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山东省济南市济钢高级中学2016届高三数学10月第二次质检试题 理


济钢高中 2013 级高三上学期第二次阶段性测试 数 学(理科)

2015.10

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. 设集合 A ? ?x | ?1 ? x ? 2?, B ? ?x | x ? a?,若 A ? B ? ? ,则 a 的取值范围

是 (A) a ? 2 2 (B) a ? ?2 (C) a ? ?1 ) C.充要条件 D.既不充分也不 (D) ? 1 ? a ? 2 ( )

?x1 ? 3 ? x1 ? x 2 ? 6 是? 成立的( ? ?x2 ? 3 ? x1 x 2 ? 9
充分不必要条件 必要条件

A.

B.必要不充分条件

3..已知命题 p:存在 x∈R,使 sin x-cos x= 3,命题 q:集合{x|x -2x+1=0,x∈R}有 2 个子集,下列结论:①命题“p 且 q”是真命题;②命题“p 且?q”是假命题;③命题“?p 或?q”是真命题,正确的个数是( A.0 B.1 C.2 ) D.3

2

4.设函数 f ( x ) 和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立的是 A. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 C. f ( x) ? g ( x) 是偶函数 5.设函数 f(x)= B. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 D. f ( x) ? g ( x) 是奇函数 ) 1 (B)在区间( ,1)内有零点,在区间(1,e)内 e

x ? ln x (x>0),则 y=f(x)( 3

1 (A)在区间( ,1),(1,e)内均有零点 e 无零点 1 (C)在区间( ,1),(1,e)内均无零点 e 零点 6.. " x ? 2或y ? 3"是" x ? y ? 5"的 (A)充分必要条件 必要条件 (B)充分而不必要条件

1 (D)在区间( ,1)内无零点,在区间(1,e)内有 e

( (C)必要而不充分条件

)

(D)既不充分也不

7.设函数 f(x)=x·sinx,若 x1,x2∈,且 f(x1)>f(x2),则下列不等式恒成立的是( (A)x1>x2 (B)x1<x2 (C)x1+x2>0
2 2 (D) x1 ? x2

)

1

8.已知函数 f ( x)满足 f ( x) ? f (? ? x), 且当 x ? (? A. f (1) ? f (2) ? f (3) C. f (3) ? f (2) ? f (1)
n 2

? ?

, ) 时, f ( x) ? x ? sin x, 则( 2 2
2 , 4 , 6



B. f (2) ? f (3) ? f (1) D. f (3) ? f (1) ? f (2)
y
0 .5

9.函数 f ( x) ? ax (1 ? x) 在区间〔0,1〕上的图像如图所示,则 n 可 能是( (A)4 ) (B) 3 (C) 2 (D) 1
O

x
0 .5

1

10.已知定义域为 R 的奇函数 f(x)的导函数为 f ?( x ) ,当 x≠0 时, f ?( x ) +

f(x) >0,若 a= x

1 1 f ( ), 2 2
b=-2f(-2),c=ln f(-ln 2),则下列关于 a,b,c 的大小关系正确的是(
A.a>b>c B.a>c>b C. 1 2 )

c>b>a

D.b>a>c

二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,满分 25 分. 11.函数 y ? x ln x 的单调递减区间是 12 .设函数 f ( x) ? x 2 ln(? x ?

x2 ? 1) ? 1 ,若 f (a) ? 11 ,则 f (?a) =_______

13 若函数 f(x)= log2 ( x2 ? ax ? 3a) 在区间,∴a≤1; 若 q 为真命题,则方程 x +2ax+2-a=0 有实根, ∴⊿=4a -4(2-a)≥0,即,a≥1 或 a≤-2,
2
2

p 真 q 也真时

∴a≤-2,或 a=1

若“p 且 q”为假命题 ,即

a ? (?2,1) ? (1,??)

(2) 、解:由 x2 ? 2 x ? 1 ? m2 ≤ 0 得 1 ? m ≤ x ≤1 ? m ? m ? 0? .

x ? ?m 1 x? 或 ?m 1m ?, 0 所以“ ? q ” : A ? x? R
由 1?

?

?.
1 0 x或 ? ? 2

x ?1 x? R x? :B ?? ≤ 2 得 ?2 ≤ x ≤10 ,所以“ ? p ” 3

?.
2

由 ? p 是 ? q 的充分而不必要条件知

?m ? 0, ? B ? A ? ?1 ? m ≥ ?2, ? 0 ? m ≤ 3 故 m 的取值范围为 0 ? m ≤ 3 ?1 ? m ≤ 10. ?
17. 解 (1)因为 f(x)是奇函数,所以 f(0)=0, -1+b -2 +1 即 =0,解得 b=1,所以 f(x)= x+1 . 2+a 2 +a 1 - +1 2 -2+1 又由 f(1)=-f(-1)知 =- .解得 a=2. 4+a 1+a -2 +1 1 1 (2)由(1)知 f(x)= x+1 =- + x . 2 +2 2 2 +1 由上式易知 f(x)在(-∞,+∞)上为减函数(此外可用定义或导数法证明函数 f(x)在 R 上是减 函数). 又因为 f(x)是奇函数,所以不等式 f(t -2t)+f(2t -1)<0 等价于 f(t -2t)<-f(2t -1)=
2 2 2 2

x

x

f(-2t2+1).因为 f(x)是减函数,由上式推得 t2-2t>-2t2+1,即 3t2-2t-1>0,解不等式可
1 得{t|t>1 或 t<- }. 3

18.解 (1)由 f(x+2)=-f(x)得,f(x+4)=f=-f(x+2)=f(x), 所以 f(x)是以 4 为周期的周期函数, ∴f(π )=f(-1×4+π )=f(π -4)=-f(4-π )=-(4-π )=π -4. (2) f ( x) ? ?

? x, ?1 ? x ? 1 ?2 ? x, ?1 ? x ? 1

(3 由已知得 f (2 ? x) ? ? f (x) ? f (? x) ,所以. f(x)关于 x=1 对称,m<0 时,当方程 f(x)=m 有四个根 x1 , x2 , x3 , x4 ( x1 ? x2 ? x3 ? x4 ) 时 ,由对称性可知 x2 ? x3 ? 2, x1 ? x4 ? 2 ,所有实根 之和为 4;当方程 f(x)=m 有两个根 x1 , x2 ( x1 ? x2 ) 时 ,由图像可知 x1 ? ?1, x2 ? 3, x1 ? x2 ? 2 , 所有实根之和为 2

1 a 1 19.解:(1)对 f(x)求导得 f′(x)= - 2- , 4 x x 1 由 f(x)在点(1,f(1))处的切线垂直于直线 y= x 2 3 5 知 f′(1)=- -a=-2,解得 a= . 4 4

x 5 3 x -4x-5 (2)由(1)知 f(x)= + -ln x- , 则 f′(x)= , 2 4 4x 2 4x
3

2

令 f′(x)=0,解得 x=-1 或 x=5,因 x=-1 不在 f(x)的定义域(0,+∞)内,故舍去. 当 x∈(0,5)时,f′(x)<0,故 f(x)在(0,5)内为减函数;当 x∈(5,+∞)时,f′(x)>0, 故 f(x)在(5,+∞)内为增函数. 20.解: (1)当 a=1 时, f ( x) ? ( x 2 ? x ? 1)e ? x ; f ' ( x) ? e ? x (? x 2 ? x) ?????2 分 当 f ' ( x) ? 0时,0 ? x ? 1.当f ' ( x) ? 0时x ? 1或x ? 0 ∴f(x)的单调递增区间为(0,1) ,单调递减区间为(-∞,0) (1,+∞) ????????4 分 (2) f ' ( x) ? (2 x ? a)e ? x ? e ? x ( x 2 ? ax ? a) ? e ? x [? x 2 ? (2 ? a) x] ???6 分 令 f ' ( x) ? 0, 得x ? 0或x ? 2 ? a 列表如下:

x

(-∞,0) -

0 0 极小

(0,2-a) +

2-a 0 极大

(2-a, +∞) -

f ' ( x)
f ( x)

由表可知 f ( x)极大 ? f (2 ? a) ? (4 ? a)e

a ?2

??????8 分 ?????10 分

设 g (a) ? (4 ? a)e a?2 , g ' (a) ? (3 ? a)e a?2 ? 0

? g (a)在(??,2)上是增函数 ,? g (a) ? g (2) ? 2 ? 3? (4 ? a)e a?2 ? 3
∴不存在实数 a 使 f(x)最大值为 3。 ??????12 分 21(Ⅰ) f ?( x) ? 2mx ? (2m 2 ? 4m ? 1) ?

m?2 因为函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值 0 x

得: ?

? f ?(1) ? 2m ? (2m 2 ? 4m ? 1) ? m ? 2 ? ?2m 2 ? m ? 1 ? 0 ? 解得 m ? ?1 ? 2 2 ? ? f (1) ? m ? (2m ? 4m ? 1) ? ?2m ? 3m ? 1 ? 0
1 (?2 x ? 1)( x ? 1) ( x ? (0, ??)) 令 f ?( x) ? 0 得 x ? 1 或 x ? ? (舍去) 2 x

则 f ?( x) ?

当 0 ? x ? 1 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? 1 时, f ?( x) ? 0 . 所以函数 f ( x ) 在区间 (0,1) 上单调递增,在区间 (1, ??) 上单调递减. 所以当 x ? 1 时,函数 f ( x ) 取得极大值,即最大值为 f (1) ? ln1 ?1 ? 1 ? 0
2

所以当 k ? 0 时,函数 f ( x ) 的图象与直线 y ? k 有两个交点 (Ⅱ)设 F ( x) ? 2 f ( x) ? g ( x) ? 4 x ? 2 x 2 ? 2 ln x ? px ?
2

p?2 x

若对任意的 x ? [1, 2] , 2 f ( x) ? g ( x) ? 4x ? 2x 恒成立,
4

则 F ( x) 的最小值 F ( x)min ? 0

(? )

F ' ( x) ?

2 p ? 2 ? px 2 ? 2 x ? ( p ? 2) ? p? 2 ? x x x2
2x ? 2 ? 0 , F ( x) 在 [1, 2] 递增 x2
所以 p ? 0 不成立

(1)当 p ? 0 时, F ' ( x) ?

所以 F ( x) 的最小值 F (1) ? ?2 ? 0 ,不满足( ? )式

? p ( x ? 1)( x ?
(2)当 p ? 0 时 F ( x ) ?
'

p?2 ) p

x2

①当 ?1 ? p ? 0 时, 1 ?

2 ? ?1 ,此时 F ( x) 在 [1, 2] 递增, F ( x) 的最小值 p

F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,不满足( ? )式
②当 p ? ?1 时, ?1 ? 1 ?

2 ? 1 , F ( x) 在 [1, 2] 递增, p

所以 F ( x)min ? F (1) ? ?2 p ? 2 ? 0 ,解得 p ? ?1 ,此时 p ? ?1 满足( ? )式 ③当 p ? ?1 时, F ( x) 在 [1 , 2] 递增, F ( x)min ? F (1) ? 0 , p ? ?1 满足( ? )式 综上,所求实数 p 的取值范围为 p ? ?1

5


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