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学而思高中物理竞赛讲义8


第 10 讲 功与动能
本讲提示: 1.深刻理解功的定义。 2.使用动能定理分析力学过程 注意区分动量与动能,区别功与冲量。 知识点睛 一.功 物体在外力作用下,在力的方向上发生了一段位移,则外力对物体作功。功表征了力对空间的累计 效应。 1.恒力做功 在恒力 F 作用下质点沿直线发生了一段位移 ?l ,则在此过程中,力对质点所做的功按以下计算:

W ? F?l cos? 其中 θ 为 F 与 ?l 的夹角。这个公式记为矢量的点乘式为: W ? F ??l 功的单位为焦耳(J) ,其中 1J ?1N ? m

注意: ① 功为标量,但有正负:

② 多个力对物体作功,等于各力对物体作功的代数和。 证明: W ?

? F ? ?l ? ( F

? ?? ?

?

1

? ? ?? ? ? F2 ? ? ? Fn ) ? ?l ? W1 ? W2 ? ? ? Wn ?

?W

i

③ 功的计算式中位移是受力质点作用点的参考系位移。 实例:

1.如图:拉力F对球做功等于Fx,但弹簧对墙做功为 0。

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2.如图:一子弹射入一个可以自由移动的木块,设相互作用大小为F,则: 子弹队木块做功:FS 木块对子弹做功:-F(l+S) 这样的定义必然导致相互作用力的总功不一定为零,这和相互作用力冲量很不一样,所以当我们 对于一个系统进行功的计算时,必须考虑内力。恒定的相互作用力的总功为 W ? F ? d ,其中d为相对位 移。功的定义导致功的计算依赖参考系的选取,但是相互作用力的总功与参考系的选取无关。中学阶段 只要不刻意强调,功指的都是对地的功。 ④ 易证明恒力做功与轨迹无关,只取决于恒力方向上的位移。 如轨迹为曲线,可以把曲线看成无穷多段,如图,设恒力 F作用下一物体,从a位置运动到b位置, 把轨迹分成无穷段,分别为 ?l1 , ?l2 , ?l3 ? 整个过程中做功为

W ? F ? ?l1 ? F ? ?l2 ? F ? ?l3 ? ? F ? ?l总 ? F?lF

其中 ?lF 为F方向上位分位移,与F同向取正,反之取负。 实例:

如图,用水平恒定的拉力F,把一个质量为m的球拉至新位臵,拉力做功为Fl,重力做功为mgh。 2.变力做功 微元思想给出了变力做功的计算方法,无限分割路径,以直线段代替曲线段,计算每一小段功,累加 即可,可以把功当做力对路径的路径积分。

? W ? ? F ? ?l
lt l0

作出 F cos ? ? l 的函数图像,曲线与横轴所围面积表示功的大小:

F cos ?

l

o

a

?l

b

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实例:

如图:弹性系数为 k 的弹簧,在弹力的作用下,从距原长为 x0 收缩到 x,作出弹力随着位移的函数图 象,规定向右为正。图中阴影部分面积为弹簧对物体做功。

由面积公式: ?W ?

1 2 1 2 kxo ? kx 2 2

3.功率 单位时间做功为功率,用字母P表示,则功率定义式为:

P?

其 中 ?t 代 入 总 时 间 则 计 算 得 平 均 功 率 , ?t 趋 近 于 零 则 计 算 为 瞬 时 功 率 , 瞬 时 功 率 还 可 用 P ? Fv cos? 计算,其中θ 为F与v夹角。 4.功与动能 计算功的目的是什么?功也是力的一种效果,定性的可以想到一定也是改变了与物体运动状态有关 的一个物理量。以下我们用微元法推导,做功过程中一个重要原理:动能定理。

?W ?t

假设一个物体在外力F作用下,由a运动到b,速度由v0 变化为vt,把整个轨迹等分成很多的 ?l , 对一段,由于轨迹很短,可以看为匀变速直线运动,由牛顿第二定律:

F1 cos?1 ? ma1

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v ? v0 又 a1 ? t 2x1
2

2

1 2 2 m(v1 ? v0 ) 2 1 2 2 则同理有 ?W2 ? F2 ? ?l2 cos? 2 ? m(v2 ? v1 ) 2 1 2 2 ?W3 ? F3 ? ?l3 cos?3 ? m(v3 ? v2 ) 2
易得: ?W1 ? F1 ? ?l1 cos?1 ? ?

?Wn?1 ? Fn?1 ? ?ln?1 cos? n?1 ?

1 2 2 m(vn ? vn?1 ) 2

?Wn ? Fn ? ?ln cos? n ?
叠加得

1 2 2 m(vt ? vn ) 2

? ?W

i

?

1 2 2 m(vt ? v0 ) 2
1 2 mv ,叫一个物体的动能,用字 2

我们定义一个质量为m的物体以速度为v的物体具备的一个状态量 母Ek表示,记为: Ek ?

1 2 mv 2

上述推导结论可以表达为,一个物理做成中外力对某质点做功等于其动能增加量,这个原理叫质点 动能定理。 对于质点组的情况,只需要把多个质点的方程叠加即可,注意质点组之间的相互作用总功在叠加过 程中不一定能消去(内力总功不一定为零) ,那么质点组动能定理可表达为:

W内 ? W外 ? ?EK 1 ? ?EK 2 ?
即内力与外力总功等于系统总动能变化。 实例:

当人从地面上跳起过程中,地板对人的力作用于脚上,起跳过程中,虽然身体重心在上升,但是脚 没有上升,所以地面未对人做功,对人做正功的只能是人自身的内力(肌肉对骨骼的力,不是武侠小说 中的内力) ,导致人加速上升。而跳水的时候,情况正好相反,跳板对人做功导致人加速上升。 从以上实例中我们应该看到,分析同一个事件,牛顿定律认为是地面对人的支持力导致人产生向上 的加速度,但动能定理却认为是人自身的内力导致人动能增加。由于方程的不同,导致解释时的描述不 同。

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例题精讲 【例 1】用一个时钟沿着切向的变力,把一个质量为 m,可视为质点的小物块沿着一个半径为 R 的光滑 半圆底部向上拉到顶部,计算拉力做功(尝试用两种方法做) 。

【例 2】如图,质量为 m 的小球系在倔强系数为 k 的轻弹簧一端,弹簧的另一端固定在 O 点. 开始时小 球位于水平位置 A 点,此时弹簧处于自然长度 l0 状态. 当小球由位置 A 自由释放,下落到 O 点正下方 位置 B 时,弹簧的伸长量为

l0 ,求小球到达 B 点时的速度. n

【例 3】如图所示,把弹簧的一端固定在墙上,另一端系一物体 A,当把弹簧压缩 x1 后,在它的右边再 放一物体 B,然后除去外力,设物体 A 和 B 均被放置在光滑的水平面上,质量分别为 mA 和 mB,弹簧 的劲度系数为 k,问:物体 A 移动的最大距离是多少?

【例 4】用铁锤将一只铁钉击入木板内,设木板对铁钉的阻力与铁钉进入木板之深度成正比,如果在击第 一次时,能将钉击入木板内 1 cm, 再击第二次时(锤仍然以第一次同样的速度击钉),能击入多深?

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【例 5】用一条细线把质量为 M 的圆环挂起来,环上穿着两个质量为 m 的小环,它们可以在大环上无摩 擦地滑动(如图所示) .如果两小环同时从大环顶部释放并沿相反方向自由滑下,下落过程中小环与大 环圆心的连线与竖直线的夹角用 ? 表示. 要使绳子拉力在小环下落过程的某时刻刚好变为零, 则⑴ m / M 必须满足什么条件?⑵当 m / M 满足上述条件时, ? 角达到多大时,绳子拉力刚好变为零.

【例 6】边长为 10cm 的正方形木块(密度为 0.5g / cm3 )浮在有水的杯中,杯的横截面积为 200 cm 2 , 水的密度是 1 g / cm3 ,平衡时杯内水深 10cm , g 取 10 m/s2 ,用力使木块慢慢沉到杯底,外力所做的功 是多少?

【例 7】质量为 m 的静止的物体受到沿水平方向均匀增减的冲击力作用 F ? F ? t ? 方向不变,水平方向 无其它作用力.力随时间的变化如图所示.求物体在时刻 ? 的速率以及冲击力对物体所做的总功.

【例 8】如图所示,质量为 m 的小车以恒定速率 v 沿半径为 R 的竖直圆环轨道运动,已知动摩擦因数 为 ? ,试求小车从轨道最低点运动到最高点过程中,摩擦力做的功.

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【例 9】如图,用恒定拉力 F 拉动一物体,不计滑轮重,计算物理速度为 v 拉力功率 P。

思考问题: 用动能定理判定一个物体是否能到达某处,先假设物体能到达目标位臵,并用动能定理计算末动 能,为正即能到达,为负即不能到达。这种思路严谨么?举例说明。 【例 10】长为 6L 、质量为 6m 的匀质绳置于特制的水平桌面上,绳的一端悬垂于桌边外,另一端系有 一个可视为质点的质量为 M 的木块,如图所示.木块在 AB 段与桌面无摩擦,在 BE 段与桌面有摩擦, 匀质绳与桌面的摩擦可忽略.初始时刻用手按住木块使其停在 A 处,绳处于绷紧状态, AB ? BC ? CD ? DE ? L ,放手后,木块最终停要 C 处.桌面距地面高度大于 6L ,求: ⑴木块刚滑至 B 点时的速度 v 和木块与 BE 段的动摩擦因数 ? ; ⑵若木块在 BE 段与桌面的动摩擦因数变为 ? ' ? 21m / (4M ) ,则木块最终停在何处? ⑶是否存在一个 ? 值,能使木块从 A 处释放后,最终停在 E 处,且不再运动?若能,求出该 ? 值;若 不能,简要说明理由.

【例 11】一只小船以速度 v ? 2m/s 在水中匀速滑行,船上站有一个人,人和船的总质量为 M ,人的手 中拿着一个质量为 m ? 1kg 的球.该人以相对船的速度 v1 ? 4m/s 将球水平抛出,若沿船行方向抛出球, 人需做多少功?若沿船行的反方向抛出球, 人的内力需做多少功?以地面为考察系, 讨论船是否做功。

【例 12】一电喷能把密度为 ? 的油漆从横截面积为S的喷口以速度v喷出,不考虑生热,分析电喷的工 作功率。

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【例 13】把 4kg的蒸馏水装入很大的平底水槽中,通过一虹吸管慢慢往外放,已知虹吸管横截面积为 0.01cm2,虹吸口管到水槽底部落差为 0.8m,水槽中水深可以忽略不计,不考虑阻力,计算水流光所 2 需时间。 (g=10m/s )

课后习题 1.测定运动员体能的一种装置如图所示,运动员的质量为m1,绳拴在腰间沿水平方向跨过滑轮(不 计滑轮摩擦和质量) ,绳的另一端悬吊的重物质量为m2,人用力向后蹬传送带,刚好使人的重心不 移动,传送带上侧以速度v向前运动,则 A.人对传送带不做功 B.人对传送带做功 C.人对传送带做功的功率为m1gv D.人对传送带做功的功率为(m1+m2)gv

2.如图所示,长 L 的细绳一端固定于 A 点,另一端系一小球.水平 x 轴的原点 O 位于悬点 A 的正下方

L 处.现在 x 轴正方向上某处钉一钉子 P,再将球拉到细绳处于水平的位置,由静止释放,要使球 2
下摆后可绕钉子 P 在竖直平面内转动一周。已知细绳能承受的最大拉力为球重的 7 倍,不计空气阻 力。求钉子 P 应钉在 x 轴上的位置坐标范围。 A
L 2

L

O

P

x

3.有一个摆长为 l 的摆(摆球可视为质点,摆线的质量不计),在过悬挂点的竖直线上距悬挂点 O 的距 离为 x 处(x<l)的 C 点有一固定的钉子,如图所示,当摆摆动时,摆线会受到钉子的阻挡.当 l 一 定而 x 取不同值时,阻挡后摆球的运动情况将不同.现将摆拉到位于竖直线的左方(摆球的高度不 超过 O 点),然后放手,令其自由摆动,如果摆线被钉子阻挡后,摆球恰巧能够击中钉子,试求 x 的最小值.

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趣味物理故事 是苹果落地导致牛顿发现万有引力吗 美国哈佛大学科技史教授柯亨不久前撰文,对苹果落地的故事表示怀疑。柯亨引证史料,说明牛顿 走向万有引力理论的重大一步是在 1679 年末到 1680 年初。 1679 年 11 月 24 日,胡克写信给牛顿,向 他介绍一种分析曲线运动的新方法。胡克聪明地看到,物体沿曲线轨道的运动有两个分量,一个是惯性 分量,一个是向心分量。惯性分 51 量势必沿曲线的切线方向作直线运动,而向心分量则总是拉物体偏 离惯性的直线轨道。月球运动的稳定轨道就是这两个分量互相匹配,使得月球既不会沿切线方向跑掉, 又不会螺旋式地接近地球。笛卡儿认为物体作曲线运动只是运动物体企图逃离中心的力造成的,但实际 上没有这样的力存在。胡克信中请牛顿对这个假设提出意见或评论。这个假设显然是牛顿后来把曲线运 动分解为一个惯性分量和一个向心分量这种想法的入门。因为在此之前,牛顿还常常用笛卡儿的离心力 来描述运动。胡克在信中还大胆提出,将行星吸向太阳的向心力大小,与两星之间的距离平方成反比。 由于胡克缺乏牛顿的数学才能,因此他不能再往前进,不能由直觉的预感与猜想,飞跃到严格的科学结 论。 11 月 28 日,牛顿回信说,在未读胡克的来信之前,他没有“听到过您的把行星的天体运动看作沿 曲线切线方向的直线运动”以及被“吸引”向太阳的运动两者“所合成之假说”。随之牛顿立即把自己 的研究课题换成:地球自转对自由落体的影响。但是他却不正确地描绘了自由落体物体的路径是一条螺 线。胡克发现了牛顿的错误,在 12 月 9 日的信中指出,自由落体物体的路径“将类似一个椭圆”。12 月 13 日牛顿谨慎地答复了胡克对他的指正,但并没有对胡克提出的行星运动是“圆周运动”的分析发 表什么意见。胡克并不灰心,在 1680 年 1 月 6 日的信中重述了向心吸引力与距离平方成反比的定量的 假设,而且说明他的这种分析“十分清楚而正确地说明了天象”。牛顿仍未作答复。1 月 17 日胡克发了 一封简短的补充函件,请牛顿找出:一个中心引力使物体偏离它的惯性轨道作曲线运动,当力与距离平 方成反比时,曲线是怎样的,它的性质及造成的原因是什么? 牛顿几乎就是按照胡克的思路去做的。但他一直没有把证明的结果告诉胡克或任何人。直至 1684 年 8 月,著名天文学家哈雷来访,说起他和雷恩都不能解决行星运动这个问题,胡克虽声称他已解出, 却拿不出一个公式。牛顿听了以后,马上回答:“是椭圆。”哈雷问他怎么知道的,牛顿回答:“我算 出来的。”经哈雷敦促,牛顿为皇家学会写了《论运动》,详细谈了他的计算过程。 应该说,牛顿在其大约是 1684 年 11 月写成的《论运动》的初稿中,还未建立万有引力这一概念。 这时,牛顿还没有领悟太阳吸引每个行星,每个行星还要吸引太阳,而且行星间也互为吸引。不久,牛 顿发觉了反作用定律的重要意义,1684 年 12 月在他完成的《论运动》的修改稿中已用相互作用来描述 行星运动。1685 年春季,牛顿全力以赴地完成了《自然哲学之数学原理》初稿,才完整地得出一切物体 以万有引力互相作用的理论。在牛顿发现万有引力以后,胡克声明是他向牛顿建议采用了“与距离平方 成反比的万有引力定律”。很多历史学家也同意胡克的看法。 牛顿说过他是站在巨人的肩膀上才发现万有引力的,但牛顿毕竟比巨人们看得更远。胡克只提出了 行星与太阳的关系问题,而牛顿提出的万有引力定律适用于宇宙间一切物体。这一质的飞跃是胡克的学 识所难以达到的。后来,牛顿却想否认胡克曾给予他以提示。他于 1717 年编撰了一段苹果落地的故事, 把他对万有引力定律的研究提早 20 年,变成了 17 世纪 60 年代的事。不过这个故事牛顿从来没有发表 过,只把它写在一封给法国作家皮埃尔·德·梅佐的信的草稿内,而且又把它勾去。但是后人却将这个 故事传开来。

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