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2014朝阳高三二模 理


北京市朝阳区高三年级第二次综合练习 数学学科测试(理工类)
第一部分(选择题 共 40 分) 一、选择题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分.在每小题给出的四个选项中,选出符合题目要求的 一项.
2 1.已知集合 A ? ?x ? R|2x ? 3≥0? ,集合 B ? x ? R|x ? 3x ? 2 ? 0? ,则 A ? B ? (

/>
2014.5

?

) .

? 3? A. ? x | x≥ ? 2? ?

? 3 ? B. ? x | ≤x ? 2? 2 ? ?

C. ?x |1 ? x ? 2?

? 3 ? D. ? x | ? x ? 2? 2 ? ?

2.如果 a ? b ? 0 ,那么下列不等式一定成立的是( A. log3 a ? log3 b
1 1 B. ( )a ? ( )b 4 4

) .
1 1 ? a b

C.

D. a 2 ? b2

3.执行如右图所示的程序框图,若输出的结果为 2 ,则输入的正整数 a 的可能取值的集合 是( ) . B. ?1,2,3,4,5,6? C. ?2,3, 4,5? D. ?2,3,4,5,6? A. ?1,2,3,4,5?

π 4.已知函数 f ( x) ? A sin(? x ? ? )( A ? 0, ? ? 0, ? ? ) 的部分图像如右图所示, 则 ? ?( 2 π π π π A. ? B. C. ? D. 6 6 3 3

) .

5.已知命题 p : 复数 z ?

1? i x ? cos x , 在复平面内所对应的点位于第四象限; 命题 q : ?x ? 0 , i

则下列命题中为真命题的是( ) . ( ? p ) ? ( ? q ) ( ? p ) ? q A. B. C. p ? (?q)

D. p ? q

6.若双曲线 x2 ? 围是( A. (1, 2]

y2 则双曲线离心率的取值范 ? 1(b ? 0) 的一条渐近线与圆 x2 ? ( y ? 2)2 ? 1 至多有一个交点, 2 b ) .
B. [2, ??) C. (1, 3] D. [ 3, ??)

7.某工厂分别生产甲、乙两种产品 1 箱时所需要的煤、电以及获得的纯利润如下表所示. 煤(吨) 电(千度) 纯利润(万元)

1 箱甲产品 1 箱乙产品
A. 60 万元

3

1 1
C. 90 万元 D. 100 万元

2 1
) .

1
B. 80 万元

若生产甲、 乙两种产品可使用的煤不超过 120 吨, 电不超过 60 千度, 则可获得的最大纯利润和是 (

1/8

8.如图放置的边长为 1 的正 △ PMN 沿边长为 3 的正方形 ABCD 的各边内侧逆时针方向滚动.当 △ PMN 沿 正方形各边滚动一周后,回到初始位置时,点 P 的轨迹长度是(
8π A. 3 16π B. 3

) . D. 5π

D

C

C. 4 π

M

第二部分(非选择题 共 110 分) 二、填空题(本大题共 6 小题,每小题 5 分,共 30 分)
A(P) N

B

9.已知平面向量 a , b 满足 a ? 1 , b ? 2 , a 与 b 的夹角为 60 ? ,则 2a ? b ? __________. 10. (1 ? 2 x)5 的展开式中 x 3 项的系数为___________. (用数字表示) 11.如图, AB 为圆 O 的直径, AB ? 2 ,过圆 O 上一点 M 作圆 O 的切线,交 AB 的延长线于点 C ,过点 M 作 MD ? AB 于点 D ,若 D 是 OB 中点.则 AC ? BC ? ___________.

D A O B C

M

12.由两个四棱锥组合而成的空间几何体的三视图如图所示,则其体积是________;表面积是_________. 13.已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,且满足 Sn ? 2an ? 4 (n ? N* ) ,则 a n =_________;数列 ?log2 an ? 的前 n 项 和为_____________. 14.若存在正实数 M ,对于任意 x ? (1 , ? ?) ,都有 f ( x) ≤M ,则称函数 f ( x) 在 (1 , +?) 上是有界函数.下 列函数
1 x ln x ;② f ( x) ? 2 ;③ f ( x) ? ; f ( x) ? x sin x , x ?1 x ?1 x 其中“在 (1 , +?) 上是有界函数”的序号为__________.



f ( x) ?

2/8

三、解答题:本大题共 6 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,演算步骤或证明过程. 15.(本小题满分 13 分) 在 △ ABC 中,角 A , B , C 的对边分别是 a , b , c ,且 A ? (I)求边 a 的边长; (II)求 cos 2 B 的值.
2π 15 3 , b ? 3 , △ ABC 的面积为 . 3 4

3/8

16.(本题满分 13 分) 某市规定, 高中学生三年在校期间参加不少于 80 小时的社区服务才合格. 教育部门在全市随机抽取 200 学生参加社区服务的数据,按时间段 ?75 , 80? , ?80 , 85? , ?85 , 90? , ?90 , 95? , ?95 , 100? (单位: 小时)进行统计,其频率分布直方图如图所示.

(I)求抽取的 200 位学生中,参加社区服务时间不少于 90 小时的学生人数,并估计从全市高中学生中 任意选取一人,其参加社区服务时间不少于 90 小时的概率; (II) 从全市高中学生 (人数很多) 中任意选取 3 位学生, 记 ξ 为 3 位学生中参加社区服务时间不少于 90 小时的人数.试求随机变量 ? 的分布列和数学期望 Eξ .

4/8

17.(本小题满分 14 分) 如图,在四棱锥 P ? ABCD 中,底面 ABCD 是正方形,侧面 PAD ? 底面 ABCD , E , F 分别为 PA , BD 中 点, PA ? PD ? AD ? 2 . (I) 求证: EF // 平面 PBC ; (II)求二面角 E ? DF ? A的余弦值; (III)在棱 PC 上是否存在一点 G , 使 GF ? 平面 EDF ? 若 存在,指出点 G 的位置;若不存在,说明理由.

5/8

18.(本小题满分 13 分) 已知函数 f ( x) ? e2 x ?1 ? ax ? 1, a ? R . (I)若曲线 y ? f ( x) 在点 (0, f (0)) 处的切线与直线 x ? ey ? 1 ? 0 垂直,求 a 的值; (II)求函数 f ( x) 的单调区间;
1 成立,求实数 a 的取值范围. (III)设 a ? 2e3 ,当 x ? [0,1] 时,都有 f ( x)…

6/8

19.(本小题满分 14 分) 已知椭圆 C 的中心在原点 O ,焦点在 x 轴上,离心率为 (I)求椭圆 C 的标准方程;
1 ,右焦点到到右顶点的距离为 1 . 2

uur uu u r uur uu u r (II)是否存在与椭圆 C 交于 A , B 两点的直线 l : y ? kx ? m(k ? R ) ,使得 OA ? 2OB ? OA ? 2OB 成立?

若存在,求出实数 m 的取值范围,若不存在,请说明理由.

7/8

20.(本小题满分 13 分)
n?r r 已知 x1 , x2 是函数 f ( x) ? x2 ? mx ? t 的两个零点,其中常数 m, t ? Z ,设 Tn ? ? x1 x2 ( n ? N* ) . r ?0 n

(I)用 m, t 表示 T1 , T2 ; (II)求证: T5 ? ?mT4 ? tT3 ; (III)求证:对任意的 n ? N* , Tn ? Z .

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