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空间简单几何体的结构


1.1 空间几何体的结构

08.5.5

多面体: 一般地,我们把由若干个平面多边形围 成的几何体叫做多面体.
旋转体: 一般地,我们把由一个平面图形绕它所在 平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体叫 做旋转体. 这条定直线叫做旋转体的轴.

1、定义:有两个面互相平行,其余各面都
是四边形

,并且每相邻两个四边形的公共边都

互相平行,由这些面所围成的几何体叫做棱柱。
两个互相平行的平面叫做棱柱的底面,其

余各面叫做棱柱的侧面。
相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱。 侧面与底的公共顶点叫做棱柱的顶点。

底面

侧面 侧棱 顶点

2、棱柱的表示法(下图)

用平行的两底面多边形的字母表示棱 柱,如:棱柱ABCDE- A1B1C1D1E1 。

3、棱柱的性质:
1) 上下底面平行,且是全等的多边形
2) 侧棱相等且相互平行 3) 侧面是平行四边行

4、棱柱的分类一(底面):棱柱的底面 可以是三角形、四边形、五边形、 …… 我 们把这样的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、 五棱柱、……

三棱柱

四棱柱

五棱柱

棱柱的分类二(根据侧棱与底面的关系):
斜棱柱: 侧棱不垂直于底面的棱柱.

直棱柱: 侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱

正棱柱: 底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱

1、棱锥的概念
有一个面是多边形,其余各面是有 一个公共顶点的三角形, 由这些面所围 成的几何体叫做棱锥。
这个多边形面叫做棱锥的底面。 有公共顶点的各个三角形叫 做棱锥的侧面。 各侧面的公共顶点叫做 棱锥的顶点。

相邻侧面的公共边叫做棱锥 的侧棱。

S

棱锥的顶点 棱锥的侧棱 D 棱锥的侧面

E A B

C 棱锥的底面

二、棱锥的表示法;
1 .用顶点及底面各顶点字母表示棱锥,如:棱锥S-ABC 2.用顶点及底面一对角线字母表示,如:棱锥S-AC





A B




A D





三、棱锥的分类 按底面多边形的边数分类可分为三棱锥、四棱锥、 五棱锥等等。

三棱锥 (四面体)

四棱锥

五棱锥

四、特殊的棱锥-正棱锥
定义:如果一个棱锥的底面是正多边形,

并且顶点在底面的射影是底面中心

正三棱锥

正五棱锥

五、正多面体:

定义:每个面都是有相同边数正多边形,且以每个顶点 为其一端都有相同数目的棱的凸多面体,叫做正多面体。

五、棱台的结构特征
棱锥:有一个面是多边形,其余各 面是有一个公共顶点的三角形,由这 些面所围成的几何体叫做棱锥。
D1 B1

A1

D1

B1

C1

A1

C1

1、棱台的概念:用一个平行于棱锥底面 的平面去截棱锥,底面和截面之间的部分 叫做棱台。
A1 D1 C1 上底面 侧面 侧棱 下底面 顶点

B1

2、由三棱锥、四棱锥、五棱锥…截得 的棱台,分别叫做三棱台,四棱台, 五棱台… 3、棱台的表示法: 棱台用表示上、下底面各顶点的字 母来表示,如下图,棱台ABCD-A1B1C1D1 .
A1 D1 B1

C1

4、特殊的棱台--------正棱台 由正三棱锥、正四棱锥、正五棱锥…截得的 棱台,分别叫做正三棱台,正四棱台,正五 棱台…

三、圆柱的结构特征
O1

矩 形
O

1、定义:以矩形的一边所在直 线为旋转轴,其余三边旋转形成的 曲面所围成的几何体叫做圆柱。 (1)旋转轴叫做圆柱的轴。 (2) 垂直于轴的边旋转而成 的圆面叫做圆柱的底面。 (3)平行于轴的旋转而成的 曲面叫做圆柱的侧面。

(4)无论旋转到什么位置不 垂直于轴的边都叫做圆柱的母线。

2、表示:用表示它的轴的字母表示,如 圆柱OO1。 O 3、圆柱 与棱柱统 称为柱体。 O1
侧面 轴 底面 母线

四、圆锥的结构特征

S

1、定义:以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转 轴,其余两边旋转而成的曲面所围成的几何体叫做圆锥。

(1)旋转轴叫做圆锥的轴。 直角三角形

O

A

(2) 垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 圆锥的底面。

(3)不垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做 圆锥的侧面。 (4)无论旋转到什么位置不垂直于轴的边 都叫做圆锥的母线。

2、圆锥的表示
用表示它 的轴的字母表 示,如圆锥SO。 S


侧面 母线
O

3、圆锥与 棱锥统称为 锥体。

B

A 底面

3、圆台的结构特征
1、定义:用一个平行于圆锥底面的平面去 截圆锥,底面与截面之间的部分,这样的 几何体叫做圆台。

思考: 圆柱可以由矩形旋转得到,圆锥可以由直 角三角形旋转得到.圆台可以由什么平面图形旋 转得到?如何旋转?

2、圆台的表示:用表示它的轴的字母表 示,如圆台OO′

3、圆台与棱台统称为台体。

O'

O

底面 轴 侧面 母线 底面

七、球的结构特征
1、球的定义:以半圆的直径所在直线为旋转 轴,半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体, 简称球。 (1)半圆的半径叫做球的半径。 (2)半圆的圆心叫做球心。 A (3)半圆的直径叫做球的直径。

半径

O

2、球的表示: 用表示球心的字 球心 母表示,如球O

B

概念

1.2空间几何体的三视图和直观图

投影:光线通过物体,向选定的面投射,并 在该面上得到图形的方法.
中心投影: 投射线交于一点的投影

概念
Y X

平行投影:投射线相互平行的投影 可以分为:
正投影(投影线正对投影面):形状大小不变 斜投影:形状大小可能改变

平行斜投影

平行正投影

应用正投影法,能在投影面上反映物体 某些面的真实形状及大小,且与物体到投 影面的距离无关,因而作图方便,故得到 广泛的应用。

平行投影的性质 当图形中的直线或线段不平行于投射线时,平 行投影具有下列性质. (1) 直线或线段的平行投影仍是直线或线段. (2)平行直线的平行投影是平行或重合的直线. (3)在同一直线或平行直线上,两条线段的平行 投影线段的长度比等于这两条线段的长度比. (4)与投射面平行的平面图形, 它的投影与这个图形全等. (5)平行于投射面的线段, 它的平行投影与这条线段平行 且等长. ? F

F’

1、三视图的形成

V

V正立投影面

H水平投影面 W侧立投影面

W V

V正视图

H俯视图
W侧视图
H

正 视 图

侧视图 俯视图

2、三视图有关概念 “视图”是将物体按正投影法向投影面投射时 所得到的投影图. 光线从几何体的前面向后面正投影,所得的 投影图称为“正视图” ,自左向右投影所得的投 影图称为“侧视图”,自上向下投影所得的投影 图称为“俯视图”. 几何体的正视图、侧视图和俯视图统称为几 何体的三视图。

正方体的三视图




长方体的三视图




长方体

圆柱的三视图





圆柱

圆锥的三视图




圆锥

球的三视图





球体

3、三视图的特点

长对正 高平齐

宽相等

4、基本几何体三视图

上一节学习的棱柱、棱锥、棱台以及圆台 的三视图是怎样的?

棱柱的三视图





六棱柱

棱锥的三视图




正三棱锥

棱锥的三视图




正四棱锥

棱台的三视图




正四棱台

圆台的三视图





圆台

1.2.3 空间几何体的直观图

例1.用斜二测画法画水平放置的六边形的直观图
对称轴MN 所在直线为Y 轴,两轴交于点O。画相应 的X ?轴和Y ?轴,两轴相交于点O?,使?x?Oy?=45

?1? 在六边形ABCDEF中,取AD所在的直线为X 轴,
y

y?

F

M

E
O

A
B

O

D
C

x

x?

N

? 2 ?以O?为中心,在X?上取A?D?=AD,在y?轴上取

1 M ?N?= MN .以点N ?为中心,画B?C?平行于x?轴, 2 并且等于BC;再以M ?为中心,画E?F?平行于x?轴, 并且等于EF.

y

F

M

E D
C
A?

y?

A
B

F ? M ? E?
N?

O

x

B?

O?

D?

C?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E D
C

y?

A
B

O

x

A?
B?

F ? M ? E?
N?

O?

D?

C?

x?

N

? 3? 连接A?B?,C?D?,E?F?,F?A?,并擦去辅助线x?轴和y?轴,
便获得正六边形ABCDEF水平放置的直观图A?B?C?D?E?F?

y
F
M

E D
C

A
B

O

x

N

斜二测画法的步骤:(平面图形)
(1)在已知图形中取互相垂直的x 轴和y 轴,两轴 相交于O点.画直观图时,把它画成对应的 x? 轴、 y?轴,使 ?x?Oy?=45 ? 或135 ? ,它确定的平面表示水平 平面. (2)已知图形中平行于x轴或y轴的线段,在直观 图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段. (3)已知图形中平行于x 轴的线段,在直观图中保 持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原来的一 半.

例2.用斜二测画法画长,宽,高分别是4cm, 3cm,2cm的长方体的直观图

? 1? 画轴.画x轴,y轴,z轴,三轴交于点O,
使?xO y =45 , ?xO z ? 90 .
Z

y
O

x

? 2 ? 画底面.以O为中心,在x轴上取线段MN ,

使MN = 4 cm;在y轴上取线段PQ,使PQ =1.5cm; 分别过点M 和N 作y轴的平行线,过点P 和Q作 x轴的平行线,设它们的交点分别为A,B,C,D, 四边形ABCD就是长方形的底面ABCD
Z

y
Q

M

D
O

C

A

N
B

x

P

? 3 ? 画侧棱.过A,B,C,D,各点分别作z轴的平
行线,并在这些平行线上分别截取2cm长的线 段AA ?,BB?,CC?,DD?.
D?

Z
B?
O

C?
Q

A?

y

M

D
P

C

N
B

A

x

? 4 ? 成图.顺次连接A ?,B?,C?,D?,并加以整理

? 去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线? ,
就可得到长方体的直观图.
D?

Z
B?
Q

C?
C

A?

y

M

D
P

O

N
B

A

x

? 4 ? 成图.顺次连接A ?,B?,C?,D?,并加以整理

? 去掉辅助线,将被遮挡住的部分改为虚线? ,
就可得到长方体的直观图.
D?

C?
B?
C

A?

D

A

B

斜二测画法的步骤:(空间几何体)
(1)画轴.在已知图形中取两两垂直的x 轴, y 轴, z轴,三轴相交于O点.画直观图时,把它画成对应 的 x?轴、y?轴、z? 轴,使 ?x?Oy?=45 , ?x?Oz?=90 ,它 确定的平面表示一个三维空间. (2)已知图形中平行于x轴, y轴,z轴的线段,在直 观图中分别画成平行于x?轴, y? 轴, z? 轴的线段. (3)已知图形中平行于x 轴或z 轴的线段,在直观 图中保持原长度不变;平行于y 轴的线段,长度为原 来的一半.

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画法 画出它的直观图 正视图 侧视图
Z ·
O?

y?

· O?

· O? · O

y

x?

· O
·
俯视图

O

x

例3.已知几何体的三视图,用斜二测画 法画出它的直观图 正视图 侧视图
· O? · O · O? · O

·
俯视图

柱体、锥体、台体的表面积

h

h

/

h

/

侧面展开

h'

h'

侧面展开
h'

h'

棱柱、棱锥、棱台的表面积

h'

h'

棱柱、棱锥、棱台都是由多个平面图形围成的几何 体,它们的侧面展开图还是平面图形,计算它们的表面 积就是计算它的各个侧面面积和底面面积之和.

圆柱的表面积
r O?

l
O

2?r

圆柱的侧面展开图是矩形

S圆柱表面积 ? 2?r ? 2?rl ? 2?r (r ? l )
2

圆锥的表面积

2?r

l

r

O
2

圆锥的侧面展开图是扇形

S圆锥表面积 ? ?r ? ?rl ? ?r(r ? l )

圆台的表面积
参照圆柱和圆锥的侧面展开图,试想象圆台的侧 面展开图是什么 .

r 'O’
l

2?r '

2?r

r

O
2 2

圆台的侧面展开图是扇环

S圆台表面积 ? ? (r? ? r ? r?l ? rl )


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