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2012年全国高考理科数学试题及答案-陕西卷1


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2012 年陕西省高考理科数学试题
一、选择题:在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求的(本大题共 10 小题,每小 题 5 分,共 50 分). 1. 集合 M ? {x | lg x ? 0} , N ? {x | x ? 4} ,则 M ? N ? (
2

/>
C



(A) (1, 2)

(B) [1, 2)

(C) (1, 2]

(D) [1, 2] )

2. 下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( (A) y ? x ? 1 (B) y ? ? x
3

D

(C) y ?

1 x

(D) y ? x | x |

3. 设 a, b ? R , i 是虚数单位,则“ ab ? 0 ”是“复数 a ? (A)充分不必要条件 (C)充分必要条件
2 2

b 为纯虚数”的( i

B



(B) 必要不充分条件 (D) 既不充分也不必要条件

4. 已知圆 C : x ? y ? 4 x ? 0 , l 过点 P(3,0) 的直线,则( (A) l 与 C 相交 有可能 (B) l 与 C 相切

A

) (D) 以上三个选项均

(C) l 与 C 相离

5. 如图,在空间直角坐标系中有直三棱柱 ABC ? A1 B1C1 , CA ? CC1 ? 2CB ,则直线 BC1 与直 线 AB1 夹角的余弦值为( (A)

A
5 3



5 5

(B)

(C)

2 5 5

(D)

3 5

6. 从甲乙两个城市分别随机抽取 16 台自动售货机,对其销售额进行统计,统计数据用茎叶图表 示(如图所示) ,设甲乙两组数据的平均数分别为 x甲 ,x乙 ,中位数分别为 m甲 ,m乙 ,则( (A) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (B) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙

B



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(C) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 (D) x甲 ? x乙 , m甲 ? m乙 7. 设函数 f ( x) ? xe ,则(
x

D

) (B) x ? 1 为 f ( x) 的极小值点 (D) x ? ?1 为 f ( x) 的极小值点

(A) x ? 1 为 f ( x) 的极大值点 (C) x ? ?1 为 f ( x) 的极大值点

8. 两人进行乒乓球比赛,先赢 3 局者获胜,决出胜负为止,则所有可能出现的情形(各人输赢局 次的不同视为不同情形)共有( (A) 10 种 (B)15 种

C

) (C) 20 种 (D) 30 种
2 2 2

9. 在 ?ABC 中,角 A, B, C 所对边长分别为 a, b, c ,若 a ? b ? 2 c ,则 cosC 的最小值为 (

C
3 2



(A)

(B)

2 2

(C)

1 2

(D) ?

1 2

10. 右图是用模拟方法估计圆周率 ? 值的程序框图, P 表示估计结果,则图中空白框内应填入 (

D



N 1000 4N (B) P ? 1000 M (C) P ? 1000 4M (D) P ? 1000
(A) P ?

二、 填空题:把答案填在答题卡相应题号后的横线上(本大题共 5 小题,每小题 5 分, 共 25 分)
11. 观察下列不等式

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1?

1 3 ? 22 2 1 1 5 1? 2 ? 3 ? , 2 3 3 1 1 1 7 1? 2 ? 2 ? 2 ? 2 3 4 4 1 1 1 1 1 11 ? ? + + ? . 22 32 42 52 62 6
1 。

?? 照此规律,第五个不等式为 ...
5

1?

12. ( a ? x ) 展开式中 x 的系数为 10, 则实数 a 的值为
2

13. 右图是抛物线形拱桥,当水面在 l 时,拱顶离水面 2 米,水面宽 4 米,水位下降 1 米后,水 面宽

2 6

米。

14. 设函数 f ( x) ? ?

?ln x , x ? 0 , D 是由 x 轴和曲线 y ? f ( x) 及该曲线在点 ??2 x ? 1, x ? 0
2 。

(1, 0)处的切线所围成的封闭区域,则 z ? x ? 2 y 在 D 上的最大值为

15. (考生注意:请在下列三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题评分) A.(不等式选做题)若存在实数 x 使 | x ? a | ? | x ? 1|? 3 成立,则实数 a 的取值范围是 ≤4 。 -2≤a

B. (几何证明选做题) 如图, 在圆 O 中, 直径 AB 与弦 CD 垂直, 垂足为 E,EF ? DB , 垂足为 F,若 AB ? 6 , AE ? 1 ,则 DF ? DB ? 5 。

C.(坐标系与参数方程选做题)直线 2? cos ? ? 1与圆 ? ? 2cos ? 相交的弦长为

3

.

三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤(本大题共 6 小题,共 75 分). 16.(本小题满分 12 分) 函数 f ( x) ? A sin(? x ? 的距离为

?
6

) ? 1( A ? 0, ? ? 0 )的最大值为 3, 其图像相邻两条对称轴之间

? , 2

(Ⅰ)求函数 f ( x) 的解析式; (Ⅱ)设 ? ? (0,
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?

) ,则 f ( ) ? 2 ,求 ? 的值。 2 2
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?

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17.(本小题满分 12 分) 设 ?an ? 是公比不为 1 的等比数列,其前 n 项和为 S n ,且 a5 , a3 , a4 成等差数列. (Ⅰ)求数列 ?an ? 的公比; (Ⅱ)证明:对任意 k ? N ? , Sk ? 2 ,

Sk , Sk ?1 成等差数列.

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18. (本小题满分 12 分) (Ⅰ)如图,证明命题“ a 是平面 ? 内的一条直线, b 是 ? 外的一条直线( b 不垂直于 ? ) ,

c 是直线 b 在 ? 上的投影,若 a ? b ,则 a ? c ”为真;
(Ⅱ)写出上述命题的逆命题,并判断其真假(不需证明)

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19. (本小题满分 12 分) 已知椭圆 C1 :

x2 ? y 2 ? 1 ,椭圆 C2 以 C1 的长轴为短轴,且与 C1 有相同的离心率. 4

(Ⅰ)求椭圆 C2 的方程; (Ⅱ)设 O 为坐标原点,点 A,B 分别在椭圆 C1 和 C2 上, OB ? 2OA ,求直线 AB 的方程.

??? ?

??? ?

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20.(本小题满分 13 分) 某银行柜台设有一个服务窗口,假设顾客办理业务所需的时间互相独立,且都是整数分钟, 对以往顾客办理业务所需的时间统计结果如下:

从第一个顾客开始办理业务时计时. (Ⅰ)估计第三个顾客恰好等待 4 分钟开始办理业务的概率; (Ⅱ) X 表示至第 2 分钟末已办理完业务的顾客人数,求 X 的分布列及数学期望.

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21.(本小题满分 14 分) 设函数 f n ( x) ? x ? bx ? c
n

(n ? N ? , b, c ? R) .

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(Ⅰ)设 n ? 2 , b ? 1,

?1 ? c ? ?1,证明: f n ( x) 在区间 ? ,1? 内存在唯一的零点; ?2 ?

(Ⅱ)设 n ? 2 ,若对任意 x1 , x2 ? [?1,1] ,有 | f 2 ( x1 ) ? f 2 ( x2 ) |? 4 ,求 b 的取值范围; (Ⅲ)在(Ⅰ)的条件下,设 xn 是 f n ( x) 在 ? 减性。

?1 ? ,1? 内的零点,判断数列 x2 , x3 ,?, xn ? 的增 ?2 ?

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