tceic.com
简单学习网 让学习变简单
当前位置:首页 >> 数学 >>

河南省南阳一中2016年高考数学三模试卷(文科)(解析版)


2016 年河南省南阳一中高考数学三模试卷(文科)
一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.定义集合 A={x|2x≥1}},B={x| x<0},则 A∩?RB=( )

A. B.[0,1] C.[0,1) D.[0,2) (1,+∞) 2.若复数 z 满足 z(1﹣i)=|1﹣i|+i,则 z 的实部为( ) A. B. ﹣

1 C.1 D. ”,则( )

3.设命题 p:“若 ex>1,则 x>0”,命题 q:“若 a>b,则 A.“p∧q”为真命题 C.“¬p”为真命题 4.双曲线 C:x2﹣ B.“p∨q”为真命题 D.以上都不对

=1 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为(



A.

B.

C.

D.

5.若向量 , 满足| |=| |=2, 与 的夹角为 60°, 在 + 上的投影等于( ) A. B.2 C. D.4+2 2 2 6. a) 过点 A (a, 可作圆 x +y ﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线, 则实数 a 的取值范围为 ( A.a<﹣3 或 a>1 C.﹣3<a<1 或 a> B.a< D.a<﹣3 或 1<a<



7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< y=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到

A.向左平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度 )

8.执行如图所示的程序框图.若输入 a=3,则输出 i 的值是(

第 1 页(共 24 页)

A.2

B.3

C.4

D.5

9. a4, a8 成等比数列, 已知{an}是等差数列, 公差 d 不为零, 前 n 项和是 Sn, 若 a3, 则 ( ) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 10.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,沿 BD 将△ ABD 翻折,得到三棱锥 A ﹣BCD, 则当三棱锥 A﹣BCD 体积最大时, 异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 ( )

A.

B.

C.

D.

11.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. C. D. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) (1,+∞) (4,+∞) 12.设 F1,F2 分别是双曲线 C: ﹣ =1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是 C 的右支

上的点,射线 PT 平分∠F1PF2,过原点 O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M,若|MP|= |F1F2|, 则 C 的离心率为( A. B.3 C. ) D.

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分.
第 2 页(共 24 页)

13.如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平 面图形的直观图,其中 O′A′=6,O′C′=2,则 原图形的面积为 .

14.若不等式 x2+y2≤2 所表示的区域为 M,不等式组

表示的平面区域为 N,现

随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为 15.在△ ABC 中,已知 tan



=sinC,给出以下四个论断:①tanA?cotB=1②0< . .

sinA+sinB≤ ③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C,其中正确的是 16.已知 O 为△ ABC 的垂心,且 +2 +3 = ,则 A 角的值为

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤. ) 17.已知数列{bn}的前 n 项和 (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的通项 ,求数列{an}的前 n 项和 Tn. .

18.某工厂有工人 500 名,记 35 岁以上(含 35 岁)的为 A 类工人,不足 35 岁的为 B 类工 人,为调查该厂工人的个人文化素质状况,现用分层抽样的方法从 A、B 两类工人中分别抽 取了 40 人、60 人进行测试. (I)求该工厂 A、B 两类工人各有多少人? (Ⅱ)经过测试,得到以下三个数据图表: (茎、叶分别是十位和个位上的数字) (如图)

表:100 名参加测试工人成绩频率分布表
第 3 页(共 24 页)

组号 分组 频数 频率 [55,60) 5 1 0.05 [60,65) 20 2 0.20 [65,70) 3 [70,75) 35 4 0.35 [75,80) 5 [80,85) 6 100 1.00 合计 ①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图二)补充完整; ②该厂拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类工人中随机抽取 2 人参加高级技工 培训班,求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率. 19. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形.

(1)求证:BN 丄平面 C1B1N; (2)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP∥平面 CNB1,并求 (3)求点 A 到平面 CB1N 的距离. 20.在平面直角坐标系 xOy 中,一动圆经过点( ,0)且与直线 x=﹣ 相切,设该动圆圆 心的轨迹为曲线 E. (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)设 P 是曲线 E 的动点,点 B、C 在 y 轴上,△ PBC 的内切圆的方程为(x﹣1)2+y2=1, 求△ PBC 面积的最小值. 21.已知函数 f(x)=lnx. (1)若曲线 g(x)=f(x)+ ﹣1 在点(2,g (2) )处的切线与直线 x+2y﹣1=0 平行,求 实数 a 的值. (2)若 h(x)=f(x)﹣ 在定义域上是增函数,求实数 b 的取值范围. |. 的值.

(3)设 m、n∈R*,且 m≠n,求证:

[选修 4-1:几何证明选讲]

第 4 页(共 24 页)

22.如图,圆 M 与圆 N 交于 A,B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C,D 两点,延长延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5,DB=10. (1)求 AB 的长; (2)求 .

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的 正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参数方程是 (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= [选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)= (Ⅰ)求实数 M 的值; (Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣ 的最大值为 M. (t 是参数)

,求直线的倾斜角 α 的值.

|+|x+2

|≤M 的解集.

第 5 页(共 24 页)

2016 年河南省南阳一中高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题: (本大题共 12 小题,每小题 5 分) 1.定义集合 A={x|2x≥1}},B={x| A. (1,+∞) B.[0,1] x<0},则 A∩?RB=( )

C.[0,1) D.[0,2)

【考点】交、并、补集的混合运算. 【分析】分别求出关于集合 A、B 的范围,得到 B 的补集,从而求出其和 A 的交集即可. 【解答】解:∵A={x|2x≥1}}={x|x≥0}, B={x| x<0}={x|x>1},

∴?RB={x|x≤1}, 故 A∩?RB=[0,1], 故选:B. 2.若复数 z 满足 z(1﹣i)=|1﹣i|+i,则 z 的实部为( A. B. ﹣1 C.1 D. )

【考点】复数代数形式的混合运算. 【分析】z(1﹣i)=|1﹣i|+i,化为 z= 【解答】解:∵z(1﹣i)=|1﹣i|+i,∴z= 部为 故选:A. 3.设命题 p:“若 ex>1,则 x>0”,命题 q:“若 a>b,则 A.“p∧q”为真命题 C.“¬p”为真命题 B.“p∨q”为真命题 D.以上都不对 . ,再利用复数的运算法则、实部的定义即可得出. = = + i,∴z 的实

”,则(



【考点】复合命题的真假. 【分析】分别判断出 p,q 的真假,从而判断出复合命题的真假即可. 【解答】解:命题 p:“若 ex>1,则 x>0”是真命题, 命题 q:“若 a>b,则 故“p∨q”为真命题, 故选:B. ”是假命题,如:a=1,b=﹣1,

4.双曲线 C:x2﹣

=1 的顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为(
第 6 页(共 24 页)



A.

B.

C.

D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】根据双曲线的方程求出顶点坐标,焦点坐标以及渐近线方程,求出对应的距离,进 行求解即可. 【解答】解:双曲线的一个定点为 A(1,0) ,焦点为 F(2,0) , 双曲线的渐近线方程为 y=± x,不妨设 y= x,即 x﹣y=0, 则 A 到渐近线的距离 d= = ,

焦点到渐近线的距离 d=

=

=



则顶点到渐近线的距离与焦点到渐近线的距离之比为 故选:A.



5.若向量 , 满足| |=| |=2, 与 的夹角为 60°, 在 + 上的投影等于( A. B.2 C. D.4+2 【考点】平面向量数量积的运算. 【分析】利用向量在向量方向上的投影公式求得答案. 【解答】解:∵| |=| |=2, 与 的夹角为 60°, ∴ ?( + )=| |2+ ∵| + |2=| |2+| |2+2 ∴| + |=2 ∴ 在 + 上的投影等于 故选:C. = = , =| |2+| |?| |cos60°=4+2×2× =6, =| |2+| |2+2| |?| |cos60=4+4+2×2×2× =12,



6. a) 过点 A (a, 可作圆 x2+y2﹣2ax+a2+2a﹣3=0 的两条切线, 则实数 a 的取值范围为 ( A.a<﹣3 或 a>1 C.﹣3<a<1 或 a> B.a< D.a<﹣3 或 1<a<



【考点】圆的切线方程;圆的一般方程. 【分析】把已知圆的方程化为标准方程,找出圆心 P 的坐标和圆的半径 r,并根据二元二次 方程构成圆的条件可得 a 的范围,利用两点间的距离公式求出|AP|的值,由过 A 可作圆的两 条切线,得到点 A 在圆 P 外,可得|AP|的值大于圆的半径 r,列出关于 a 的不等式,求出不 等式的解集,与求出的 a 的范围求出并集,可得满足题意 a 的取值范围. 【解答】解:把圆的方程化为标准方程得: (x﹣a)2+y2=3﹣2a,
第 7 页(共 24 页)

可得圆心 P 坐标为(a,0) ,半径 r= 由题意可得点 A 在圆外,即|AP|=

,且 3﹣2a>0,即 a< , >r= ,

即有 a2>3﹣2a,整理得:a2+2a﹣3>0,即(a+3) (a﹣1)>0, 解得:a<﹣3 或 a>1,又 a< , 可得 a<﹣3 或 1<a< , 故选:D.

7.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (其中 A>0,ω>0,|φ|< y=cos2x 的图象,则只要将 f(x)的图象( )

)的图象如图所示,为了得到

A.向左平移 C.向左平移

个单位长度 个单位长度

B.向右平移 D.向右平移

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换. 【分析】先根据图象确定 A 和 T 的值,进而根据三角函数最小正周期的求法求 ω 的值,再 将特殊点代入求出 φ 值从而可确定函数 f(x)的解析式,然后根据诱导公式将函数化为余 弦函数,再平移即可. 【解答】解:由图象可知 A=1,T=π,∴ω= ∴f(x)=sin(2x+φ) ,又因为 f( ∴ ∵|φ| +φ= +2kπ,φ= )=sin( (k∈Z) =2 +φ)=﹣1

,∴φ= )=sin( +2x﹣ )=cos( )﹣ ﹣2x)=cos(2x﹣ ]=cos2x=y )

∴f(x)=sin(2x+

∴将函数 f(x)向左平移 故选 C.

可得到 cos[2(x+

8.执行如图所示的程序框图.若输入 a=3,则输出 i 的值是(



第 8 页(共 24 页)

A.2

B.3

C.4

D.5

【考点】程序框图. 【分析】由已知中的程序框图及已知中输入 a=3,可得:进入循环的条件为 a>45,模拟程 序的运行结果,即可得到输出的 i 值. 【解答】解:当 a=9 时,i=1; 当 a=21 时,i=2; 当 a=45 时,i=3; 当 a=93 时,i=4;结束循环 故选:C 9. a4, a8 成等比数列, 已知{an}是等差数列, 公差 d 不为零, 前 n 项和是 Sn, 若 a3, 则 ( ) A.a1d>0,dS4>0 B.a1d<0,dS4<0 C.a1d>0,dS4<0 D.a1d<0,dS4>0 【考点】等差数列与等比数列的综合. 【分析】由 a3,a4,a8 成等比数列,得到首项和公差的关系,即可判断 a1d 和 dS4 的符号. 【解答】解:设等差数列{an}的首项为 a1,则 a3=a1+2d,a4=a1+3d,a8=a1+7d, 由 a3,a4,a8 成等比数列,得 ∵d≠0,∴ ∴ , , ,整理得: .

= 故选:B.

<0.

10.如图,边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°,沿 BD 将△ ABD 翻折,得到三棱锥 A ﹣BCD, 则当三棱锥 A﹣BCD 体积最大时, 异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 ( )

第 9 页(共 24 页)

A.

B.

C.

D.

【考点】异面直线及其所成的角. 【分析】当三棱锥 A﹣BCD 体积最大时,平面 ADC⊥平面 BDC,取 DC 中点 O,连结 AO, BO,则 AO⊥平面 BDC,BO⊥平面 ADC,以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系,利用向量法能求出异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值. 【解答】解:∵边长为 1 的菱形 ABCD 中,∠DAB=60°, ∴AD=AC=BD=BC=DC=1, 当三棱锥 A﹣BCD 体积最大时,平面 ADC⊥平面 BDC, 取 DC 中点 O,连结 AO,BO,则 AO⊥平面 BDC,BO⊥平面 ADC, 以 O 为原点,OB 为 x 轴,OC 为 y 轴,OA 为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 D(0,﹣ ,0) ,A(0,0, C(0, ,0) , =(0,﹣ ,﹣ ) , =(﹣ , ,0) , ) ,B( ,0,0) ,

设异面直线 AD 与 BC 所成的角为 θ, 则 cosθ= = = .

∴异面直线 AD 与 BC 所成的角的余弦值为 . 故选:B.

第 10 页(共 24 页)

11.已知定义在 R 上的可导函数 f(x)的导函数为 f′(x) ,满足 f′(x)<f(x) ,且 f(x+2) x 为偶函数,f(4)=1,则不等式 f(x)<e 的解集为( ) A. C. D. (﹣2,+∞) B. (0,+∞) (1,+∞) (4,+∞) 【考点】利用导数研究函数的单调性;奇偶性与单调性的综合. 【分析】构造函数 g(x)= (x∈R) ,研究 g(x)的单调性,结合原函数的性质和函数

值,即可求解 【解答】解:∵y=f(x+2)为偶函数,∴y=f(x+2)的图象关于 x=0 对称 ∴y=f(x)的图象关于 x=2 对称 ∴f(4)=f(0) 又∵f(4)=1,∴f(0)=1 设 g(x)= (x∈R) ,则 g′(x)= =

又∵f′(x)<f(x) ,∴f′(x)﹣f(x)<0 ∴g′(x)<0,∴y=g(x)在定义域上单调递减 ∵f(x)<ex ∴g(x)<1 又∵g(0)= ∴g(x)<g(0) ∴x>0 故选 B. =1

第 11 页(共 24 页)

12.设 F1,F2 分别是双曲线 C:



=1(a>0,b>0)的左、右焦点,P 是 C 的右支

上的点,射线 PT 平分∠F1PF2,过原点 O 作 PT 的平行线交 PF1 于点 M,若|MP|= |F1F2|, 则 C 的离心率为( A. B.3 C. ) D.

【考点】双曲线的简单性质. 【分析】运用极限法,设双曲线的右顶点为 A,考察特殊情形,当点 P→A 时,射线 PT→直 线 x=a,此时 PM→AO,即|PM|→a,结合离心率公式即可计算得到. 【解答】解:设双曲线的右顶点为 A, 考察特殊情形,当点 P→A 时,射线 PT→直线 x=a, 此时 PM→AO,即|PM|→a, 特别地,当 P 与 A 重合时,|PM|=a. 由|MP|= |F1F2|= 即有 a= , ,

由离心率公式 e= = . 故选:A. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分. 13.如图,矩形 O′A′B′C′是水平放置的一个平 面图形的直观图,其中 O′A′=6,O′C′=2,则 原图形的面积为 24 .

【考点】斜二测法画直观图. 【分析】根据所给的数据做出直观图形的面积,根据直观图的面积:原图的面积= 到原图形的面积. 【解答】解:∵矩形 O'A'B'C'是一个平面图形的直观图,其中 O'A'=6,O'C'=2, ∴直观图的面积是 6×2=12 ∵直观图的面积:原图的面积= ∴原图形的面积是 12÷ 故答案为:24 . =24 . ,得

第 12 页(共 24 页)

14.若不等式 x2+y2≤2 所表示的区域为 M,不等式组

表示的平面区域为 N,现

随机向区域 N 内抛一粒豆子,则豆子落在区域 M 内的概率为



【考点】几何概型;简单线性规划. 【分析】由题意,所求概率满足几何概型的概率,只要分别求出 S 阴影,SN,求面积比即可. 【解答】解:由题,图中△ OCD 表示 N 区域,其中 C(6,6) ,D(2,﹣2) 所以 SN= × =12,S 阴影= . = ,

所以豆子落在区域 M 内的概率为 故答案为: .

15.在△ ABC 中,已知 tan

=sinC,给出以下四个论断:①tanA?cotB=1②0<

sinA+sinB≤ ③sin2A+cos2B=1④cos2A+cos2B=sin2C,其中正确的是 ④ . 【考点】两角和与差的正切函数. 【分析】已知式子变形可得 A+B=90°,逐个选项判定即可. 【解答】解:∵tan =sinC



=2sin

cos



整理求得 cos(A+B)=0,∴A+B=90°. ∴tanA?cotB=tanA?tanA 不一定等于 1,①不正确. ∴sinA+sinB=sinA+cosA= sin(A+45°) ∵45°<A+45°<135°, ∴ <sin(A+45°)≤1,
第 13 页(共 24 页)

∴1<sinA+sinB≤ ,②不正确; cos2A+cos2B=cos2A+sin2A=1, sin2C=sin290°=1, ∴cos2A+cos2B=sin2C,④正确. sin2A+cos2B=sin2A+sin2A=2sin2A=1 不一定成立,故③不正确. 综上知④正确 故答案为:④ 16.已知 O 为△ ABC 的垂心,且

+2

+3

= ,则 A 角的值为



【考点】向量的线性运算性质及几何意义. 【分析】取 AC,BC 的中点分别为 E,F;化简可得 2 |AB|=6x,|AC|=|EC|= ,|EH|=2xcosA,从而可得

+4

=0,从而记|

|=x,则|

|=2x,

=cosA,从而解得.

【解答】解:∵ +2 +3 = , ∴ + +2 +2 = , 取 AC,BC 的中点分别为 E,F; ∴2 +4 =0, 记| |=x,则| |=2x, |AB|=6x,|AC|=|EC|= ,|EH|=2xcosA,



=cosA,



=2cosA, 或 cosA=﹣ (舍去) ,

解得 cosA= 故 A= ,

故答案为:



第 14 页(共 24 页)

三、解答题(本大题共 5 小题,共 70 分,解答题写出必要的文字说明、推理和演算步骤. ) 17.已知数列{bn}的前 n 项和 (Ⅰ)求数列{bn}的通项公式; (Ⅱ)设数列{an}的通项 【考点】数列的求和;数列递推式. 【分析】 (I)利用递推关系即可得出; (II) =(3n﹣2)?2n+(﹣1)n?2n.设数列{(3n﹣2)?2n}的前 n ,求数列{an}的前 n 项和 Tn. .

项和为 An,利用“错位相减法”与等比数列的前 n 项和公式即可得出; 再利用等比数列的前 n 项和公式即可得出. 【解答】解: : (I)∵数列{bn}的前 n 项和 ,∴b1=B1= =1;

当 n≥2 时,bn=Bn﹣Bn﹣1= ∴bn=3n﹣2. (II)



=3n﹣2,当 n=1 时也成立.

=(3n﹣2)?2n+(﹣1)n?2n.

设数列{(3n﹣2)?2n}的前 n 项和为 An, 则 An=2+4×22+7×23+…+(3n﹣2)?2n, 2An=22+4×23+…+(3n﹣5)?2n+(3n﹣2)?2n+1, ∴﹣An=2+3(22+23+…+2n)﹣(3n﹣2)?2n+1= ﹣3n)?2n+1﹣10, ∴An=(3n﹣5)?2n+1+10. 数列{(﹣1)n?2n}的前 n 项和= ∴数列{an}的前 n 项和 Tn=(3n﹣5)?2n+1+10 = [1﹣(﹣2)n]. ﹣4﹣(3n﹣2)?2n+1=(5

[1﹣(﹣2)n].

18.某工厂有工人 500 名,记 35 岁以上(含 35 岁)的为 A 类工人,不足 35 岁的为 B 类工 人,为调查该厂工人的个人文化素质状况,现用分层抽样的方法从 A、B 两类工人中分别抽 取了 40 人、60 人进行测试. (I)求该工厂 A、B 两类工人各有多少人? (Ⅱ)经过测试,得到以下三个数据图表: (茎、叶分别是十位和个位上的数字) (如图)

第 15 页(共 24 页)

表:100 名参加测试工人成绩频率分布表 组号 分组 频数 频率 [55,60) 5 1 0.05 [60,65) 20 2 0.20 [65,70) 3 [70,75) 35 4 0.35 [75,80) 5 [80,85) 6 100 1.00 合计 ①先填写频率分布表中的六个空格,然后将频率分布直方图(图二)补充完整; ②该厂拟定从参加考试的 79 分以上(含 79 分)的 B 类工人中随机抽取 2 人参加高级技工 培训班,求抽到的 2 人分数都在 80 分以上的概率. 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率;频率分布直方图. 【分析】 (Ⅰ)根据分层抽样即可求出 A,B 类工人; (Ⅱ)①根据茎叶图即可完成频率分布表和频率分布直方图; ②79 分以上的 B 类工人共 4 人,记 80 分以上的三人分别为甲,乙,丙,79 分的工人为 a, 一一列举出所有的基本事件,找到满足条件恩对基本事件,根据概率公式计算即可. 【解答】解: (I)有题知 A 类工人有 500× 则 B 类工人有 500﹣200=300(人) . (Ⅱ)①表一, 组号 分组 [55,60) 1 [60,65) 2 [65,70) 3 [70,75) 4 [75,80) 5 [80,85) 6 合计 图二 =200(人) ;

频数 5 20 25 35 10 5 100

频率 0.05 0.20 0.25 0.35 0.10 0.05 1.00

第 16 页(共 24 页)

②79 分以上的 B 类工人共 4 人,记 80 分以上的三人分别为甲,乙,丙,79 分的工人为 a, 从中抽取 2 人,有(甲,乙) , (甲,丙) , (甲,a) , (乙,丙) , (乙,a) , (丙,a)共 6 种 抽法, 抽到 2 人均在 80 分以上有(甲,乙) , (甲,丙) , (乙,丙) ,共 3 种抽法. 则抽到 2 人均在 80 分以上的概率为 = .

19. 已知某几何体的直观图和三视图如图所示, 其正视图为矩形, 侧视图为等腰直角三角形, 俯视图为直角梯形.

(1)求证:BN 丄平面 C1B1N; (2)设 M 为 AB 中点,在 BC 边上找一点 P,使 MP∥平面 CNB1,并求 的值.

(3)求点 A 到平面 CB1N 的距离. 【考点】点、线、面间的距离计算;直线与平面平行的性质;直线与平面垂直的判定. 【分析】 (1)由题意可得 BB1C1C 是矩形,AB⊥BC,AB⊥BB1,BC⊥BB1 ,AB=BC=4, BB1=CC1=8,AN=4,BC⊥平面 ANBB1,证明 B1C1⊥BN,BN⊥B1N,可证得 BN⊥平面 C1B1N. (2) 过 M 作 MR∥BB1, 交 NB1 于 R, 过 P 作 PQ∥BB1, 交 CB1 于 Q. 设 PC=a, 求得 PQ=2a. 由 PQ=MR 得 a=3,此时,PMRQ 是平行四边形,可得 MP∥平面 CNB1,可求得 的值.

第 17 页(共 24 页)

(3)先求出△ CNB1 的面积,而△ ANB1 面积可求,设点 A 到平面 CB1N 的距离为 h,根据 等体积法可得 = ,由此求得 h 的值.

【解答】 (1)证明:如图:∵该几何体的正视图为矩形,侧视图为等腰直角三角形,俯视图 为直角梯形, ∴BB1C1C 是矩形,AB⊥BC,AB⊥BB1,BC⊥BB1 , 由三视图中的数据知:AB=BC=4,BB1=CC1=8,AN=4. ∵AB⊥BC,BC⊥BB1,∴BC⊥平面 ANBB1, ∵B1C1∥BC,∴B1C1⊥平面 ANBB1 ,因此 B1C1⊥BN. 在直角梯形 B1BAN 中,过 N 作 NE∥AB 交 BB1 于 E,则 B1E=BB1﹣AN=4, 故△ NEB1 是等腰直角三角形,∴∠B1NE=45°, 又 AB=4,AN=4,∴∠ANB=45°,因此∠BNB1=90°,即 BN⊥B1N, 又 B1N∩B1C1=B1,∴BN⊥平面 C1B1N. (2)解:过 M 作 MR∥BB1,交 NB1 于 R,则 MR= 过 P 作 PQ∥BB1,交 CB1 于 Q,则 PQ∥MR, 设 PC=a,则 = ,即 = ,∴PQ=2a. =6,

由 PQ=MR 得:2a=6,a=3,此时,PMRQ 是平行四边形,∴PM∥RQ,PM=RQ. ∵RQ?平面 CNB1,MP?平面 CNB1,∴MP∥平面 CNB1, (3)∵△ CNB1 中,CN= =4 ,CB1= = = ,∴CN⊥NB1. = ,∴ ?( )?h= ?( = =4 , =4 = ,NB1= = . =

∴CN2+

设点 A 到平面 CB1N 的距离为 h,∵ AN?NB1?sin∠ANB1)?CB,

即 CN?NB1?h=AN?NB1?sin(90°+45°)?CB,即 4

?4

?h=4?4

?

?4,∴h=



20.在平面直角坐标系 xOy 中,一动圆经过点( ,0)且与直线 x=﹣ 相切,设该动圆圆 心的轨迹为曲线 E. (Ⅰ)求曲线 E 的方程;
第 18 页(共 24 页)

(Ⅱ)设 P 是曲线 E 的动点,点 B、C 在 y 轴上,△ PBC 的内切圆的方程为(x﹣1)2+y2=1, 求△ PBC 面积的最小值. 【考点】直线与圆锥曲线的综合问题. 【分析】 (Ⅰ)运用抛物线的定义,可得轨迹为抛物线,进而得到方程; (Ⅱ)设 P(x0,y0) ,B(0,b) ,C(0,c) ,求得直线 PB 的方程,运用直线和圆相切的 条件:d=r,求得 b,c 的关系,求得△ PBC 的面积,结合基本不等式,即可得到最小值. 【解答】解: (Ⅰ)由题意可知圆心到( ,0)的距离等于到直线 x=﹣ 的距离, 由抛物线的定义可知,圆心的轨迹方程:y2=2x. (Ⅱ)设 P(x0,y0) ,B(0,b) ,C(0,c) , 直线 PB 的方程为: (y0﹣b)x﹣x0y+x0b=0, 又圆心(1,0)到 PB 的距离为 1, 即 =1,整理得: (x0﹣2)b2+2y0b﹣x0=0,

同理可得: (x0﹣2)c2+2y0c﹣x0=0, 所以,可知 b,c 是方程(x0﹣2)x2+2y0x﹣x0=0 的两根, 所以 b+c= ,bc= ,

依题意 bc<0,即 x0>2, 则(c﹣b)2= ,

因为 y02=2x0,所以:|b﹣c|=|

|

所以 S= |b﹣c|?|x0|=(x0﹣2)+ 当 x0=4 时上式取得等号, 所以△ PBC 面积最小值为 8. 21.已知函数 f(x)=lnx.

+4≥8

(1)若曲线 g(x)=f(x)+ ﹣1 在点(2,g (2) )处的切线与直线 x+2y﹣1=0 平行,求 实数 a 的值. (2)若 h(x)=f(x)﹣ 在定义域上是增函数,求实数 b 的取值范围. |.

(3)设 m、n∈R*,且 m≠n,求证:

【考点】利用导数研究函数的单调性;利用导数研究曲线上某点切线方程. 【分析】 (1)求出解析式与导数,求出直线的斜率,利用导数值,求解即可.

第 19 页(共 24 页)

(2)利用 到

求出导函数,通过 h′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立,得 ,利用基本不等式求解最值.

(3)不妨设 m>n>0,利用分析法,结合函数的单调性证明即可. 【解答】 (1)解: ,

g (x)在点(2,g (2) )处的切线与直线 x+2y﹣1=0 平行, ∴ (2)证:由 得:

∵h(x) 在定义域上是增函数,∴h′(x)>0 在(0,+∞)上恒成立 ∴x2+2(1﹣b)x+1>0,即 恒成立



当且仅当

时,等号成立

∴b≤2,即 b 的取值范围是(﹣∞,2] (3)证:不妨设 m>n>0,则

要证

,即证

,即

设 由(2)知 h (x)在(1,+∞)上递增,∴h (x)>h (1)=0



,∴

成立

[选修 4-1:几何证明选讲] 22.如图,圆 M 与圆 N 交于 A,B 两点,以 A 为切点作两圆的切线分别交圆 M 和圆 N 于 C,D 两点,延长延长 DB 交圆 M 于点 E,延长 CB 交圆 N 于点 F.已知 BC=5,DB=10. (1)求 AB 的长; (2)求 .
第 20 页(共 24 页)

【考点】弦切角;与圆有关的比例线段. 【分析】 (1)根据弦切角定理,推导出△ ABC∽△DBA,由此能求出 AB 的长. 2 ( )根据切割线定理,推导出△ ABC∽△DBA, 得 , ,由此能求出 .

【解答】解: (1)根据弦切角定理, 知∠BAC=∠BDA,∠ACB=∠DAB, ∴△ ABC∽△DBA,则 故 , .…

(2)根据切割线定理, 知 CA2=CB?CF,DA2=DB?DE, 两式相除,得 由△ ABC∽△DBA, 得 , , (*)



,由(*)得

.…

[选修 4-4:坐标系与参数方程] 23.已知曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ.以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的 正半轴,建立平面直角坐标系,直 l 的参数方程是 (1)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程;
第 21 页(共 24 页)

(t 是参数)

(2)若直线 l 与曲线 C 相交于 A、B 两点,且|AB|= ,求直线的倾斜角 α 的值. 【考点】参数方程化成普通方程. 【分析】本题(1)可以利用极坐标与直角坐标 互化的化式,求出曲线 C 的直角坐标方程; (2)先将直 l 的参数方程是 (t 是参数)化成普通方程,再求出弦心距,利

用勾股定理求出弦长, 也可以直接利用直线的参数方程和圆的普通方程联解, 求出对应的参 数 t1,t2 的关系式,利用|AB|=|t1﹣t2|,得到 α 的三角方程,解方程得到 α 的值,要注意角 α 范围. 【解答】解: (1)∵ρcosθ=x,ρsinθ=y,ρ2=x2+y2, ∴曲线 C 的极坐标方程是 ρ=4cosθ 可化为: ρ2=4ρcosθ, ∴x2+y2=4x, ∴(x﹣2)2+y2=4. (2)将 代入圆的方程(x﹣2)2+y2=4 得:

(tcosα﹣1)2+(tsinα)2=4, 化简得 t2﹣2tcosα﹣3=0. 设 A、B 两点对应的参数分别为 t1、t2, 则 ,

∴|AB|=|t1﹣t2|= ∵|AB|= ∴ ∴cos ∵α∈[0,π) , ∴ 或 . 或 . , = . .

=



∴直线的倾斜角

[选修 4-5:不等式选讲] 24.设函数 f(x)= 的最大值为 M.

(Ⅰ)求实数 M 的值; (Ⅱ)求关于 x 的不等式|x﹣ |+|x+2 |≤M 的解集. 【考点】函数的最值及其几何意义;绝对值不等式的解法. 【分析】 (Ⅰ) 利用基本不等式以及重要不等式, 转化求解函数的最值, 即可求实数 M 的值; (Ⅱ)通过绝对值不等式的几何意义,之间求关于 x 的不等式|x﹣ |+|x+2 |≤M 的解集. 【解答】 (本小题满分 10 分)选修 4﹣5:不等式选讲

第 22 页(共 24 页)

解: (I)因为 a,b>0 时, 所以 当且仅当

, ,

时等号成立. 故函数 f(x)的最大值

﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

﹣﹣ (Ⅱ)由绝对值三角不等式可得 所以不等式 的解 x 就是 方程 的解. 由绝对值的几何意义得,当且仅当 时, 所以不等式 的解集为: ﹣﹣﹣﹣﹣﹣



. ﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣﹣

第 23 页(共 24 页)

2016 年 7 月 25 日

第 24 页(共 24 页)


推荐相关:

河南省南阳一中2016年高考数学三模试卷(文科)(解析版)

河南省南阳一中2016年高考数学三模试卷(文科)(解析版)_数学_高中教育_教育专区。2016 年河南省南阳一中高考数学三模试卷(文科)一、选择题: (本大题共 12 小题...


河南省南阳一中2016年高考数学三模试卷(文科)(解析版) (1)

河南省南阳一中2016年高考数学三模试卷(文科)(解析版) (1)_数学_高中教育_教育专区。2016 年河南省南阳一中高考数学三模试卷(文科)一、选择题: (本大题共 12...


2016届河南省南阳一中高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)

2016河南省南阳一中高三第三次模拟考试数学(理)试题(解析版)_高考_高中教育_教育专区。2016河南省南阳一中高三第三次模拟考试数学(理)试题一、选择题 2 1...


2016届河南省南阳市一中高三第三次模拟考试数学(文)试题(word版)

2016届河南省南阳市一中高三第三次模拟考试数学(文)试题(word版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年春期南阳市一中高三第三次模拟考试 数学(文)试题一、选择题:...


2016届河南省南阳市一中高三第三次模拟考试数学(理)试题(word版)

2016届河南省南阳市一中高三第三次模拟考试数学(理)试题(word版)_高考_高中教育_教育专区。2016 年春期南阳市一中高三第三次模拟考试 数学(理)试题一、选择题:...


河南省南阳一中2015届高考数学三模试卷(文科)

河南省南阳一中2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。河南省南阳一中 2015 届高考数学三模试卷(文科)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5...


河南省南阳一中2015届高考数学三模试卷(文科)

河南省南阳一中2015届高考数学三模试卷(文科)_数学_高中教育_教育专区。河南省南阳一中 2015 届高考数学三模试卷(文科)一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5...


【百强名校】河南省南阳一中2016届高三第三次模拟考试数学(理)试卷

【百强名校】河南省南阳一中2016届高三第三次模拟考试数学()试卷_高考_高中教育_教育专区。2016 年春期南阳市一中高三第三次模拟考试数学()试题 一、选择题 ...


河南省南阳一中2015年高考数学三模试卷(理科)

A.求函数 f(x)=|x+a|+|x﹣2| 的最小值. 2015 年河南省南阳一中高考数学三模试卷(理科)参考答案与试题解析 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 简单学习网 www.tceic.com
copyright ©right 2010-2021。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com