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【高考领航】2017届(北师大版)高三数学(理)大一轮复习第七章立体几何课时规范训练7-3


课时规范训练
[A 级 基础演练] 1.(2016· 台州模拟)以下四个命题中: ①不共面的四点中,其中任意三点不共线;②若点 A、B、C、D 共面,点 A、 B、C、E 共面,则点 A、B、C、D、E 共面;③若直线 a、b 共面,直线 a、c 共 面,则直线 b、c 共面;④依次首尾相接的四条线段必共面. 正确命题的个数是( A.0 C.2 ) B.1 D.3

解析:①中显然是正确的;②中若 A、B、C 三点共线则 A、B、C、D、E 五点不一定共面.③构造长方体或正方体,如图显然 b、c 异面故不正确.④中 空间四边形中四条线段不共面,故只有①正确.

答案:B 2.(2016· 江西七校联考)已知直线 a 和平面 α,β,α∩β=l,a?α,a?β,且 a 在 α,β 内的射影分别为直线 b 和 c,则直线 b 和 c 的位置关系是( A.相交或平行 C.平行或异面 B.相交或异面 D.相交、平行或异面 )

解析:依题意,直线 b 和 c 的位置关系可能是相交、平行或异面,故选 D. 答案:D 3.(2016· 信阳模拟)平面 α、β 的公共点多于两个,则 ①α、β 垂直; ②α、β 至少有三个公共点; ③α、β 至少有一条公共直线; ④α、β 至多有一条公共直线; 以上四个判断中不成立的个数为 n,则 n 等于( A.0 B.1 )

C.2

D.3

解析:由条件知当平面 α、β 的公共点多于两个时,若所有公共点共线,则 α、β 相交;若公共点不共线,则 α、β 重合.故①不一定成立;②成立;③成立; ④不成立. 答案:C 4.(2013· 高考新课标全国卷)已知 m,n 为异面直线,m⊥平面 α,n⊥平面 β. 直线 l 满足 l⊥m,l⊥n,l α,l β,则( A.α∥β 且 l∥α B.α⊥β 且 l⊥β C.α 与 β 相交,且交线垂直于 l D.α 与 β 相交,且交线平行于 l 解析:结合给出的已知条件,画出符合条件的图形,然后判断得出. )

根据所给的已知条件作图,如图所示. 由图可知 α 与 β 相交,且交线平行于 l,故选 D. 答案:D 5.(2013· 高考江西卷)如图,正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 α 上,且 AB∥CD,则直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 ________.

解析:取 CD 的中点为 G,由题意知平面 EFG 与正方体的左、右侧面所在 平面重合或平行,从而 EF 与正方体的左、右侧面所在的平面平行或 EF 在平面 内.所以直线 EF 与正方体的前、后侧面及上、下底面所在平面相交.故直线 EF 与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为 4. 答案:4

6.(2016· 济南一模)在正四棱锥 VABCD 中,底面正方形 ABCD 的边长为 1, 侧棱长为 2,则异面直线 VA 与 BD 所成角的大小为__________.

解析:如图,设 AC∩BD=O,连接 VO,因为四棱锥 VABCD 是正四棱锥, 所以 VO⊥平面 ABCD,故 BD⊥VO.又四边形 ABCD 是正方形,所以 BD⊥AC, 又因为 VO∩AC=O,所以 BD⊥平面 VAC,所以 BD⊥VA,即异面直线 VA 与 BD π 所成角的大小为 . 2 π 答案:2

7.(2016· 宜城模拟)已知:空间四边形 ABCD(如图所示),E、F 分别是 AB、 1 1 AD 的中点,G、H 分别是 BC、CD 上的点,且 CG=3BC,CH=3DC.求证: (1)E、F、G、H 四点共面; (2)三直线 FH、EG、AC 共点.

证明:(1)连接 EF、GH. 由 E、F 分别为 AB、AD 的中点, 1 1 1 ∴EF 綊 2BD,又 CG=3BC,CH=3DC, 1 ∴HG 綊3BD, ∴EF∥HG 且 EF≠HG. ∴EF、HG 可确定平面 α, 即 E、F、G、H 四点共面. (2)由(1)知:EFHG 为平面图形,

且 EF∥HG,EF≠HG. ∴四边形 EFHG 为梯形, 设直线 FH∩直线 EG=O, ∵点 O∈直线 FH,直线 FH?面 ACD, ∴点 O∈平面 ACD. 同理点 O∈平面 ABC. 又∵面 ACD∩面 ABC=AC, ∴点 O∈直线 AC(公理 3). ∴直线 FH、EG、AC 交于点 O,即三直线共点. 8.已知 ABCD-A1B1C1D1 是底面边长为 1 的正四棱柱,高 AA1=2,求

(1)异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值; (2)四面体 AB1D1C 的体积. 解:(1)连 BD,AB1,B1D1,AD1. ∵BD∥B1D1, ∴异面直线 BD 与 AB1 所成角为∠AB1D1(或其补角), 记∠AB1D1 =θ,

由已知条件得 AB1=AD1= 5, 在△AB1D1 中,由余弦定理得
2 2 AB2 10 1+B1D1-AD1 cos θ= 2· = AB1· B1D1 10

10 ∴异面直线 BD 与 AB1 所成角的余弦值为 10 . (2)连接 AC, CB1, CD1, 则所求四面体的体积, V=VABCD-A1B1C1D1-4VC

1 2 -B1C1D1=2-4×3=3. [B 级 能力突破]

1.(2014· 高考辽宁卷)已知 m,n 表示两条不同直线,α 表示平面.下列说法 正确的是( )

A.若 m∥α,n∥α,则 m∥n B.若 m⊥α,n?α,则 m⊥n C.若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α D.若 m∥α,m⊥n,则 n∥α 解析:利用直线与平面平行和垂直的判定定理直接判断或利用正方体判断. 法一:若 m∥α,n∥α,则 m,n 可能平行、相交或异面,A 错; 若 m⊥α,n?α,则 m⊥n,因为直线与平面垂直时,它垂直于平面内任一直 线,B 正确; 若 m⊥α,m⊥n,则 n∥α 或 n?α,C 错; 若 m∥α,m⊥n,则 n 与 α 可能相交,可能平行,也可能 n?α,D 错.

法二:如图,在正方体 ABCD-A′B′C′D′中,用平面 ABCD 表示 α. A 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′C′,满足 m∥α,n∥α,但 m 与 n 是相 交直线,故 A 错. B 项中,m⊥α,n?α,∴m⊥n,这是线面垂直的性质,故 B 正确. C 项中,若 m 为 AA′,n 为 AB,满足 m⊥α,m⊥n,但 n?α,故 C 错. D 项中,若 m 为 A′B′,n 为 B′B,满足 m∥α,m⊥n,但 n⊥α,故 D 错. 答案:B 2.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2和 a,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面,则 a 的取值范围是( A.(0, 2) ) B.(0, 3)

C.(1, 2)

D.(1, 3)

解析:根据题意构造四面体 ABCD,AB=a,CD= 2,AC=AD=BC=BD 2 2 2 =1,取 CD 中点 E,连结 BE,AE,则 AE=BE= 2 .又∵a< 2 + 2 = 2,∴0 <a< 2.故选 A.

答案:A 3.(2014· 高考新课标全国卷Ⅱ)直三棱柱 ABCA1B1C1 中,∠BCA=90° ,M, N 分别是 A1B1, A1C1 的中点, BC=CA=CC1, 则 BM 与 AN 所成角的余弦值为( 1 A.10 30 C. 10 2 B.5 2 D. 2 )

1 解析:如图,取 B C 的中点 D,连接 MN,ND,AD,由于 MN 綊2B1C1 綊 BD, 因此有 ND 綊 BM, 则 ND 与 NA 所成角即为异面直线 BM 与 AN 所成的角. 设 ND2+NA2-AD2 BC=2, 则 BM=ND= 6, AN= 5, AD= 5, 因此 cos∠AND= 2ND· NA 30 = 10 .

答案:C 4. 如图是正四面体的平面展开图,G,H,M,N 分别为 DE,BE,EF,EC 的中点,在这个正四面体中,

①GH 与 EF 平行; ②BD 与 MN 为异面直线; ③GH 与 MN 成 60° 角; 以上四个命题中,正确命题的序号是__________. 解析:还原成正四面体知 GH 与 EF 为异面直线,BD 与 MN 为异面直线, GH 与 MN 成 60° 角. 答案:②③ 5.设 a,b,c 是空间中的三条直线,下面给出五个命题: ①若 a∥b,b∥c,是 a∥c; ②若 a⊥b,b⊥c,则 a∥c; ③若 a 与 b 相交,b 与 c 相交,则 a 与 c 相交; ④若 a?平面 α,b?平面 β,则 a,b 一定是异面直线; ⑤若 a,b 与 c 成等角,则 a∥b. 上述命题中正确的命题是________(只填序号). 解析:由公理 4 知①正确; 当 a⊥b,b⊥c 时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故②不正确; 当 a 与 b 相交,b 与 c 相交时,a 与 c 可以相交、平行,也可以异面,故③ 不正确; a?α,b?β,并不能说明 a 与 b“不同在任何一个平面内”,故④不正确; 当 a,b 与 c 成等角时,a 与 b 可以相交、平行,也可以异面,故⑤不正确. 答案:① 6.在长方体 ABCD-A1B1C1D1 的面 A1C1 上有一点 P,如图所示,其中 P 点 不在对角线 B1D1 上.

(1)过 P 点在空间中作一直线 l,使 l∥BD,应该如何作图?并说明理由;

π? ? (2)过 P 点在平面 A1C1 内作一直线 m,使 m 与 BD 成 α 角,其中 α∈?0,2?, ? ? 这样的直线有几条,应该如何作图? 解:(1)连接 B1D1,在平面 A1C1 内过 P 作直线 l, 使 l∥B1D1,则 l 即为所求作的直线. ∵B1D1∥BD,l∥B1D1,∴l∥BD. (2)在平面 A1C1 内作直线 m, 使直线 m 与 B1D1 相交成 α 角, ∵BD∥B1D1, ∴直线 m 与直线 BD 也成 α 角, 即直线 m 为所求作的直线. 由图知 m 与 BD 是异面直线, π? ? 且 m 与 BD 所成的角 α∈?0,2?. ? ? π 当 α=2时,这样的直线 m 有且只有一条, π 当 α≠2时,这样的直线 m 有两条.


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