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【金版学案】2015届高考数学总复习 基础知识名师讲义 第十章 第一节分类计数与分步计数原理 理


第十章

计数原理、概率、随机变量及其分布

近三年广东高考中对本章考点考查的情况 题号 赋分 所考查的知识点 6 5 互斥事件、独立事件的概率,分析问题及解决问题的能力 2011 17 13 分层抽样,求概率、离散型随机变量分布列、均值 7 5 古典概型 2012 17 13 频率分布直方图,数学期望 4 5 分布列 2013 17 12

茎叶图,求组合数、古典概型 本章内容主要包括:排列组合、二项式定理、概率、随机变量及其分布. 1.排列与组合是中学数学中相对独立性较强的一部分,也是密切联系实际较强的一部 分,一直是高考必考内容.高考对排列组合的考查会以现实生活为背景. 2.对二项式定理的考查,主要是求多项式系数和、求某项系数、求二项式中的参数值、 求常数项、有理项系数最大项、求整余数、求近似值等. 3.古典概型与几何概型是两种最基本的概率问题,是高考重点关注的内容,但深度有 限.几何概型只要求会解决与长度、面积、体积相关的概率问题,重点是理解概率、学会转 化、计算准确快捷,不宜过于深化与拓展. 预计高考对以上内容的考查,仍会以客观题的形式出现,试题难度为“较易”到“中 等”,分值为 5 分. 4.随机变量及其分布在高考中多以解答题的形式出现,常与排列组合、统计等内容相 结合,综合考查学生的数据处理能力.分值一般在 13 分左右,属中、低档题.重点考查离 散型随机变量的分布列,以及由此分布列求随机变量的均值、方差,特别是二项分布. 年份

1. (1)分类计数原理与分步计数原理是计数问题的基本原理, 它贯穿于本章学习的始终, 体现了解决问题时将其分解的两种常用方法, 即把问题分类解决或分步解决, 是本章复习的 重点. (2)正确区分使用两个原理是学好本章的关键.区分“分类”与“分步”的依据在于能 否“一次性”完成. 若能“一次性”完成,则不需“分步”, 只需分类; 否则,就分步处理. 2.二项式定理是一个恒等式,对待恒等式通常有两种思路:一是利用恒等定理(两个多

1

项式恒等,则对应项系数相等);二是赋值.这两种思路相结合可以使很多二项式展开式的 系数问题迎刃而解(要注意二项式系数与二项式展开式的系数之间的区别). 3.(1)概率问题应用广泛,贴近生活,本部分知识既有必修内容,也有选修内容.随着 高考改革的不断深入,概率问题正逐步成为高考的热点内容. (2)解决概率应用问题时,首先熟悉几种常见的概率类型,熟练掌握其计算公式;其次 还要弄清问题所涉及的事件有什么特点,事件之间有什么联系. 4.求随机变量的分布列,重要的基础是概率的计算,如古典概率、互斥事件概率、相 互独立事件同时发生的概率,n 次独立重复试验有 k 次发生的概率等. 5.对离散型随机变量的方差应注意: (1)D(X)表示随机变量 X 对 E(X)的平均偏离程度,D(X)越大,表明平均偏离程度越大, 说明 X 的取值越分散,反之 D(X)越小,X 的取值越集中,在 E(X)附近,统计中常用来描述 X 的分散程度; (2)D(X)与 E(X)一样也是一个实数,由 X 的分布列唯一确定. 第一节 分类计数与分步计数原理

1.理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理. 2.会用分类加法计数原理或分步乘法计数原理分析和解决一些简单的实 际问题.

知识梳理 1.分类加法计数原理: 做一件事,完成它可以有两类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法,在第二类办 法中有 m2 种不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1+m2 种不同的办法. 定义拓展:做一件事,完成它可以有 n 类办法,在第一类办法中有 m1 种不同的方法, 在第二类办法中有 m2 种不同的方法,??,在第 n 类办法中有 mn 种不同的方法,那么完成 这件事共有 N=m1+m2+?+mn 种不同的办法. 2.分步乘法计数原理: 做一件事,完成它需要分成两个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二步有 m2 种 不同的方法,那么完成这件事共有 N=m1·m2 种不同的方法. 定义拓展:做一件事,完成它需要分成 n 个步骤,做第一步有 m1 种不同的方法,做第二 步有 m2 种不同的方法,??,做第 n 步有 mn 种不同方法,那么完成这件事共有 N = m1·m2·?·mn 种不同的方法.

基础自测 1.有不同的语文书 9 本,不同的数学书 7 本,不同的英语书 5 本,从中选出不属于同 一学科的书 2 本,则不同的选法有( ) A.21 种 B.315 种 C.143 种 D.153 种 解析:分三类,每类分两步:选语文、数学各 1 本,有 9×7=63 种选法,选语文、英 语各 1 本,有 9×5=45 种选法,选数学、英语各 1 本,有 5×7=35 种选法.所以共有 63 +45+35=143 种选法.故选 C. 答案:C

2

2.从 10 名大学毕业生中选 3 人担任村长助理,则甲、乙至少有 1 人入选,而丙没有入 选的不同选法的种数为( ) A.85 B.56 C.49 D.28 解析:甲、乙至少有 1 个入选而丙没有入选的不同选法为 C7+C7+C7=49(种). 答案:C 3.5 位同学报名参加两个课外活动小组,每位同学限报其中的一个小组,则不同的报 名方法共有_ _____种. 解析:分 5 步完成,每一步有两种不同的方法,故不同的报名方法有 2 =32(种). 答案:32 4.椭圆 + =1 的焦点在 y 轴上,且 m∈{1,2,3,4,5},n∈{1,2,3,4,5,6,7},则这样 的椭圆有________个. 解析:由题知 m<n,根据 m 的取值分为 5 类:m=1 时,有 6 个椭圆;m=2 时,有 5 个 椭圆;m=3 时,有 4 个椭圆;m=4 时,有 3 个椭圆;m=5 时,有 2 个椭圆.共有 6+5+4 +3+2=20 个. 答案:20
5 2 2 1

x2 y2 m n

1.某同学有同样的画册 2 本,同样的集邮册 3 本,从中取出 4 本赠送给 4 位朋友,每 位朋友 1 本,则不同的赠送方法共有( ) A.4 种 B.10 种 C.18 种 D.20 种 解析:若取出 1 本画册,3 本集邮册,有 C14 种赠送方法;若取出 2 本画册,2 本集邮 册,有 C24 种赠送方法,则不同的赠送方法有 C14+C 24=10 种.故选 B. 答案:B 2.(2013·山东卷)用 0,1,?,9 十个数字,可以组成有重复数字的三位数的个数为 ) A.243 B.252 C.261 D.279
3 1 2 1 1 1

(

解析: 不重复的三位数字有: A9+A2A9=648 个. 则有重复数字的三位数有: A9A10A10-648 =252 个. 答案:B 1.将 5 名学生分配到甲、乙 2 个宿舍,每个宿舍至少安排 2 名学生,那么互不相同的 安排方法的种数为( ) A.10 B.20 C.30 D.40 解析:安排方法可分为两类:甲宿舍 3 名,乙宿舍 2 名,方法数为 C5C2=10(种);乙宿 2 3 3 2 2 3 舍 3 名,甲宿舍 2 名,方法数为 C5C3=10(种).所以总共有 C5C2+C5C3=20 种安排方法.故 选 B. 答案:B
3 2

3

2.(2013·深圳一模)我们把各位数字之和为 6 的四位数称为“六合数”(如 2013 是 “六合数”),则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有( ) A.18 种 B .15 种 C.12 种 D.9 种 解析:设满足题意的“六合数”为 2abc,则 a+b+c=4,于是满足条件的 a,b,c 可 分以下四种情形: (1)一个为 4,两个为 0,共有 3 种; 3 (2)一个为 3,一个为 1,一个为 0,共有 A3=6 种; (3)两个为 2,一个为 0,共有 3 种; (4)一个为 2,两个为 1,共有 3 种. 则“六合数”中首位为 2 的“六合数”共有 15 种.故选 B. 答案:B

4


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