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四川省阆中中学校2015-2016学年高二数学下学期第一次段考试题 文


阆中中学校 2016 年春高 2014 级第一学段教学质量检测 数学试题(文科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. 若 f ( x) ? sin ? ? cos x ,则 f ' (? ) 等于( A. sin ? 2. 复数 z= B. cos ? ) D. 2 sin

? )

C. sin ? ? cos ?

a?a+2? 2 +(a +2a-3)i(a ∈R)为纯虚数,则 a 的值为( a-1
B. a ? 0 且 a ? ?1 D. a ? 1 ,或 a ? ?3

A. a ? 0 C. a ? 0 ,或 a ? ?2

3.在复平面内,复数 6+5i,-2+3i 对应的点分别为 A,B.若 C 为线段 AB 的中点,则 点 C 对应的复数是( A.4+8i ) C.2+4i D.4+i ( D.以上都不对 )

B.8+2i

4.设函数 y ? f ( x) 可导,则 lim A. f '(1)
3

?x ?0

f (1 ? ?x) ? f (1) 等于 3?x
C.

B. 3 f '(1)

1 f '(1) 3

5.曲线 f ( x) = x + x - 2 在 p0 处的切线平行于直线 y = 4 x - 1,则 p0 点的坐标为 ( A C )

(1, 0) (1, 0) 和 (?1, ?4)
3 2

B D

(2,8) (2,8) 和 (?1, ?4)

6.已知函数 f ( x) ? ? x ? ax ? x ? 1 在 (??,??) 上是单调函数,则实数 a 的取值范围 是( ) B. [? 3, 3] D. (? 3, 3) )

A. (??,? 3] ? [ 3,??) C. (??,? 3) ? ( 3,??)
3 2

7.已知 f(x)=x +ax +(a+6)x+1 有极大值和极小值,则 a 的取值范围为( A.-1<a<2 B.-3<a<6 C.a<-1 或 a>2

D.a<-3 或 a>6
-1-

8.设函数 f ? x ? 的导函数为 f ? ? x ? ,且 f ? x ? ? x2 ? 2 x ? f ? ?1? ,则 f ? ? 0 ? 等于 ( A. 0 B. ?4 C. ?2 D. 2

)

9.设函数 f(x)在定义域内可导,y=f(x)的图象如图 1 所示,则导函数 y=f ?(x)可能为 ( y y y y y )

O

x

O

x

O

x

O

x

O

x

A

B

C

D

图 1

10.设 f ( x ) 、 g ( x ) 分 别 是 定 义 在 R 上 的 奇 函 数 和 偶 函 数 , 当 x < 0 时,

f ?( x) g ( x) ? f ( x) g ?( x) >0.且 g(3)=0.则不等式 f(x)g(x)<0 的解集是 (
A. (-3,0)∪(3,+∞) C. (-∞,- 3)∪(3,+∞) B. (-3,0)∪(0, 3) D. (-∞,- 3)∪(0, 3)

)

11.已知二次函数 f ( x) ? ax2 ? bx ? c 的导数为 f ?( x ) , f ?(0) ? 0 ,对于任意实数 x ,

有 f ( x) ≥ 0 ,则

f (1) 的最小值为 f ?(0)
B.

(

)

A. 3

5 2

C. 2

D.

3 2

12.f( x )是定义在区间上的奇函数,其图象如图所示:令 g( x )=af( x )+b, 则下 列关于函数 g( x )的叙述正确的是( A.若 a<0,则函数 g( x )的图象关于原点对称. B.若 a=-1,-2<b<0,则方程 g( x )=0 有大于 2 的实根. C.若 a≠0,b=2,则方程 g( x )=0 有两个实根. )

-2-

D.若 a≥1,b<2,则方程 g( x )=0 有三个实根.

-3-

阆中中学校 2016 年春高 2014 级第一学段教学质量检测 数学答题卷(文科)

(满分:150 分

时间:120 分钟

命题教师:杨昭权

审题教师:徐永浩)

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项 中,只有一项是符合题目要求的) 题号 答案 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中的横线上) 13.函数 y ? 2 x ? sin x 的单调增区间为
3 14.设 f ( x) ? x ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12



1 2 x ? 2 x ? 5 ,当 x ? [?1,2] 时, f ( x) ? m 恒成立,则实数 m 的 2


取值范围为

15.已知虚数(x-2)+yi(x,y∈R)的模为 3,则 的最大值是________。 16.对正整数 n ,设曲线 y ? x n (1 ? x) 在 x ? 2 处的切线与 y 轴交点的纵坐标为 a n , 则数列 ?

y x

? an ? ? 的前 n 项和的公式是 ? n ? 1?



三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17. (本题 12 分)求经过点 (2, 0) 且与曲线 y ?

1 相切的直线方程. x

-4-

18.(本小题满分 12 分)已知二次函数 f(x)满足:①在 x=1 时有极值;②图象过点(0,-3), 且在该点处的切线与直线 2x+y=0 平行. (1)求 f(x)的解析式; (2)求函数 g(x)=f(x )的单调递增区间.
2

19.(本小题 12 分) 某单位用 2160 万元购得一块空地,计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000 平方 米的楼房。 经测算, 如果将楼房建为 x( x ? 10) 层, 则每平方米的平均建筑费用为 560 ? 48 x (单 位:元) 。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少,该楼房应建为多少层? (注:平均综合费用=平均建筑费用+平均购地费用,平均购地费用=

购地总费用 ) 建筑总面积

-5-

20.(本小题满分 12 分) 已知 a 为实数, f ( x) ? ( x 2 ? 4)(x ? a) 。 (1)求导数 f ?( x) ; (2)若 f ?(?1) ? 0 ,求 f ( x) 在 上的最大值和最小值; (3)若 f ( x) 在(-∞,-2)和上都是递增的,求 a 的取值范围。

-6-

21. (本题满分 12 分)已知函数 f ( x) ? x ln x . (1)求 f ( x ) 的最小值; (2)若对所有 x ? 1 都有 f ( x) ? ax ? 1 ,求实数 a 的取值范围.

22. (本小题满分 14 分) 已知 f ( x) ? ax ? ln x, x ? (0, e], g ( x) ?

ln x ,其中 e 是自然常数, a ? R. x

(1)当 a ? 1 时, 求 f ( x ) 的单调性、极值; (2)求证:在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ; 2

(3)是否存在实数 a ,使 f ( x ) 的最小值是 3,若存在,求出 a 的值;若不存在, 说明理由. 阆中中学校 2016 年春高 2014 级第一学段教学质量检测
-7-

文科数学参考答案

一、 选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分)
题号 答案 1 A 2 C 3 C 4 C 5 C 6 B 7 D 8 B 9 D 10 D 11 C 12 B

二、填空题(每小题 4 分,共 16 分) 13. 15. 16.

(??, ??)
3

14. _ (7, ??) _

2 n ?1 ? 2
x?2

y/

? ?2n ?1 ? n ? 2 ? , 切线方程为 : y ? 2n ? ?2n ?1 ? n ? 2 ? ( x ? 2) ,
令 x ? 0 ,求出切线与 y 轴交点的纵坐标为 y0 ? ? n ? 1? 2 ,所以
n

an ? 2n ,则 n ?1

2 1 ? 2n ? an ? 数列 ? ? 2n?1 ? 2 ? 的前 n 项和 Sn ? n ? 1 1 ? 2 ? ?
三. 解答题(本大题共 6 小题,共 74 分) 17.解:∵点 (2, 0) 不在曲线 y ? ∵ y' ? ?

?

?

1 上,∴设切点为 P( x0 , y0 ) ,………2 分 x

1 1 1 ,∴ y ' |x ? x0 ? ? 2 ,∴所求切线方程为 y ? y0 ? ? 2 ( x ? x0 ) .………8 分 2 x x0 x0

∵点 (2, 0) 在切线上,∴ x02 y0 ? 2 ? x0 (①) ,…………..9 分 又 P( x0 , y0 ) 在曲线 y ?

1 上,∴ x0 y0 ? 1 (②) ,………….10 分 x

联立①、②解得 x0 ? 1 , y0 ? 1 ,故所求直线方程为 x ? y ? 2 ? 0 .…………12 分 18.解:⑴设 f(x)=ax +bx+c,则 f ?(x)=2ax+b.………2 分
2

?a ? 1, ? f ?(1) ? 0, ?2a ? b ? 0, ? ? ? 由题设可得: ? f ?(0) ? ?2, 即 ?b ? ?2, 解得 ?b ? ?2, ………5 分 ?c ? ? 3 . ? f (0) ? ?3, ?c ? ? 3 . ? ? ?
所以 f(x)=x -2x-3.………6 分 ⑵g(x)=f(x )=x -2x -3,g ?(x)=4x -4x=4x(x-1)(x+1).…………7 分 列表:
-82 4 2 3 2

x f?(x)
由 得:

(-∞,-1) - ↘

-1 0

(-1,0) + ↗

0 0

(0,1) - ↘

1 0

(1,+∞) + ↗ 表可 函数

f(x)

g(x)的单调递增区间为(-1,0),(1,+∞).…………12 分
19.解:设楼房每平方米的平均综合费为 y 元,依题意得

2160 ?10000 10800 ? 560 ? 48 x ? ( x ? 10, x ? N * ) ………..4 分 2000 x x 10800 10800 ? 0 ,解得 x ? 15 …………8 分 则 y ? ? 48 ? ,令 y? ? 0 ,即 48 ? x2 x2 y ? (560 ? 48 x) ?
当 x ? 15 时, y? ? 0 ;当 0 ? x ? 15 时, y? ? 0 ,………………10 分 因此,当 x ? 15 时, y 取得最小值, ymin ? 2000 元……………11 分 答:为了使楼房每平方米的平均综合费最少,该楼房应建为 15 层。……………..12 分 20. 解:⑴由原式得 f ( x) ? x 3 ? ax2 ? 4 x ? 4a, ∴ f ?( x) ? 3x 2 ? 2ax ? 4. ………2 分 ⑵由 f ?(?1) ? 0 得 a ?

1 1 2 2 ,此时有 f ( x) ? ( x ? 4)( x ? ), f ?( x) ? 3 x ? x ? 4 ……4 分 2 2 4 由 f ?(?1) ? 0 得 x ? 或 x=-1 , …………5 分 3 4 50 9 , f (?1) ? , f (?2) ? 0, f (2) ? 0, …………7 分 又 f( )?? 3 27 2 9 50 . ………8 分 所以 f(x)在上的最大值为 , 最小值为 ? 2 27

2 ⑶ f ?( x) ? 3x ? 2ax ? 4 的图象为开口向上且过点(0,-4)的抛物线,由条件得

f ?(?2) ? 0, f ?(2) ? 0, ………10 分


?0 ?84a??4a8 ? 0

∴-2≤a≤2…………11 分

所以 a 的取值范围为……………12 分 21. 解: f ( x ) 的定义域为(0,+?), …………1 分

f ( x) 的导数 f ?( x) ? 1 ? ln x .
令 f ?( x) ? 0 ,解得 x ?

………………2 分

1 1 ;令 f ?( x) ? 0 ,解得 0 ? x ? . e e

从而 f ( x ) 在 ? 0, ? 单调递减,在 ? ,+? ? 单调递增. ………………4 分

? ?

1? e?

?1 ?e

? ?

-9-

所以,当 x ?

1 1 时, f ( x ) 取得最小值 ? . e e

………………………… 5 分

(Ⅱ)解法一:令 g ( x) ? f ( x) ? (ax ? 1) ,则

g ?( x) ? f ?( x) ? a ? 1 ? a ? ln x ,

……………………6 分

① 若 a ? 1 ,当 x ? 1 时, g ?( x) ? 1 ? a ? ln x ? 1 ? a ? 0 , 故 g ( x) 在 (1 ,+?) 上为增函数, 所以, x ? 1 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 ,即 f ( x) ? ax ? 1 .…………………… 8 分 ② 若 a ? 1 ,方程 g ?( x) ? 0 的根为 x0 ? ea ?1 , 此时,若 x ? (1 ,x0 ) ,则 g ?( x) ? 0 ,故 g ( x) 在该区间为减函数……………10 分 所以 x ? (1 ,x0 ) 时, g ( x) ? g (1) ? 1 ? a ? 0 , 即 f ( x) ? ax ? 1 ,与题设 f ( x) ? ax ? 1 相矛盾. ……………………11 分

综上,满足条件的 a 的取值范围是 (??, 1] . ……………………………………12 分 解法二:依题意,得 f ( x) ? ax ? 1 在 [1, ? ?) 上恒成立, 即不等式 a ? ln x ? 令 g ( x) ? ln x ?

1 对于 x ? [1 , ? ?) 恒成立 . x
则 g ?( x) ?

……………………6 分

1 , x

1 1 1? 1? ? ? ?1 ? ? . x x2 x ? x ?
9分 10 分

……………………8 分

当 x ? 1 时,因为 g ?( x) ?

1? 1? ?1 ? ? ? 0 , x? x?

故 g ( x) 是 (1, ? ?) 上的增函数,

所以 g ( x) 的最小值是 g (1) ? 1 , ……………… 11 分 所以 a 的取值范围是 (??, 1] . …………………12 分

22.解: (1)? f ( x) ? x ? ln x , f ?( x) ? 1 ?

1 x ?1 ? x x

…………1 分

/ ∴当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递减…………2 分

当 1 ? x ? e 时, f / ( x) ? 0 ,此时 f ( x ) 单调递增 …………3 分 ∴ f ( x ) 的极小值为 f (1) ? 1 ……4 分 (2)? f ( x ) 的极小值为 1,即 f ( x ) 在 (0, e] 上的最小值为 1, ∴ f ( x) ? 0 , f ( x)min ? 1……5 分 令 h( x ) ? g ( x ) ?

1 ln x 1 1- ln x ? ? , h? ( x) = ,…………6 分 2 x 2 x2

当 0 ? x ? e 时, h?( x) ? 0 , h( x) 在 (0, e] 上单调递增

- 10 -

∴ h( x) max ? h(e) ?

1 1 1 1 ? ? ? ? 1 ? f ( x) min e 2 2 2

……………8 分

∴在(1)的条件下, f ( x ) ? g ( x ) ?

1 ………………………9 分 2

( 3 ) 假 设 存 在 实 数 a , 使 f ( x) ? ax ? ln x ( x ? (0, e] ) 有 最 小 值 3 ,

f / ( x) ? a ?

1 ax ? 1 ? ………………10 分 x x

① 当 a ? 0 时,? x ? (0, e] ,所以 f ? ( x) < 0 , 所以 f ( x) 在 (0, e] 上单调递减,…………11 分

f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?
②当 0 ?

4 (舍) , e

1 1 1 ? e 时, f ( x) 在 (0, ) 上单调递减,在 ( , e] 上单调递增 a a a

1 f ( x) min ? f ( ) ? 1 ? ln a ? 3 , a ? e 2 ,满足条件. ……………12 分 a
③ 当

1 ? e 时,? x ? (0, e] ,所以 f ? ( x) < 0 , a 4 (舍)……13 分 e

所以 f ( x) 在 (0, e] 上单调递减, f ( x) min ? f (e) ? ae ? 1 ? 3 , a ?
2

综上,存在实数 a ? e ,使得当 x ? (0, e] 时 f ( x ) 有最小值 3……………14 分

- 11 -


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