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2012-2013第二学期高中数学必修四期末复习题(含答案)


2013 高中数学必修四期末复习题
(考试时间:100 分钟 一、选择题
1.下列命题正确的是 A.第一象限角是锐角 C.终边相同的角一定相等 2.函数 y ? ?2sin( x ? A. B.钝角是第二象限角 D.不相等的角,它们终边必不相同

满分:150 分)

4 1 ? 3.如果 cos(? ? A) ? ?

,那么 sin( ? A) ? 2 2 1 1 1 A. B. C. 2 2 2
4. 函数 f(x)=sinx·cosx 是 ( )

? ? ,2 , 4 4

1 2

?
4

) 的周期,振幅,初相分别是

B. 4? , ?2 , ?

?

C. 4? , 2 ,

? 4

D. 2? , 2 ,

? 4

D.

1 2

A 周期为π 的偶函数 B 周期为π 的奇函数 C 周期为 5.给出命题 (1)零向量的长度为零,方向是任意的. (2)若 a , b 都是单位向量,则 a = b . (3)向量 AB 与向量 BA 相等.

? ? 的偶函数 D 周期为 的奇函数. 2 2

?

?

?

?

??? ?

??? ?

(4)若非零向量 AB 与 CD 是共线向量,则 A , B , C , D 四点共线. 以上命题中,正确命题序号是 A.(1) B.(2) C.(1)和(3) D.(1)和(4)

??? ?

??? ?

6.如果点 P(sin 2? , cos 2? ) 位于第三象限,那么角 ? 所在象限是 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限

CD ? 0 , AB ? DC ,那么四边形 ABCD 的形状是 7.在四边形 ABCD 中,如果 AB?
A.矩形 A. sin ? ? cos ? ? 1 C. sin ? ? cos ? ? 1 B.菱形 C.正方形 D.直角梯形 8.若 ? 是第一象限角,则 sin ? ? cos ? 的值与 1 的大小关系是 B. sin ? ? cos ? ? 1 D.不能确定

??? ??? ? ?

??? ?

????

9.在△ ABC 中,若 sin C ? 2cos A sin B ,则此三角形必是 A.等腰三角形 B.正三角形 C.直角三角形 D.等腰直角三角形

10.如图,在△ ABC 中, AD 、 BE 、 CF 分别是 BC 、 CA 、 AB 上的中线,它们交于 点 G ,则下列各等式中不正确的是 A

? 2 ??? BE 3 ???? 1 ???? C. DG ? AG 2
A. BG ?

??? ?

B. CG ? 2GF

??? ?

??? ?

F G B D

E

? ? ? 1 ??? 2 ??? 1 ??? D. DA ? FC ? BC 3 3 2

C

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 11.设扇形的周长为 8cm ,面积为 4cm ,则扇形的圆心角的弧度数是
2

.

3 ,则 tan ? ? . 5 ? ? ? ? 4sin ? ? 2cos ? 13.已知 a ? (3 ,1) ,b ? (sin ? , cos ? ) ,且 a ∥ b ,则 = 5cos ? ? 3sin ?
12.已知 tan ? ? 2 , tan(? ? ? ) ? ? 14.给出命题: (1)在平行四边形 ABCD 中, AB ? AD ? AC . (2)在△ ABC 中,若 AB?AC ? 0 ,则△ ABC 是钝角三角形. (3)在空间四边形 ABCD 中, E , F 分别是 BC , DA 的中点,则 FE ? 以上命题中,正确的命题序号是 .

.

??? ???? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

? 1 ??? ???? ( AB ? DC ) . 2

三、解答题(本大题共 6 小题,共 80 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 15.(本小题满分 13 分)

3 5 3 ,? ?[ ? , ? ] . 5 4 2 (1)求 cos 2? 及 cos ? 的值;
已知 sin 2? ? (2)求满足条件 sin(? ? x) ? sin(? ? x) ? 2cos ? ? ?

10 的锐角 x . 10

16.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? sin

x x ? 3 cos , x ? R . 2 2

(1)求函数 f ( x ) 的最小正周期,并求函数 f ( x ) 在 x ?[?2? , 2? ] 上的单调递增区间; (2) 函数 f ( x) ? sin x( x ? R) 的图象经过怎样的平移和伸缩变换可以得到函数 f ( x ) 的 图象.

17.(本小题满分 13 分) 已知电流 I 与时间 t 的关系式为 I ? A sin(?t ? ? ) . (1)下图是 I ? A sin(?t ? ? ) (? ? 0, ? ?

?
2

) 在一个周期内的图象,根据图中数据求
I 300

I ? A sin(?t ? ? ) 的解析式;
(2)如果 t 在任意一段

1 秒的时间内,电流 150
1 180

I ? A sin(?t ? ?

t

) 都能取得最大值和最小值, ? 1 O 900
-300

那么 ? 的最小正整数值是多少?

18.(本小题满分 13 分) 已知向量 OA ? (3, ?4) , OB ? (6, ?3) , OC ? (5 ? m, ?3 ? m) . (1)若点 A, B, C 能够成三角形,求实数 m 应满足的条件; (2)若△ ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,求实数 m 的值.

??? ?

??? ?

??? ?

19.(本小题满分 13 分) 设平面内的向量 OA ? (1,7) , OB ? (5,1) , OM ? (2,1) ,点 P 是直线 OM 上的一个 动点,且 PA?PB ? ?8 ,求 OP 的坐标及 ?APB 的余弦值.

??? ?

??? ?

???? ?

??? ??? ? ?

??? ?

20.(本小题满分 13 分)

? 3x 3x x x ? ,sin ) , b ? (cos , ? sin ) ,且 x ? [ , ? ] . 2 2 2 2 2 ? ? ? ? b (1)求 a ? 及 a ? b ;
已知向量 a ? (cos

?

b (2)求函数 f ( x) ? a? ? a ? b 的最大值,并求使函数取得最大值时 x 的值.

? ?

? ?

高中数学必修 4 期末复习题参考答案及评分标准
一、选择题

题号 答案

1 B

2 C

3 B
5 7

4 B

5 A

6 B

7 A

8 A

9 A

10 C

二、填空题 11. 2 三、解答题 15.解: (1)因为 ? ? ? ? 12. -13 13. 14. (1) (3) (2)

3 5 ? ,所以 ? ? 2? ? 3? . ………………………(2 分) 2 2 4 2 因此 cos 2? ? ? 1 ? sin 2? ? ? . ………………………………(4 分) 5
由 cos 2? ? 2cos ? ? 1 ,得 cos ? ? ?
2

5 4

10 . ……………………(8 分) 10

(2)因为 sin(? ? x) ? sin(? ? x) ? 2cos ? ? ?

10 , 10

所以 2cos ? (1 ? sin x) ? ? 因为 x 为锐角,所以 x ? 16.解: y ? sin

1 10 ,所以 sin x ? . ………………………(11 分) 2 10
. ………………………………………………(13 分)

?
6

x x x ? ? 3 cos ? 2sin( ? ) . 2 2 2 3 2? (1)最小正周期 T ? ? 4? . ……………………………………………(3 分) 1 2 1 ? ? ? 令 z ? x ? ,函数 y ? sin z 单调递增区间是 [ ? ? 2k? , ? 2k? ]( k ? Z ) . 2 3 2 2 ? 1 ? ? 由 ? ? 2 k? ? x ? ? ? 2 k ? , 2 2 3 2 5? ? ? 4k? ? x ? ? 4k? , k ? Z . ………………………………(5 分) 得 ? 3 3 5? ? 5? ? ? x ? ,而 [? , ] ? [?2? , 2? ] , 取 k ? 0 ,得 ? 3 3 3 3 x x 5? ? , ]. 所以,函数 y ? sin ? 3 cos , x ?[?2? , 2? ] 得单调递增区间是 [? 2 2 3 3
…………………………………………………………………………(8 分)

(2)把函数 y ? sin x 图象向左平移 再把函数 y ? sin( x ?

) 的图象上每个点的横坐标变为原来的 2 倍,纵坐标不 3 x ? 变,得到函数 y ? sin( ? ) 的图象, …………………………………(11 分) 2 3
然后再把每个点的纵坐标变为原来的 2 倍,横坐标不变,即可得到函数

?

? ? ,得到函数 y ? sin( x ? ) 的图象,…(10 分) 3 3

x ? y ? 2sin( ? ) 的图象. ………………………………………………… 分) (13 2 3 1 1 17.解: (1)由图可知 A ? 300 ,设 t1 ? ? , t2 ? , ……………………(2 分) 900 180 1 1 1 ? )? 则周期 T ? 2(t2 ? t1 ) ? 2( , …………………………(4 分) 180 900 75 2? ? 150? . ………………………………………………………(6 分) ∴? ? T 1 1 ? t?? ) ? ? ] ? 0 , sin(? ? ) ? 0 . 时, I ? 0 ,即 sin[150? ? (? 900 900 6
而? ?

?

2



∴? ?

?

6

.

故所求的解析式为 I ? 300sin(150? t ? (2)依题意,周期 T ?

?
6

) . …………………………… 分) (8

1 2? 1 ? ,即 ,(? ? 0) , …………………(10 分) 150 ? 150

* ∴ ? ? 300? ? 942 , ? ? N , 又 故最小正整数 ? ? 943 . …………… (13 分)

18.解: (1)已知向量 OA ? (3, ?4) , OB ? (6, ?3) , OC ? (5 ? m, ?3 ? m) , 若点 A, B, C 能构成三角形,则这三点不共线,即 AB 与 BC 不共线. ……(4 分)

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

??? ? ??? ? AB ? (3,1) , AC ? (2 ? m,1 ? m) ,
故知 3(1 ? m) ? 2 ? m ,

1 时,满足条件. …………………………………………………(8 分) 2 ??? ? (若根据点 A, B, C 能构成三角形, 必须任意两边长的和大于第三边的长, 即由 AB
∴实数 m ?

??? ? ??? ? ? BC ? CA 去解答,相应给分)
(2)若△ ABC 为直角三角形,且 ? A 为直角,则 AB ? AC , …………(10 分)

??? ?

??? ?

∴ 3(2 ? m) ? (1 ? m) ? 0 , 解得 m ?

7 . …………………………………………………………………(13 分) 4

19.解:设 OP ? ( x, y) . ∵点 P 在直线 OM 上, ∴ OP 与 OM 共线,而 OM ? (2,1) , ∴ x ? 2 y ? 0 ,即 x ? 2 y ,有 OP ? (2y, y) .

??? ?

??? ?

???? ?

???? ?

??? ?

………………………………(2 分)

∵ PA ? OA ? OP ? (1 ? 2 y,7 ? y) ,PB ? OB ? OP ? (5 ? 2 y,1 ? y) ,……(4 分) ∴ PA? ? (1 ? 2 y)(5 ? 2 y) ? (7 ? y)(1 ? y) , PB 即 PA? ? 5 y 2 ? 20 y ? 12 . PB 又 PA?PB ? ?8 ,

??? ?

??? ??? ? ?

??? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

??? ??? ? ?

………………………………………………… (6 分)

??? ??? ? ?

∴ 5 y ? 20 y ? 12 ? ?8 ,
2

所以 y ? 2 , x ? 4 ,此时 OP ? (4, 2) . ……………………………………(8 分)

??? ?

??? ? ??? ? PA ? (?3,5), PB ? (1, ?1) .
于是 PA ? 34, PB ?

??? ?

??? ?

??? ??? ? ? 2, PA?PB ? ?8 . ………………………………… (10 分)

??? ??? ? ? PA?PB ?8 4 17 ∴ cos ?APB ? ??? ??? ? . ………………………(13 分) ?? ? ? 17 34 ? 2 PA ? PB
b 20.解: (1) a ? ? cos ? ? 3x x 3x x cos ? sin sin ? cos 2 x , ……………………(3 分) 2 2 2 2
………………………(4 分)

? ? 3x x 3x x a ? b ? (cos ? cos )2 ? (sin ? sin )2 2 2 2 2 ? 2 ? 2(cos 3x x 3x x cos ? sin sin ) 2 2 2 2

? 2 ? 2cos 2 x ? 2 cos x
∵ x ?[

…………………………………………(7 分)

?
2

,? ] ,

∴ cos x ? 0 .

∴ a ? b ? ?2 cos x .

? ?

…………………………………………………………(9 分)
2

b (2) f ( x) ? a? ? a ? b ? cos 2 x ? 2cos x ? 2cos x ? 2cos x ? 1
1 3 ? 2(cos x ? ) 2 ? 2 2
∵ x ?[ ………………………………………………… (11 分) ……………………………………(13 分) ………………………………(15 分)

? ?

? ?

?

2

,? ] ,

∴ ?1 ? cos x ? 0 ,

∴当 cos x ? ?1 ,即 x ? ? 时 f max ( x) ? 3 .


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