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2014届高中数学步步高大一轮复习讲义专题四


数学

北(理)

专题四 数列的综合应用

基础知识·自主学习
要点梳理
1.数列常与不等式结合,如比较大小、不等式恒成立、求参数范围 等,需熟练应用不等式知识解决数列中的相关问题. 2.数列作为特殊的函数,在实际问题中有着广泛的应用,如增长率、 银行信贷、分期付款、合理定价等. 3.解答数列应用题的基本步骤 (1)审题——仔细阅读材料,认真理解题意. (2)建模——将已知条件翻译成数学(数列)语言,将实际问题转化 成数学问题,弄清该数列的结构和特征. (3)求解——求出该问题的数学解. (4)还原——将所求结果还原到原实际问题中.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

基础知识·自主学习
要点梳理

4.数列应用题常见模型 (1)等差模型:如果增加(或减少)的量是一个固定量时,该模 型是等差模型,增加(或减少)的量就是公差. (2)等比模型: 如果后一个量与前一个量的比是一个固定的数 时,该模型是等比模型,这个固定的数就是公比. (3)递推数列模型: 如果题目中给出的前后两项之间的关系不 固定, 随项的变化而变化时, 应考虑是 an 与 an+1 的递推关系, 还是 Sn 与 Sn+1 之间的递推关系.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

基础知识·自主学习
基础自测

题号
1 2 3 4
2n-1

答案
5

解析

10
11

n+2 2- 2n

5

C
题型分类
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列与等比数列的综合应用
在等差数列 {an}中,a10
思维启迪 解析 探究提高

=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2 an-10 ,证明:数列 {bn}为等比数列.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列与等比数列的综合应用
在等差数列 {an}中,a10
思维启迪 解析 探究提高

=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2 an-10 ,证明:数列 {bn}为等比数列.

第(1)问列首项 a1 与公差 d 的 方程组求 an;第(2)问利用定 义证明.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列与等比数列的综合应用
在等差数列 {an}中,a10
思维启迪 解析 探究提高

=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2 an-10 ,证明:数列 {bn}为等比数列.

(1)解

由 an=a1+(n-1)d,a10

=30,a20=50,
? ?a1+9d=30, 得方程组? ? ?a1+19d=50, ? ?a1=12, ? ? ?d=2.

解得

∴an=12+(n-1)· 2=2n+10.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列与等比数列的综合应用
在等差数列 {an}中,a10
思维启迪 解析 探究提高
an-10

=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2 an-10 ,证明:数列 {bn}为等比数列.

(2)证明

由(1),得 bn=2

=22n+10-10=22n=4n,

bn+1 4n+1 ∴ b = 4n =4, n ∴{bn}是首项是 4,公比 q=4 的等比数列.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型一
【例 1】

等差数列与等比数列的综合应用
在等差数列 {an}中,a10
思维启迪 解析 探究提高

=30,a20=50. (1)求数列{an}的通项 an; (2)令 bn=2 an-10 ,证明:数列 {bn}为等比数列.

对等差、 等比数列的综合问题的 分析,应重点分析等差、等比数 列的通项及前 n 项和;分析等 差、等比数列项之间的关系.往 往用到转化与化归的思想方法.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 1 数列 {an}
解 (1)由 an+1=2Sn+1, 可得 an=2Sn-1+1 (n≥2),

的前 n 项和记为 Sn,a1 = 1 , an + 1 = 2Sn + 1 (n≥1). (1)求{an}的通项公式; (2) 等差数列 {bn} 的各项

两式相减得 an+1-an=2an,则 an+1=3an (n≥2).
又 a2=2S1+1=3,∴a2=3a1.
故{an}是首项为 1,公比为 3 的等比数列, ∴an=3n-1. (2)设{bn}的公差为 d, 由 T3=15,b1+b2+b3=15,
可得 b2=5,故可设 b1=5-d,b3=5+d,又 a1=

为正, 其前 n 项和为 Tn, 1,a2=3,a3=9, 且 T3=15,又 a1+b1, 由题意可得(5-d+1)(5+d+9)=(5+3)2, a2+b2, a3+b3 成等比数 列,求 Tn.
解得 d1=2,d2=-10.
∵等差数列{bn}的各项为正,∴d>0,∴d=2,b1 n?n-1? =3,∴Tn=3n+ ×2=n2+2n. 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 f(2
an

数列与函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

已知函数 f(x)=log2x-

logx2(0<x<1) , 数 列 {an} 满 足 )=2n (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 f(2
an

数列与函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

已知函数 f(x)=log2x-
*

logx2(0<x<1) , 数 列 {an} 满 足 )=2n (n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性.

(1)将 an 看成一个未知数,解 方程即可求出 an; (2)通过比 较 an 和 an+1 的大小来判断数 列{an}的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 f(2
an

数列与函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高
a

已知函数 f(x)=log2x-



(1) 由 已 知 得 log22 n -

logx2(0<x<1) , 数 列 {an} 满 足 )=2n (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性.

1 =2n, log22an 1 ∴an-a =2n,即 a2 n-2nan-1=0. n
∴an=n± n2+1.
∵0<x<1,∴0<2
(2)方法一
an

<1,∴an<0.

∴an=n- n2+1.
∵an+1-an=(n+1) - ?n+1?2+1 - (n - n2+1 ) 2n+1 =1- ?n+1?2+1+ n2+1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 f(2
an

数列与函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

已知函数 f(x)=log2x-
*

logx2(0<x<1) , 数 列 {an} 满 足 )=2n (n∈N ). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性.

2n + 1 >1- = 0, ?n+1?+n

∴an+1>an,∴{an}是递增数列. an+1 方法二 ∵ a = n ?n+1?- ?n+1?2+1 n- n2+1

n+ n2+1 = <1, n+1+ ?n+1?2+1
又∵an<0,∴an+1>an,∴{an}是 递增数列.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型二
【例 2】 f(2
an

数列与函数的综合应用
思维启迪 解析 探究提高

已知函数 f(x)=log2x-

本题融数列、方程、函数单调性 等知识为一体,结构巧妙、形式 新颖,着重考查逻辑分析能力.

logx2(0<x<1) , 数 列 {an} 满 足 )=2n (n∈N*). (1)求数列{an}的通项公式; (2)判断数列{an}的单调性.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 等比数列


{an}的前 n 项和为 Sn, 已知对任意的 n∈N*, 点(n,Sn)均在函数 y=

(1)由题意,Sn=bn+r,当 n≥2 时,Sn-1


=bn-1+r.
所以 an=Sn-Sn-1=bn 1(b-1).

由于 b>0 且 b≠1,

bx+r(b>0 且 b≠1,b, 所以 n≥2 时, {an}是以 b 为公比的等比数列. r 均为常数)的图像上. 又 a =b+r,a =b(b-1),a2=b,即b?b-1? 1 2 a1 b+r (1)求 r 的值; =b,解得 r=-1. (2)当 b=2 时,记 bn= * n-1 n-1 (2) 由 (1) 知, n ∈ N , a = ( b - 1) b = 2 , n n+ 1 (n∈N*) , 求 数 列 4an n+1 n+1 {bn}的前 n 项和 Tn.
基础知识
所以 bn= - = + . 4×2n 1 2n 1

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
变式训练 2 等比数列
n+1 1 2 3 4 2 3 Tn= 2+ 3+ 4+?+ n+2 , Tn= 3+ 4+? 2 2 2 2 2 2 2 n+1 n 1 2 1 1 + n+1 + n+2 ,两式相减得 Tn = 2 + 3 + 4 2 2 2 2 2 2 1 ? 1 ? ×?1- - ? n+1 1 23 ? 2n 1? n+1 1 + ? + n+1 - n+2 = + - n+2 2 1 2 2 2 1- 2 n+1 3 1 = - n+1- n+2 , 4 2 2 3 1 n+1 3 n+3 故 Tn= - n- n+1 = - n+1 ,n∈N*. 2 2 2 2 2

{an}的前 n 项和为 Sn, 已知对任意的 n∈N*, 点(n,Sn)均在函数 y= bx+r(b>0 且 b≠1,b, r 均为常数)的图像上. (1)求 r 的值; (2)当 b=2 时,记 bn= n+ 1 (n∈N*) , 求 数 列 4an {bn}的前 n 项和 Tn.
基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n, 有 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2 1 a1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n, 有 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2 1 a1

根据前几项关系易求 a1,可以 构造数列求 an,进而利用放缩 法证明不等式.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n, 有 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2 1 a1

(1)解

∵a1,a2+5,a3 成等差

数列, ∴2(a2+5)=a1+a3. 又 2Sn=an+1-2n+1+1,

∴2S1=a2-22+1,2S2 =a3-23+1,

∴2a1=a2-3,2(a1+a2)=a3-7. ?2?a2+5?=a1+a3, ? 由?2a1=a2-3, ?2?a +a ?=a -7 ? 1 2 3 得

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 (3)证明: 对一切正整数 n, 有 a1 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2

?a1=1, ? ?a2=5, ∴a1=1. ?a =19. ? 3 + (2)解 ∵2Sn=an+1-2n 1+1,①
∴ 当 n≥2 时, 2Sn - 1 = an - 2n +1. ②

① - ② 得 2an = an +1 -an - 2n + 1 +2n,∴an+1=3an+2n. an+1 3 an n+1 两边同除以 2 得 n+1=2· 2n+ 2 1 2,
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析
? an+1 3?an ∴ n+1+1= ?2n+1?. 2? 2 ? ? a2 3?a1 又由(1)知22+1=2?21+1?, ? ? ? ? 3 3 ?an ? ? ? ∴ 数列 2n+1 是以 2 为首项, 2 ? ? ? ?

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; 1 (3)证明: 对一切正整数 n, 有 a1 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2

为公比的等比数列, an 3 ?3?n-1 ?3?n ? ? ? ? , ∴2n+1=2· = ?2? ? 2? ∴an=3n-2n,

即数列{an}的通项公式为 an = 3n-2n.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n, 有 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2 1 a1

(3)证明

∵an=3n-2n


=(1+2)n-2n
1 n 1 1 =C0 1n · 20+Cn · 1 · 2+ n·

C2 1n 2 · 22+?+Cn 10· 2n-2n n· n·


= 1 + 2n + 2(n2 - n) + ? + 2n - 2n>1+2n+2(n2-n) =1+2n2>2n2>2n(n-1), 1 1 1 ∴a = n < = n 3 - 2 2 n ? n - 1 ? n 1 1 1 1 1 · ,∴ + +?+ 2 n?n-1? a1 a2 an
思想方法 练出高分

基础知识

题型分类

题型分类·深度剖析
题型三
【例 3 】

数列与不等式的综合应用
(2012· 广东 ) 设数列 {an}
思 维 启 迪 解 析

的前 n 项和为 Sn,满足 2Sn= an+1-2n+1+1,n∈N*,且 a1, a2+5,a3 成等差数列. (1)求 a1 的值; (2)求数列{an}的通项公式; (3)证明: 对一切正整数 n, 有 1 1 3 + +?+a < . a2 n 2 1 a1
1 1 ? 1? 1 + +?+ ? <1+ ? n?n-1?? 2?1×2 2×3 1 1 1 1 1? 1? =1+ ?1-2+2-3+?+n-1-n? 2? ? 1? 3 1 3 1? =1+ ?1-n?= - < , 2? ? 2 2n 2 1 1 1 3 即 + +?+ < . a1 a2 an 2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
1 变式训练 3 已知数列{an}满足 a1= ,an+1an=2an+1-an,Sn 表示 3 数列{an}前 n 项和.求证:Sn<1.
1 证明 由 a1=3≠0 易知,对于任意的 n,an≠0, ?1 ? 2 1 1 原式化为 - =1, -1=2?a -1?. an an+1 an+1 ? n ? 1 令 bn=a -1,b1=2,bn+1=2bn, n
数列{bn}是首项为 2,公比为 2 的等比数列, 1 1 n 即 bn= -1=2 ,所以 an= n , an 2 +1 1 1 1 1 故 Sn=a1+a2+?+an<2+22+?+2n=1-2n<1.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

题型分类·深度剖析
题型四 数列的实际应用
思维启迪 解析 探究提高
某市 2008 年新建住房 400 万平

【例 4】

方米,其中有 250 万平方米是中低价房, 预计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长 8%.另外,每 年新建住房中,中低价房的面积均比上一 年增加 50 万平方米. 那么, 到哪一年底, (1) 该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2008 年为累计的第一年)将首次不少 于 4 750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于 85%?(参考 数据: 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

基础知识

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题型分类·深度剖析
题型四 数列的实际应用
思维启迪 解析 探究提高
某市 2008 年新建住房 400 万平

【例 4】

方米,其中有 250 万平方米是中低价房, 预计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长 8%.另外,每 年新建住房中,中低价房的面积均比上一 年增加 50 万平方米. 那么, 到哪一年底, (1) 该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2008 年为累计的第一年)将首次不少 于 4 750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于 85%?(参考 数据: 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

关键信息:①每年新建住房面积 平均比上一年增长 8%,说明新 建住房面积构成等比数列模型; ②中低价房的面积均比上一年增 加 50 万平方米, 说明中低价房的 面积构成等差数列模型.

基础知识

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题型四 数列的实际应用
思维启迪 解析 探究提高
某市 2008 年新建住房 400 万平

【例 4】

方米,其中有 250 万平方米是中低价房, 预计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长 8%.另外,每 年新建住房中,中低价房的面积均比上一 年增加 50 万平方米. 那么, 到哪一年底, (1) 该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2008 年为累计的第一年)将首次不少 于 4 750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于 85%?(参考 数据: 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

(1)设中低价房面积形成数列{an},由 题意可知{an}是等差数列,其中 a1= n?n-1? 250,d=50,则 Sn=250n+ 2 ×50 = 25n2 + 225n , 令 25n2 + 225n≥4 750,即 n2+9n-190≥0, 而 n 是正整数,∴n≥10.
∴到 2017 年底,该市历年所建中低 价房的累计面积将首次不少于 4 750 万平方米.

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题型四 数列的实际应用
思维启迪
某市 2008 年新建住房 400 万平

【例 4】

解析

探究提高

方米,其中有 250 万平方米是中低价房, 预计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长 8%.另外,每 年新建住房中,中低价房的面积均比上一 (1) 该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2008 年为累计的第一年)将首次不少 于 4 750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于 85%?(参考 数据: 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

(2)设新建住房面积形成数列{bn},由题意可 知{bn}是等比数列,其中 b1=400,q=1.08, 则 bn=400×(1.08)n 1.


由题意可知 an>0.85bn,
当 n=5 时, a5<0.85b5, 当 n=6 时, a6>0.85b6, ∴满足上述不等式的最小正整数 n 为 6.

n-1 年增加 50 万平方米. 那么, 到哪一年底, 有 250+(n-1)×50>400×(1.08) ×0.85.

∴到 2013 年底,当年建造的中低价房的面 积占该年建造住房面积的比例首次大于 85%.

只要使 k<2 2-1. 基础知识

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题型四 数列的实际应用
思维启迪 解析 探究提高
某市 2008 年新建住房 400 万平

【例 4】

方米,其中有 250 万平方米是中低价房, 预计在今后的若干年内,该市每年新建住 房面积平均比上一年增长 8%.另外,每 年新建住房中,中低价房的面积均比上一 年增加 50 万平方米. 那么, 到哪一年底, (1) 该市历年所建中低价房的累计面积 (以 2008 年为累计的第一年)将首次不少 于 4 750 万平方米? (2) 当年建造的中低价房的面积占该年建 造住房面积的比例首次大于 85%?(参考 数据: 1.084≈1.36,1.085≈1.47,1.086≈1.59)

解决此类问题的关键是如何把实际问 题转化为数学问题,通过反复读题,列 出有关信息,转化为数列的有关问题, 这恰好是数学实际应用的具体体现.

基础知识

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题型分类·深度剖析
变式训练 4 今年“十一”期间,北京十家重点公园将举行免费游园活 动,北海公园免费开放一天,早晨 6 时 30 分有 2 人进入公园,接下来 的第一个 30 分钟内有 4 人进去 1 人出来,第二个 30 分钟内有 8 人进去 2 人出来, 第三个 30 分钟内有 16 人进去 3 人出来,第四个 30 分钟内有 32 人进去 4 人出来??按照这种规律进行下去, 到上午 11 时 30 分公园 内的人数是 ( B ) A.211-47 B.212-57 C.213-68 D.214-80
解析 由题意,可知从早晨 6 时 30 分开始,接下来的每个 30 分钟内进入
的人数构成以 4 为首项,2 为公比的等比数列,出来的人数构造以 1 为首 项,1 为公差的等差数列,记第 n 个 30 分钟内进入公园的人数为 an,第 n 个 30 分钟内出来的人数为 bn,则 an=4×2n 1,bn=n,则上午 11 时 30 分 4?1-210? 10?1+10? 12 公园内的人数为 S=2+ - = 2 -57. 2 1-2


基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.用构造数列的思想解题
1 典例:(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2Sn· Sn-1 2 1 1 2 2 (n≥2).(1)求数列{an}的通项公式 an(2)求证:S2 + S +?+ S ≤ - . 1 2 n 2 4n

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.用构造数列的思想解题
1 典例:(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2Sn· Sn-1 2 1 1 2 2 (n≥2).(1)求数列{an}的通项公式 an(2)求证:S2 + S +?+ S ≤ - . 1 2 n 2 4n

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)从求证内容来看, 首先要求出 Sn.(2)从 Sn 与 Sn-1 的递推关系 ? ?1? ? ? 来看,可考虑构造新数列?S ? .(3)可考虑用放缩法证明. ? ? n?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.用构造数列的思想解题
1 典例:(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2Sn· Sn-1 2 1 1 2 2 (n≥2).(1)求数列{an}的通项公式 an(2)求证:S2 + S +?+ S ≤ - . 1 2 n 2 4n

审 题 视 角
(1)解

规 范 解 答

温 馨 提 醒

∵an=-2Sn· Sn-1 (n≥2),∴Sn-Sn-1=-2Sn· Sn-1. 1 1 两边同除以 Sn· Sn-1,得 - =2 (n≥2), Sn Sn-1 ?1? 1 1 ∴数列?S ?是以 = =2 为首项,以 d=2 为公差的等差数列, S1 a1 ? n? 1 1 1 ∴ = +(n-1)· d=2+2(n-1)=2n,∴Sn= . Sn S1 2n ?1 ?n=1?, ?2 1 将 Sn= 代入 an=-2Sn· Sn-1,得 an=? 2n 1 ? ?n≥2?. 2 2 n - 2 n ?

2分 3分 5分

6分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.用构造数列的思想解题
1 典例:(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2Sn· Sn-1 2 1 1 2 2 (n≥2).(1)求数列{an}的通项公式 an(2)求证:S2 + S +?+ S ≤ - . 1 2 n 2 4n

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

1? 1 1 1? 1 1 2 ? ? - (2)证明 < = ( n ≥ 2) , S = , 1 4n2 4n?n-1? 4?n-1 n? 4 1 1 1 1 1? 1? 2 2 2 ∴当 n≥2 时,S1+S2+?+Sn= + +?+ < + ?1- ?+?+ 4 4×2×2 4· n· n 4 4? 2? 1? 1 1 1? 1 10分 ? - ?= - ; n 4?n-1 ? 2 4n 1 1 1 当 n=1 时,S2 = = - . 1 4 2 4×1 ∵S2 n=
1 1 2 2 综上,S2 + S + ? + S ≤ - . 1 2 n 2 4n
12分

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

题型分类·深度剖析
思想与方法 13.用构造数列的思想解题
1 典例:(12 分)已知数列{an}的前 n 项和为 Sn,且满足 a1= ,an=-2Sn· Sn-1 2 1 1 2 2 (n≥2).(1)求数列{an}的通项公式 an(2)求证:S2 + S +?+ S ≤ - . 1 2 n 2 4n

审 题 视 角

规 范 解 答

温 馨 提 醒

(1)在数列的解题过程中, 常常要构造新数列, 使新数列成为等差或等比数列. 构 造新数列可以使题目变得简单,而构造新数列要抓住题目信息,不能乱变形. ?1? (2)本题首先要构造新数列?S ?, 其次应用放缩法, 并且发现只有应用放缩法才能 ? n? 1 1 用裂项相消法求和,从而把问题解决.事实上: 2< ,也可以看成一个 4n 4n?n-1? 1 新构造:bn= . 4n?n-1?
?1? (3)易错分析:构造不出新数列?S ?,从而使思维受阻.不会作不等式的放缩. ?
n?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高
1.用好等差数列和等比数列的性质可以降低运算量,减少 差错.
2.理解等差数列、等比数列定义、基本量的含义和应用,

方 法 与 技 巧

体会两者解题中的区别.
3.注意数列与函数、方程、三角、不等式等知识的融合, 了解其中蕴含的数学思想.
4.在现实生活中,人口的增长、产量的增加、成本的降 低、存贷款利息的计算、分期付款问题等,都可以利 用数列来解决,因此要会在实际问题中抽象出数学模 型,并用它解决实际问题.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

思想方法·感悟提高

1.等比数列的前 n 项和公式要分两种情况:公比等于

失 误 与 防 范

1 和公比不等于 1.最容易忽视公比等于 1 的情况, 要注意这方面的练习.

2.数列的实际应用问题,要学会建模,对应哪一类数 列,进而求解.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1

A组
3 4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 安徽)若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n· (3n-2),则 a1+a2+?+a10 等于 A.15 B.12 C.-12 ( D.-15 )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1.(2011· 安徽)若数列{an}的通项公式是 an=(-1)n· (3n-2),则 a1+a2+?+a10 等于 A.15 B.12 C.-12 ( A ) D.-15

解 析
∵an= ( - 1)n(3n - 2), ∴a1 + a2 + ? + a10 =- 1 + 4- 7+ 10-?-25+28=(-1+4)+(-7+10)+?+(-25+28) =3×5=15.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.9 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

2.设等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=-11,a4+a6=-6, 则当 Sn 取最小值时,n 等于 A.6 B. 7 C.8 D.9 ( A )

解 析
设等差数列的公差为 d,则由 a4+a6=-6 得 2a5=-6, ∴a5=-3.又∵a1=-11,∴-3=-11+4d,∴d=2,

n?n-1? ∴Sn=-11n+ 2 ×2=n2-12n=(n-6)2-36,
故当 n=6 时 Sn 取最小值.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知函数

? ??3-a?x-3,x≤7, f(x)=? x-6 ? ,x>7. ?a

若数列{an}满足 an= )

f(n) (n∈N*), 且{an}是递增数列, 则实数 a 的取值范围是( ?9 ? ?9 ? A.?4,3? B.?4,3? C.(2,3) D.(1,3) ? ? ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

3.已知函数

? ??3-a?x-3,x≤7, f(x)=? x-6 ? ,x>7. ?a

若数列{an}满足 an=

f(n) (n∈N*), 且{an}是递增数列, 则实数 a 的取值范围是( C ) ?9 ? ?9 ? A.?4,3? B.?4,3? C.(2,3) D.(1,3) ? ? ? ?

解 析
数列{an}满足 an=f(n) (n∈N*),则函数 f(n)为增函数,注 意 a8-6>(3-a)×7-3.

?a>1, ? 所以?3-a>0, ?a8-6>?3-a?×7-3, ?
基础知识 题型分类

解得 2<a<3.

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖北)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果 对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x) 为“保等比数列函数”.现有定义在 ( -∞, 0)∪(0 , +∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ ( D.②④ )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖北)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果 对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x) 为“保等比数列函数”.现有定义在 ( -∞, 0)∪(0 , +∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ ( D.②④ )

解 析

利用特殊化思想,选 an=2n 判定.

不妨令 an=2n. ①因为 f(x)=x2,所以 f(an)=4n.
显然{f(2n)}是首项为 4,公比为 4 的等比数列.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖北)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果 对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x) 为“保等比数列函数”.现有定义在 ( -∞, 0)∪(0 , +∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ ( D.②④ )

解 析
②因为 f(x)=2x,所以 f(a1)=f(2)=22,f(a2)=f(4)=24,f(a3) f?a2? 24 f?a3? 28 8 =f(8)=2 ,所以 = 2=4≠ = 4=16,所以{f(an)}不 f?a1? 2 f?a2? 2 是等比数列.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

4.(2012· 湖北)定义在(-∞,0)∪(0,+∞)上的函数 f(x),如果 对于任意给定的等比数列 {an},{f(an)}仍是等比数列,则称 f(x) 为“保等比数列函数”.现有定义在 ( -∞, 0)∪(0 , +∞)上的如下函数: ①f(x)=x2;②f(x)=2x;③f(x)= |x|;④f(x)=ln |x|. 则其中是“保等比数列函数”的 f(x)的序号为 A.①② B.③④ C.①③ ( C ) D.②④

解 析

③因为 f(x)= |x|,所以 f(an)= 2n=( 2)n.

显然{f(an)}是首项为 2,公比为 2的等比数列. ④因为 f(x)=ln |x|,所以 f(an)=ln 2n=nln 2.
显然{f(an)}是首项为 ln 2,公差为 ln 2 的等差数列.故应选 C.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.(2011· 江苏)设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成 公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列, 则 q 的最小值是________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

5.(2011· 江苏)设 1=a1≤a2≤?≤a7,其中 a1,a3,a5,a7 成 公比为 q 的等比数列,a2,a4,a6 成公差为 1 的等差数列,
3 则 q 的最小值是________ . 3

解 析
由题意知 a3=q,a5=q2,a7=q3 且 q≥1,a4=a2+1,a6 =a2+2 且 a2≥1,那么有 q2≥2 且 q3≥3.

3 3 故 q≥ 3,即 q 的最小值为 3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 6.已知数列{an}满足 a1=1,a2=-2,an+2=-a ,则该数列前 n 26 项的和为________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 6.已知数列{an}满足 a1=1,a2=-2,an+2=-a ,则该数列前 n

-10 . 26 项的和为________
1 由于 a1=1,a2=-2,an+2=-a , n 1 所以 a3=-1,a4=2,a5=1,a6=-2,?,

解 析

所以{an}是周期为 4 的数列,



? 1? S26=6×?1-2-1+2?+1-2=-10. ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.对正整数 n,若曲线 y=xn (1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交 ? ? an ? ? ? 点的纵坐标为 an,则数列 n+1?的前 n 项和为__________. ? ? ? ?

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

7.对正整数 n,若曲线 y=xn (1-x)在 x=2 处的切线与 y 轴交 ? n+1 ? an ? ? 2 -2 . 点的纵坐标为 an,则数列?n+1?的前 n 项和为__________ ? ? ? ?

解 析
∵y=xn(1-x)= xn-xn 1,∴y′= nxn 1- (n+1)xn,当 x
+ -

=2 时,切线的斜率 k=-(n+2)2n 1,∴在 x=2 处的切线


方程为 y+2n=-(n+2)2n 1(x-2),令 x=0 可得 y=(n+ ? ? an ? ? an n n n ? 1)2 ,即 an=(n+1)2 ,∴ =2 ,即数列 n+1?为等比 ? ? n+ 1 ? ? + 2-2n 1 + 数列,其前 n 项和 Sn= =2n 1-2. 1-2


基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 8. (10 分)(2011· 大纲全国)设数列{an}满足 a1=0 且 - 1-an+1 1-an =1. (1)求{an}的通项公式;
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 8. (10 分)(2011· 大纲全国)设数列{an}满足 a1=0 且 - 1-an+1 1-an =1. (1)求{an}的通项公式;
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

解 析

(1)解

1 1 由题设 - =1, 1-an+1 1-an

? ? 1 ? ? ? 即 1-a ?是公差为 ? n? ? ?

1 1 的等差数列,又 =1, 1-a1

1 1 故 =n.所以 an=1-n. 1-an

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6 7 8 9

1 1 8. (10 分)(2011· 大纲全国)设数列{an}满足 a1=0 且 - 1-an+1 1-an =1. (1)求{an}的通项公式;
n 1- an+1 (2)设 bn= ,记 Sn= ?bk,证明:Sn<1. n k=1

解 析
(2)证明 1- an+1 n+1- n 1 1 由(1)得 bn= = = - , n n n+1· n n+ 1

? ? Sn= bk= ? = = k 1 ? k 1

?

n

?

n

1 1 ? 1 ? - = 1 - <1. k k+ 1 ? n + 1 ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

9 8 7 9.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 bn=anlog 1 an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n· 2n+1>50
2

成立的最小正整数 n 的值.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

9 8 7 9.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 bn=anlog 1 an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n· 2n+1>50
2

成立的最小正整数 n 的值.
解 (1)设此等比数列为 a1,a1q,a1q2,a1q3,?,其



解 析

中 a1≠0,q≠0. 由题意知:a1q+a1q2+a1q3=28,
a1q+a1q3=2(a1q2+2).

②×7-①得 6a1q3-15a1q2+6a1q=0, 1 即 2q2-5q+2=0,解得 q=2 或 q=2.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

9 8 7 9.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 bn=anlog 1 an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n· 2n+1>50
2

成立的最小正整数 n 的值.
∵等比数列{an}单调递增,∴a1=2,q=2,∴an=2n.

解 析

(2)由(1)得 bn=-n· 2n,

∴Sn=b1+b2+?+bn=-(1×2+2×22+?+n· 2n).
设 Tn=1×2+2×22+?+n· 2n, 则 2Tn=1×22+2×23+?+n· 2n 1.


③ ④

由③-④,得-Tn=1×2+1×22+?+1· 2n-n· 2n+1 =2n+1-2-n· 2n+1=(1-n)· 2n+1-2,
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2 3

A组
4

专项基础训练
5 6

9 8 7 9.(12 分)已知单调递增的等比数列{an}满足 a2+a3+a4=28,且 a3+2 是 a2,a4 的等差中项. (1)求数列{an}的通项公式;

(2)若 bn=anlog 1 an,Sn=b1+b2+?+bn,求使 Sn+n· 2n+1>50
2

成立的最小正整数 n 的值.

∴-Tn=-(n-1)· 2n+1-2.∴Sn=-(n-1)· 2n+1-2.

解 析

要使 Sn+n· 2n+1>50 成立, 即-(n-1)· 2n+1-2+n· 2n+1>50, 即 2n>26.

∵24=16<26,25=32>26,且 y=2x 是单调递增函数,
∴满足条件的 n 的最小值为 5.
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

n+ 1 1.已知数列{an}的通项公式为 an=log2 (n∈N*),设其前 n 项 n+ 2 和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的自然数 n A.有最小值 63 C.有最小值 31 B.有最大值 63 D.有最大值 31 ( )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

n+ 1 1.已知数列{an}的通项公式为 an=log2 (n∈N*),设其前 n 项 n+ 2 和为 Sn,则使 Sn<-5 成立的自然数 n A.有最小值 63 C.有最小值 31 B.有最大值 63 D.有最大值 31 ( A )

n+ 1 ∵an=log2 =log2(n+1)-log2(n+2), 解 析 n+ 2 ∴Sn = a1 + a2 + ? + an = log22 - log23 + log23 - log24 + ? + log2(n + 1) -
log2(n+2)=1-log2(n+2),
由 Sn<-5,得 log2(n+2)>6,
即 n+2>64,∴n>62,∴n 有最小值 63.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知数列{an}满足 3an+1+an=4 (n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和 1 为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小正整数 n 是 ( ) 125 A.5 B. 6 C.7 D. 8

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知数列{an}满足 3an+1+an=4 (n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和 1 为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小正整数 n 是 ( ) 125 A.5 B. 6 C.7 D. 8
1 由 3an+1+an=4 得,an+1-1=- (an-1) (运用构造数列 3 1 法),∴{an-1}是以 a1-1=8 为首项,- 为公比的等比数 3 ? 1? - ? 1? - n 1 n 1 解 列,∴a -1=8· ?- ? , ∴ a +1. n n=8×?- ? ? 3? ? 3?



? ? 1? ? 1? ? 1? - ? 2 ∴Sn=8?1+?-3?+?-3? +?+?-3?n 1?+n ? ? ? ? ? ? ? ?

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

2.已知数列{an}满足 3an+1+an=4 (n∈N*)且 a1=9,其前 n 项和 1 为 Sn,则满足不等式|Sn-n-6|< 的最小正整数 n 是 ( C ) 125 A.5 B. 6
? 1? 1-?-3?n ? ?

C.7

D. 8

=8×

解 析

1 1+ 3

? 1? +n=6-?-3?n×6+n, ? ?

?? 1? ? ?1? 1 n n ? ? ? ? ? ? ∴|Sn-n-6|= -3 ×6 = 3 ×6<125,即 ?? ? ? ? ?

3n>750.

将 n=5,6,7 分别代入验证符合题意的最小正整数 n=7.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 ? ? 1 ? ? m ? ? (n∈N*) 3. 设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1, 则数列 ? ?f?n?? ?
的前 n 项和是 n+ 2 n A. B. n+ 1 n+ 1 ( n C. n- 1 n+ 1 D. n )

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5

7 6 ? ? 1 ? ? m ? ? (n∈N*) 3. 设函数 f(x)=x +ax 的导函数 f′(x)=2x+1, 则数列 ? ?f?n?? ?
的前 n 项和是 n+ 2 n A. B. n+ 1 n+ 1 ( A ) n C. n- 1 n+ 1 D. n

解 析
由 f′(x)=mxm 1+a=2x+1 得 m=2,a=1. 1 1 1 1 ∴f(x)=x2+x,则 = =n- . f?n? n?n+1? n+1 1 1 1 1 1 1 1 ∴Sn=1-2+2-3+3-4+?+n- n+1


1 n =1- = . n+1 n+1

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

an 4. 已知数列{an}满足 a1=33, an+1-an=2n, 则 n 的最小值为_______.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

21 an 4. 已知数列{an}满足 a1=33, an+1-an=2n, 则 n 的最小值为_______ . 2

解 析
an=(an-an-1)+(an-1-an-2)+?+(a2-a1)+a1=2[(n-1)+(n-2) an 33 2 +…+1]+33=33+n -n,所以 n = n +n-1. -33 33 设 f(x)= x +x-1,则 f′(x)= x2 +1. 令 f′(x)>0,得 x> 33或 x<- 33.
所以 f(x)在( 33,+∞)上是增函数,在(0, 33)上是减函数.
因为 n∈N*,所以当 n=5 或 n=6 时,f(n)取最小值. 53 63 21 53 21 an 21 因为 f(5)= 5 ,f(6)= 6 = 2 , 5 > 2 ,所以 n 的最小值为 2 .
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 a5=2S4+3,a6=2S5 +3,则此数列的公比 q=________.

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

5.在等比数列{an}中,Sn 为其前 n 项和,已知 a5=2S4+3,a6=2S5

3 +3,则此数列的公比 q=________.

解 析
因为 a6-a5=2(S5-S4),所以 a6=3a5,所以 q=3.

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

B组
1 2 3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2011· 陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放 置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗 往返所走的路程总和最小,这个最小值为_______米.
解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

6.(2011· 陕西)植树节某班 20 名同学在一段直线公路一侧植树, 每人植一棵,相邻两棵树相距 10 米,开始时需将树苗集中放 置在某一树坑旁边, 使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗 往返所走的路程总和最小,这个最小值为_______ 2 000 米.
解 析
假设 20 位同学是 1 号到 20 号依次排列的,使每位同学的往返所 走的路程和最小, 则树苗需放在第 10 或第 11 号树坑旁. 此时两侧 的同学所走的路程分别组成以 20 为首项,20 为公差的等差数列, 9× 8 10×9 所有同学往返的总路程为 S=9×20+ ×20+10×20+ 2 2 ×20=2 000(米).
基础知识 题型分类
思想方法 练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 天津)已知{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, {bn} 是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn= anb1 + an- 1b2 +?+ a1bn, n∈N* ,证明 Tn+ 12 = -2an+10bn(n∈N*).

解 析

基础知识

题型分类

思想方法

练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 天津)已知{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, {bn} 是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn= anb1 + an- 1b2 +?+ a1bn, n∈N* ,证明 Tn+ 12 = -2an+10bn(n∈N*).
(1)解 设等差数列{an}的公差为 d,等比数列{bn}的公比为 q.
? ?d=3, 解得? ? ?q=2.

解 析

由 a1=b1=2,得 a4=2+3d,b4=2q3,S4=8+6d.
3 ? ?2+3d+2q =27, 由条件,得方程组? 3 ? ?8+6d-2q =10,

所以 an=3n-1,bn=2n,n∈N*. (2)证明 方法一 由(1)得 Tn=2an+22an-1+23an-2+?+2na1, ①

基础知识

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练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 天津)已知{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, {bn} 是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn= anb1 + an- 1b2 +?+ a1bn, n∈N* ,证明 Tn+ 12 = -2an+10bn(n∈N*).
2Tn=22an+23an-1+?+2na2+2n+1a1.
②-①,得 Tn=-2(3n-1)+3×22+3×23+?+3×2n+2n


+2

解 析

12?1-2n-1? n+2 = +2 -6n+2=10×2n-6n-10. 1-2
而-2an+10bn-12=-2(3n-1)+10×2n-12=10×2n-6n-10,
故 Tn+12=-2an+10bn,n∈N*.

基础知识

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 天津)已知{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, {bn} 是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn= anb1 + an- 1b2 +?+ a1bn, n∈N* ,证明 Tn+ 12 = -2an+10bn(n∈N*).
方法二 ①当 n=1 时,T1+12=a1b1+12=16,-2a1+10b1=16, 故等式成立;

解 析

②假设当 n=k 时等式成立,

即 Tk+12=-2ak+10bk,
则当 n=k+1 时有 Tk+1=ak+1b1+akb2+ak-1b3+?+a1bk+1 =ak+1b1+q(akb1+ak-1b2+?+a1bk)

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练出高分

练出高分
1 2

B组
3

专项能力提升
4 5 6 7

7. (13 分)(2012· 天津)已知{an}是等差数列, 其前 n 项和为 Sn, {bn} 是等比数列,且 a1=b1=2,a4+b4=27,S4-b4=10. (1)求数列{an}与{bn}的通项公式; (2) 记 Tn= anb1 + an- 1b2 +?+ a1bn, n∈N* ,证明 Tn+ 12 = -2an+10bn(n∈N*).
=ak+1b1+qTk=ak+1b1+q(-2ak+10bk-12)

解 析

=2ak+1-4(ak+1-3)+10bk+1-24 =-2ak+1+10bk+1-12. 即 Tk+1+12=-2ak+1+10bk+1.

因此 n=k+1 时等式也成立.
由①和②,可知对任意 n∈N*,Tn+12=-2an+10bn 成立.

基础知识

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