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高一数学文科第二学期期末考试


2011—2012 学年度第二学期期末考试 高一年级数学(文科)试卷
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共150分。考试时间120分钟。

第Ⅰ卷(选择题

共 60 分)

注意事项:1.答卷Ⅰ前,考生将自己的姓名、准考证号、考试科目涂写在答题卡上。 2.答卷Ⅰ时,每小题选出答案后,用铅笔把

答题卡上对应题目的答案标号涂 黑。 ? 选择题(每小题5分,共60分。下列每小题所给选项只有一项符合题意,请将正确答案的 序号填涂在答题卡上)

? ? ? ? ? ? 1.已知向量 a ? (2, t ),b ? (1,2), 若 t ? t1 时, a ∥ b ; t ? t 2 时, a ? b ,则
A. t1 ? 4,t 2 ? ?1 B. t1 ? ?4,t 2 ? 1 C. t1 ? ?4,t 2 ? ?1 D. t1 ? 4,t 2 ? 1

(

)

2.下列函数中,在区间(0, A. y ? sin

? )上为增函数且以 ? 为周期的函数是 2





x 2

B. y ? sin x

C. y ? ? tan x

D. y ? ? cos 2 x

3.某路口,红灯时间为 30 秒,黄灯时间为 5 秒,绿灯时间为 45 秒,当你到这个 路 ( A、
1 12

口 )





















B、

3 8

C、

5 6

D、

1 16 .

4.图 1 是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图,则甲、乙两人这 几场比赛得分的中位数之和是 A、62 B、63 C、64 ( D、65 ( D. ? 2 )
3 4


甲 5 3 6 8 7 9 1 1 2 3 4 图1 4 2 5 5 6 7 3 7 8 乙

5.若 cos? ? 2 sin? ? ? 5, 则 tan ? =
1 A. 2

B.2

1 C. ? 2

6.函数 f ( x) ? 3 sin( 2 x ?
则 ? 的值为 A.

?
3

? ? ), ? ? (0, ? ) 满足 f ( x ) ? f ( x) ,
( )

开始 i ? 1, s ? 1
i ? i ?1

? 6

B.

? 3

C.

? 12

D.

2? 3

7.如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A、22 B、46
2 2



s ? 2( s ? 1)
i ? 5?

输出s

C、 94
2 2

D、190
的取值范围为 否

8. 已知 2 sin x ? cos y ? 1 则sin x ? cos y ,
( A. (0, )

1 ] 2

1 B. [ , 1] 2
D. ( ,

结束
第7题

1 2 ] 2 2 ???? 1 ???? 9.如图,在 ?ABC中, AN ? NC , 3 ??? ? ??? 2 ???? ? P 是 BN 上的一点,若 AP ? m AB ? AC , 11
C. [ 则实数 m 的值为 ( )

2 , 1] 2

第9题

9 A. 11

5 B. 11

3 C. 11

2 D. 11 b 的取 a

10.锐角三角形 ABC 中,内角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,若 B ? 2 A ,则

值范围是
A. (1, 2) B.




D. ( 3, 2 2) D C
C

( 2, 3)
? ? ? ?

C. (1, 3)

11.如图,在四边形 ABCD 中,

| AB | ? | BD | ? | DC |? 4, AB? BD ? BD? DC ? 0, | AB | ? | BD |? | BD | ? | DC |? 4 ,
A B

?

?

?

D

?

?

?

?

则 ( AB? DC ) ? AC 的值为 A.2 B. 2 2 C.4 D. 4 2

?

?

?





A

第 11 题

B

??? ??? ? ? 12. △ABC 满足 AB ? AC ? 2 3 , ?BAC ? 30? ,
设 M 是△ ABC 内的一点(不在边界上),定义 f (M ) ? ( x, y, z ) ,其中 x, y , z 分别表示△

1 MBC ,△ MCA ,△ MAB 的面积,若 f ( M ) ? ( x, y, ) ,则 xy 的最大值为 2
A.





1 8

B.

1 9

C.

1 16
共 90 分)

D.

1 18

第Ⅱ卷(非选择题
sin(2? ? ? ) cos(? ? ? ) = cos(? ? ? ) sin(3? ? ? ) sin(?? ? ? )

? 填空题(每题5分,共20分。把答案填在答题纸的横线上) 13.化简 .

14.某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间.将测试结果分成 5 组: ? ,14? , ? ,15? , 13 14

?15,16? ,?16,17? ,?17,18? ,得到如图所示的频率分布直方图.
如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为1 : 3 : 7 : 6 : 3 , 那么成绩在 ? ,18? 的学生人数是 _ 16
15.已知 sin(

____.


?

1 2? ? ? ) ? , 则 cos( ? 2? ) 的值是 6 3 3

16.已知在四边形 ABCD 中,AB=AD=4,BC=6,CD=2, 3 AB ? AD ? 4CB ? CD ? 0 ,求三角 形 ABC 的外接圆半径 R 为 .

??? ???? ?

??? ??? ? ?

三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,写在 答题纸的相应位置) 17. (本小题满分 10 分) 求值:

3 tan12? ? 3 . sin12?(4cos2 12? ? 2)

18.(本小题满分 12 分)

一个袋中装有四个形状大小完全相同的球,球的编号分别为 1,2,3,4. (1)从袋中随机取两个球,求取出的球的编号之和不大于 4 的概率; (2)先从袋中随机取一个球,该球的编号为 m,将球放回袋中,然后再从袋中随机 取一个球,该球的编号为 n,求 n<m+2 的概率.

19.(本小题满分 12 分) 在△ABC 中,已知 B=45°,D 是 BC 边上的一点, AD=10, AC=14,DC=6,求 AB 的长.

20.(本小题满分 12 分)

??? ? x x x x x x +sin ,-sin ), BC =(cos -sin ,2cos ). ? ? ? ? ? ? ??? ??? ? ? (1)设 f(x)= AC · BC ,求 f(x)的最小正周期和单调递减区间;
已知 AC =(cos (2)设有不相等的两个实数 x1,x2∈ ? ?

??? ?

? ? ?? ,且 f(x1)=f(x2)=1,求 x1+x2 的值. , ? ? ?? ?

21.(本小题满分 12 分) 已知 ?ABC 的三个内角 A、 C 所对的三边分别是 a、 c, B、 b、 平面向量 m ? (1, sin(B ? A)) 平面向量 n ? (sin C ? sin(2 A),1). (1)如果 c ? 2, C ? ,

?
3

, 且?ABC 的面积 S ? 3 ,

求 a 的值;

(2)若 m ? n, 请判断 ?ABC 的形状.

22.(本小题满分 12 分) 如图,梯形 ABCD 中, AD // BC , AD ? AB, AD ? 1, BC ? 2, AB ? 3 , P 是 AB 上的一个 C

D A P B

动点, ?CPB ? ? , ?DPA ? ? (1)当 PD ? PC 最小时,求 tan ?DPC 的值。 (2)当 ?DPC ? ? 时,求 PD ? PC 的值。

2011-2012 学年度第二学期期末考试高一数学(文科)答案 一、选择题 二、填空题 13. ?
1 sin ?
14. 54 15.

ADDCB

ACBCB

CC

?

7 9

16.

2 21 3

三、解答题

(
17.原式=

3 sin 12? 1 ? 3) ? cos12? sin 12? ? 3 sin 12? ? 3 cos12? 2 2(2 cos 12? ? 1) sin 24? ? (2 cos2 12? ? 1)

1 3 2 3 ( sin 12? ? cos12?) 2 3 sin(12? ? 60?) 2 2 ? ? ? ?4 3 …………10 分 1 sin 24? ? cos 24? sin 48? 2
18. 解:(1)从袋中随机取两个球,其一切可能的结果组成的基本事件有 1 和 2,1 和 3,1 和 4,2 和 3,2 和 4,3 和 4,共 6 个. 从袋中取出的球的编号之和不大于 4 的事件共有 1 和 2,1 和 3,共两个. 因此所求事件的概率 P=

? ? = . ? ?

………6 分

(2)先从袋中随机取一个球,记下编号为 m,放回后,再从袋中随机取一个球,记下编号为 n, 其一切可能的结果(m,n)有: (1,1),(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,2),(2,3),(2,4),(3,1),(3,2),(3,3),(3,4),(4,1),(4,2), (4,3),(4,4),共 16 个. 又满足条件 n≥m+2 的事件为(1,3),(1,4),(2,4),共 3 个, 所以满足条件 n≥m+2 的事件的概率为 P1=

? . ??

故满足条件 n<m+2 的事件的概率为 1-P1=1- 19. 解: 在△ADC 中,AD=10,AC=14,DC=6, cos ?

? ?? = . ?? ??

……12 分

由余弦定理得

AD 2 ? DC 2 ? AC 2 100 ? 36 ? 196 1 ? ? ,… 3 分 = 2 ?10 ? 6 2 2 AD?DC

? ? ADC=120°, ? ADB=60°

……… 6 分

在△ABD 中,AD=10, ? B=45°, ? ADB=60°, 由正弦定理得

AB AD ? , sin ?ADB sin B

………9 分

? AB=

AD? ?ADB 10sin 60? sin ? ? sin B sin 45?

10 ? 2 2

3 2 ?5 6 .

……… 12 分

20. 解:(1)由 f(x)= AC · BC 得

??? ?

??? ?

f(x)=(cos
2

x x x x x x +sin )·(cos -sin )+(-sin )·2cos ? ? ? ? ? ?

=cos

x x x ? 2 x -sin -2sin cos =cosx-sinx= ? cos(x+ ),...........4 分 ? ? ? ? ? ?? ? ? ≤π +2kπ ,k∈Z,得- +2kπ ≤x≤ +2kπ ,k∈Z. ? ? ?
?? ? +2kπ , +2kπ ](k∈Z) ? ?
……..8 分

所以 f(x)的最小正周期 T=2π .............6 分 又由 2kπ ≤x+

故 f(x)的单调递减区间是[-

(2)由 f(x)=1 得 ? cos(x+ 又 x∈ ? ?

? ? ? )=1,故 cos(x+ )= ? ? ?

……10 分

? ? ? ?? ? ? ? ? ?? , ? ,于是有 x+ ∈ ? ? , ? ,得 x1=0,x2=- , ? ? ? ? ? ? ? ? ??
? ?
12 分

所以 x1+x2=-

21. 解: (I)由余弦定理及已知条件得 a 2 ? b 2 ? ab ? 4,

? ?ABC的面积等于 3 , 1 ? ab sin C ? 3. 2 ? ab ? 4.

?a 2 ? b 2 ? ab ? 4, 联立方程组得 ? 解得a ? 2, b ? 2. ?ab ? 4,
? a ? 2.
…………6 分 (II)? m ? n,?sin C ? sin 2 Asin(B ? A) ? 0.

化简得 cos A(sin B ? sin A) ? 0.

…………8 分

? csoA ? 0或 sin B ? sin A ? 0.
当 cos A ? 0时, A ?

?

2

,

此时 ?ABC 是直角三角形; 当 sin B ? sin A ? 0时,即sin B ? sin A 由正弦定理得 b ? a, 此时 ?ABC 为等腰三角形. ,

? ?ABC 是直角三角形或等腰三角形

……….12 分

22. 解:(Ⅰ)以 A 为原点, AB 所在直线为 x 轴,建立如图所示的直角坐标系。 则

A?0,0?, B?3,0?, C?3,2?, D?0,1?

,



y
C D

P?x,0?,0 ? x ? 3
有 PD ? ?? x,1?, PC ? ?3 ? x,2?
2 2 所以 PD ? PC ? x ? 3 x ? 2 ? ( x ? ) ?

3 2

1 4

, ----3

A O P

B

x



3 时, PD ? PC 最小 2 3 2 4 此时 P ( ,0) ,在 ?CPB 中, tan ? ? ? , 3 3 2 2 1 2 在 ?DPA 中, tan ? ? ? 3 3 2
当x?

4 2 ? tan? ? tan ? 3 3 ? ?18 ? 所以 tan?DPC ? ? tan?? ? ? ? ? tan? tan ? ? 1 4 2 ? ?1 3 3
(Ⅱ)由(Ⅰ)知, P?x,0?, PD ? PC ? x 2 ? 3x ? 2 , tan ? ?

----6 分

? ?DPC ? ? ,?? ? ? ? 2? , tan ? ? ? tan 2?

2 1 ----10 分 , tan ? ? 3? x x 1 2? 1 2 x ? ?? 整理得: x ? 1 3? x 3 1? 2 x

2 此时 PD ? PC ? ( ) ? 1 ? 2 ?

1 3

10 9

----12 分


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