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北京市西城区2014届高三二模试卷 文科数学 Word版含答案


北京市西城区 2014 年高三二模试卷



学(文科)
共 40 分)

2014.5

第Ⅰ卷(选择题

一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题列出的四个选项中,选出符 合题目要求的一项. 1.设集合 A ? {x | x ? 2 ?

0} ,集合 B ? {x | x ? 1} ,则( (A) A ? B (B) B ? A (C) A )

B??

(D) A

B??

2.在复平面内,复数 z =(1 ? 2i)(1 ? i) 对应的点位于( (A)第一象限 (C)第三象限



(B)第二象限 (D)第四象限

x2 y 2 3.直线 y ? 2 x 为双曲线 C: 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的一条渐近线,则双曲线 C 的离心率 a b
是( )

(A) 3

(B)

3 2

(C) 5

(D)

5 2


4.某四棱锥的三视图如图所示,记 A 为此棱锥所有棱的长度的集合,则( (A) 2 ? A ,且 4 ? A (B) 2 ? A ,且 4 ? A (C) 2 ? A ,且 2 5 ? A (D) 2 ? A ,且 17 ? A 1 1 正(主)视图 4 4

1 1 侧(左)视图

俯视图

5.设平面向量 a , b , c 均为非零向量,则“ a ? (b ? c) ? 0 ”是“ b ? c ”的( (A)充分而不必要条件 (C)充分必要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分也不必要条件



6.在△ ABC 中,若 a ? 4 , b ? 3 , cos A ?

1 ,则 B ? ( 3
π 3 2π (D) 3
(B)



π 4 π (C) 6
(A)

?? x 2 ? 4 x, x≤4, 7. 设函数 f ( x) ? ? 若函数 y ? f ( x) 在区间 (a, a ? 1) 上单调递增,则实数 a ?log 2 x, x ? 4.
的取值范围是( (A) (??,1] ) (B) [1, 4] (C) [4, ??) (D) (??,1] [4, ??)

8. 设 ? 为平面直角坐标系 xOy 中的点集,从 ? 中的任意一点 P 作 x 轴、 y 轴的垂线,垂足 分别为 M , N ,记点 M 的横坐标的最大值与最小值之差为 x (?) ,点 N 的纵坐标的最大值 与最小值之差为 y (?) . 如果 ? 是边长为 1 的正方形,那么 x(?) ? y (?) 的取值范围是( (A) [ 2, 2 2] (B) [2, 2 2] (C) [1, 2] ) (D) [1, 2 2]

第Ⅱ卷(非选择题

共 110 分)

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9.在等差数列 {an } 中, a1
2

? 1 , a4 ? 7 ,则公差 d ? _____; a1 ? a2 ?

? an ? ____.

10.设抛物线 C: y ? 4 x 的焦点为 F , M 为抛物线 C 上一点,且点 M 的横坐标为 2,则

| MF |?

.

开始

11.执行如图所示的程序框图,输出的 a 值为______.

a =3,i=1 i >5
否 是

a?

1? a 1? a

输出 a 结束

i=i+1

? x≥0, ? 12.在平面直角坐标系 xOy 中,不等式组 ? y≥0, 所表示的平面区域是 ? ,不等式组 ? x ? y ? 8≤0 ?

?0≤x≤4, 所表示的平面区域是 ? . 从区域 ? 中随机取一点 P( x, y ) , 则 P 为区域 ? 内的点的 ? 0 ≤ y ≤ 4 ?
概率是_____. 13.已知正方形 ABCD,AB=2,若将 ?ABD 沿正方形的对角线 BD 所在的直线进行翻折, 则在翻折的过程中,四面体 A ? BCD 的体积的最大值是____.

14.已知 f 是有序数对集合 M = {( x, y) | x 挝 N* , y

N*}上的一个映射,正整数数对 ( x, y ) 在

映射 f 下的象为实数 z,记作 f ( x, y) = z . 对于任意的正整数 m, n (m > n) ,映射 f 由下表给 出:

( x, y ) f ( x, y )

( n, n )

(m, n)

(n, m)
m+ n

n

m- n

则 f (3,5) = __________,使不等式

f (2x , x)≤4 成立的 x 的集合是_____________.

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤. 15. (本小题满分 13 分)

已知函数 f ( x) ? cos x(sin x ? cos x) ? 1 . (Ⅰ )求函数 f ( x ) 的最小正周期; (Ⅱ )当 x ? [?

π , 0] 时,求函数 f ( x) 的最大值和最小值. 2

16. (本小题满分 13 分) 为了解某校学生的视力情况,现采用随机抽样的方式从该校的 A,B 两班中各抽 5 名学 生进行视力检测.检测的数据如下:

A 班 5 名学生的视力检测结果:4.3,5.1,4.6,4.1,4.9. B 班 5 名学生的视力检测结果:5.1,4.9,4.0,4.0,4.5.
(Ⅰ)分别计算两组数据的平均数,从计算结果看,哪个班的学生视力较好? (Ⅱ)由数据判断哪个班的 5 名学生视力方差较大?(结论不要求证明) (Ⅲ)根据数据推断 A 班全班 40 名学生中有几名学生的视力大于 4.6?

17. (本小题满分 14 分) 如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, AA 1 ? 2 , E 为 AA 1 的中点, O 为 BD 1 的中点. (Ⅰ)求证:平面 A 1 BD 1 ? 平面 ABB 1A 1; (Ⅱ)求证: EO // 平面 ABCD ; (Ⅲ)设 P 为正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱上一点,给出满足条件 OP ? 2 的点 P 的 个数,并说明理由. A1 O D A 18. (本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x ) ? B C D1 B1 C1

E

ex ,其中 a ? R . ax 2 ? x ? 1

(Ⅰ)若 a ? 0 ,求函数 f ( x) 的定义域和极值; (Ⅱ)当 a ? 1 时,试确定函数 g ( x) ? f ( x) ? 1 的零点个数,并证明.

19. (本小题满分 14 分) 设 F1 , F2 分别为椭圆 W : 且与椭圆 W 相交于 A, B 两点. (Ⅰ)求 ?ABF1 的周长; (Ⅱ)如果 ?ABF1 为直角三角形,求直线 l 的斜率 k .

x2 ? y 2 ? 1 的左、右焦点,斜率为 k 的直线 l 经过右焦点 F2 , 2

20. (本小题满分 13 分) 在无穷数列 {an } 中,a1 ? 1 , 对于任意 n ? N , 都有 an ? N* ,an ? an?1 . 设 m ? N , 记
* *

使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm . (Ⅰ)设数列 {an } 为 1,3,5,7, ,写出 b1 , b2 , b3 的值;

(Ⅱ)若 {an } 为等比数列,且 a2 ? 2 ,求 b1 ? b2 ? b3 ? (Ⅲ)若 {bn } 为等差数列,求出所有可能的数列 {an } .

? b50 的值;

北京市西城区 2014 年高三二模试卷参考答案及评分标准

高三数学(文科)
一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分. 1.D 5.B 2.A 6.A 3.C 7.D 4.D 8.B

2014.5

二、填空题:本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分. 9. 2 11. ?2

n2

10. 3 12.

1 2

13.

2 2 3

14. 8

{1, 2}

注:第 9,14 题第一问 2 分,第二问 3 分. 三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分. 其他正确解答过程,请参照评分标准给分. 15. (本小题满分 13 分) (Ⅰ )解: f ( x) ? sin x cos x ? cos2 x ? 1

1 1 ? cos 2 x sin 2 x ? ?1 2 2 1 1 1 ? sin 2 x ? cos 2 x ? 2 2 2 ?

?????? 4 分

?

2 π 1 sin(2 x ? ) ? , 2 4 2

?????? 6 分 ?????? 7 分

2π ? π. 2 π 5π π π ≤ 2x ? ≤ - . (Ⅱ )解:由 ? ≤ x ≤ 0 ,得 ? 2 4 4 4
所以函数 f ( x ) 的最小正周期为 T ? 所以 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ≤

π 4

2 , 2

?????? 9 分

所以

? 2 ?1 2 π 1 ? 2 ?1 ≤ sin(2 x ? ) ? ≤ 1 ,即 ≤ f ( x) ≤1 . ??? 11 分 2 2 4 2 2

当 2x ?

π π π π ? 2 ?1 ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最小值 f (? ) ? ;? 12 分 8 4 2 8 2

当 2x ?

π π 5π π ? ? ,即 x ? ? 时,函数 f ( x) 取到最大值 f ( ? ) ? 1 . ????13 分 2 4 4 2

16. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:A 班 5 名学生的视力平均数为 xA =

4.3+5.1+4.6+4.1 ? 4.9 =4.6 , ???? 2 分 5 5.1+4.9+4.0+4.0 ? 4.5 =4.5 . ????? 3 分 B 班 5 名学生的视力平均数为 xB = 5
?????? 4 分 ?????? 8 分

从数据结果来看 A 班学生的视力较好. (Ⅱ)解:B 班 5 名学生视力的方差较大. (Ⅲ)解:在 A 班抽取的 5 名学生中,视力大于 4.6 的有 2 名, 所以这 5 名学生视力大于 4.6 的频率为

2 . 5

?????? 11 分

所以全班 40 名学生中视力大于 4.6 的大约有 40 ?

2 ? 16 名, 5
?????? 13 分

则根据数据可推断 A 班有 16 名学生视力大于 4.6.

17. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)证明:在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 A1 D1 ? 平面 ABB1 A 1, A 1 D1 ? 平面 A 1 BD 1, 所以平面 A 1 BD 1 ? 平面 ABB 1A 1. (Ⅱ)证明:连接 BD , AC ,设 BD ?????? 4 分

AC ? G ,连接 OG .

因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, 所以 AE // DD1 ,且 AE ? 又因为 O 是 BD1 的中点, 所以 OG // DD1 ,且 OG ?

1 DD1 ,且 G 是 BD 的中点, 2

D1 B1 O D

C1

A1

1 DD1 , 2

E
G

所以 OG // AE ,且 OG ? AE , 即四边形 AGOE 是平行四边形, 所以 EO //AG , 又因为 EO ? 平面 ABCD , AG ? 平面 ABCD , 所以 EO // 平面 ABCD . (Ⅲ)解:满足条件 OP ? 2 的点 P 有 12 个.

C B

A

?????? 6 分

?????? 9 分 ?????? 12 分

理由如下: 因为 ABCD ? A1 B1C1 D1 为正方体, AA1 ? 2 , 所以 AC ? 2 2 . 所以 EO ? AG ?

1 AC ? 2 . 2

?????? 13 分

在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, 因为 AA 1 ? 平面 ABCD , AG ? 平面 ABCD , 所以 AA 1 ? AG , 又因为 EO //AG , 所以 AA 1 ? OE , 则点 O 到棱 AA1 的距离为 2 , 所以在棱 AA1 上有且只有一个点(即中点 E )到点 O 的距离等于 2 , 同理,正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 每条棱的中点到点 O 的距离都等于 2 , 所以在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 棱上使得 OP ?

2 的点 P 有 12 个. ??? 14 分

18.(本小题满分 13 分) (Ⅰ)解:函数 f ( x) ?

ex 的定义域为 {x | x ? R ,且 x ? ?1} . x ?1

?????? 1 分

f ?( x) ?

e x ( x ? 1) ? e x xe x ? . ( x ? 1)2 ( x ? 1) 2

?????? 3 分

令 f ?( x) ? 0 ,得 x ? 0 , 当 x 变化时, f ( x ) 和 f ?( x ) 的变化情况如下:

x
f ?( x)

(??, ? 1)

(?1, 0)

0

(0, ? ? )

?


?


0

?
↗ ?????? 4 分

f ( x)

故 f ( x ) 的单调减区间为 (??, ? 1) , (?1,0) ;单调增区间为 (0, ? ? ) . 所以当 x ? 0 时,函数 f ( x ) 有极小值 f (0) ? 1 . (Ⅱ)解:结论:函数 g ( x) 存在两个零点. 证明过程如下: 由题意,函数 g ( x) ?
2

?????? 5 分

ex ?1 , x2 ? x ? 1

因为 x ? x ? 1 ? ( x ? ) ?
2

1 2

3 ?0, 4
?????? 6 分

所以函数 g ( x) 的定义域为 R . 求导,得 g ?( x) ?

e x ( x 2 ? x ? 1) ? e x (2 x ? 1) e x x( x ? 1) ? , ( x 2 ? x ? 1) 2 ( x 2 ? x ? 1) 2

??????7 分

令 g ?( x) ? 0 ,得 x1 ? 0 , x2 ? 1 , 当 x 变化时, g ( x) 和 g ?( x) 的变化情况如下:

x
g ?( x)

(??, 0)

0

(0, 1)

1

(1, ? ?)

?


0

?


0

?


g ( x)

故函数 g ( x) 的单调减区间为 ( 0,1) ;单调增区间为 (??, 0) , (1, ? ?) . 当 x ? 0 时 , 函 数 g ( x) 有 极 大 值 g (0) ? 0 ; 当 x ? 1 时 , 函 数 g ( x) 有 极 小 值

e g (1) ? ? 1 . 3
因为函数 g ( x) 在 (??, 0) 单调递增,且 g (0) ? 0 , 所以对于任意 x ? (??, 0) , g ( x) ? 0 . 因为函数 g ( x) 在 ( 0,1) 单调递减,且 g (0) ? 0 , 所以对于任意 x ? (0,1) , g ( x) ? 0 . 因为函数 g ( x) 在 (1, ? ?) 单调递增,且 g (1) ?

?????? 9 分

?????? 10 分

?????? 11 分

e e2 ? 1 ? 0 , g (2) ? ? 1 ? 0 , 3 7

所以函数 g ( x) 在 (1, ? ?) 上仅存在一个 x 0 ,使得函数 g ( x0 ) ? 0 , ???? 12 分 故函数 g ( x) 存在两个零点(即 0 和 x 0 ). 19. (本小题满分 14 分) (Ⅰ)解:椭圆 W 的长半轴长 a ? ?????? 13 分

2 ,左焦点 F1 (?1,0) ,右焦点 F2 (1, 0) , ? ??? 2 分

由椭圆的定义,得 | AF , | BF , 1 | ? | AF 2 |? 2a 1 | ? | BF 2 |? 2a 所以 ?ABF1 的周长为 | AF . 1 | ? | AF 2 | ? | BF 1 | ? | BF 2 |? 4a ? 4 2 (Ⅱ)解:因为 ?ABF1 为直角三角形,
o o o 所以 ?BF 1 A ? 90 ,或 ?BAF 1 ? 90 ,或 ?ABF 1 ? 90 , o 当 ?BF 1 A ? 90 时,

?????? 5 分

设直线 AB 的方程为 y ? k ( x ? 1) , A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) ,

?????? 6 分

? x2 ? ? y 2 ? 1, 由 ?2 ? y ? k ( x ? 1), ?
所以 x1 ? x2 ?

得 (1 ? 2k 2 ) x2 ? 4k 2 x ? 2k 2 ? 2 ? 0 ,

?????? 7 分

4k 2 2k 2 ? 2 x x ? , . 1 2 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

?????? 8 分

o 由 ?BF 1 A ? 90 ,得 F 1A? F 1B ? 0 ,

?????? 9 分

因为 F 1 A ? ( x1 ? 1, y1 ) , F 1B ? ( x2 ? 1, y2 ) , 所以 F 1 A? F 1B ? x1 x2 ? ( x1 ? x2 ) ? 1 ? y1 y2

? x1x2 ? ( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2 ( x1 ?1)( x2 ?1) ? (1 ? k 2 ) x1x2 ? (1 ? k 2 )( x1 ? x2 ) ?1 ? k 2
? (1 ? k 2 ) ? 2k 2 ? 2 4k 2 2 ? (1 ? k ) ? ? 1 ? k 2 ? 0 , ?????10 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2
?????? 11 分

解得 k ? ?

7 . 7

o o 当 ?BAF 1 ? 90 (与 ?ABF 1 ? 90 相同)时,

则点 A 在以线段 F1F2 为直径的圆 x 2 ? y 2 ? 1上,也在椭圆 W 上,

? x2 2 ? ? y ? 1, 由? 2 解得 A(0,1) ,或 A(0, ?1) , 2 2 ? x ? y ? 1, ?
根据两点间斜率公式,得 k ? ?1 , 综上,直线 l 的斜率 k ? ?

?????? 13 分

7 ,或 k ? ?1 时, ?ABF1 为直角三角形. ?????14 分 7

20. (本小题满分 13 分) (Ⅰ)解: b1 ? 1 , b2 ? 1, b3 ? 2 . (Ⅱ)解:因为 {an } 为等比数列, a1 ? 1 , a2 ? 2 , 所以 an ? 2n?1 , 因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 b1 ? 1 , b2 ? b3 ? 2 , b4 ? b5 ? b6 ? b7 ? 3 , b8 ? b9 ? ?????? 4 分 ?????? 3 分

? b15 ? 4 ,
?????? 6 分 ?????? 8 分

b16 ? b17 ?

? b31 ? 5 ,b32 ? b33 ? ? b50 ? 243 .

? b50 ? 6 ,

所以 b1 ? b2 ? b3 ?

(Ⅲ)解:由题意,得 1 ? a1 ? a2 ? a3 ? 结合条件 an ? N* ,得 an≥n .

? an ?

, ?????? 9 分

又因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 使得 an ≤m ? 1 成立的 n 的最大值为 bm?1 , 所以 b1 ? 1 , bm≤bm?1 (m ? N* ) . 设 a2 ? k ,则 k≥2 . 假设 k ? 2 ,即 a2 ? k >2 , 则当 n≥2 时, an ? 2 ;当 n≥3 时, an≥k ? 1 . 所以 b2 ? 1, bk ? 2 . 因为 {bn } 为等差数列, ?????? 10 分

所以公差 d ? b2 ? b1 ? 0 , 所以 bn ? 1,其中 n ? N .
*

这与 bk ? 2(k ? 2) 矛盾, 所以 a2 ? 2 . 又因为 a1 ? a2 ? a3 ? 所以 b2 ? 2 , 由 {bn } 为等差数列,得 bn ? n ,其中 n ? N .
*

?????? 11 分

? an ?



?????? 12 分

因为使得 an ≤m 成立的 n 的最大值为 bm , 所以 an ≤n , 由 an≥n ,得 an ? n . ?????? 13 分


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