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2.1.1合情推理1


(1)因为铜、铁、铝、金、银等金属能 导电,所以猜想: 一切金属都能导电. 合 部分 整体 情 (2)因为 1,? 12 ,1 ? 3 ?, 22 1 ? 3 ? 5 ? 32 推 所以猜测: 1 ? 3 ? ?? (2n ?1) ? n2 个别 一般 理 推 (3)因为地球上有生命,火星具有一些 理 与地球类似的特征, 演 所以猜想: 火星上也可能有生命.

/>? ?

?

归 纳 推 理 类 比 推 理

绎(4)因为没有一个人是永生的,希腊人 推 是人,所以没有一个希腊人是永生的. 理

推理

?

合情推理

?

归纳推理

类比推理

演绎推理

2.1.1合情推理 (一)
归纳推理

观察下列一个推理问题,你有那些想法,请你说一说。 1、歌德巴赫的一个猜想的提出过程:
(1)他先无意中发现:3+7=10,3+17=20,13+17=30, (2)他后来又把上面的式子改写为:10=3+7,20=3+17, 30=13+17. 6=3+3, 1000=29+971, 8=3+5, 1002=139+863, 10=5+5, … 12=5+7, 14=7+7, 综上述他得出一个规律: 16=5+11, 偶数=奇质数+奇质数 18 =7+11, …,

歌德巴赫猜想:“任何一个不小于6的偶数都等 于两个奇奇数之和”

这种由某类事物的部分对象具有某些特征,推 出该类事物的全部对象都具有这些特征的推理, 或者由个别事实概栝出一般结论的推理,称为 归纳推理.(简称:归纳)
归纳推理的几个特点;
1.归纳是依据特殊现象推断一般现象,因而,由归纳 所得的结论超越了前提所包容的范围. 2.归纳是依据若干已知的、没有穷尽的现象推断尚 属未知的现象,因而结论具有猜测性. 3.归纳的前提是特殊的情况,因而归纳是立足于观 察、经验和实验的基础之上. 归纳是立足于观察、经验、实验和对有限资料分 析的基础上.提出带有规律性的结论. 需证明

归纳推理的定义:

部分

整体

个别

一般

例1已知数列{an}的第1项a1=1且 a n +1

(n=1,2,3 …),试归纳出这个数列的通项公式. 解: 当n= 1时,a 1= 1
1 当n=2时, a 2 ? ?2 1?1
1 当n=3时,a3 ? ? 1 3 1? 21 1 3 当n=4时,a4 ? ? 1 4 1? 3 1 2

an = 1 + an

1 an ? 猜想: n

归纳推理的一般步骤:
⑴ 对有限的资料进行观察、分析、归纳 整理; ⑵ 提出带有规律性的结论,即猜想; ⑶ 检验猜想。
试验、观察 概括、推广 猜测一般性结论

归纳推理可以提供解决问题的思路和方向

归纳推理的一般步骤:
2 ?1 ? 5 22 2 ? 1 ? 17 23 2 ? 1 ? 257 24 2 ? 1 ? 65537 25 2 ? 1 ? 4294967297 ? 641 ? 6700417 猜想:
2n

观察、分析

21

提出猜想

检验猜想

“任何形如 2 ?的数都是质数.” 1(n ? N ? )

例2数一数图中的凸多面体的面数F、顶点
数V和棱数E,然后用归纳法推理得出它们之 间的关系.

多面体
三棱锥
四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 4 5 6 6 8 9

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

发现

F+V-E=2

发现
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

F+V-E=2
面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 6 8 9 10 12 12

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

猜想
多面体
三棱锥 四棱锥 三棱柱 五棱锥 立方体

F+V-E=2
4 5 5 6 6 8 4 5 6 6 8 6 10

欧拉公式
6 8 9 10 12 12

面数(F) 顶点数(V) 棱数(E)

正八面体
五棱柱 截角正方体 尖顶塔

7 7
9

15 15
16

10 9

练一练:
1 1 1 1 ? f (n) ? 1 ? ? ? ? ? ? (n ? N )计算得到: 2 3 4 n 3 5 7 f (2) ? , f (4) ? 2, f (8) ? , f (16) ? 3, f (32) ? ,? 2 2 2 由此推测有

n?2 ? f (2 ) ? (n ? N ) 2
n

例3如图有三根针和套在一根针上的若干金属片. 按下列规则,把金属片从一根针上全部移到另一根针上 . 1.每次只能移动1个金属片; 2.较大的金属片不能放在较小的金属片上面.试推测; 把n个金属片从1号针移到3号针,最少需要移动多少次? 解设an表示移动n块金属片时的移动次数. 当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3

2

1

3

解设an表示移动n块金属片时的移动次数.
当n=1时,a1=1 当n=2时,a2= 3 当n=3时,a3= 7 当n=4时,a4= 15

猜想 an= 2n -1

2

1

3

1.根据下列计算快速填空:

1? 1 ? 1 11 ? 11 ? 121

111 ?111 ? 12321
111111111 ?111111111 ? 12345678987654321

??

2.根据下列图案中点的排列规律,猜想第(5)个
图形有多少个点组成,是怎样排列的? 那么 第n个图形中共有多少个点呢?

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

1.推理的分类. (1)合情推理 (归纳推理、类比推理) (2)演绎推理 2.归纳推理的概念. 个别 一般 部分 整体 3.归纳推理的一般步骤. 观察、分析 提出猜想 检验猜想 4.归纳推理的作用. (1)发现新事实、获得新结论; (2)提供解决问题的思路和方向.


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