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浙江省杭州市杭州学军中学2013学年高三第二次月考试题数学(理)


学军中学 2013 年第二次月考数学试卷问卷
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的. 1 1.已知集合 M={0,1,2,3}, N={x|2<2x<4},则集合 M∩(CRN)等于( )
A.{0,1,2} B.{2,3} C.O / D.{0,1,2,3} )条件 2.已知命题 p:lnx>0,命题 q:ex>1 则命题 p 是命题 q 的( A.充分不必要 B.必要不充分

C.充要 D.既不充分也不必要 ( )

3.若 tan ? ? 3 ,则 sin ? cos ? ?

A.

3 2

B. 3

C.

3 3

D.

3 4

4.若函数 f ( x) ? ka x ? a? x (a ? 0且a ? 1) 在( ?? , ?? )上既是奇函数又是增函数,则函 数 g ( x) ? loga ( x ? k ) 的图象是( )

5. 将函数 y ? sin ? 2 x ? A .向左平移

? ?

??

? ? ? ( ) ? 的图像经怎样平移后所得的图像关于点 ? ? , 0 ? 中心对称 3? ? 12 ?
B.向左平移

? 12

? 6

C.向右平移

? 12

D.向右平移

? 6

x 6. 已 知 x1 是 方 程 10 ? ? x ? 2 的 解 ,

x2 是 方 程 lg x ? ? x ? 2 的 解 , 函 数

f ( x) ? ?x ? x1 ??x ? x2 ? ,则 (
A. f (0) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (0) ? f (2) 7.函数 f ( x) ? cos( x ? A.周期为 π 的偶函数 C.周期为 π 的奇函数

) B. f (2) ? f (0) ? f (3) D. f (0) ? f (3) ? f (2)

?
4

) ? cos( x ?

?
4

) 是[来源:学*科*网 Z*X*X*K](
B.周期为 2π 的偶函数 D.周期为 2π 的奇函数



8. 已知二次函数 y ? ax2 ( a ? 0 ) ,点 P(1, ? 2) 。若存在两条都过点 P 且互相垂直

的直线 l1 和 l2 ,它们与二次函数 y ? ax2 ( a ? 0 )的图像都没有公共点,则 a 的取 值范围为(
1 ? ?) A. ( , 8


?1 ? B. ? , ? ?? ?8 ?
1 C. (0 , ) 8

? 1? D. ? 0 , ? ? 8?

?lg(x ? 1), x ? 0 ? 9、函数 f ( x ) ? ? 图象上关于坐标原点 O 对称的点有 n 对,则 n 的值为( ) ? cos x, x ? 0 ? 2 ?
A.4 B.3 C.5 D.无穷多 2 10. 已知函数 f(x)=x -2ax-2alnx(a?R),则下列说法不正确的是 ( A.当 C. 存在 时,函数 ,函数 有零点 B.若函数 )

有零点,则 有唯一的零点,则

有唯一的零点 D. 若函数

二:填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分
11. 曲线 y ?

x 在点(1,1)处的切线方程为 2x ?1

.

12. 已知幂函数 f ( x ) 的图像过点 ? 8, ? ,则此幂函数的解析式是 f ( x) ? _____________. 13. 已知 y ? f ( x) 是定义在 R 上的增函数,且 y ? f ( x) 的图像关于点 (6, 0) 对称.若实数

? 1? ? 2?

x, y 满足不等式 f ( x2 ? 6x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 36) ? 0 ,则 x 2 ? y 2 的取值范围是
14. 某商品在最近 100 天内的单价 f (t ) 与时间 t 的函数关系是



?t ? 22 (0 ? t ? 40, t ? N) ? ?4 f (t ) ? ? 日 销 售 量 g (t ) 与 时 间 t 的 函 数 关 系 是 ?? t ? 52 (40 ? t ? 100, t ? N) ? ? 2 t 109 . g (t ) ? ? ? (0 ? t ? 100, t ? N) .则这种商品的日销售额的最大值为 3 3
15. 已知关于 x 的不等式 ( x ?1) ? ax 有且仅有三个整数解,则实数 a 的取值范围为
2 2

16. 函数 f ( x) ? min 2 x , x ? 2 ,其中 min ?a, b? ? ?

?

?

?a, a ? b ,若动直线 y ? m 与函数 ?b, a ? b

y ? f ( x) 的图像有三个不同的交点,它们的横坐标分别为 x1 , x2 , x3 ,则 x1 ? x2 ? x 3 是否存在
最大值?若存在, 在横线处填写其最大值; 若不存在, 直接填写 “不存在” _______________.

17. 已 知 函 数

f ( x) ?| x ?

1 1 | ? | x ? | , 关 于 x 的 方 程 f 2 ( x) ? a f ( x ) ? b ? 0 x x

( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,则

a 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. 已知函数 为 ,它在 ( 轴右侧的第一个最高点和 和 , , )的图像与 轴的交点

第一个最低点的坐标分别为 (1)求函数 (2)若锐角 的解析式; 满足 ,求

的值.

2 2 19. 已知命题 p : 方程 a x ? ax ? 2 ? 0 在 ??1,1? 上有解;命题 q : 只有一个实数 x 满足不等

2 式 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,若命题“ p或q ”是假命题,求 a 的取值范围.

20. 已 知 二 次 函 数 f ( x) ? x2 ? 2bx ? c(b, c ? R) 满 足 f (1) ? 0 , 且 关 于 x 的 方 程

f ( x) ? x ? b ? 0 的两个实数根分别在区间 (?3, ?2) 、 (0,1) 内.
(1)求实数 b 的取值范围; (2)若函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上具有单调性,求实数 c 的取值范围.

21. 设函数 f ( x ) 和 g ( x) 都是定义在集合 M 上的函数,对于任意的 x ? M ,都有

f ( g ( x)) ? g ( f ( x)) 成立,称函数 f ( x) 与 g ( x) 在 M 上互为“ H 函数”.
(1)函数 f ( x) ? 2 x 与 g ( x) ? sin x 在 M 上互为“ H 函数” ,求集合 M ; (2)若函数 f ( x) ? a ( a ? 0且a ? 1)与 g ( x) ? x ? 1 在集合 M 上互为 “ H 函数”,
x

求证: a ? 1 ;

* (3)函数 f ( x) ? x ? 2 与 g ( x) 在集合 M ? {x | x ? ?1 且 x ? 2k ? 3 , k ? N } 上互为

“ H 函数” ,当 0 ? x ? 1 时 , g ( x) ? log2 ( x ? 1) ,且 g ( x) 在 ( ?1,1) 上是偶函数 , 求函数

g ( x) 在集合 M 上的解析式.

22. 已知函数 f(x)=x|x﹣a|﹣lnx (1)若 a=1,求函数 f(x)在区间[1,e]的最大值; (2)求函数 f(x)的单调区间; (3)若 f(x)>0 恒成立,求 a 的取值范围

杭州学军中学 2013 学年第二次月考 高三数学(理科)答卷
一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分。在每小题给出的四 个选项中,只 有一项是符合题目要求的。 )

请填涂在答题卡上
二、填空题(本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分) 11. 12.

13.

14.

15.

16.

17. 三、 解答题(本大题共 5 小题,共 72 分) 18.(本题满分 14 分)

19. (本题满分 14 分)

20. (本题满分 14 分)

21. (本题满分 15 分)

22. (本题满分 15 分)

杭州学军中学 2013 学年第二次月考 参考答案
一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 题号 答案 B A D C C A D A A B 8. 易知 l1 斜率存在,且不为0。设 l1 的斜率为 k ,则 l1 的方程为 y ? 2 ? k ( x ? 1) 。

? y ? ax 2 由? 得, ax2 ? kx ? k ? 2 ? 0 。 ? y ? 2 ? k ( x ? 1)
由 l1 与二次函数 y ? ax2 ( a ? 0 )的图像没有公共点知, △1 ? k 2 ? 4a(k ? 2) ? 0。 同 理 , 由 l2 与 二 次 函 数 y ? ax2 ( a ? 0 ) 的 图 像 没 有 公 共 点 知 ,
1 1 △2 ? (? ) 2 ? 4a(? ? 2) ? 0 。 k k

由 △1 ? 0 ,得 2a ? 2 a2 ? 2a ? k ? 2a ? 2 a2 ? 2a ; 由 △2 ? 0 ,得 8ak 2 ? 4a ? 1 ? 0 , k ?

a ? a 2 ? 2a a ? a 2 ? 2a 或k ? 。 4a 4a

?△ ?0 依题意,方程组 ? 1 有解。 ? △2 ? 0
? a ? a 2 ? 2a 2a ? 2 a 2 ? 2a ? ? ?△ ?0 1 ? 4a 方程组 ? 1 无解 ? ? ,解得 0 ? a ? 。 8 ? △2 ? 0 a ? a 2 ? 2a ? 2 2 a ? 2 a ? 2 a ? ? 4a ?



?△ ?0 1 1 ? ?) 。 ∴ 方程组 ? 1 有解 ? a ? 。故, a 的取值范围为 ( , 8 8 △ ? 0 ? 2
10. 解法一:由 所以 所以 又 .其图象如图所示. 递增, ,因 递减, 得 在 ,设 上递减且 , 时等于 0,

所以当 当

时有一个零点, 时有两个零点. 所以当 时,函数有两个零点, 时,

函数有唯一零点,

则 A,C,D 正确, B 错误,故选 B.

y

1

o

1

x

解法二 : ,



时,

恒成立 . 时,无零点;



所以一定有唯一零点;当



时,

必有一个根 t>0,即

,则

.



时,

递减,当

时,

递增.

,



,即得 ,此时 即时,函数 时,函数

,由于 有唯一零点 ,

为增函数,仅当 t=1 时,

所以当

有唯一零点,则 A,C,D 正确, B 错误,故选 B.

二:填空题:本大题共 7 小题,每小题 4 分,共 28 分 11. x+y-2=0 12. Y=x ?3
1

13. [16,36]

14. 808.5

15. [16/9,9/4)

16. 1

17.

(?4, ?2)

13. 因 为 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 关 于 点 (6, 0) 对 称 , 所 以 f ( x ? 6) ? ? f (6 ? x) , 由

f ( x2 ? 6x) ? f ( y 2 ? 8 y ? 36) ? 0
因为函数 f ( x2 ? 6x) ? ? f ( y 2 ? 8 y ? 36) ? ? f ( y 2 ? 8 y ? 30 ? 6) ? f [6 ? ( y 2 ? 8 y ? 30)] ,

y ? f ( x) 是 定 义 在 R 上 的 增 函 数 , 所 以 得 x2 ? 6 x ? 6 ? ( y 2 ? 8 y ? 30) , 即

x2 ? 6x ? y2 ? 8 y ? 30 ? 6 ? 0 ,配方得 ( x ? 3)2 ? ( y ? 4)2 ? 1 ,所以圆心为 (3, 4) ,半径为
1, x ? y 的几何意义为圆上动点到原点距离的平方的最值。圆心到原点的距离为 5 ,所
2 2 2 2 2 以动点到原点的距离的范围是 4 ? d ? 6 ,所以 16 ? d ? 36 ,所以 x ? y 的取值范围是

[16,36] 。
15. 易知, a ? 0 , x ? 0 是不等式的解, x ? 1 不是不等式的解。∴

不等式的三

个整数解只能为 ?2 , ?1 , 0 。不等式 ( x ?1)2 ? ax2 化为, (a ?1) x2 ? 2x ?1 ? 0 。 设 f ( x) ? (a ?1) x2 ? 2x ?1 ,则依题意,方程 f ( x) ? 0 的两根满足 ?3 ? x1 ? ?2 ,

0 ? x2 ? 1 。
16 9 ? a ? 。∴ 9 4

) a9 ?( ? ? 1 )? 6 1 ? 0 f ( 0 )? ? 1 ? 0 ? f (? 3 ? ,且 ? 。解得 ? ) a4 ?( ? 1 ? )? 4 1 ? 0 f (1)? a ( ? 1) ? ?2 ? 1 0 ? f (? 2 ?

a 的取值范围为 ?

?16 9 ? , ?。 ? 9 4?

2 2 16. 【解析】由 2 x ? x ? 2 得 4 x ? x ? 4 x ? 4 ,即 x ? 8 x ? 4 ? 0 ,解得 x ? 4 ? 2 3 或

x ? 4 ? 2 3 。即 xB ? 4 ? 2 3 , xC ? 4 ? 2 3 ,所以 yB ? 4 ? 2 3 ? 2 ? 2 3 ? 2 ,所
以 由 图 象 可 知 要 使 直 线 y ? m 与 函 数 y ? f ( x) 的 图 像 有 三 个 不 同 的 交 点 , 则 有

0 ? m ? 2 3 ? 2 ,即实数 m 的取值范围是 0 ? m ? 2 3 ? 2 。不妨设 x1 ? x2 ? x3 ,则由题
m2 意 可 知 2 x1 ? m , 所 以 x1 ? , 由 x ? 2 ? m 得 x2 ? 2 ? m, x3 ? 2 ? m , 所 以 4 x1 x2 x3 ? m2 m2 (4 ? m2 ) m2 ? 4 ? m2 2 2 2 (2 ? m)(2 ? m) ? ) ? 4 ,所以 ,因为 m (4 ? m ) ? ( 4 4 2 m2 (4 ? m2 ) 4 ? ? 1 ,即 x1 x2 x3 存在最大值,最大值为 1. 4 4

x1 x2 x3 ?

17. 【解析】因为

f ( x) ?| x ?

1 1 1 1 | ? | x ? |? x ? ? | x ? | , x x x x

当 x ? ?1 时,

f ( x) ? x ?

1 1 1 1 2 ? | x ? |? ? x ? ? x ? ? ? ; x x x x x

当 ?1 ? x ? 0 时,

f ( x) ? x ?

1 1 1 1 ? | x ? |? ? x ? ? x ? ? ?2 x ; x x x x

当 0 ? x ? 1 时,

f ( x) ? x ?

1 1 1 1 ? | x ? |? x ? ? x ? ? 2 x ; x x x x

当 x ? 1 时,

f ( x) ? x ?

1 1 1 1 2 ? | x ? |? x ? ? x ? ? 。 x x x x x

? 2 ?? x , x ? ?1, ? ??2 x, ?1 ? x ? 0, 所以函数 f ( x) ? ? ,做出函数 f ( x ) 的图象如图 ?2 x, 0 ? x ? 1, ?2 ? , x ?1 ?x



设 f ( x) ? t ,则当 t ? 2 时,方程 f ( x) ? t 有两个解。当 0 ? t ? 2 时,方程 f ( x) ? t 有四 个不同的解。所以要使方程

f 2 ( x) ? a f ( x) ? b ? 0 ( a, b ? R )恰有 6 个不同实数解,

2 2 则 t ? at ? b ? 0 的 一 个 根 为 2 , 另 外 一 个 根 0 ? t ? 2 , 设 g (t ) ? t ? at ? b , 则 有

?? ? a 2 ? 4b ? 0 ? a 2 ? 4b ? 0, ? ?a 2 ? 4b ? 0, ?a 2 ? 4(?4 ? 2a) ? 0 ? g (2) ? 0, ? 4 ? 2 a ? b ? 0, ? ? ? ? ,即 ? 所以 ?b ? ?4 ? 2a ? 0 ,即 ??4 ? 2a ? 0 , ? g (0) ? 0, ?b ? 0, ??4 ? a ? 0 ??4 ? a ? 0 ? ? ? ? ?0 ? ? a ? 2 ?4 ? a ? 0 ? ? ? 2

解得 ?4 ? a ? ?2 ,即

a 的取值范围是 (?4, ?2) 。

三、解答题:本大题共 5 小题,共 72 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18. 解: (1)由题意可得 , 由 即 且 , ,得

函数

(2)由于

且 为锐角,所以

19. 解:由题意知 a ? 0 .若 p 正确, a2 x2 ? ax ? 2 ? (ax ? 2)(ax ?1) ? 0 的解为 若方程在 ??1,1? 上有解, 只需满足 ?1 ?

1 2 或? . a a

1 2 ? 1 或 ?1 ? ? 1 . 即 a ? ? ??, ?1? ? ?1, ??) . a a

2 若 q 正确,即只有一个实数 x 满足 x ? 2ax ? 2a ? 0 ,则有 ? ? 0, 即 a ? 0或2 .

若 p或q 是假命题,则 p或q 都是假命题, 有?

??1 ? a ? 1, 所以 a 的取值范围是 (?1,0) ? (0,1) . ?a ? 0且a ? 2,

20. 解: (1)由题知 f (1) ? 1 ? 2b ? c ? 0, ? c ? ?1 ? 2b. 记 g ( x) ? f ( x) ? x ? b ? x2 ? (2b ? 1) x ? b ? c ? x2 ? (2b ? 1) x ? b ? 1 ,
? g (?3) ? 5 ? 7b ? 0 ? g (?2) ? 1 ? 5b ? 0 ? 1 ? 1 5 则? ? ? b ? , 即 b?( , ) . g (0) ? ? 1 ? b ? 0 5 ? 5 7 ? ? g (1) ? b ? 1 ? 0 ?

(2)令 u ? f ( x),? 0 ?

1 ? ? b ? ?? , ? log b u 在区间 (0, ??) 上是减函数. 5 ?

而 ?1 ? c ? 2b ? ?b ,函数 f ( x) ? x2 ? 2bx ? c 的对称轴为 x ? ?b ,
? f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上单调递增.

从而函数 F ( x) ? logb f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上为减函数. 且 f ( x) 在区间 (?1 ? c,1 ? c) 上恒有 f ( x) ? 0 ,只需要 f (?1 ? c) ? 0 ,

? ?c ? ?2b ? 1 ?? ? ? f (?1 ? c) ? 0

1 ? ( ?b? ) 17 5 ? ? ? ? c ? ?2. 7
化 简 得 , 2 sin x(1 ? cos x) ? 0 ,

21. ( 1 ) 由 f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 得 2 sin x ? sin 2 x

sin x ? 0 或 cos x ? 1

解得 x ? k? 或 x ? 2k? , k ? Z ,即集合 M ? {x | x ? k? } k ? Z (若学生写出的答案是集合 M ? {x | x ? k? , k ? Z} 的非空子集,扣 1 分,以示区别。) (2) 证明: 由题意得,a
x 且 a ?1 a ?
x ?1

x ? a x ? 1( a ? 0 且 a ? 1 ) 变形得, a (a ? 1) ? 1 , 由于 a ? 0

1 1 x ? 0 ,即 a ? 1 因为 a ? 0 ,所以 a ?1 a ?1

(3)当 ? 1 ? x ? 0 ,则 0 ? ? x ? 1 ,由于函数 g ( x) 在 (?1,1) 上是偶函数 则 g ( x) ? g (? x) ? log2 (1 ? x) 所以当 ? 1 ? x ? 1 时, g ( x) ? log2 (1? | x |) 由于 f ( x) ? x ? 2 与函数 g ( x) 在集合 M 上“ 互为 H 函数” 所 以 当 x ? M , f ( g ( x) ? g ( f ( x)) 恒 成 立 , g ( x) ? 2 ? g ( x ? 2) 对 于 任 意 的

x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )恒成立,即 g ( x ? 2) ? g ( x) ? 2
所以 g[ x ? 2(n ? 1) ? 2] ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 ,即 g ( x ? 2n) ? g[ x ? 2(n ? 1)] ? 2 所以 g ( x ? 2n) ? g ( x) ? 2n ,当 x ? (2n ? 1,2n ? 1) ( n ? N )时, x ? 2n ? (?1,1)

g ( x ? 2n) ? log2 (1? | x ? 2n |)
所以当 x ? M 时,

g ( x) ? g[(x ? 2n) ? 2n] ? g ( x ? 2n) ? 2n ? log2 (1? | x ? 2n |) ? 2n ???2 分
22. 解: (1)若 a=1,则 f(x)=x|x﹣1|﹣lnx.当 x∈[1,e]时,f(x)=x ﹣x﹣lnx, ,所以 f(x)在[1,e]上单调增, ∴ .
2

(2)由于 f(x)=x|x﹣a|﹣lnx,x∈(0,+∞) . (ⅰ)当 a≤0 时,则 f(x)=x ﹣ax﹣lnx,
2



令 f′(x)=0,得

(负根舍去) ,

且当 x∈(0,x0)时,f′(x)<0;当 x∈(x0,+∞)时,f′(x)>0, 所以 f(x)在 上单调递减,在 上单调递增.

(ⅱ)当 a>0 时,①当 x≥a 时,



令 f′(x)=0,得



舍) ,



,即 a≥1,则 f′(x)≥0,所以 f(x)在(a,+∞)上单调增;

若 (x)>0,

,即 0<a<1,则当 x∈(0,x1)时,f′(x)<0;当 x∈(x1,+∞)时,f′

所以 f(x)在区间

上是单调减,在

上单调增.

②当 0<x<a 时,
2 2 2

, ,则 f′(x)≤0,

令 f′(x)=0,得﹣2x +ax﹣1=0,记△=a ﹣8,若△=a ﹣8≤0,即 2 故 f(x)在(0,a)上单调减;若△=a ﹣8>0,即 , 则由 f′(x)=0 得 ,

,且 0<x3<x4<a,

当 x∈(0,x3)时,f′(x)<0;当 x∈(x3,x4)时,f′(x)>0;当 x∈(x4,+∞)时,f′ (x)>0, 所以 f (x) 在区间 上是单调减, 在

上单调增;在

上单调减.

综上所述,当 a<1 时,f(x)的单调递减区间是

,单调递增区间是

; 当 当 时,f(x)单调递减区间是(0,a) ,单调的递增区间是(a,+∞) ; 时,f(x)单调递减区间是(0, )和 ,单调

的递增区间是

和(a,+∞) .

(3)函数 f(x)的定义域为 x∈(0,+∞) .由 f(x)>0,得 (ⅰ)当 x∈(0,1)时,|x﹣a|≥0, (ⅱ)当 x=1 时,|1﹣a|≥0, ,不等式*恒成立,所以 a∈R;

.*

,所以 a≠1; 恒成立或 恒成立.

(ⅲ)当 x>1 时,不等式*恒成立等价于



,则



因为 x>1,所以 h'(x)>0,从而 h(x)>1. 因为 恒成立等价于 a<(h(x) )min,所以 a≤1.


2

,则



再令 e(x)=x +1﹣lnx,则

在 x∈(1,+∞)上恒成立,e(x)在 x∈

(1,+∞)上无最大值. 综上所述,满足条件的 a 的取值范围是(﹣∞,1) .


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