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2015创新设计(高中理科数学)8-5


第5讲





诊断· 基础知识

突破· 高频考点

培养· 解题能力

[最新考纲]
1 .掌握椭圆的定义、几何图形、标准方程及简单几何性质 ( 范 围、对称性、顶点、离心率). 2.了解椭圆的简单应用. 3.理解数形结合的思想.

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知识梳理

1.椭圆的定义
在平面内与两定点F1,F2的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的 点的轨迹叫做 椭圆 .这两定点叫做椭圆的 焦点 ,两焦点 间的距离叫做椭圆的 焦距 .

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2.椭圆的标准方程和几何性质
标准 方程 x2 y2 a2+b2=1(a>b>0) y2 x2 a2+b2=1(a>b>0)

图 形

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续表
标准方程 范 围 x2 y2 y2 x2 a2+b2=1(a>b>0) a2+b2=1(a>b>0) -a≤x≤a -b≤x≤b -b≤y≤b -a≤y≤a 对称轴:坐标轴;对称中心:原点 A1(-a,0),A2(a,0) A1(0,-a),A2(0,a) B1(0,-b),B2(0,b) B1(-b,0),B2(b,0) 长轴A1A2的长为 2a ;短轴B1B2的长为 2b |F1F2|= 2c c e=a∈ (0,1) c2= a2-b2

对称性 性 质 顶点 轴 焦距 离心率 a,b,c 的关系

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辨析感悟 1.对椭圆定义的认识 (1)平面内与两个定点F1,F2的距离之和等于常数的点的轨迹

是椭圆.

(×)

(2)动点P到两定点A(0,-2),B(0,2)的距离之和为4,则点P 的轨迹是椭圆. 2.对椭圆的几何性质的理解 (3)椭圆的离心率e越大,椭圆就越圆. (×) (×)

(4)椭圆既是轴对称图形,又是中心对称图形.
x2 y2 2 (5)(教材习题改编)椭圆16+ 8 =1的离心率为 2 .

(√)
(√)

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3.椭圆的方程 x2 y2 (6)若椭圆 4 + k =1的焦点坐标是F1(- 2,0),F2( 2,0),则 k=2. (√)

(7)(教材改编)已知中心在原点的椭圆C的右焦点为F(1,0),离 1 x2 y2 心率等于2,则C的方程是 3 + 4 =1. (×)

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[感悟· 提升] 1.一点提醒 (2). 2.两个防范 一是注意椭圆的离心率反映了椭圆的扁平程 椭圆定义中的常数必须大于|F1F2|,如(1)、

度,离心率越大,椭圆就越扁;离心率越小,椭圆就越圆, 如(3); 二是注意椭圆方程的焦点位置是在x轴上还是y轴上,当a>b x2 y2 x2 >0时,方程a2+b2=1的焦点在x轴上;当b>a>0时,方程a2 y2 +b2=1的焦点在y轴上,如(7).
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考点一

椭圆定义及标准方程

x2 y 2 【例1】 (1)设F1,F2分别是椭圆 25 + 16 =1的左、右焦点,P为椭 圆上一点,M是F1P的中点,|OM|=3,则P点到椭圆左焦点的 距离为 A.4 B.3 C.2 D.5 ( ).

y2 x2 (2)求过点( 3 ,- 5),且与椭圆 25 + 9 =1有相同焦点的椭圆 的标准方程.
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(1)解析

1 由题意知,在△PF1F2 中,|OM|= |PF2|=3, 2

∴|PF2|=6,∴|PF1|=2a-|PF2|=10-6=4.

答案 A
(2)解 法一 y2 x2 椭圆25+ 9 =1 的焦点为(0,-4),(0,4),即 c=4.

由椭圆的定义知, 2a= ? 3-0?2+?- 5+4?2+ ? 3-0?2+?- 5-4?2, 解得 a=2 5.由 c2=a2-b2 可得 b2=4. y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为 + =1. 20 4

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y2 x2 法二 因为所求椭圆与椭圆25+ 9 =1的焦点相同,所以其焦点在 y轴上,且c2=25-9=16. y2 x 2 设它的标准方程为a2+b2=1(a>b>0). 因为c2=16,且c2=a2-b2,故a2-b2=16. 又点( 3,- 5)在所求椭圆上, ?- 5?2 ? 3?2 5 3 所以 a2 + b2 =1,即a2+b2=1. 由①②得b2=4,a2=20, y2 x2 所以所求椭圆的标准方程为20+ 4 =1.
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规律方法 (1)一般地,解决与到焦点的距离有关问题时,首先应
考虑用定义来解决. (2)求椭圆的标准方程有两种方法 ①定义法:根据椭圆的定义,确定a2,b2的值,结合焦点位置可 写出椭圆方程. ②待定系数法:若焦点位置明确,则可设出椭圆的标准方程, 结合已知条件求出a,b;若焦点位置不明确,则需要分焦点在x

轴上和 y 轴上两种情况讨论,也可设椭圆的方程为 Ax2 + By2 =
1(A>0,B>0,A≠B).

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【训练1】 在平面直角坐标系xOy中,椭圆C的中心为原点,焦点 2 F1,F2在x轴上,离心率为 2 .过F1的直线l交C于A,B两点,且 △ABF2的周长为16,那么椭圆C的方程为______. x2 y2 2 c 2 b2 1 解析 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),由e= 2 知a= 2 ,故a2=2.
由于△ABF2的周长为|AB|+|BF2|+|AF2| =(|AF1|+|AF2|)+(|BF1|+|BF2|)=4a=16, 故a=4.∴b2=8. x2 y2 ∴椭圆C的方程为16+ 8 =1.

x2 y2 答案 16+ 8 =1
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考点二 椭圆的几何性质
【例 2】 已知 F1 、 F2 是椭圆的两个焦点, P 为椭圆上一点, ∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围; (2)求证:△F1PF2的面积只与椭圆的短轴长有关.

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(1)解

法一

x2 y2 设椭圆方程为a2+b2=1(a>b>0),

|PF1|=m,|PF2|=n,则m+n=2a. 在△PF1F2中,由余弦定理可知, 4c2=m2+n2-2mncos 60° =(m+n)2-3mn =4a -3mn≥4a
2 2

?m+n? ? ?2 2 2 2 -3· = 4 a - 3 a = a (当且仅当m=n时取等 ? 2 ? ? ?

c2 1 1 号).∴a2≥4,即e≥2.
?1 ? 又0<e<1,∴e的取值范围是?2,1?. ? ?

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法二 如图所示,设O是椭圆的中心,A是椭圆短轴上的一个顶 点,由于∠F1PF2=60° ,则只需满足60° ≤∠F1AF2即可, 又△F1AF2是等腰三角形,且|AF1|=|AF2|,所以0° <∠ F1F2A≤60° , 1 所以2≤cos∠F1F2A<1,
?1 ? 又e=cos∠F1F2A,所以e的取值范围是?2,1?. ? ?

4 2 (2)证明 由(1)知mn=3b ,

1 3 2 ∴S△PF1F2=2mnsin 60° =3b, 即△PF1F2的面积只与短轴长有关.
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规律方法

(1)椭圆上一点与两焦点构成的三角形,称为椭圆的焦

点三角形,与焦点三角形有关的计算或证明常利用正弦定理、余 弦定理、|PF1|+|PF2|=2a,得到a,c的关系. (2)椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或 离心率的取值范围),常见有两种方法: c ①求出a,c,代入公式e=a; ②只需要根据一个条件得到关于a,b,c的齐次式,结合b2=a2- c2转化为a,c的齐次式,然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转 化为关于e的方程(不等式),解方程(不等式)即可得e(e的取值范 围).
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x2 y2 【训练2】 (1)(2013· 四川卷)从椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)上一点P向x轴 作垂线,垂足恰为左焦点F1,A是椭圆与x轴正半轴的交点,B 是椭圆与y轴正半轴的交点,且AB∥OP(O是坐标原点),则该 椭圆的离心率是 2 A. 4 2 C. 2 1 B.2 3 D. 2 ( ).

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x2 y2 (2)(2012· 安徽卷改编)如图,F1,F2分别是椭圆C: a2 + b2 = 1(a>b>0)的左、右焦点,A是椭圆C的顶点,B是直线AF2与椭圆C 的另一个交点,∠F1AF2=60° .且△AF1B的面积为40 ________,b=________. 3 ,则a=

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解析

(1)左焦点为F1(-c,0),PF1⊥x轴,

2? 4 2 ? c c2 y2 b b P 2 当x=-c时, a2 + b2 =1?y 2 P =b ?1- 2? = 2 ?yP= a? a a (负值不合题 ?

? b2? 意,已舍去),点P?-c, a ?, ? ?

b2 b 由斜率公式得kAB=-a,kOP=-ac. b2 b ∵AB∥OP,∴kAB=kOP?-a=-ac?b=c. ∵a2=b2+c2=2c2, c2 1 2 c ∴a2=2?e=a= 2 .
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(2)法一

a2=4c2,b2=3c2,直线AB的方程为y=- 3(x-c),
2 2 2

将其代入椭圆方程3x +4y =12c 所以|AB|=
?8 ? 16 ? c-0?= c. 1+3· 5 ?5 ?

?8 3 3 ? ? ? ,得B? c,- c ?, 5 5 ? ?

1 1 16 3 2 3 2 由S△AF1B= 2 |AF1|· |AB|· sin∠F1AB= 2 a·5 c·2 = 5 a =40 3 , 解得a=10,b=5 3.

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法二

设|AB|=t(t>0).

因为|AF2|=a,所以|BF2|=t-a. 由椭圆定义|BF1|+|BF2|=2a可知,|BF1|=3a-t, 8 再由余弦定理(3a-t) =a +t -2atcos 60° 可得,t=5a.
2 2 2

1 8 3 2 3 2 由S△AF1B=2a· 5a·2 = 5 a =40 3知, a=10,b=5 3.

答案 (1)C (2)10 5 3

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考点三 直线与椭圆的位置关系 【例3】 (2013·陕西卷)已知动点M(x,y)到直线l:x=4的距离是

它到点N(1,0)的距离的2倍.
(1)求动点M的轨迹C的方程; (2)过点P(0,3)的直线m与轨迹C交于A,B两点.若A是PB的中 点,求直线m的斜率.

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审题路线
迹方程.

(1)根据题意列出等式?坐标化?整理可得动点M的轨

(2)设直线m的方程,交点A,B的坐标 法一:把直线与点M的轨迹方程联立,消y?由Δ>0得k的范围? 由方程得根与系数的关系式?再结合A是PB的中点即x2=2x1?解 得k的值; 法二:由A是PB的中点得出A,B两点坐标间的关系?又点A,B

在点M的轨迹上?联立方程组解得A或B点坐标?根据斜率公式求
k.

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(1)设M到直线l的距离为d,根据题意,d=2|MN|.

由此得|4-x|=2 ?x-1?2+y2, x 2 y2 化简得 4 + 3 =1, 所以,动点M的轨迹方程为 x2 y2 4 + 3 =1.

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(2)法一 由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),B(x2, y2 ) . x2 y2 将y=kx+3代入 4 + 3 =1中,有(3+4k2)x2+24kx+24=0, 其中,Δ=(24k)2-4×24(3+4k2)=96(2k2-3)>0, 3 解得k >2.
2

24k 由根与系数的关系得,x1+x2=- 2, ① 3+4k 24 x1 x2 = . 3+4k2 又因A是PB的中点,故x2=2x1, ② ③
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8k 12 2 将③代入①,②,得x1=- 2,x1= 2, 3+4k 3+4k
? -8k ? 12 ? ?2 2 3 可得? 2? = 2,且k > , 2 3 + 4 k 3+4k ? ?

3 3 解得k=-2或k=2, 3 3 所以,直线m的斜率为-2或2.

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法二

由题意,设直线m的方程为y=kx+3,A(x1,y1),

B(x2,y2). ∵A是PB的中点, x2 ∴x1= 2 , 3+y2 y1 = 2 .
2 x2 y1 1 又 4 + 3 =1, 2 x2 y2 2 4 + 3 =1,

① ② ③ ④

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? ?x2=2, 联立①,②,③,④解得? ? ?y2=0

? ?x2=-2, 或? ? ?y2=0,

即点B的坐标为(2,0)或(-2,0), 3 3 所以,直线m的斜率为-2或2.
规律方法 (1)解答直线与椭圆的题目时,时常把两个曲线的方程 联立,消去 x( 或 y) 建立一元二次方程,然后借助根与系数的关

系,并结合题设条件建立有关参变量的等量关系.
(2)涉及到直线方程的设法时,务必考虑全面,不要忽略直线斜 率为0或不存在等特殊情形.
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x2 【训练3】 (2014· 山东省实验中学诊断)设F1,F2分别是椭圆: a2 y2 + b2 =1(a>b>0)的左、右焦点,过F1倾斜角为45° 的直线l与 4 该椭圆相交于P,Q两点,且|PQ|=3a. (1)求该椭圆的离心率; (2)设点M(0,-1)满足|MP|=|MQ|,求该椭圆的方程.

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解 (1)直线PQ斜率为1,设直线l的方程为y=x+c,其中c= a2-b2, 设P(x1,y1),Q(x2,y2),则P,Q两点坐标满足方程组 y=x+c, ? ? 2 2 ?x y 化简得(a2+b2)x2+2a2cx+a2(c2-b2)=0, + =1, ? ?a2 b2 -2a2c a2?c2-b2? 则x1+x2= 2 ,x1x2= 2 . a +b2 a +b2 4 2 所以|PQ|= 2|x2-x1|= 2[?x1+x2? -4x1x2]=3a, 4 4ab2 2 2 化简,得3a= 2 ,故 a = 2 b , a +b2 a2-b2 2 c 所以椭圆的离心率e=a= a = 2 .
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(2)设PQ的中点为N(x0,y0), x1+x2 -a2c 2 由(1)知x0= 2 = 2 2=- c, 3 a +b c y0=x0+c=3. 由|MP|=|MQ|,得kMN=-1, y0+1 即 x =-1,得c=3,从而a=3 2,b=3. 0 x2 y2 故椭圆的方程为18+ 9 =1.

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1.椭圆的定义揭示了椭圆的本质属性,正确理解掌握定义是关
键,应注意定义中的常数大于|F1F2|,避免了动点轨迹是线段 或不存在的情况. 2 .求椭圆方程的方法,除了直接根据定义外,常用待定系数 法.

当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,设方程 x2 y2 为 m + n =1(m>0,n>0)可以避免讨论和繁琐的计算,也可 以设为Ax2+By2=1(A>0,B>0),这种形式在解题中更简 便.
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3.椭圆的标准方程有两种形式,在解题时要防止遗漏,深刻理
解椭圆中的几何量a,b,c,e之间的关系及每个量的本质含 义,并能熟练地应用于解题.若已知焦点位置,则标准方程 唯一;若无法确定焦点位置,则应考虑两种形式.

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答题模板11——直线与椭圆的综合问题 x 2 y2 【典例】 (13分)(2013· 天津卷)设椭圆 a2 + b2 =1(a>b>0)的左焦点 3 为F,离心率为 3 ,过点F且与x轴垂直的直线被椭圆截得的线 4 3 段长为 3 . (1)求椭圆的方程; (2)设A,B分别为椭圆的左、右顶点,过点F且斜率为k的直线 →· → +AD →· → =8,求k的值. 与椭圆交于C,D两点.若AC DB CB
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[规范解答]

3 c (1)设F(-c,0),由 a = 3 ,知a= 3 c.过点F且与x轴

垂直的直线为x=-c, ?-c?2 y2 6 代入椭圆方程 a2 +b2=1,解得y=± 3 b, 2 6 4 于是 3 b=3 3,解得b= 2, (2分) (3分) (4分) (5分)

又a2-c2=b2,从而可得a= 3,c=1, x2 y 2 所以椭圆的方程为 3 + 2 =1.

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(2)设点C(x1,y1),D(x2,y2),由F(-1,0)得直线CD的方程为y= k(x+1), k?x+1?, ? ?y= 由方程组?x2 y2 消去y, + 2 =1 ? 3 ? 整理得(2+3k2)x2+6k2x+3k2-6=0. (8分) (6分)

因为直线过椭圆内的点,无论k为何值,直线和椭圆总相交. 由根与系数的关系可得 3k2-6 6k2 则x1+x2=- 2,x1x2= 2, 2+3k 2+3k
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(9分)

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因为A(- 3,0),B( 3,0),所以 → → → → AC · DB + AD · CB =(x1+ 3 ,y1)· ( 3 -x2,-y2)+(x2+ 3 ,y2)· ( 3 -x1,-y1) =6-2x1x2-2y1y2=6-2x1x2-2k2(x1+1)(x2+1) =6-(2+2k2)x1x2-2k2(x1+x2)-2k2 2k2+12 =6+ . 2+3k2 2k2+12 由已知得6+ 2 =8, 2+3k 解得k=± 2.
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(12分)

(13分)
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[反思感悟] 解决直线与椭圆的综合问题时,要注意:
(1)注意观察应用题设中的每一个条件,明确确定直线、椭圆的 条件; (2)强化有关直线与椭圆联立得出一元二次方程后的运算能力, 重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问 题.

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答题模板 直线与椭圆联立问题
第一步:设直线方程:有的题设条件已知点,而斜率未知;有 的题设条件已知斜率,点不定,都可由点斜式设出直线方程. 第二步:联立方程:把所设直线方程与椭圆方程联立,消去一 个元,得到一个一元二次方程. 第三步:求解判别式Δ:计算一元二次方程根的判别式Δ>0. 第四步:写出根之间的关系,由根与系数的关系可写出.

第五步:根据题设条件求解问题中的结论.

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【自主体验】 x2 已知椭圆C1: 4 +y2=1,椭圆C2以C1的长轴为短轴,且与C1 有相同的离心率. (1)求椭圆C2的方程; → = (2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆C 和C 上, OB
1 2

→ ,求直线AB的方程. 2OA

y2 x2 解 (1)由已知可设椭圆C2的方程为a2+ 4 =1(a>2).
2 a -4 3 3 其离心率为 2 ,故 a = 2 ,解得a=4.

y2 x2 故椭圆C2的方程为16+ 4 =1.

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(2)A,B两点的坐标分别记为(xA,yA),(xB,yB), → =2 OA → 及(1)知,O,A,B三点共线且点A,B不在y轴上,因 由 OB 此可设直线AB的方程为y=kx. x2 2 将y=kx代入 4 +y =1中,得(1+4k2)x2=4, 所以x2 A= 4 2. 1+4k

y2 x2 将y=kx代入16+ 4 =1中,得(4+k2)x2=16, 所以x2 B= 16 16 16 → → 2 2 .又由OB=2 OA,得xB=4xA,即 = ,解 4+k2 4+k2 1+4k2

得k=± 1.故直线AB的方程为y=x或y=-x.
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