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(适用)2014届哈师大附中、东北师大附中辽宁省实验中学高三第二次模拟考试


2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题

汇编者:杨老师

数学试卷(理工类) (选自 2014 届东北三省三校高三第二次联合模拟考试)
(东北三省三校:哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,其中第Ⅱ卷第 22、23、24 题为选考题,其它题为必

考题。 满分 150 分,考试时间 120 分钟

第Ⅰ卷

选择题

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是 符合题目要求的。 )
1. 若 U ? {1,2,3,4,5,6,7,8},A ? {1,2,3},B ? {5,6,7},则 (CU A) ? (CU B) = A. {4,8} B. {2,4,,6,8} C. {1,3,5,7} D. {1,2,3,5,6,7}

1 3 ? i ,则 z ? | z |? 2 2 1 3 1 3 1 3 1 3 A. ? ? B. ? ? C. D. i i ? i ? i 2 2 2 2 2 2 2 2 3. 设随机变量 ξ 服从正态分布 N (2,9) ,若 P(? ? c) = P(? ? c ? 2) ,则 c 的值是
2. 已知复数 z ? ? A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

3 ? 1 ,如果 p 是 q 的充分不必要条件,则实数 k 的取值范围是 x ?1 A. [2,??) B. (2,??) C. [1,??) D. (??,?1] c?b sin A ? 5. 已知△ ABC 的内角 A,B,C 的对边分别为 a,b,c,且 ,则 B= c ? a sin C ? sin B ? ? ? 3? A. B. C. D. 4 6 4 3 2 6. 已知函数 f ( x) ? ln(x ? 1) 的值域为 {0,1,2} ,则满足这样条件的函数的个数为
4. 已知 p : x ? k,q : A. 8 B. 9 C. 26 D. 27 7. 已知△ ABC 中, BC ? 10 , AB· AC ? ?16 ,D 为边 BC 的中点,则 AD 等于 A. 6 B. 5 8. 函数 h( x) ? 2 sin(2 x ?

?
4

C. 4

D. 3

) 的图象与函数 f ( x) 的图象关于点 (0,1) 对称,则函数

f ( x) 可由 h( x) 经过

的变换得到

A. 向上平移 2 个单位,向右平移 B. 向上平移 2 个单位,向左平移 C. 向下平移 2 个单位,向右平移

? 个单位 4 ?
4
的单位

? 个单位 4 ? D. 向下平移 2 个单位,向左平移 的单位 4

9. 一个射箭运动员在练习时只记射中 9 环和 10 环的成绩,未击中 9 环或 10 环就以 0 环记。该运动员在练习时击中 10 环的概率为 a,击中 9 环的概率为 b,既未击中 9 环也 未击中 10 环的概率为 c(a,b,c∈ [0,1) ) ,如果已知该运动员一次射箭击中环数的期望 为 9 环,则当 A.

1 11

10 1 ? 取最小值时,c 的值为 a 9b 2 5 B. C. 11 11

D. 0

10. 已知某算法的流程图如图所示,输入的数 x 和 y 为自然数,若已知输出的有序数对为 (13,14) ,则开始输入的有 序数对 ( x, y ) 可能为

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题 A. (6,7)
2

汇编者:杨老师 D. (5,4)

B. (7,6)
2

C. ?4,5?

x y ? 2 ? 1 (a ? 0,b ? 0) 的焦点 F1 (?c,0) 、 F2 (c,0)(c ? 0) ,过 F2 的直线 l 交双曲线于 A,D 两 2 a b 点,交渐近线于 B,C 两点。设 F1 B ? F1C ? m , F1 A ? F1 D ? n ,则下列各式成立的是 A. | m |?| n | B. | m |?| n | C. | m ? n |? 0 D. | m ? n |? 0 | cos x | ? k 在 (0,??) 上有两个不同的解 α、β (? ? ? ) ,则下列的四个命题正确的是 12. 已知方程 x
11. 已知双曲线 A. sin2α=2αcos2α B. cos2α=2αsin2α C. sin2β=-2βsin2β D. cos2β=-2βsina2β

第Ⅱ卷(非选择题
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分)

共 90 分)

本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题~第 21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22 题-第 24 题为选 考题,考生根据要求作答。
3 3 2 3 3 3 2 3 3 3 3 2 13. 观察下列等式:1 ? 1 ,1 ? 2 ? 3 ,1 ? 2 ? 3 ? 6 ,1 ? 2 ? 3 ? 4 ? 10 ,…,根据上述规律,第 n 个等式 为 14. 某几何体的三视图如图所示,则该几何体外接球的体积为

3

2

15. 在区间 [0,2] 和 [0,1] 分别取一个数,记为 x、y,则 y ? ? x 2 ? 2x 的概率为 。 16. P 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 对角线 BD1 上的一点,且 BP= ? BD1( ? ? (0,1) ) 。下面结论: ①A1D⊥C1P; ②若 BD1⊥平面 PAC,则 ? ?

1 ; 3

③若△ PAC 为钝角三角形,则 ? ? (0, ) ; ④若 ? ? ( ,1) ,则△ PAC 为锐角三角形。 其中正确的结论为 。 (写出所有正确结论的序号)

1 2

2 3

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。 ) 17. (本小题满分 12 分) 设数列{an}的前 n 项和为 Sn,对任意的正整数 n,都有 an=5Sn+1 成立。 (Ⅰ)求数列{an}的通项公式; (Ⅱ)设 bn ? log4 | an | ,求数列 {

1 } 前 n 项和 Tn。 bn · bn? 2

18. (本小题满分 12 分)

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题

汇编者:杨老师

某个团购网站为了更好地满足消费者需求,对在其网站发布的团购产品展开了用户调查,每个用户在使用了团购 产品后可以对该产品进行打分,最高分是 10 分。上个月该网站共卖出了 100 份团购 产品,所有用户打分的平均分作为该产品的参考分值,将这些产品按照得分分成以 下几组:第一组[0,2) ,第二组[2,4) ,第三组[4,6) ,第四组[6,8) ,第五组[8, 10],得到的频率分布直方图如图所示。 (Ⅰ)分别求第三,四,五组的频率; (Ⅱ)该网站在得分较高的第三,四,五组中用分层抽样的方法抽取 6 个产品。 ①已知甲产品和乙产品均在第三组,求甲、乙同时被选中的概率; ②某人决定在这 6 个产品中随机抽取 2 个购买, 设第 4 组中有 X 个产品被购买, 求 X 的分布列和数学期望。

19. (本小题满分 12 分) 已 知 四 棱 柱 ABCD-A1B1C1D1 的 底 面 ABCD 是 边 长 为 2 的 菱 形 , AC∩BD=O , AA1=2 ∠BAD=∠A1AC=60° ,点 M 是棱 AA1 的中点。 (Ⅰ)求证:A1C∥平面 BMD; (Ⅱ)求证:A1O⊥平面 ABCD; (Ⅲ)求直线 BM 与平面 BC1D 所成角的正弦值。

3 , BD⊥A1A ,

20. (本小题满分 1 2 分)

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题 E。

汇编者:杨老师

已知圆 M : x 2 ? ( y ? 2) 2 ? 1,直线 l : y ? ?1,动圆 P 与圆 M 相外切,且与直线 l 相切。设动圆圆心 P 的轨迹为 (Ⅰ)求 E 的方程; (Ⅱ)定点 A(4,2) ,B,C 为 E 上的两个动点,若直线 AB 与直线 AC 垂直,求证:直线 BC 恒过定点。

21. (本小题满分 12 分)

ax ? b ( a ? 0) x2 ?1 (Ⅰ)求证: f ( x) 必有两个极值点,一个是极大值点,—个是极小值点; ,f (? ) ? 1,求 a、b 的值; (Ⅱ)设 f ( x) 的极小值点为 α,极大值点为 β, f (? ) ? ?1 2 (Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,设 g ( x) ? f (e x ) ,若对于任意实数 x, g ( x ) ? 恒成立,求实数 m 的取值范 2 ? mx 2
已知函数 f ( x ) ? 围。

请考生在第 22,23,24 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分,作答时请写清题号。

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题

汇编者:杨老师

22. (本小题满分 10 分)选修 4-1:几何证明选讲 已知 PQ 与圆 O 相切于点 A,直线 PBC 交圆于 B,C 两点,D 是圆上一点,且 AB∥CD,DC 的延长线交 PQ 于点 Q。 (Ⅰ)求证:AC2=CQ· AB; (Ⅱ)若 AQ=2AP,AB= 3 ,BP=2,求 QD。

23. (本小题满分 10 分)选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xOy 中,以原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线 C1 的极坐标方程为

?2 ?

2 ,直线 l 的极坐标方程为 ? ? 1 ? sin 2 ?

4 2 sin ? ? cos?



(Ⅰ)写出曲线 C1 与直线 l 的直角坐标方程; (Ⅱ)设 Q 为曲线 C1 上一动点,求 Q 点到直线 l 距离的最小值。

24. (本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 a, b, c ? R,a ? b ? c ? 1 。
2 2 2

(Ⅰ)求证: | a ? b ? c |? 3 ; (Ⅱ)若不等式 | x ? 1 | ? | x ? 1 |? (a ? b ? c) 对一切实数 a,b,c 恒成立,求实数 x 的取值范围。
2

数学试卷(理)参考答案(选自 2014 届东北三省三校高三第二次联合模拟考试)
(东北三省三校:哈尔滨师大附中、东北师大附中、辽宁省实验中学)
题号 答案 1 A 2 D 3 C 4 B 5 C 6 B 7 D 8 A 9 A 10 B 11 C 12 C

13. 1 ? 2 ? ??? ? n ?
3 3 3

n 2 (n ? 1)2 4

14.

125 2 ? 3
1 4

15.

2 3

16.①②④ ………2 分

17. (Ⅰ)解:当 n ? 1 时, a1 ? 5S1 ? 1,? a1 ? ? 又? an ? 5Sn ? 1, an?1 ? 5Sn?1 ? 1

?an?1 ? an ? 5an?1,

………4 分

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题

汇编者:杨老师



an ?1 1 ?? an 4
1 4

∴数列 ?an ? 是首项为 a1 ? ? ………6 分

1 1 ,公比为 q ? ? 的等比数列, 4 4

n ∴ an ? ( ? )

(Ⅱ) bn ? log4 (? ) n ? ?n ,

1 4

………8 分

所以

1 1 1?1 1 ? ? ? ? ? ? bnbn? 2 n(n ? 2) 2 ? n n ? 2 ?

………10 分

Tn ?

1? 1 1 1 1 1 ? 1? 1 1 1 ? ………12 分 (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? ? ?1 ? ? ? ? 2? 3 2 4 n n ? 2 ? 2 ? 2 n ?1 n ? 2 ? ?

18.(Ⅰ)解:第三组的频率是 0.150× 2=0.3;第四组的频率是 0.100× 2=0.2;第五组的频率是 0.050× 2=0.1 ………3 分 (Ⅱ)①由题意可知,在分层抽样的过程中第三组应抽到 6× 0.5=3 个,而第三组共有 100× 0.3=30 个,所以甲乙两产品 同时被选中的概率为 P ?
1 C28 1 ? 3 C30 145

………7 分

②第四组共有 X 个产品被购买,所以 X 的取值为 0,1,2

P( X ? 0) ?

1 1 1 1 2 C3 ? C32 6 C3 C2 ? C2 C2 8 1 ; ; ? P ( X ? 1) ? ? P ( X ? 2) ? ? ; 2 2 2 C6 15 C6 15 C6 15

X
所以 X 的分布列为

P

0 1 2 2 8 1 5 15 15

………10 分

EX ?

8 1 2 ? ?2 ? 15 15 3

………12 分

19. (Ⅰ)证明: 连结 MO

A1M ? MA? ? ? ? MO // A1C ? AO ? OC ? ? ? MO ? 平面BMD ? ? A1C // 平面BMD ? A1C ? 平面BMD ? ? ?

………3 分

(Ⅱ) BD ? AA1,BD ? AC得BD ? 面A1AC 于是 BD ? A1O

AC ? BD ? O

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题
? ABCD ? ? 1 ? ? ?? ?BAD ? 60 ? ? AO ? AC ? 3 ? ? 2 ? ? AB ? 2 ? ? ? ? ? ? AA1 ? 2 3 ? ? A1O ? AC ? ? ? A1O ? 平面ABCD ?? cos ?A1 AC ? 60 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? A1O ? BD ? ?

汇编者:杨老师

………7 分 (Ⅲ) 如图建立直角坐标系, A 1 (0,0,3) A( 3,0,0)C(? 3,0,0) B(0,1,0) D(0, ?1,0)

???? ? ??? ? 3 3 ???? 3 3 ,0, ) MB ? (? ,1, ? ) AC 1 1 ? AC ? (?2 3,0,0) ? C1 (?2 3,0,3) M ( 2 2 2 2 ??? ? ???? ? DB ? (0,2,0)BC1 ? (?2 3, ?1,3)
设平面 BC1D 的法向量为 n ? ( x, y, z)

?

? ??? ? ? ??? ? ? ? ? 2y ? 0 ? n ? DB n ? DB ?0 ? ? ? ?? ? n ? ( 3, 0, 2) ? ? ? ? ???? ? ? ? ???? ? ??2 3 ? y ? 3z ? 0 ?n ? BC1 ? ?n ? BC1 ? 0 ?
???? ? ? 9 cos ? BM , n ?? 4 7
所以,直线 BM 与平面 BC1D 所成角的正弦值为 20.
2 2 2 (Ⅰ)设 P ( x, y ) ,则 x ? ( y ? 2) ? ( y ? 1) ? 1 ? x ? 8 y

………9 分

………11 分

9 7 28

………12 分

………4 分

(Ⅱ)设直线 BC : y ? kx ? b , B( x1 , y1 ), C( x2 , y2 ) 将直线 BC 代入到 x2 ? 8 y 中得 x ? 8kx ? 8b ? 0 ,所以 x1 ? x2 ? 8k , x1 x2 ? ?8b ………5 分
2

又因为 AB ? ( x1 ? 4, y1 ? 2), AC ? ( x2 ? 4, y2 ? 2) 所以

??? ?

??? ?

??? ? ???? AB ? AC ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( y1 ? 2)( y2 ? 2) ? ( x1 ? 4)( x2 ? 4) ? ( kx1 ? b ? 2)( kx2 ? b ? 2) ? (k 2 ? 1) x1 x2 ? [k (b ? 2) ? 4]( x1 ? x2 ) ? (b ? 2) 2 ? 16 ? 0

? ?8b (k 2 ? 1) ?8k [k (b ? 2) ? 4] ? (b ? 2)2 ? 16 ? 0 ? b2 ?12b ?16k 2 ? 32k ? 20 ? 0 ? (b ? 6)2 ?16(k ? 1)2 ? 0 ………8 分
? b ? 4k ? 10 或 ? b ? ?4k ? 2
所以恒过定点 (?4,10) ………10 分 ………12 分

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题 21. (Ⅰ) f ( x) ?
'

汇编者:杨老师

a ? x 2 ? 1? ? 2 x ? ax ? b ?

?x

2

? 1?

2

??

ax 2 ? 2bx ? a

?x

2

? 1?

2

令 f ' ( x) ? 0 ? ax2 ? 2bx ? a ? 0 ? ? ? 4(b2 ? a 2 ) ? 0

………2 分

? f ' ( x) ? 0 有两实根不妨记为 ? , ?

x
f ' ( x)
f ( x)

? ??,? ?
?
?

?
0
极小

?? , ? ?
?
?

?
0
极大

? ? , ???
?
?
………4 分

所以, f ( x) 有两个极值点 ,一个极大值点一个极小值点
2 (Ⅱ) ax ? 2bx ? a ? 0 ,由韦达定理得 ? ? ? ? ?

2b a

f ?? ? ? ?1? ? ?? 2 ? a? ? b ? 1 ? 0 ? ? 2 ? ? 2 ? a ?? ? ? ? ? 2b ? 0 ? ?? ? ? ??? ? ? ? ? 0 ……6 分 ??? 2 f ?? ? ?1 ? ? ? a ? ? b ? 1 ? 0 ? ?

?? ? ? ? 0 ? b ? 0, ? ? ?1, ? ? 1,所以 a ? 2
(Ⅲ)

………7 分

2e x ? 0 ,所以 m ? 0 因为 g ( x) ? 2 x e ?1
又因为当 x ? 0 时,不等式恒成立 所以,原问题 ? m ?

………8 分

e x ? e? x ? 2 对一切 x ? ? ??,0? ? ? 0, ??? 恒成立 x2

法一、设 u ( x) ?

e x ? e? x ? 2 ( x ? ? ??,0? ? ? 0, ??? ) x2

?e u ( x) ?
'

x

? e? x ? x 2 ? 2 x ? e x ? e ? x ? 2 ? x4

?e ?

x

? e? x ? x ? 2 ? e x ? e? x ? 2 ? x3

x ?x x ? 2 e x ? e ? x ? 2 , h ' ( x) ? e x ? e ? x x ? e x ? e ? x , h '' ( x) ? e x ? e ? x x 设 h( x ) ? e ? e

?

?

?

?

?

? ?
?x

?

?

?

当 x ? 0 时, e ? e
x

?x

'' ,所以 h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, e ? e
x

,所以 h ( x) ? 0 ,
''

所以 h ( x) 在 R 上单调递增,又因为 h (0) ? 0
'

'

所以当 x ? 0 时, h ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, h ( x) ? 0
' '

所以 h( x) 在 ? ??,0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? h(0) ? 0

………10 分

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题 所以当 x ? 0 时, u ' ( x) ? 0 ,当 x ? 0 时, u ' ( x) ? 0 所以 u ( x) 在 ? ??,0 ? 上递减, ? 0, ?? ? 递增,所以 h( x) ? lim h( x) ? 1
x ?0

汇编者:杨老师

所以 0 ? m ? 1 法二不妨设 x ? 0

………12 分

h( x) ? ? e x ? e ? x ? ? mx 2 ? 2 h' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2mx , h '' ( x) ? ? e x ? e ? x ? ? 2m
x ?x ? 2 ? 2m , h'' ( x) ? 0 ,所以 h' ( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, h' ( x) ? h' (0) ? 0 所以 当 m ? 1 时, e ? e

?

?

h( x) 在 ? 0, ?? ? 上单调递增, h( x) ? h(0) ? 0 ,所以当 m ? 1 时成立………10 分
2 2 当 m ? 1 时 h'' ( x) ? 0 得 x ? ln(m ? m ? 1), 令x0 ? ln(m ? m ? 1)

当 x ? ? 0,x0 ? 时 h'' ( x) ? 0 所以 h ( x) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h' ( x) ? h' (0) ? 0 所以
'

h( x) 在 ? 0,x0 ? 上单调递减, h( x) ? h(0) ? 0 ,与条件矛盾,同理 x ? 0 时亦如此
综上 0 ? m ? 1 22. (Ⅰ) 12 分

? ? ? ? ?AQC ? ?ACB ? PA为圆O切线 ? ?PAB ? ?ACB ? ? ? ?ACB ~ ?CQA ? AQ为圆O切线 ? ?QAC ? ?CBA ? ? AC AB ? ? AC 2 ? AB ? CQ CQ AC
………5 分 (Ⅱ)

AB / / CD ? ?PAB ? ?AQC

AB // CD ? ? BP AP AB 1 ? ? ? ? ? AP 1 ? ? ? ? PC PQ QC 3 ? ? ? QC ? 3 3, PC ? 6 AQ 2 ? ? ? BP ? 2, AB ? 3 ?
AP 为圆 O 切线 ? AP2 ? PB ? PC ? 12 ? QA ? 4 3
又因为 AQ 为圆 O 切线 ? AQ ? QC ? QD ? QD ?
2

16 3 3
………5 分

………10 分

23. (Ⅰ) C1 : x ? 2 y ? 2 , l : 2 y ? x ? 4
2 2

(Ⅱ)设 Q

?

2 cos ? ,sin ? ,则点 Q 到直线 l 的距离

?

d?

2 sin ? ? 2 cos ? ? 4 3

2sin(? ? ) ? 4 2 4 ? ? 3 3

?

………8 分

2015 年考前 50 天模拟训练 10 套经典试题 当且仅当 ? ?

汇编者:杨老师 ………10 分

?
4

? 2 k? ?

?
2

,即 ? ? 2 k? ?

?
4

( k ? Z )时取等

24.解: (Ⅰ)由柯西不等式得, (a ? b ? c)2 ? (12 ? 12 ? 12 )(a2 ? b2 ? c2 ) ? 3 ∴? 3 ? a?b?c ? 3 所以 a ? b ? c 的取值范围是 [? 3,

3]

………5 分 ………7 分

2 (Ⅱ)同理, (a ? b ? c)2 ? [12 ? (?1) ? 12 ](a2 ? b2 ? c2 ) ? 3

若不等式 | x ?1| ? x ? 1 ? (a ? b ? c) 对一切实数 a, b, c 恒成立,
2

则 x ? 1 ? x ? 1 ? 3 ,解集为 ( ??, ? ] ? [ , ?? )

3 2

3 2

………10 分


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