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小波多尺度方法用于边缘检测


第 29 卷 第 5 期 2001 年 5月

















Vol. 29 M ay

No. 5 2001

J. Huazhong U niv. of Sci. & T ech.

小波多尺度方法用于边缘检测
Keit a Alpha 彭嘉雄 华中科技大学图像识别与人工智能研究所 图像信息处理与智能控制教育部重点实验室
摘要: 小波极大值表达式给出了重构图像信息的 一种新方法, 它能从图像边缘的属性上扩展解 决图像处 理问 题的方法. 由此提出小波多尺度方法对边缘进行 检测和重构. 实验结果表 明图像近 似值可以从 小波模极 大值 点中重构, 而视觉效果却不受影响. 关 键 词: 图像处理; 小波变换; 边缘检测 文献 标识码: A 文章编号: 1000 8616( 2001) 06 0074 03 中图分类号: T P75

边缘可以定义为图像上灰度发生强烈变化的 点. 但有时图像纹理也会发生强烈的灰度变化, 但 是却不被看作边缘. 相对于纹理辨别, 边缘检测要 依靠尺度分析, 这促使计算机图形研究人员检测 不同尺度下的强图像变化 二进小波变换中
[ 3] [ 1, 2]

1. 1 多尺度边缘检测 这个边缘检测器的某个多尺度形式是通过用 一个可伸缩的卷积核 H 对表面进行平滑而实现 , 的. 这可以用两个 H的偏导数的小波计算出来: 71 = - 5H5x ; / 7 2 = - 5 H 5y . / ( 2) 尺度沿着二进序列{ 2 } j I z 变化, 限制着计算量和 存储量. 对于 1 [ k [ 2, 有 7 2 i ( x , y ) = ( 7 k / 2i ) ( x / 2 i , y / 2 i ) ; ? i ( x , y ) = 7 2 i (- x , - y ) . 72 指数在 1 [ k [ 2 范围时, f I L 2 ( R 2 ) 的二进小波 变换在两个方向上为 k W kf ( u , v , 2i ) = 3f ( x , y ) , 7 2 i ( x u, y - v )4 = f ? i ( u, v ) . 72 的必要和充分条件. 进一步, 定义 H i ( x , y ) = ( H 2i ) ( x / 2i , y / 2i ) / 2 和 H2 ?i ( x , y ) = H i (- x , - y ) , 2 双尺度小波可以重写为 ? i = 2i (5?i / 5 x ) ; 71 H 2 2 72 ? i = 2 i ( 5?i / 5y ) . H2 2 这样, 从式 ( 3) 可以导出, 小波变换分量与被 ?i H 2 平滑的f 的梯度向量的坐标成比例, 即 ( W 1 f ( u , v , 2 i ) , W 2 f ( u , v , 2i ) ) T = 2i ( 5/ 5 u ) ( f ?i ) ( u , v ) H 2 ( 5/ 5 v ) f ?i ) ( u , v ) H 2 = ( 4)
k k k k j

. 它等同于在二维

, 边缘点的 Lipschitz 正则性从

各尺度下小波模极大值点的衰变中获得. 它还显 示图像近似值可以从 这些小波模极 大值点中重 构, 而视觉效果却不受影响.

1 图像的极大小波
Canny 边缘检测. 对于图像 f ( x , y ) , Canny 算法通过计算它的梯度向量 $ 来检测强变化的 f 点, 其中, $ = (5f / 5 x , 5f / 5y ) T . f ( 1) 在平面 ( x , y ) 上, f 沿单位向量 n= ( a, b ) 方向 上的偏导数可通过与一个梯度向量作内积计算出 来, 即 5f 5f 5f = $n= f a+ b. 5n 5x 5y 如果 n 与 $ 共线, 这个偏导数的绝对值最大. 这 f 表明 $ 与表面 f ( x , y ) 的最大变化的方向平行. f 如果 ( x , y ) 在一 个平 行于 $ ( x 0 , y 0 ) 的 f ( x 0 , y 0 ) 的一 维邻域内, 同时 $ ( x , y ) 的模在 f ( x 0 , y 0 ) 上局部最大, 那么点 ( x 0 , y 0 ) 就被定 义为一个 边缘点. 这意 味着 f 偏导 数的幅 度在 ( x 0 , y 0) 达到一个局部最大, 这些边缘点是 f 的 反射点.
收稿日期: 2000 12 15. - -

( 3)

文献 [ 1] 给出了获得一个完全和稳定的表达式

2 i $ ( f ?i ) ( u , v ) . H 2 这个梯度向量的模与小波变换的模

作者简介: K eita Alpha( 1966 ) , 男, 博士研究生; 武汉, 华中科技 大学图像识别与人工智能研究所 ( 430074) . 基金项目: 航天科技创新基金资助项目 .

第6期

K eita A lpha. 等: 小波多尺度方法用于边缘检测

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M | f ( u, v , 2i ) | = [ | W 1 f ( u , v , 2 i ) | 2 + | W f ( u, v , 2 ) | ] ( 5) 保持一定的比例, 并且它的角度同平面( x , y ) 上 的小波变换向量( 4) 的角度 A | f ( u , v , 2 i ) | 相 等. 设 A= arctan 那么 A , A | f ( u, v, 2 ) | =
i 2 i 2 1/ 2

梯度向量点位于表面灰度极大变化的方向上, 角 度A | f ( 2 , u 0 , v 0 ) | 几乎与经过 ( u , v ) 的 f ?i H 2 的边缘曲线的正切正交. 在离散计算中, 如果联结 这两个点的向量在这些点与 A | f ( 2 i , u 0 , v 0 ) | 方 向的角度垂直, 就连接这样两个相邻的小波模极 大值点. 图 2 中, ( a) { W 1 f ( u, v , 2 i ) } 1[ i [ 7 . ( b) { W 2f ( u , v , 2 i ) } 1 [ 2 )| }1[
i i [ 7. i [ 7. i

W f ( u, v, 2 ) , W1 f ( u , v , 2i )

2

i

( c ) { M | f ( u, v ,
i [ 7.

( d) { A | f ( u , v , 2 i ) | } 1[

( e) 模

i W f ( u, v , 2 ) \ 0; P- A, i W 1 f ( u, v , 2 i ) < 0. ( 6)

1

i

最大. ( f) 模值大于门限的极大值点.

对于多尺度边 缘点 ( u 0 , v 0 ) , 沿着 A | f ( 2 , u 0 , v 0 ) | 给出的角度方向, M | f ( u, v , 2 ) | 在 ( u 0 , v 0 ) 的一维邻域达到局部最大. 这些点也叫做小 波变换模极大点. 如图 1 所示, 小波模极大点是 沿着圆周线分布的. 图中, 位于上面的初始圆图像 有 N 2 = 1282 个像素. ( a) 为水平方 向的小波变 换, 尺度为 2 i , 从 顶端向底 部增长 { W 1 f ( u, v , 2 ) } 1[
i i [ 7. i

i

黑, 灰色和白色像素分别对应于负, 零
2

和正值. ( b) 为垂直方向的小波变换, { W f ( u, v , 2 i ) } 1 [ i [ 7 . ( c) 为 小波 变换模 { M | f ( u , v , 2i ) | } 1 [
i [ 7.

( a)

( b) 图2

( c)

( d)

( e)

( f)

Lena 图像的分解

白色和黑 色的像素分别 对应于零和
i [ 7位

1. 2 L ipschit z 正则性 二维小波变换的衰变依赖 f 的正则性. 将分 析限制在 Lipschit z 指数 0 [ A[ 1. 称 函数 f 在 ( x 0 , y 0 ) 点 Lipschitz 指数为 A, 如果存在 K > 0, 对于所有 ( x , y ) I R2 , 满足 | f ( x , y ) - f ( x 0, y 0 ) | [ K ( | x - x 0 | 2 + | y - y 0 | 2 ) a/ 2 . ( 7) 如果存在 K > 0, 任何 ( x 0 , y 0 ) I 8 满足式 ( 7) , 那么称 f 在 8 上 L ipschit z 指数一律为 A. 就 像在一维, 函数 f 的 L ipschit z 正则性与对应邻域 的渐进衰 变| W 1 f ( u, v , 2 i ) | 和 | W 2 f ( u , v , 2i ) | 相关. 这个衰变由 M | f ( 2 , u, v ) | 控制. 如文献 [ 4] 定理 6 3, 当且仅当 A * > 0, 对于所有在这个 范围中的 ( u, v ) 和所有为 2 i 的尺度, f 在有界 范围 R 有 L ipschit z 指数 A 且有 , M | f ( u, v , 2 i ) | [ A * 2i ( a+ 1) . ( 8)
2 i

大幅度系数. ( d) 角度 { A | f ( u , v , 2 i ) | } 1 [ 为黑色.

于模为非零时的点. ( e) 小波模极大值点的像素

( a)

( b)

( c)

( d)

( e)

假设图像有一个沿着 f 的 L ipschit z 正则指 数为 A 的 边 缘 曲 线. 在 边 缘 曲线 的 二 维 邻 域 M | f ( u, v , 2i ) | 可以由沿着边缘曲线的小波模 值来界定. 边缘的 Lipschitz 正则性通过测量沿尺 度的模幅度的衰变指数随同式 ( 8) 来估计. 如果

图 1 圆图像的边缘

在图像平面内, 沿曲线分布的边缘点往往对 应着图像的重要结构边界. 为了重构这些边缘曲 线, 可以把孤点的小波模极大值点连接起来. 既然

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2001 年

f 非奇异但沿着边缘具有一个平滑转移, 平滑可 以被一个二维 Gaussian 模糊的方差量化. 这个方 差 R2 是通过广义定理 [ 4] 来予以估计的. 1. 3 边缘重构 在视觉理论中, M arr 猜测图像可以由多尺 度边缘得以重构. 对一个 Canny 边缘的 检测器, 这等于从小波模极大值恢复图像. 即使二进小波 极大值具有非完全性, Mallat 和 Zhong
[ 3] [ 1]

( a) 图3

( b) Lena 图像的重构

( c)

算法也

能计算出一个原图像的近似, 且看上去与原来那 个图像相似. 封闭边缘曲线以及理解虚幻的轮廓线要求与 多尺度微分算子局部不同的计算模型. 合并具有 期望正则性的轮廓线的全局最优化方法, 给出了 封闭边缘曲线和理解虚幻轮廓线的意义的战略性 建议.

( a) 原始图像, ( b) 图 2 ( e) 显示的 小波极 大值构造 的结果. ( c) 从图 2 ( f) 显示的 小波门 限化极 大值构造 的结果

过 20 次迭代, 相关均 方重构误 差为 + f? f +/ +f += 4 @ 10- 3 . 边缘门限解释了图像结构从图 3( c) 中所显示的重构中消失的原因. 感谢 法国 C. M. A. P Ecole Polyt echnique

2 试验与结论
图 1 中的圆形图像的二进小波变换产生沿着 圆具有高幅度的模图像 M | f ( 2 , u, v ) | . 既然梯 度向量与圆垂直, 那么角 A | f ( 2 i , u, v ) | 在 0 到 2P的范围内, 沿着周线变化. 图 2 中所示的 Lena 图像, 当尺度增加时, 某些边缘消失. 这些都对应 于细尺度下的剧烈变化, 被尺度逐步增加而平均 掉. 请注意这个平均同样会修正余留下的边缘的 位置. 图 2( f ) 显示了模值在门限之上的小波最大 值点. 它们给出图像具有大幅度变化的边缘的位 置. 图 3( b) 中重构的图像视觉上与原图像是一样 的. 它是通过 10 次共轭梯度迭代予以恢复的. 经
i

的 Em manuel Bacry 博 士, Stephen M allat 教授和 Jacque froment 博士等给作者提供的资料和软件.
参 考 文 献

[ 1] M ar r D. Vision. San Fransisco: W. H. Fr eeman and Co. , 1982. [ 2] Rosenfeld A, T hurston M . Edge and Curve Detection for V isual Sceneanalysis. 1971, 20: 562~ 569 [ 3] M allat S, Zhong S. Characterisation of Signals from Multiscale Edges. IEEE T rans. Patt. R ecog. and M ach. Intell. , 1992, 14( 7) : 710~ 732 [ 4] Stephane M allat. A Wavelet T our o f Signal Processing. San Diego: Academic Press, 1999. I EEE T rans. Comput. ,

Wavelet Multiscale for Edge Detection
K eit a A lp ha Peng Jiax iong Abstract: T he w avelet maxima representation is a new reorganization of an image information in order t o solve the image processing problem f rom the propert ies of t he image edg es. T he multiscale met hod of w avelet for edge det ect ion and reconstruction is presented. T he ex periment show s t hat image approx imat ion may be reconstructed f rom the w avelet modulus maxima w it hout the visual degradat ion. Key words: image processing; wavelet t ransform; edge detect ion Keita Alpha Doct oral Candidat e; Inst it ut e of Pat t ern Recognit ion & AI, H UST Wuhan 430074, China.



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