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高三一轮复习 两角和与差及倍角公式(二) 学案


云南衡水实验学校补习班学案

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学案 19

两角和与差及倍角公式(2)
<

br />② f ( x) ? (sin x ? cos x) cos x .

? ③ f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 6

[考点导读]
1.能熟练运用两角和与差公式,二倍角公式求三角函数值; 2.三角函数求值类型:“给角求值”,“给值求值”,“给值求角” .

④ f ( x) ? 2 ? ( 3sin x ? cos x)2 ;

[知识梳理]
α α α 1.用 cos α 表示 sin2 ,cos2 ,tan2 .(降幂公式) 2 2 2 α 1-cos α sin2 = ; 2 2 α α 1+cos α cos2 = ; 2 2 α 1-cos α tan2 = . 2 1+cos α

2.用 sin α,cos α 表示 tan2.(半角化单角)
1-cos α α sin α tan = = . 2 1+cos α sin α

3.辅助角公式(角 φ 称为辅助角)
a sin x ? b cos x ? a 2 ? b 2 ? sin ? x ? ? ? , 其中sin ? ?

考点二_____三角公式的综合应用_______________________ x 2sin22-1 π (1) 若 f(x)=2tan x- ,则 f( x x 12)的值为________. sin 2cos 2
b a 2 ? b2 , cos ? ? a a 2 ? b2


? 3 17? 7? sin 2 x ? 2sin 2 x ?x? (2) 若 cos( ? x) ? , ,求 的值. 4 5 12 4 1 ? tan x
(3)已知 sin α+cos α= π? π? 3 3 5 ? ? ?π π? ,α∈?0,4?,sin?β-4?= ,β∈?4,2?. 5 ? ? ? ? 5 ? ? ②求 cos(α+2β)的值.

4.课前自我测试 1.写出下列各式的值: (1) 2sin15? cos15? ? _________; (2) cos2 15? ? sin 2 15? ? _________; (3) 2sin 2 15? ? 1 ? _________; (5) cos (4) sin 2 15? ? cos2 15? ? _________; (6)
tan 42? ? tan 18? 1 ? tan 42? tan 18?

①求 sin 2α 和 tan 2α 的值;

?
12

cos

5? ? _________; 12

=

. ; ;

2.化简: ( 1)

3 1 sin ? ? cos ? =______ 2 2

_ ; ;

(2) 3 sin x ? cos x = (4) sin x ? cos x =

(3) 2 sin x ? 6 cos x = (5) 4sin x ? 3cos x =

考点一_____辅助角公式的应用_______________ 把下列各函数化为 y ? A sin(?x ? ? ) +k 形式: ① f ( x ) ? 3 sin x cos x ? cos 2 x ?
1 2

补习是一种勇气,补习是一次重新开始,我们全体数学人陪你共同走过这最困难的日子。

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(3) f(x)=2cos2x+sin 2x

(4) f ( x) ? 2 cos x cos(

3? ? x) ? 3(2 cos 2 x ? 1) ; 2

1.sin

? ? - 3 cos 的值是. 12 12
B. — 2 C.





A.0

2

D.

2 sin

5? 12

1 2.已知 cos( ? ? ? ) cos ? ? sin(? ? ? ) sin ? ? ,则 cos 2? ? 3 7 2 7 A B C ? 9 3 9 ? 3 3.已知 sin( ? ? ) ? ,则 cos(? ? 2? ) 等于 2 5 12 12 7 7 A. B. ? C. ? D. 25 25 25 25 3 4.已知 cos ? ? ,则 cos 2? ? sin 2 ? 的值为 5 9 18 23 A. B. C. 25 25 25

( D
? 2 3



? (5) f ( x) ? 4 cos x sin( x ? ) ? 1 ; 6

π π (6) f(x)= 2sin(4-x)+ 6cos(4-x)





( D.
34 25

) ?π ? 10.已知 tan?4+θ?=3,则 sin 2θ-2cos2θ 的值为________. ? ? 11.化简:(1)cos 20° cos 40° cos 60° cos 80° ; (2) 3-4cos 2α+cos 4α .[来源:学 3+4cos 2α+cos 4α

5. tan

?
12

?

1 tan

?
12

等于





A.4

B.—4

C. 2 3

D.— 2 3 [来源:学科网 ZXXK]

6.已知 ? ? R, sin ? ? 2 cos? ? A.
4 3

10 ,则 tan 2? ? 2


3 4

) 12.已知正实数 a,b 满足

a sin

B.

3 4

C. ?

D. ?

4 3

5 ? tan 8? ,求 b 的值 。 ? ? 15 a a cos ? b sin 5 5 5

?

? b cos

?

7.已知 a∈(

? 5 , ? ),sinα= ,则 tan2α=_______ 2 5

π? 1 ? 8.设 θ 为第二象限角,若 tan ? ? ? ? ? ,则 sinθ+cosθ=__________. 4? 2 ?
9.把下列各函数化为 y ? A sin(?x ? ? ) +k 形式: (1) y ? 1 ? 2 sin 2 ( x ?
3? ) 4

(2) f ( x ) ? cos 2 x ?

1 2

3 sin x cos x 2

[小结与反思]

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测案 18

两角和与差及倍角公式(2)

(本案共 15 题,1-12 每题 5 分,第 13,14 题各 10 分,总分 80 分)

4 12 ? 3? 13. 设 cos(? ? ? ) ? ? , cos(? ? ? ) ? ,且 ? ? ? ? ( , ? ) , ? ? ? ? ( , 2? ) ,求 cos 2? , cos 2 ? . 5 13 2 2

1.设 0 ? x ? 2? ,且 1 ? sin 2x ? sin x ? cos x ,则 A. 0 ? x ? ? B.

( C.



?
4

?x?

7? 4

?
4

?x?

5? 4

D.

?
2

?x?

3? 2

2.已知 sin2α= ,则 cos2( A. 3.若 tan ? +
1 A. 5

)= C. D.





B.
1 =4,则 sin2 ? = tan ?


1 D. 2

) 1 13 π 14. 已知 cos α=7,cos(α-β)=14,且 0<β<α<2,求 β.

1 1 B. C. 4 3 π? π? 4 3 ? ? 4.已知 sin?α+6?+cos α= 5 ,则 sin?α+3?的值为 ? ? ? ?

( 3 D. 5 ( D.- 2
3 3

)

4 A.5

3 B.5
9

3 C. 2

5.若 θ 是第三象限的角,且 sin4θ+cos4θ= 5 ,那么 sin2θ 的值为 A. 2
3

)

B.- 2
3

C. 2
3 , 则 cos2α= 3

3 3

6.已知 α 为第二象限角,sin ? ? cos? ? A. -

( D.

)

5 5 5 B. C. 3 9 9 2 2sin α + sin 2 α π 1 π ? ? 7. 已知 tan?α+ ?= , 则 4? 2 且-2<α<0, π? 等于 ? ? cos?α-4? ? ?
A.- 2 5 5 B.-
2

5 3
( )

3 5 10

C.- .

3 10 10

D.

2 5 5

1 8.若 ? ? (0, ) ,且 cos ? ? sin( ? 2? ) ? ,则 tan ? ? 2 2 2

?

?

答题情况统计
题号 1 2 3 4 5 6 7 8

9.若 sin(? ? 10.已知 tan 11.若

?

?

6

) ? 3 sin(

?

2

? ? ) ,则 tan 2? ? ___

_;

2

? 3 ,则 cos? ? ______ __.
题号 9 10 11 12 13 14 15

cos 2? 2 ,则 cos ? ? sin ? ? _________. ?? π? 2 ? sin ? ? ? ? 4? ?
_.

? ? 3 cos ? 12.已知 ? ? (0, ),cos(? ? ) ? ,则 =_ 2 4 5 cos 2?

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. ① f ( x) ?

学案 19

两角和与差及倍角公式(2)参考答案

π? π? ? π? 24 π? 24 ? ? ? ?π ? 2?β-4?=2sin?β-4?cos?β-4?=25.又 sin 2?β-4?=-cos 2β, ∴cos 2β=-25, 又∵2β∈?2,π?, ∴sin ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 1+cos 2α 4? π?? 7 2 5 5 ? ?α∈?0,4??,∴cos α= 2β=25,又∵cos2α= = , sin α = 2 5? 5 5 .∴cos(α+2β)=cos αcos 2β ? ?? 2 5 ? 24? 5 7 11 5 ?-25?- × =- -sin αsin 2β= 5 × 25 . ? ? 5 25 1. B 2.C 3.

3 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? sin( 2 x ? ) 2 2 6
1 2
2 ? 1 1 ? cos2 x ? sin(2 x ? ) ? 2 4 2 2

② f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? sin 2x ?

? 3 1 ③ f ( x) ? 4cos x sin( x ? ) ? 1 ? 4cos x( sin x ? cos x) ? 1 6 2 2
2

? 2 3 sin x cos x ? 2 cos x ? 1 ? 3 sin 2 x ? cos 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

④ f ( x) ? 2 ? (3sin2 x ? cos2 x ? 2 3sin x cos x)

? cos2 x ? sin 2 x ? 2 3 sin x cos x ? cos 2 x ? 3 sin 2 x ? 2sin(2 x ? ) 6

?

4.

考点二_____三角公式的综合应用_______________________ x 1-2sin2 2 2cos x 2 4 π 4 (1)因为 f(x)=2tan x+ 1 =2tan x+ sin x =sin xcos x=sin 2x,所以 f(12)= π= sin 6 2sin x 8.
17? 7? 5? ? ?x? ? x ? ? 2? , ,? 12 4 3 4 ? 3 ? 4 ? 4 又 cos( ? x) ? ,? sin( ? x) ? ? , tan( ? x) ? ? . 4 5 4 5 4 3

5.

(2)解法一:?

? ? 2 7 2 ,? sin x ? ? , tan x ? 7 . ? cos x ? cos[( ? x) ? ] ? ? 4 4 10 10
7 2 2 7 2 2 2 ? (? ) ? (? ) ? 2 ? (? ) 28 10 10 10 ?? . 所以,原式= 1? 7 75
sin 2 x ? sin 2 x ? tan x sin 2 x(1 ? tan x) ? ? ? sin 2 x ? tan( ? x) 1 ? tan x 1 ? tan x 4 ? ? ? 7 2 ? 又 sin 2 x ? sin[2( ? x) ? ] ? ? cos 2( ? x) ? ?[?2 cos ( ? x) ? 1] ? , 4 2 4 4 25 7 4 28 ? (? ) ? ? . 所以,原式 ? 25 3 75 π? 9 9 4 ? (3)①由题意得(sin α+cos α)2=5, 即 1+sin 2α=5, ∴sin 2α=5.又 2α∈?0,2?, ∴cos 2α= 1-sin22α ? ?
解法二:原式=

6. C

4 ? 2 tan ? 4 2 5 sin ? 1 5 ?? . 7. ? .由 a∈( ,? ), sinα= 得 cos ? ? ? , tan ? ? ? ? , tan 2? ? 2 3 1 ? tan ? 3 2 5 cos ? 2 5

1 1 π ? 1 ? tan ? 1 ? 8.由 tan ? ? ? ? ? ? ,得 tan θ= ? ,即 sin θ= ? cos θ.将其代入 sin2θ+cos2θ=1,得 3 3 4 ? 1 ? tan ? 2 ? 10 3 10 10 10 cos 2? ? 1 .因为 θ 为第二象限角,所以 cos θ= ? ,sin θ= ,sin θ+cos θ= ? . 9 10 10 5

9. (1) y ? 1 ? 2sin 2 ( x ?

3? 3? ) ? cos 2( x ? ) ? ? sin 2 x 4 4

(2) ?

1 ? cos 2 x 3 1 ? 1 ? sin 2 x ? cos(2 x ? ) ? 4 4 2 3 4

π? ? (3)∵f(x)=2cos2x+sin 2x=1+cos 2x+sin 2x=1+ 2sin?2x+4? ? ? 3? (4) f ( x) ? 2 cos x cos( ? x) ? 3(2 cos 2 x ? 1) ? 2cos x sin x ? 3 cos 2x ? sin 2 x ? 3 cos 2 x 2
? 2 sin(2 x ?

π? π? 3 π? 4 3 sin 2α 4 π ? ?π π? ? ? =5,∴tan 2α=cos 2α=3.②∵β∈?4,2?,β-4∈?0,4?,sin?β-4?=5,∴cos?β-4?=5,于是 sin ? ? ? ? ? ? ? ?

?
3

)

1 π 3 π ? (5); f ( x) ? 2sin(2 x ? ) (6) f(x)=2 2[2sin(4-x)+ 2 cos(4-x)] 6

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π π π π π π π =2 2[sin6sin(4-x)+cos6cos(4-x)]=2 2cos(6-4+x) =2 2cos(x-12). 10.法一 1+tan θ 1 ?π ? ∵tan?4+θ?=3,∴ =3,解得 tan θ=2.∵sin 2θ-2cos2 θ=sin 2θ-cos 2θ-1= ? ? 1-tan θ sin 2θ-2cos2 θ=sin

1.C

2.∵sin2α= ,∴cos2(

)=

=

=

= .

2 2 1-tan2 θ 2sin θcos θ cos θ-sin θ 2tan θ 4 3 4 - -1= - -1=5-5-1=-5.法二 sin2θ+cos2θ sin2θ+cos2θ 1+tan2 θ 1+tan2 θ

?π ? ?π ? 1-tan2?4+θ? 2tan?4+θ? 1-9 2× π π ? ? ? ? 3 ? ? ? ? 2θ-cos 2θ-1=-cos?2+2 θ?-sin?2+2θ?-1=- - - 1 =- - π π ? ? ? ? 1 + 9 1 + 9 ? ? ? ? 1+tan2?4+θ? 1+tan2?4+θ? ? ? ? ? 4 -1=-5. = sin 2α sin 40° sin 80° 1 sin 160° 11. (1)∵sin 2α=2sin αcos α,∴cos α=2sin α,∴原式=2sin 20° · · 2sin 40° 2· 2sin 80°
2 2 2 2

sin ? cos? sin 2 ? ? cos2 ? 1 1 1 ? 4 得, ? ? ? 4 ,即 ? 4 ,所以 sin 2? ? , 1 tan ? 2 cos? sin ? sin ? cos? sin 2? 2 π? 4 3 3 4 3 1 3 4 ? 4.由条件得 2 sin α+2cos α= 5 ,即2sin α+ 2 cos α=5.∴sin?α+3?=5. ? ?

3. 由 tan ? ?

5.(sin2 ? +cos2 ? )=cos4 ? +2sin2 ? · cos2 ? +cos4 ? ,
5 1 2 8 ? sin 2? ? 1,? sin 2 2? ? . 9 2 9 3? 又 ? 2k? ? ? ? ? ? 2k? ? ,? 4k? ? 2? ? 20? ? 4k? ? 3?. 2 sin 2? ? 0.即sin ? 2 2 . 3

sin?180° -20° ? 1 3-4cos 2α+2cos 2α-1 ?1-cos 2α? ?2sin α? 4 = . (2) 原式= = = 2 2=tan α. 16sin 20° 16 3+4cos 2α+2cos22α-1 ?1+cos 2α?2 ?2cos α?

8 ? 8 ? sin? 8 ? ? ? ? ? b ? 8 ? ? sin ? ? cos ? cos ? ? sin sin ? cos sin ? b ? 15 5? ? 15 5 15 5 5 a 5 15 ? ? ? tan ? 3. 12.解法一:由题设得 ? ? 8 ? 8 ? ? b ? 8 ?? a 3 ?8 cos ? ? cos ? sin ? ? sin cos ? sin cos ? cos? ? ? ? 15 5 15 5 5 a 5 15 5? ? 15
解法二: 因为a sin

?
5

? b cos

?

?? ? ? a 2 ? b2 sin ? ? ? ?, 5 ?5 ?

1 2 3 所以两边平方得 1 ? 2 sin ? cos ? ? ,所以 2 sin ? cos ? ? ? ? 0 ,因为已 3 3 3 2 5 15 知 α 为第二象限角,所以 sin ? ? 0, cos? ? 0 , sin ? ? cos? ? 1 ? 2 sin ? cos? ? 1 ? ? , ? 3 3 3 15 3 5 所以 cos2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? (cos? ? sin ? )(cos? ? sin ? ) = ? ,选 A. ? ?? 3 3 3 π? tan α+1 1 1 π 10 ? 7. A 由 tan?α+ ?= 4? 1-tan α=2,得 tan α=-3.又-2<α<0,所以 sin α=- 10 . ?

6. A,因为 sin ? ? cos? ?

b ?? ? ? a 2 ? b 2 cos ? ? ? ?,其中 tan ? ? , 5 5 a ?5 ? 8? ?? ? 由题设得 tan ? ? ? ? ? tan . 15 ?5 ? ? 8 ? 所以 ? ? ? k? ? ?,即? ? k? ? , 5 15 3 b ?? ? ? 故 ? tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3. a 3? 3 ? a cos ? b sin

?

?



2sin α+sin 2α 2sin α? sin α+cos α? 2 5 = = 2 2sin α =- π? 5 . ? 2 cos?α-4? ? ? 2 ? sin α+cos α?
1 2

2

8. 1

9. ?

5 3 11



10.

4 5

11.

12.

35 2 48

4 ? 3 13. 由 cos(? ? ? ) ? ? , ? ? ? ? ( , ? ) ,得 sin(? ? ? ) ? ,同理,可得 5 2 5

sin(? ? ? ) ? ?

? b tan ? 8 解法三: 原式可变形为: 5 a ? tan ?, b ? 15 1 ? tan a 5
tan ? tan ? b 8 ?? ? 5 令 tan ? ? ,则有 ? tan ? ? ? ? ? tan ?, ? a 15 ?5 ? 1 ? tan ? ? tan 5 ? 8 ? 由此可? ? ? k? ? ? ? k ? Z ? , 所以? ? k? ? , ?k ? Z ? 5 15 3 ?? ? b ? 故 tan ? ? tan ? k? ? ? ? tan ? 3,即 ? 3 3? 3 a ?

5 33 63 ? cos 2? ? cos[(? ? ? ) ? (? ? ? )] ? ? ,同理,得 cos 2 ? ? ? . 13 65 65

π π 13 1 π 4 3 14.∵0<β<α<2,∴0<α-β<2. 又∵cos(α-β)=14,cos α=7,0<β<α<2,∴sin α= 1-cos2α= 7 , 3 3 ∴sin(α-β)= 1-cos2?α-β?= 14 ,∴cos β=cos[α-(α-β)]=cos αcos(α-β)+sin αsin(α-β) 1 13 4 3 3 3 1 =7×14+ 7 × 14 =2. π π ∵0<β<2, ∴β=3.

?

测案 18

两角和与差及倍角公式(2)
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