EGF 的大小. (3)根据三垂 线定理可得, ∠ MOF 就是二面 角 M﹣AC﹣B 的平面角,解直 角三角形求此
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43

解答:

角的大小. 解: (1)由已知 可得:SA⊥ CD, CD⊥ AD∴ CD⊥ 平 面 SAD, (2 分) 而 CD?SCD,∴ 平面 SAD⊥ 平面 SCD(3 分) (2)设 AC 中 点 O,SC 中点 E,AB 中点 F, BC 中点 G,连 接 OE、 OF、 EF、 EG、FG EG∥ SB, FG∥ AC,∠ EGF 是 AC、 SB 所成 的角(或补角) (5 分) ∴

又 ∵



(7 分) ∴ AC 与 SB 所成 的角为 (8 分) (3)连接 MO, 根据三垂线定 理可得: MO⊥ AC,MF⊥ 面 ABCD, OF⊥ AC ∴ ∠ MOF 就是二 面角 M﹣AC﹣ B 的平面角(10 分)

44

∴ 二面角 M﹣ AC﹣B 的大小 为 (12 分) 本题考查证明 面面垂直的方 法,求线线角即 二面角的方法, 关键是进行等 价转化. ,AF=1,M 是线

点评:

24. (12 分) (2004?浙江)如图,已知正方形 ABCD 和矩形 ACEF 所在的平面互相垂直,AB= 段 EF 的中点. (Ⅰ )求证 AM∥ 平面 BDE; (Ⅱ )求二面角 A﹣DF﹣B 的大小.

考点:

直线与平面平 行的判定;与二 面角有关的立 体几何综合题.
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专题: 分析:

计算题;证明 题;转化思想. (Ⅰ )要证 AM∥ 平面 BDE, 直线 证明直线 AM 平行平面 BDE 内的直线 OE 即 可,也可以利用 空间直角坐标 系,求出向量 ,在平面 BDE 内求出向 量 , 证明二者

共线, 说明 AM∥ 平面 BDE, (Ⅱ )在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥ DF 于 S, 连 接 BS,说明
45

∠ BSA 是二面角 A﹣DF﹣B 的平 面角,然后求二 面角 A﹣DF﹣B 的大小;也可以 建立空间直角 坐标系,求出 , 说明 是平面 DFB 的法向量,求出 平面 DAF 的法 向量

解答:

,然后利用数量 积求解即可. 解:方法一 (Ⅰ )记 AC 与 BD 的交点为 O,连接 OE, ∵ O、M 分别是 AC、 EF 的中点, ACEF 是矩形, ∴ 四边形 AOEM 是平行四边形, ∴ AM∥ OE ∵ OE?平面 BDE,AM?平 面 BDE, ∴ AM∥ 平面 BDE (Ⅱ )在平面 AFD 中过 A 作 AS⊥ DF 于 S, 连 接 BS, ∵ AB⊥ AF, AB⊥ AD, AD∩ AF=A, ∴ AB⊥ 平面 ADF, ∴ AS 是 BS 在平 面 ADF 上的射 影, 由三垂线定理 得 BS⊥ DF ∴ ∠ BSA 是二面
46

角 A﹣DF﹣B 的平面角 在 Rt△ ASB 中,

∴ , ∴ 二面角 A﹣DF ﹣B 的大小为 60° 方法二 (Ⅰ )建立如图 所示的空间直 角坐标系 设 AC∩ BD=N, 连接 NE, 则点 N、E 的坐 标分别是 (

、 (0,0,1) , ∴ = (

, 又点 A、 M 的坐 标分别是 ( ) 、 (

∴ = (

∴ =

且 NE

与 AM 不共线, ∴ NE∥ AM 又∵ NE?平面 BDE,AM?平 面 BDE,
47

∴ AM∥ 平面 BDF (Ⅱ )∵ AF⊥ AB, AB⊥ AD, AF∩ AD=A, ∴ AB⊥ 平面 ADF ∴

为平面 DAF 的 法向量 ∵ ( =

? =0, ∴ ( =

?

=0 得

, ∴ NE 为

平面 BDF 的法 向量 ∴ cos< >= ∴ 的夹

角是 60° 即所求二面角 A ﹣DF﹣B 的大 小是 60°

48

点评:

本题考查直线 与平面平行,二 面角的知识,考 查空间想象能 力,逻辑思维能 力,是中档题

25. (12 分) (2010?济宁一模)四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,底面 ABCD 是矩形,BC=2CD=2, 又 PA=PD,∠ APD=90°,E、G 分别是 BC、PE 的中点. (1)求证:AD⊥ PE; (2)求二面角 E﹣AD﹣G 的大小.

考点:

专题: 分析:

二面角的平面 角及求法;直线 与平面垂直的 性质. 计算题. (1)取 AD 的 中点 O,连接 OP,OE,由已 知中 PA=PD, 结 合等腰三角形 “三线合一”的性 质,得到 OP⊥ AD, 进而得 到 OE⊥ AD,结 合线面垂直的
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解答:

判定定理,得到 AD⊥ 平面 OPE, 最后根据线面 垂直的性质得 到 AD⊥ PE; (2) 方法一 (几 何法)取 OE 的 中点 F,连接 FG,OG,结合 (1)中结论, 可得∠ GOE 就是 二面角 E﹣AD ﹣G 的平面角, 解三角形 GOE, 即可得到二面 角 E﹣AD﹣G 的大小. 方法二(向量 法) 以 O 为坐标 原点,建立如图 所示坐标系,分 别求出平面 ADG 和平面 EAD 的法向量, 代入向量夹角 公式,即可得到 二面角 E﹣AD ﹣G 的大小. 证明: (1) 如图, 取 AD 的中点 O,连接 OP, OE ∵ PA=PD, ∴ OP⊥ AD(2 分) 又 E 是 BC 的中 点,∴ OE∥ AB, ∴ OE⊥ AD. (4 分) 又 OP∩ OE=0, ∴ AD⊥ 平面 OPE. 而 PE?平面 OPE,∴ AD⊥ PE (6 分) (2) 解法一:取 OE 的中点 F,连接 FG,OG, 则由(1)易知
50

AD⊥ OG,又 OE⊥ AD, ∴ ∠ GOE 就是二 面角 E﹣AD﹣ G 的平面角(9 分) ∵ , , ∴ ∠ GOE=45° 即二面角 E﹣ AD﹣G 的大小 为 45°. (12 分) 解法二:建立如 图所示的空间 直角坐标系, 则A (1, 0, 0) , D(﹣1,0,0) , P(0,0,1) ,E (0,1,0)E(8 分) 设平面 ADG 的 法向量为 D,由 C 得 AB (10 分) 又平面 EAD 的 一个法向量为

又因为

= (11 分) ∴ 二面角 E﹣AD ﹣G 的大小为 45°. (12 分)

51

点评:

本题考查的知 识点是二面觚 平面角及求法, 直线与平面垂 直的判定与性 质,其中(1) 的关键是熟练 掌握空间中直 线与平面垂直 及直线与直线 垂直之间的转 化关系, (2)中 几何法的关系 是得到∠ GOE 就 是二面角 E﹣ AD﹣G 的平面 角,而向量法的 关键是求出两 个半平面的法 向量.

26. (14 分) (2010?广东模拟)已知四棱锥 P﹣ABCD 的三视图如图所示,其中主视图、侧视图是直角三角形,俯 视图是有一条对角线的正方形.E 是侧棱 PC 上的动点. (Ⅰ )求证:BD⊥ AE (Ⅱ )若 E 为 PC 的中点,求直线 BE 与平面 PBD 所成角的正弦值; (Ⅲ )若五点 A,B,C,D,P 在同一球面上,求该球的体积.

52

考点:

专题:

分析:

解答:

直线与平面所 成的角;简单空 间图形的三视 图;球的体积和 表面积. 计算题;证明 题;综合题;数 形结合. (Ⅰ )要证 BD⊥ AE, 只要证 BD⊥ 面 PAC,只 需证 BD⊥ AC, BD⊥ PC; (Ⅱ )要 求直线 BE 与平 面 PBD 所成角 的正弦值,必须 找到直线 BE 在 平面 PBD 内的 射影,由(Ⅰ ) 易找面 PBD 的 垂线,归结为解 直角三角形; (Ⅲ )补图,把 原图形补成一 个长方体,即求 该长方体的外 接球的体积. (Ⅰ )证明:由 已知 PC⊥ BC, PC⊥ DC?PC⊥ 面 ABCD ∵ BD?面 ABCD?BD⊥ PC , 又因为 BD⊥ AC,∴ BD⊥ 面 PAC, 又∵ AE?面 PAC, ∴ BD⊥ AE. (Ⅱ )解;连 AC 交 BD 于点 O, 连 PO, 由(1)知 BD⊥ 面 PAC,?面 BED⊥ 面 PAC, 过点 E 作 EH⊥ PO 于 H, 则 EH⊥ 面 PBD,
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∴ ∠ EBH 为 BE 与 平面 PBD 所成 的角. ∵ , , 则

. (Ⅲ )解:以正 方形 ABCD 为 底面,PC 为高 补成长方体,此 时对角线 PA 的 长为球的直径, ∴

,所以



点评:

π. 考查简单的空 间图形的三视 图,和线面垂直 的判定和性质 定理,以及线面 角的求法,和几 何体的外接球 的体积等知识, 综合性强,思维 跨度大,体现了 转化的思想方 法,和割补法, 属中档题.

27. (12 分) (2014?沙坪坝区二模)直四棱柱 ABCD﹣A1B1C1D1 中,底面 ABCD 为菱形,且∠ BAD=60°,AA1=AB1, E 为 BB1 延长线上的一点,D1E⊥ 面 D1AC. (Ⅰ )求二面角 E﹣AC﹣D1 的大小; (Ⅱ )在 D1E 上是否存在一点 P,使 A1P∥ 面 EAC?若存在,求 D1P:PE 的值,不存在,说明理由. 考点: 用空间向量求 平面间的夹角; 直线与平面平 行的判定. 空间角. (Ⅰ )建立空间
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专题: 分析:

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解答:

直角坐标系,求 出平面的法向 量,利用向量法 即可求二面角 E ﹣AC﹣D1 的大 小; (Ⅱ )根据线面 平行的判定定 理即可判断 A1P∥ 面 EAC. 解: (Ⅰ )设 AC 与 BD 交于 O, 如图所示建立 空间直角坐标 系 O﹣xyz, 设爿 AB=2,则 A( ,0,0) , B(0,1,0) ,C (﹣ , 0, 0) , D(0,﹣1,2) 设E (0, 1, 2+h) 则

∵ D1E⊥ 平面 D1AC, ∴ D1E⊥ AC, D1E⊥ D1A, ∴ 2﹣2h=0, ∴ h=1,即 E(0, 1,3) (3 分) ∴

设平面 EAC 的 法向量为

则由 得

, 令 z=﹣1 ∴ 平面 EAC 的一 个法向量为
55

又平面 D1AC 的 法向量为

, ∴ ,

∴ 二面角 E﹣AC ﹣D1 大小为 45°. (Ⅱ )设

, 得

, ∴

, ∵ A1P∥ 面 EAC, ∴ ∴ ,

, ∴ ∴ 存在点 P 使 A1P∥ 面 EAC, 此时 D1P: PE=3:2

56

点评:

本题主要考查 线面平行的判 定,以及二面角 的求法,建立坐 标系利用向量 法是解决本题 的关键.要求熟 练掌握向量法.

28. (14 分) (2014?安庆三模)在直三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,AD⊥ 平面 A1BC,其垂足 D 落在直线 A1B 上. (Ⅰ )求证:BC⊥ A1B; (Ⅱ )若 ,AB=BC=2,P 为 AC 的中点,求三棱锥 P﹣A1BC 的体积.

考点:

专题: 分析:

直线与平面垂 直的性质;棱 柱、棱锥、棱台 的体积. 证明题. (Ⅰ )欲证
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BC⊥ A1B,可寻 找线面垂直,而 A1A⊥ BC, AD⊥ BC.又 AA1?平面 A1AB,AD?平 面 A1AB, A1A∩ AD=A, 根 据线面垂直的 判定定理可知 BC⊥ 平面 A1AB,问题得
57

证; (Ⅱ )根据直三 棱柱的性质可 知 A1A⊥ 面 BPC,求三棱锥 P﹣A1BC 的体 积可转化成求 三棱锥 A1﹣ PBC 的体积, 先 求出三角形 PBC 的面积, 再 根据体积公式 解之即可. 解: (Ⅰ )∵ 三棱 柱 ABC﹣ A1B1C1 为直三 棱柱, ∴ A1A⊥ 平面 ABC,又 BC? 平面 ABC, ∴ A1A⊥ BC (2 分) ∵ AD⊥ 平面 A1BC,且 BC? 平面 A1BC, ∴ AD⊥ BC.又 AA1?平面 A1AB, AD?平面 A1AB, A1A∩ AD=A, ∴ BC⊥ 平面 A1AB, (5 分) 又 A1B?平面 A1BC, ∴ BC⊥ A1B; (6 分) (Ⅱ )在直三棱 柱 ABC﹣ A1B1C1 中, A1A⊥ AB. ∵ AD⊥ 平面 A1BC, 其垂足 D 落在直线 A1B 上, ∴ AD⊥ A1B. 在 Rt∠ △ ABD 中, , AB=BC=2,
58

解答:

,∠ ABD=60°, 在 Rt∠ △ ABA1 中,

. (8 分) 由(Ⅰ )知 BC⊥ 平面 A1AB, AB?平面 A1AB, 从而 BC⊥ AB,

. ∵ P 为 AC 的中 点,

(10 分) ∴ =

点评:

. (12 分) 本题主要考查 了直线与平面 垂直的性质,以 及棱柱、棱锥、 棱台的体积,考 查空间想象能 力、运算能力和 推理论证能力.

29. (12 分) (2010?济南一模)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,侧面 PAD 是正三角形,且垂直于底面 ABCD,底面 ABCD 是边长为 2 的菱形,∠ BAD=60°,M 为 PC 上一点,且 PA∥ 平面 BDM, (1)求证:M 为 PC 的中点; (2)求证:面 ADM⊥ 面 PBC.

考点:

平面与平面垂
59

专题: 分析:

直的判定. 证明题. (1)连接 AC, AC 与 BD 交于 G,根据线面平 行的性质可知 PA∥ MG, 而底面 ABCD 为菱形, 则 G 为 AC 的中 点, 从而 MG 为 △ PAC 的中位 线, 最终说明 M 为 PC 的中点. (2)取 AD 中 点 O,连接 PO, BO.分别以 OA,OB,OP 为 x、y、z 轴, 建立空间直角 坐标系,根据
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=0, =0 可得 DM⊥ BP, DM⊥ CB,再根 据线面垂直的 判定定理可知 DM⊥ 平面 PBC, 又 DM?平面 ADM, 满足面面 垂直的判定定 理所需条件. 证明: (1)连接 AC, AC 与 BD 交于 G,则面 PAC∩ 面 BDM=MG, 由 PA∥ 平面 BDM,可得 PA∥ MG(3 分) ∵ 底面 ABCD 为 菱形, ∴ G 为 AC 的中点, ∴ MG 为△ PAC 的 中位线. 因此 M 为 PC 的 中点. (5 分)

解答:

60

(2)取 AD 中 点 O,连接 PO, BO. ∵ △ PAD 是正三 角形, ∴ PO⊥ AD, 又因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD, 所以,PO⊥ 平面 ABCD, (7 分) ∵ 底面 ABCD 是 菱形且 ∠ BAD=60°, △ ABD 是正三角 形, ∴ AD⊥ OB. ∴ OA,OB,OP 两两垂直,建立 空间直角坐标 系

(7 分) 则A (1, 0, 0) , ∴



(9 分)

=(2,0,0) ∴

=0+0+0=0 ∴ DM⊥ BP, DM⊥ CB (11 分) ∴ DM⊥ 平面 PBC,又 DM? 平面 ADM, ∴ 面 ADM⊥ 面 PBC(12 分)

61

点评:

本题主要考查 平面与平面垂 直的判定,以及 线面平行的性 质和利用向量 法证明立体几 何的有关问题, 同时考查了空 间想象能力,计 算能力和推理 能力,以及转化 与划归的思想, 属于中档题.

30. (14 分)如图,在四棱锥 P﹣ABCD 中,底面是正方形,侧面 PAD⊥ 底面 ABCD,且 PA=PD= 分别为 PC、BD 的中点. (Ⅰ ) 求证:EF∥ 平面 PAD; (Ⅱ ) 求证:EF⊥ 平面 PDC.

AD,若 E、F

考点:

专题: 分析:

空间中直线与 平面之间的位 置关系. 证明题. 对于(Ⅰ ) ,要证 EF∥ 平面 PAD, 只需证明 EF 平 行于平面 PAD 内的一条直线 即可,而 E、F
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62

分别为 PC、BD 的中点,所以连 接 AC, EF 为中 位线,从而得 证; 对于(Ⅱ )要证 明 EF⊥ 平面 PDC,由第一问 的结论, EF∥ PA,只需证 PA⊥ 平面 PDC 即可,已知 PA=PD= AD

,可得 PA⊥ PD, 只需再证明 PA⊥ CD, 而这需 要再证明 CD⊥ 平面 PAD, 由于 ABCD 是 正方形,面 PAD⊥ 底面 ABCD,由面面 垂直的性质可 以证明,从而得 证.

解答:

证明: (Ⅰ )连接 AC, 则 F 是 AC 的中点,在 △ CPA 中, EF∥ PA (3 分) 且 PA?平面 PAD,EF?平面 PAD, ∴ EF∥ 平面 PAD (6 分) (Ⅱ )因为平面 PAD⊥ 平面 ABCD,平面 PAD∩ 平面
63

ABCD=AD, 又 CD⊥ AD,所 以 CD⊥ 平面 PAD, ∴ CD⊥ PA(9 分) 又 PA=PD= AD

, 所以△ PAD 是等 腰直角三角形, 且∠ APD= , 即

点评:

PA⊥ PD(12 分) 而 CD∩ PD=D, ∴ PA⊥ 平面 PDC, 又 EF∥ PA, 所以 EF⊥ 平面 PDC (14 分) 本题考查线面 平行的判定及 线面垂直的判 定,而其中的转 化思想的应用 值得注意,将线 面平行转化为 线线平行;证明 线面垂直,转化 为线线垂直,在 证明线线垂直 时,往往还要通 过线面垂直来 进行.

31. (14 分) (2008?安徽)如图,在四棱锥 O﹣ABCD 中,底面 ABCD 四边长为 1 的菱形,∠ ABC= ABCD,OA=2,M 为 OA 的中点,N 为 BC 的中点. (Ⅰ )证明:直线 MN∥ 平面 OCD; (Ⅱ )求异面直线 AB 与 MD 所成角的大小; (Ⅲ )求点 B 到平面 OCD 的距离.

,OA⊥ 底面

64

考点:

分析:

用空间向量求 直线间的夹角、 距离;用向量证 明平行. 方法一: (1)取 OB 中点 E,连 接 ME,NE,证 明平面 MNE∥ 平 面 OCD,方法 是两个平面内 相交直线互相 平行得到,从而 的到 MN∥ 平面 OCD; (2)∵ CD∥ AB, ∴ ∠ MDC 为异面 直线 AB 与 MD 所成的角(或其 补角) 作 AP⊥ CD 于 P,连接 MP ∵ OA⊥ 平面 ABCD, ∴ CD⊥ MP 菱形 的对角相等得 到 ∠ ABC=∠ ADC=
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, 利用菱形边长 等于 1 得到 DP= , 而 MD

利用勾股定理 求得等于 , 在直角三角形 中,利用三角函 数定义求出即 可. (3)AB∥ 平面 OCD,∴ 点A和 点 B 到平面 OCD 的距离相 等,连接 OP, 过点 A 作 AQ⊥ OP 于点 Q, ∵ AP⊥ CD, OA⊥ CD,∴ CD⊥ 平面 OAP,
65

∴ AQ⊥ CD, 又∵ AQ⊥ OP, ∴ AQ⊥ 平面 OCD,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的 距离,求出距离 可得. 方法二: (1)分 别以 AB,AP, AO 所在直线为 x,y,z 轴建立 坐标系,分别表 示出 A,B,O, M,N 的坐标, 求出 , ,

的坐标表示.设 平面 OCD 的法 向量为 = (x, y, z) ,则

, 解得

,∴ MN∥ 平面 OCD (2)设 AB 与 MD 所成的角为 θ,表示出 ,利用 a?b=|a||b|cosα 求 出叫即可. (3)设点 B 到 平面 OCD 的距 离为 d,则 d 为 在向量 和

上的投影的绝 对值,由

66

, 得

. 所以点 B 到平 面 OCD 的距离 为 . 解答: 解:方法一(综 合法) (1)取 OB 中 点 E, 连接 ME, NE ∵ ME∥ AB, AB∥ CD, ∴ ME∥ CD 又∵ NE∥ OC,∴ 平面 MNE∥ 平面 OCD∴ MN∥ 平面 OCD (2)∵ CD∥ AB, ∴ ∠ MDC 为异面 直线 AB 与 MD 所成的角(或其 补角) 作 AP⊥ CD 于 P, 连接 MP ∵ OA⊥ 平面 ABCD, ∴ CD⊥ MP ∵ ∴ , ,

, ∴

所以 AB 与 MD 所成角的大小 为 .

(3)∵ AB∥ 平面 OCD, ∴ 点 A 和点 B 到
67

平面 OCD 的距 离相等,连接 OP,过点 A 作 AQ⊥ OP 于点 Q, ∵ AP⊥ CD, OA⊥ CD, ∴ CD⊥ 平面 OAP, ∴ AQ⊥ CD. 又∵ AQ⊥ OP, ∴ AQ⊥ 平面 OCD,线段 AQ 的长就是点 A 到平面 OCD 的 距离, ∵

, ∴



, 所以点 B 到平 面 OCD 的距离 为 .

方法二(向量 法) 作 AP⊥ CD 于点 P,如图,分别 以 AB, AP, AO 所在直线为 x, y, z 轴建立坐标 系: A(0,0,0) , B(1,0,0) ,



, O(0,0,2) , M(0,0,1) ,

68

(1)





设平面 OCD 的 法向量为 n= (x, y,z) ,则 ? ? 即 =0, =0

取 ∵ ? = (

,解得





﹣1)?(0,4, )=0, ∴ MN∥ 平面 OCD. (2)设 AB 与 MD 所成的角为 θ, ∵



, ∴ , AB 与

MD 所成角的大 小为 .

(3)设点 B 到
69

平面 OCD 的距 离为 d,则 d 为 在向量 = (0,4, ) 上的投影的绝 对值, 由

,得 d= =

所以点 B 到平 面 OCD 的距离 为 .

点评:

培养学生利用 多种方法解决 数学问题的能 力,考查学生利 用空间向量求 直线间的夹角 和距离的能力.

70

参与本试卷答题和审题的老师有:yhx01248;qiss;minqi5;zzwxgp;邢新丽;wodeqing;翔宇老师;caoqz;sllwyn; 301137;742048;maths;394782;wdlxh;xintrl(排名不分先后)
菁优网 2014 年 10 月 2 日

71


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