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高中数学公式大全(最新整理版)


高考总复习 仅供参考

高中数学公式大全(最新整理版)
1、二次函数的解析式的三种形式 (1)一般式 f ( x) ? ax ? bx ? c(a ? 0) ;
2

(2)顶点式 f ( x) ? a( x ? h) ? k (a ? 0) ;
2 1 2 (3)零点式 . 2、四种命题的相互关系 原命题:与

逆命题互逆,与否命题互否,与逆否命题互为逆否; 逆命题:与原命题互逆,与逆否命题互否,与否命题互为逆否; 否命题:与原命题互否,与逆命题互为逆否,与逆否命题互逆; 逆否命题:与逆命题互否,与否命题互逆,与原命题互为逆否

f ( x) ? a( x ? x )( x ? x )(a ? 0)

§ 函数

a ( ,0) y ? f ( x ) f ( x ) ? ? f ( ? x ? a ) 1、若 ,则函数 的图象关于点 2 对称; y ? f ( x ) f ( x ) ? ? f ( x ? a ) 若 ,则函数 为周期为 2a 的周期函数.
2、函数 y ? f ( x) 的图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 的图 x ? a 象关于直线对称 ? f (a ? x) ? f (a ? x)

? f (2a ? x) ? f ( x) .
(2)函数 y ? f ( x) 的图象关于直线

x?

a?b 2 对称 ? f (a ? mx) ? f (b ? mx )

? f (a ? b ? mx) ? f (mx) .
3、两个函数图象的对称性 (1)函数 y ? f ( x) 与函数 y ? f (? x) 的图象关于直线 x ? 0 (即 y 轴)对称. (2)函数 y ? f (mx ? a) 与函数 y ? f (b ? mx) 的图象关于直线 (3)函数 y ? f ( x) 和 y ? f
?1

x?

a?b 2m 对称.

( x) 的图象关于直线 y=x 对称.

4、若将函数 y ? f ( x) 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到函数 y ? f ( x ? a) ? b 的图象; 若将曲线 f ( x, y ) ? 0 的图象右移 a 、上移 b 个单位,得到曲线 f ( x ? a, y ? b) ? 0 的图象. 5、互为反函数的两个函数的关系: f (a) ? b ? f
?1

(b) ? a .

1 y ? [ f ?1 ( x) ? b] y ? f ( kx ? b ) k 6、若函数 存在反函数,则其反函数为 ,并不是 1 y ? [ f ( x ) ? b] ?1 ?1 y ? [ f (kx ? b) ,而函数 y ? [ f (kx ? b) 是 k 的反函数.
7、几个常见的函数方程 (1)正比例函数 f ( x) ? cx , f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y), f (1) ? c . (2)指数函数 f ( x) ? a , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y), f (1) ? a ? 0 .
x

(3)对数函数

f ( x) ? loga x , f ( xy) ? f ( x) ? f ( y), f (a) ? 1(a ? 0, a ? 1) .
?
'

(4)幂函数 f ( x) ? x , f ( xy) ? f ( x) f ( y), f (1) ? ? . (5)余弦函数 f ( x) ? cos x ,正弦函数 g ( x) ? sin x , f ( x ? y) ? f ( x) f ( y) ? g ( x) g ( y) ,

§ 数 列

高考总复习 仅供参考 1、数列的同项公式与前 n 项的和的关系

n ?1 ?s1 , an ? ? ?sn ? sn?1 , n ? 2 ( 数列 {an } 的前 n 项的和为 sn ? a1 ? a2 ? ? ? an ). a ? a1 ? (n ?1)d ? dn ? a1 ? d (n ? N * ) ;其前 n 项和公式为 2 、等差数列的通项公式 n n(a1 ? an ) n(n ? 1) d 1 sn ? ? na1 ? d ? n2 ? (a1 ? d )n 2 2 2 2 . a an ? a1q n?1 ? 1 ? q n (n ? N * ) q 3、等比数列的通项公式 ;其前 n 项的和公式为
? a1 (1 ? q n ) ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1
4、等比差数列

?an ?: an?1 ? qan ? d , a1 ? b(q ? 0) 的通项公式为



? a1 ? an q ,q ?1 ? sn ? ? 1 ? q ?na , q ? 1 ? 1

.

?b ? (n ? 1)d , q ? 1 ? an ? ? bq n ? (d ? b)q n ?1 ? d ,q ?1 ? q ?1 ?

;其前 n 项和公式为

?nb ? n(n ? 1)d , (q ? 1) ? sn ? ? d 1 ? qn d ( b ? ) ? n, (q ? 1) ? 1 ? q q ?1 1 ? q ? .

§ 三角函数

sin ? 1、同角三角函数的基本关系式 sin ? ? cos ? ? 1 , tan ? = cos? , tan ? ? cot? ? 1 .
2 2

2、正弦、余弦的诱导公式(奇变偶不变,符号看象限)
n ? 2 ( ? 1) sin ? , n? ? sin( ? ? ) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 co s ? , ? n ? n? ?( ?1) 2 co s ? , co s( ??) ? ? n ?1 2 ?( ?1) 2 sin ? , ?

(n 为偶数) (n 为奇数) (n 为偶数) (n 为奇数)

3、和角与差角公式

sin(? ? ? ) ? sin ? cos ? ? cos ? sin ? ; cos(? ? ? ) ? cos? cos ? ? sin ? sin ? ;

tan ? ? tan ? 1 ? tan ? tan ? . sin(? ? ? )sin(? ? ? ) ? sin 2 ? ? sin 2 ? (平方正弦公式); cos(? ? ? )cos(? ? ? ) ? cos2 ? ? sin 2 ? . tan(? ? ? ) ?
a sin ? ? b cos ? =

a2 ? b2 sin(? ? ? ) ( 辅 助 角 ? 所 在 象 限 由 点 (a, b) 的 象 限 决

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定, 4、二倍角公式

tan ? ?

b a ).

sin 2? ? sin ? cos ? . cos 2? ? cos2 ? ? sin 2 ? ? 2cos2 ? ? 1 ? 1 ? 2sin 2 ? . 2 tan ? tan 2? ? 1 ? tan 2 ? .

5、三倍角公式

sin 3? ? 3sin ? ? 4sin 3 ? ? 4sin ? sin( ? ? ) sin( ? ? ) 3 3 .
cos 3? ? 4 cos3 ? ? 3cos ? ? 4 cos ? cos( ? ? ) cos( ? ? ) 3 3

?

?

?

?

.

tan 3? ?

3tan ? ? tan ? ? ? ? tan ? tan( ? ? ) tan( ? ? ) 2 1 ? 3tan ? 3 3 .
3

6、三角函数的周期公式

函数 y ? sin(? x ? ? ) ,x∈R 及函数 y ? cos(? x ? ? ) ,x∈R(A,ω , ? 为常数,且 A≠0,ω >0)的周期

T?

2?

? ;
?
?

T? x ? k? ? , k ? Z ?. 2 函数 y ? tan(? x ? ? ) , (A,ω , ? 为常数, 且 A≠0, ω >0)的周期 a b c ? ? ? 2R 7、正弦定理 sin A sin B sin C .
8、余弦定理

a 2 ? b2 ? c 2 ? 2bc cos A ;
b2 ? c 2 ? a 2 ? 2ca cos B ; c2 ? a 2 ? b2 ? 2ab cos C .
9、面积定理

1 1 1 aha ? bhb ? chc h 、hb、hc 分别表示 a、b、c 边上的高). 2 2 2 (1) ( a 1 1 1 S ? ab sin C ? bc sin A ? ca sin B 2 2 2 (2) . ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? 1 S ?OAB ? (| OA | ? | OB |) 2 ? (OA ? OB ) 2 2 (3) . S?

§ 平面向量
1、两向量的夹角公式

cos? ?

x1 x2 ? y1 y2
2 2 (x , y ) (x , y ) x12 ? y12 ? x2 ? y2 (a= 1 1 ,b= 2 2 ).

2、平面两点间的距离公式

??? ? ??? ? ??? ? d A, B | AB |? AB ? AB =

? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
3、向量的平行与垂直

(A

( x1 , y1 )

,B

( x2 , y2 )

).

高考总复习 仅供参考 设 a=

( x1 , y1 )

,b=

( x2 , y2 ) ,且 b ? 0,则

a||b ? b=λ a

? x 1 y2 ? x2 y1 ? 0 . ? x 1 x2 ? y1 y2 ? 0 .

a ? b(a ? 0) ? a·b=0 4、线段的定比分公式

??? ? ???? P P2 P ( x , y ) P ( x , y ) PP ? ? PP2 ,则 P ( x , y ) 1 1 1 1 2 2 2 ? 1 设 , , 是线段 的分点, 是实数,且
x ? ? x2 ? x? 1 ? ? 1? ? ???? ???? ? ??? ? y ? ? y OP ? ? OP 2 ??? ? ???? ???? t ? 1 2 ?y ? 1 OP ? 1 ? 1? ? ? ? ? OP ? tOP 1? ? 1 ? (1 ? t )OP 2( 1 ? ? ).
5、三角形的重心坐标公式 △ABC 三个顶点的坐标分别为

A(x1 ,y1 )、 B(x2 ,y2 )、 C(x3 ,y3 ),则△ABC 的重心的坐标是

G(

x1 ? x2 ? x3 y1 ? y2 ? y3 , ) 3 3 .

6、 三角形五“心”向量形式的充要条件 设 O 为 ?ABC 所在平面上一点,角 A, B, C 所对边长分别为 a , b, c ,则 (1) O 为 ?ABC 的外心 ? OA ? OB ? OC . ??? ? ??? ? ??? ? ? ? ABC ? OA ? OB ? OC ? 0. O (2) 为 的重心 ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ??? ? ? ABC ? OA ? OB ? OB ? OC ? OC ? OA O (3) 为 的垂心 . ??? ? ??? ? ??? ? ? (4) O 为 ?ABC 的内心 ? aOA ? bOB ? cOC ? 0 . ??? ? ??? ? ???? ? ABC ? aOA ? bOB ? cOC . O (5) 为 的 ?A 的旁心 § 直线和圆的方程

??? ?2

??? ?2

??? ?2

k?
1、斜率公式

y2 ? y1 x2 ? x1 ( P 1 ( x1 , y1 ) 、 P 2 ( x2 , y2 ) ).

2、直线的五种方程

y ? y1 ? k ( x ? x1 ) (直线 l 过点 P 1 ( x1 , y1 ) ,且斜率为 k ). (2)斜截式 y ? kx ? b (b 为直线 l 在 y 轴上的截距). y ? y1 x ? x1 ? P2 ( x2 , y2 ) x1 ? x2 y2 ? y1 x2 ? x1 y1 ? y2 P 1 ( x1 , y1 )
(1)点斜式 (3)两点式 ( )( 、 (

)).

x y ? ?1 (4)截距式 a b ( a、 b 分别为直线的横、纵截距, a、b ? 0 ) (5)一般式 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A、B 不同时为 0).
3、两条直线的平行和垂直 (1)若 ① ②

l1 : y ? k1 x ? b1



l2 : y ? k2 x ? b2

l1 || l2 ? k1 ? k2 , b1 ? b2 ; l1 ? l2 ? k1k2 ? ?1 . l1 : A1 x ? B1 y ? C1 ? 0 , l2 : A2 x ? B 2 y ? C2 ? 0 ,且 A1、A2、B1、B2 都不为零,

(2)若

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A1 B1 C1 ? ? A B C2 ; 2 2 ① l ? l2 ? A1 A2 ? B1B2 ? 0 ; ②1 l1 || l2 ? d?
4、点到直线的距离 5、圆的四种方程 (1)圆的标准方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r .
2 2 2
2 2 (2)圆的一般方程 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 ( D ? E ? 4 F >0).

| Ax0 ? By0 ? C | A2 ? B 2
(点

P( x0 , y0 ) ,直线 l : Ax ? By ? C ? 0 ).

2

2

? x ? a ? r cos? ? y ? b ? r sin ? . (3)圆的参数方程 ? ( x ? x1 )( x ? x2 ) ? ( y ? y1 )( y ? y2 ) ? 0 (圆的直径的端点是 A( x1 , y1 ) 、 (4) 圆的直径式方程
B( x2 , y2 ) ).
6、直线与圆的位置关系 直线 Ax ? By ? C ? 0 与圆 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r 的位置关系有三种:
2 2 2

d ? r ? 相离 ? ? ? 0 ; d ? r ? 相切 ? ? ? 0 d ? r ? 相交 ? ? ? 0 .
A ?B 其中 7、圆的切线方程
2
2 2

d?

Aa ? Bb ? C
2

.

(x , y ) (1)已知圆 x ? y ? Dx ? Ey ? F ? 0 .①若已知切点 0 0 在圆上,则切线只有一条, 其方程是
D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) ? ?F ?0 ( x0 , y0 ) 2 2 . 当 圆 外 时 , D( x0 ? x) E ( y0 ? y ) x0 x ? y0 y ? ? ?F ?0 2 2 表示过两个切点的切点弦方程.②过圆外一点 x0 x ? y0 y ?
的切线方程可设为

y ? y0 ? k ( x ? x0 ) ,再利用相切条件求 k,这时必有两条切线,注意不要

漏掉平行于 y 轴的切线.③斜率为 k 的切线方程可设为 y ? kx ? b ,再利用相切条件求 b, 必有两条切线.

P (x , y ) x x ? y0 y ? r ;②斜率为 k (2)已知圆 x ? y ? r . ①过圆上的 0 0 0 点的切线方程为 0
2 2 2
2

的圆的切线方程为 y ? kx ? r 1 ? k .
2

§ 圆锥曲线方程

? x ? a cos? x2 y 2 ? ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 y ? b sin ? . b 1、椭圆 a 的参数方程是 ? x2 y 2 a2 a2 ? ? 1( a ? b ? 0) PF ? e ( x ? ) PF ? e ( ? x) 1 2 2 b2 c , c 2、椭圆 a 焦半径公式 .
3、椭圆的切线方程

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x2 y 2 x0 x y0 y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) ? 2 ?1 2 2 P ( x , y ) b 0 0 处的切线方程是 a b (1)椭圆 a 上一点 . 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 b (2)过椭圆 a 外一点 x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b . x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 2 2 2 2 2 2 b (3)椭圆 a 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 A a ? B b ? c . a2 a2 x2 y 2 PF ? | e ( x ? ) | PF ? | e ( ? x) | ? ? 1( a ? 0, b ? 0) 1 2 2 c , c b2 4、双曲线 a 的焦半径公式 .
5、双曲线的方程与渐近线方程的关系

x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?0? y??b x 2 2 ? 渐近线方程: a b b a . (1)若双曲线方程为 a 2 2 x y x y b ? 2 ?? ? ?0 y?? x 2 ? 双曲线可设为 a b a ?a b (2)若渐近线方程为 . x2 y2 x2 y2 ? 2 ?1 ? 2 ?? 2 2 b b (3)若双曲线与 a 有公共渐近线,可设为 a ( ? ? 0 ,焦点在 x 轴上, ? ? 0 ,焦点在 y 轴上).
6、 双曲线的切线方程

x2 y 2 x0 x y0 y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) ? 2 ?1 2 2 P ( x , y ) 0 0 处的切线方程是 a b b (1)双曲线 a 上一点 . 2 2 x y ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 b (2)过双曲线 a 外一点 x0 x y0 y ? 2 ?1 a2 b . x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 b (3) 双 曲 线 a 与 直 线 Ax ? By ? C ? 0 相 切 的 条 件 是 2 2 2 2 2 A a ?B b ?c . p CF ? x0 ? 2 2 2 .过焦点 7、抛物线 y ? 2 px 的焦半径公式:抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 焦半径 p p CD ? x1 ? ? x 2 ? ? x1 ? x 2 ? p 2 2 弦长 . y ? ax 2 ? bx ? c ? a( x ?
8、二次函数

b 2 4ac ? b2 ) ? 2a 4a (a ? 0) 的图象是抛物线: (1)顶点坐

b 4ac ? b 2 b 4ac ? b 2 ? 1 , ) (? , ) 2a 4a 2a 4a 标为 ; (2)焦点的坐标为 ; (3)准线方程是 2 4ac ? b ? 1 y? 4a . (?
9、 抛物线的切线方程

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2 P( x0 , y0 ) 处的切线方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (1)抛物线 y ? 2 px 上一点 2 P( x0 , y0 ) 所引两条切线的切点弦方程是 y0 y ? p( x ? x0 ) . (2)过抛物线 y ? 2 px 外一点

(3)抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 与直线 Ax ? By ? C ? 0 相切的条件是 pB ? 2 AC .
2 2

4 V ? ? R3 2 3 1、球的半径是 R,则其体积 ,其表面积 S ? 4? R .
2、柱体、锥体的体积

1 V柱体 ? Sh 3 ( S 是柱体的底面积、 h 是柱体的高). 1 V锥体 ? Sh 3 ( S 是锥体的底面积、 h 是锥体的高).
3、回归直线方程
n n ? x ? x y ? y xi yi ? nx y ? ?? ? ? ? i i ? i ?1 i ?1 ?b ? ? n n 2 ? xi 2 ? nx 2 ? xi ? x ? ? ? ? i ?1 i ?1 ? ? y ? a ? bx ,其中 ?a ? y ? bx .

§极 限
1、几个常用极限

1 1 1 lim ? ? 0 lim a n ? 0 lim x ? x0 x ? x 0 x x0 . (1) n ?? n , n ?? ( | a |? 1 ) ; (2) x ? x0 ,

lim

? 1? sin x lim ?1 ? ? ? e lim ?1 x ?? ? x? (3) x ?0 x ; (4) (e=2.718281845?). § 导 数
1、几种常见函数的导数 (1) C ? ? 0 (C 为常数). (2)

x

? (3) (sin x) ? cos x .

( xn )' ? nxn?1 (n ? Q) .

? (4) (cosx) ? ? sin x .

1 1 e (loga x )? ? loga x; x (5) . x x x x ? ? (6) (e ) ? e ; (a ) ? a ln a . (ln x)? ?
2、导数的运算法则 (1) (u ? v) ? u ? v .
' ' '

(2) (uv) ? u v ? uv .
' ' '

u u 'v ? uv ' ( )' ? (v ? 0) v2 (3) v .
3、复合函数的求导法则 设函数 u ? ? ( x) 在点 x 处有导数

ux ' ? ? ' ( x) ,函数 y ? f (u ) 在点 x 处的对应点 U 处有导数

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' ' ' yu ' ? f ' (u) , 则 复 合 函 数 y ? f (? ( x)) 在 点 x 处 有 导 数 , 且 yx ? yu ? ux ,或写作 ' ' ' f x (? ( x)) ? f (u)? ( x) .

§复 数
1、复数 z ? a ? bi 的模(或绝对值) | z | = | a ? bi | = a ? b . 2、复数的四则运算法则
2 2

(1) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (2) (a ? bi) ? (c ? di) ? (a ? c) ? (b ? d )i ; (3) (a ? bi)(c ? di) ? (ac ? bd ) ? (bc ? ad )i ;

(a ? bi ) ? (c ? di ) ?

(4) 3、复数的乘法的运算律 交换律: 结合律:

ac ? bd bc ? ad ? i (c ? di ? 0) c2 ? d 2 c2 ? d 2 .

z1 ? z2 ? z2 ? z1 .

( z1 ? z2 ) ? z3 ? z1 ? ( z2 ? z3 ) .

2 3 1 2 1 分配律: 1 4、复平面上的两点间的距离公式

z ? ( z ? z ) ? z ? z ? z ? z3 .


d ?| z1 ? z2 |? ( x2 ? x1 ) 2 ? ( y2 ? y1 ) 2
5、向量的垂直

z1 ? x1 ? y1i , z2 ? x2 ? y2i ).

???? ? ???? ? ???? ? ???? ? OZ z ? a ? bi z ? c ? di OZ OZ ? OZ 1, 2 ,则 1 2 ? z1 ? z2 非零复数 1 , 2 对应的向量分别是 z2 z | z ? z2 |2 ?| z1 |2 ? | z2 |2 的实部为零 ? 1 为纯虚数 ? 1
2 2 2 ? | z1 ? z2 | ?| z1 | ? | z2 | ? | z1 ? z2 |?| z1 ? z2 | ? ac ? bd ? 0 ? z1 ? ?iz2 ( λ 为非

零实数). 6、实系数一元二次方程的解
2 实系数一元二次方程 ax ? bx ? c ? 0 ,

?b ? b2 ? 4ac 2 2a ①若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 ; b x1 ? x2 ? ? 2 2a ; ②若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,则 2 ③若 ? ? b ? 4ac ? 0 ,它在实数集 R 内没有实数根;在复数集 C 内有且仅有两个共轭复数 x1,2 ?

x?


?b ? ?(b2 ? 4ac)i 2 (b ? 4ac ? 0) 2a .


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