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【高中数学必修4学习课件】——人教A版3-1-3二倍角的正弦、余弦、正切公式


第三章 三角恒等变换 3.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式 3.1.3 二倍角的正弦、余弦、正切公式 提高篇 预习篇 课堂篇 巩固篇 课时作业 学习目标 1.会推导并记住二倍角公式. 2.能够运用二倍角公式及其变形解决有关化简、求值 和证明问题. 重点难点 重点:二倍角公式的推导; 难点:二倍角公式的变形应用. 预习篇01 新知导学 二倍角的正弦、余弦、正切公式的推导 在公式sin(α+β),cos(α+β),tan(α+β)中,令 α=β ,就可得到相应的二倍角的三角函数公式: sin2α= 2sinαcosα cos2α-sin2α=2cos2α-1=1-2sin2α cos2α= 2tanα tan2α= 1-tan2α 上面三组公式,称为倍角公式. 1.倍角公式中的“倍角”是什么意思? 答:倍角公式不仅可运用于2α是α的二倍的情况,还可 α 3α 运用于4α作为2α的二倍,α作为 的二倍,3α作为 的二 2 2 α+β 倍,α+β作为 2 的二倍等情况. 2.公式S2α,C2α,T2α的适用范围是否相同? 答:在公式S2α,C2α中,角α可以为任意角;但公式T2α π π kπ 只有当α≠ +kπ,且α≠ + (k∈Z)时才成立,否则不成 2 4 2 π π 立(因为当α= +kπ,k∈Z时,tanα的值不存在;当α= + 2 4 kπ π ,k∈Z时,tan2α的值不存在).当α= +kπ,k∈Z时, 2 2 虽然tanα的值不存在,但tan2α的值是存在的,这时求tan2α π 的值可利用诱导公式,即tan2α=tan2( +kπ)=tan(π+2kπ) 2 =tanπ=0. 倍角公式的变形 2 2 (sin α ± cos α ) 2cos α ;1 1.1± sin2α= ;1+cos2α= 2 2sin α . -cos2α= 1-cosα 1+cosα 2α 2.sin = ;cos = ; 2 2 2 2 2α 1-cosα tan = . 2 1+cosα 2α 3.已知角α的某个三角函数值后,能唯一确定角2α的 三角函数值吗? 答:一般不能,在知道了角α的某个三角函数值,同时 知道2α的终边所在的象限时,就可以唯一确定角2α的三角 函数值了. 4.二倍角公式及变形公式的作用是什么? 答:利用上述公式不仅可以促成二倍角与单角的互 化,同时还可以实现式子次数的转化. (1)要注意公式运用的前提是所含各三角函数有意义. (2)倍角公式中的“倍角”是相对的,对于两个角的比 3α 值等于2的情况都成立,如6α是3α的2倍,3α是 2 的2倍.这 里蕴含着换元思想. (3)注意倍角公式的灵活运用,要会正用、逆用、变形 用. (4)由任意角的三角函数的定义可知,S2α,C2α中的角α π π 是任意的,但要使T2α有意义,需要α≠±4 +kπ且α≠ 2 +kπ(k ∈Z). 课堂篇02 合作探究 给角求值问题 【例1】 求下列各式的值: π 5π (1)cos12cos12; π π π π (2)(cos -sin )(cos +sin ); 12 12 12 12 1 2π (3)2-cos 8; (4)sin10° sin30° sin50° sin70° . 【分析】 (1)先将余弦化为正弦,再添加系数2,即可 逆用倍角公式;(2)利用平方差公式之后,再逆用倍角公 1 式;(3)提取系数 后产生倍角公式的形式;(4)利用诱导公 2

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