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贵州省凯里市第一中学2016届高三数学一轮总复习 专题十七 不等式选讲(含解析,选修4-5)


专题十七、选修 4-5
一、了解高考试题,预测未来方向,有效指导考前复习 1.(本小题满分 10 分)选修 4-5,不等式选讲 设函数 f ( x) ?| 2 x ? 4 | ?1 (Ⅰ)画出函数 y ? f ( x) 的图象 (Ⅱ)若不等式 f ( x ) ≤ ax 的解集非空,求 a 的取值范围 . 解: (Ⅰ) 由于 f ( x) ? ?

等式选讲

??2 x ? 5, x ? 2 ,则函数 y ? f ( x) 的图象如图所示. 2 x ? 3, x ? 2 ?

(Ⅱ)由函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图象可知, 当且仅当 a ?

1 或 a ? ?2 时,函数 y ? f ( x) 与函数 y ? ax 的图像有交点. 2

故不等式 f ( x) ? ax 的解集非空时,

1 a 的取值范围为 (??, ?2) ? [ , ??) 2
命题意图:本题主要考查含有绝对值的函数图象与性质以及不等式问题,考查利用数形结合解决问题的能力. 2. (本小题满分 10 分)选修 4—5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a | ?3x ,其中 a ? 0 . (Ⅰ)当 a ? 1 时,求不等式 f ( x) ? 3x ? 2 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 0 的解 集为 {x | x ? ?1} ,求 a 的值. 解: (Ⅰ)当 a ? 1 时, f ? x ? ? 3x ? 2 可化为 x ? 1 ? 2 故不等式 f ? x ? ? 3x ? 2 的解集为 ? x x ? 3 或 x ? ?1? . (Ⅱ)由 f ? x ? ? 0 得 x ? a ? 3x ? 0 化为不等式组 ? 由此可得 x ? 3 或 x ? ?1 ,

?x ? a ?x ? a 或? ? x ? a ? 3x ? 0 ?a ? x ? 3x ? 0

?x ? a ?x ? a ? ? a. 即 ?x ? a 或 ? x?? ? ? ? 4 ? 2
由题设可得 ?

由于 a ? 0 ,所以不等式组的解集为 {x | x ? ? } .

a 2

a ? ?1 ,故 a ? 2 . 2

3.(本小题满分 10 分)选修 4 ? 5 :不等式选讲
1

已知函数 f ( x) ? x ? a ? x ? 2 (1)当 a ? ?3 时,求不等式 f ( x) ? 3 的解集; (2)若 f ( x) ? x ? 4 的解集包含 [1, 2] ,求 a 的取值范围。 解: (1)当 a ? ?3 时, f ( x) ? 3 ? x ? 3 ? x ? 2 ? 3

x?2 x?3 ? ? 2? x?3 ? ? x ? 1或 x ? 4 或? ? 或? ? ?? ?3 ? x ? 2 ? x ? 3 ?3 ? x ? x ? 2 ? 3 ?x ? 3 ? x ? 2 ? 3
故不等式 f ( x) ? 3 的解集为 {x | x ? 1 或 x ? 4} (2)原 命题 ? f ( x) ? x ? 4 在 [1, 2] 上恒成立

? x ? a ? 2 ? x ? 4 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?2 ? x ? a ? 2 ? x 在 [1, 2] 上恒成立 ? ?3 ? a ? 0
所以 a 的取值范围为 [?3, 0]

4.(本小题满分 10 分 )选修 4——5;不等式选讲 设 a, b, c 均为正数,且 a ? b ? c ? 1 ,证明: (Ⅰ) ab ? bc ? ca ?

1 ; 3

(Ⅱ)

a 2 b2 c 2 ? ? ? 1. b c a

【考查知识点】证明不等式的基本方法:分析法与综合法;均值不等式。 【解析】证明: (Ⅰ)要证 ab ? bc ? ca ?

1 3
2

即证 ab ? bc ? ca ?

(a ? b ? c)2 3

即证 3ab ? 3bc ? 3ca ? (a+b ? c) 即证 ab ? bc ? ca ? a ? b ? c
2 2 2


2 2

而 a ? b ? 2ab, b ? c ? 2bc, c ? a ? 2ca,
2 2 2 2

根据不等式同向可加性得 2(ab ? bc ? ca) ? (a ? b ) ? (b ? c ) ? (c ? a )
2 2 2 2 2 2

明显①式子成立,故 ab ? bc ? ca ?

1 . 3

(Ⅱ)

a2 b2 c2 ? b ? 2a, ? c ? 2b, ? a ? 2a b c a

2

根据不等式同向可加性得

a 2 b2 c 2 ? ? ? (a ? b ? c) ? 2(a ? b ? c) b c a a 2 b2 c 2 ? ? ?1 故 b c a

a 2 b2 c 2 ? ? ?1 ? 2 即 b c a

二、全方位、多角度模拟高考,熟练掌握典型问题与方法 1. (24、选修 4-5:不等式选讲) 设函数 f ( x) ?

x ?1 ? x ? 2 ? a .

(1)当 a ? ?5 时,求函数 f ( x) 的定义域; (2)若函数 f ( x) 的定义域为 R ,求实数 a 的取值范围. 解: (1)当 a ? ?5 时,使

x ? 1 ? x ? 2 ? a 有意义,即 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0

由绝对值的几何意义可得 a ? ?2 或 a ? 3

? 实数 a 的取值范围是 (??,?2] ? [3,??)

…………………….5 分

(2)函数 f ( x) 的定义域为 R ,即 x ? 1 ? x ? 2 ? a ? 0 恒成立, 即 a ? ?( x ? 1 ? x ? 2 ) 恒成立,即 a ? [?( x ? 1 ? x ? 2 )]max 由绝对值不等式可得 x ? 1 ? x ? 2 ? 3 ,? ? ( x ? 1 ? x ? 2 ) ? ?3

? [?( x ? 1 ? x ? 2 )]max ? ?3

? 实数 a 的取值范围是 [?3,??)

…………… ………..10 分

2. (24、选修 4-5:不等式选讲) 已知 a ? R ,设关于 x 的不等式 | 2 x ? a | ? | x ? 3 |? 2 x ? 4 的解集为 A 。 (1)若 a ? 1 ,求 A; (2)若 A ? R ,求 a 的取值范围。

3

3.(24. (本小题满分 10 分)选修 4- 5:不等式选讲) 设 函数 f ( x) ? | x ?1| ? | x ? 2 | ?a (Ⅰ)当 a ? 5 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 的定义域为 R ,求 a 的取值范围 解: (Ⅰ)当 a ? ?5 时,要使函数 f ? x ? ? | x ? 1| ? | x ? 2 | ?a . 有意义, 则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?5 ? 0 ①当 x ? ?1 时,原不等式可化为 ? x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ? 0 ,即 x ? ?2 ; ②当 ? 1 ? x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 3 ? 5 ,显然不成立; ③当 x ? 2 时,原不等式可化为 x ? 1 ? x ? 2 ? 5 ,即 x ? 3 . 综上所求函数的定义域为 ?? ?,?2? ? ?3,??? …….….…….………….…5 分 (Ⅱ)函数 f ? x ? 的定义域为 R ,则 | x ? 1 | ? | x ? 2 | ?a ? 0 恒成立,即 | x ? 1 | ? | x ? 2 |? ?a 恒成立 ,

?1 ? 2 x, ( x ? ?1) ? 构造函数 h?x ? ?| x ? 1 | ? | x ? 2 | = ? 3, ( ?1 ? x ? 2) , ? 2 x ? 1, ( x ? 2) ?
求得函数的最小值为 3,所以 a ? ?3 .…….……….…….………10 分

4. ( 24.选修 4-5 不等式选讲) 已知函数 f ( x) ?| x ? a | ? | x ? 1|, a ? R 。 (Ⅰ)当 a ? 3 时, 解不等式 f ( x) ? 4 ; (Ⅱ)当 x ? (?2,1) 时, f ( x) ?| 2 x ? a ? 1| ,求 a 的取值范围。

? 4 ? 2x ,x ? 1 ? ? x? 3 解:(Ⅰ)当 a ? 3 时, f ( x ) ? ? 2,1 ? 2 x ? 4,x ? 3 ?

…………………………………… 1 分

4

当 x ? 1 时 ,由 f ( x) ? 4 得 4 ? 2 x ? 4 ,解得 0 ? x ? 1; 当 1 ? x ? 3 时, f ( x) ? 4 恒成立; 当 x ? 3 时,由 f ( x) ? 4 得 2 x ? 4 ? 4 ,解得 3 ? x ? 4 .………………………4 分 所以不等式 f ( x) ? 4 的解集为 x 0 ? x ? 4 . …………………………………5 分 (Ⅱ)因为 f (x) ? x ? a ? x ?1 ? x ? a ? x ?1 ? 2x ? a ?1 , 当 ? x ?1?? x ? a ? ? 0 时, f ( x) ? 2x ? a ?1 ; 当 ? x ?1?? x ? a ? ? 0 时, f ( x) ? 2x ? a ?1 .……………………………………7 分 记不等式 ? x ?1?? x ? a ? ? 0 的解集为 A, 则 ? ?2,1? ? A ,………………………8 分 故 a ? ?2 ,所以 a 的取值范围是 ? ??, ?2? .……………………………………10 分

?

?

5. ( (24)(本小题满分 10 分)选修 4-5: 不等式选讲) 已知函数 f ( x) ?| x ? m | ? | x ? 6 | (m ? R) . (Ⅰ)当 m ? 5 时,求不等式 f ( x) ? 12 的解集; (Ⅱ)若不等式 f ( x) ? 7 对任意实数 x 恒成立,求 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)当 m ? 5 时, f ( x)≤12 即 x ? 5 ? x ? 6 ≤ 12 , 当 x ? ?6 时,得 ?2 x≤13 ,即 x≥ ?

13 13 ,所以 ? ≤x ? ?6 ; 2 2

当 ?6≤x≤5 时,得 11≤12 成立,所以 ?6≤x≤5 ;

11 11 ,所以 5 ? x≤ . 2 2 13 11 ? ? 故不等式 f ? x ?≤ 12 的解集为 ? x | ? ≤x≤ ? .………………………………………(5 分) 2 2? ?
当 x ? 5 时,得 2 x≤11 ,即 x≤ (Ⅱ)因为 f ? x ? ? x ? m ? x ? 6 ≥ ? x ? m ? ? ? x ? 6 ? ? m ? 6 , 由题意得 m ? 6 ≥7 ,则 m ? 6≥7 或 m ? 6≤ ? 7 ,解得 m≥1 或 m≤ ? 13 , 故 m 的取值范围是 ? ??, ?13? ? ?1, ??? .…………………………………………………(10 分)

6. (23. (本小题满分 10 分)选修 4—5;不等式选讲) 已知函数 f ( x) ? log2 (| x ? 1| ? | x ? 2 | ?m . ) (Ⅰ)当 m ? 7 时,求函数 f ( x) 的定义域;
5

(Ⅱ)若关于 x 的不等式 f ( x) ? 2 的解集是 R ,求 m 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题 设知: x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ,不等式的解集是以下 不等式组解集的并集:

?x ? 2 ?1 ? x ? 2 ?x ? 1 ,或 ? ,或 ? ? ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?x ? 1 ? x ? 2 ? 7 ?? x ? 1 ? x ? 2 ? 7
解得函数 f ( x) 的定义域为 (??,?3) ? (4,??) ;………… ………….5 分 (Ⅱ)不等式 f ( x) ? 2 即 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 ,

? x ? R 时,恒有 x ? 1 ? x ? 2 ? ( x ? 1) ? ( x ? 2) ? 3 ,
因为不等式 x ? 1 ? x ? 2 ? m ? 4 解集是 R ,

? m ? 4 ? 3, m 的取值范围是 (??,-1] ………………………………….10 分

7.( 24.( 本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲 ) 已知函数

f ( x) ? log2 (| 2x ?1| ? | x ? 2 | ?a)

(Ⅰ)当 a ? 4 时,求函数 f ( x ) 的定义域; (Ⅱ)若对任意的 x ? R ,都有 f ( x) ? 2 成立,求实数a 的取值范围. 解: (Ⅰ)由题意得 f ( x) ? log2 ( 2x ? 1 ? x ? 2 ? 4) , 必须 2x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ? 0 .

5 当x ? ?2时, ? (2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? 0 , ? x ? ? . 即 x ? ?2 . 3 1 当 ? 2 ? x ? 时, ? (2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? 0,? x ? ?1 . 即 ? 2 ? x ? ?1 . 2 1 当x ? 时, (2 x ? 1) ? ( x ? 2) ? 4 ? 0,? x ? 1 . 即 x ? 1 . 2
综上所述,函数 f ( x) 的定义域为 x x ? ?1或x ? 1 .………………………………5 分 (Ⅱ)由题意得 log2 ( 2x ? 1 ? x ? 2 ? a) ? 2 ? log2 4 恒成立, 即 2x ?1 ? x ? 2 ? a ? 4 ,? 2x ?1 ? x ? 2 ? 4 ? a 恒成立,

?

?

? ?? 3x ? 5, x ? ?2, ? 1 ? 令 g ( x) ? 2 x ? 1 ? x ? 2 ? 4 ? ?? x ? 1,?2 ? x ? , 2 ? 1 ? 3x ? 3, x ? . ? 2 ?
显然 x ?

1 3 3 时, g ( x) 取得最小值 ? ,? a ? ? . ………………………………10 分 2 2 2
6

7


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