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高一第3讲函数的单调性与奇偶性(教师版)


高一数学上第 3 讲

第 3 讲 函数的单调性与奇偶性(教师版).
一.学习目标
1.了解函数单调性的概念及几何意义,掌握基本初等函数的单调性,会求(判断或证明)函数 的单调区间, 并能运用函数单调性解决有关问题. 2.理解函数奇偶性的概念, 掌握函数奇偶性的判定方法和图象特征; 会利用函数奇偶性分析、 探究函数值、性质及图象等问题.

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二.重点难点
1.利用函数的单调性求单调区间、 比较大小、 解不等式求变量的取值是历年高考考查的热点. 2.利用函数的单调性求最值,及利用它们求参数取值范围问题是重点,也是难点. 3.函数奇偶性的判断、利用奇偶函数图象特点解决相关问题、利用函数奇偶性、周期性求函 数值及求参数值等问题是重点,也是难点.

三.知识梳理
1.定义域为 I 的函数 f(x)的增减性:

2. 如果函数 y=f(x)在区间 D 上是增函数或减函数, 那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严 格的)单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间. 3.设 x1 , x2 ∈[a , b],如果

f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0,则 f(x)在[a , b]上是单调递增函数,如果 x1 ? x2

f ( x1 ) ? f ( x2 ) <0,则 f(x)在[a,b]上是单调递减函数. x1 ? x2
-1-

高一数学上第 3 讲
4. 重点掌握好七类初等函数的图象,用其判断函数单调性。 (1)一次函数 y=kx+b(k≠0)图象为直线,k>0 时.在(-∞,+∞)上为增函数。K<0 时,在(-∞, +∞)上为减函数。 (2)反比例函数 y=

k 图象为双曲线,k>0 时在(-∞,0)(0,+∞)上为减函数,K<0 时, , x

在(-∞,0)(0,+∞)上为增函数。 , (3)二次函数 y=a x 2 +bx+c(a≠0)图象为抛物线,一看开口方向(由 a 正负号确定) ,二看

b ),再由图象确定单调区间。 2a b (4)耐克函数 y ? ax ? (a>0,b>0)(又称为对勾函数) , ,由图象可得其四个单调区间。 x
对称轴(即 x=5. 函数的最值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意 的 x∈I,都有 f(x)≤M(f(x)≥M);②存在 x0∈I,使得 f(x0)=M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的 ____________. 6.函数的奇偶性: (1)定义:如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=-f(x),则称

f(x)为奇函数;如果对于函数 f(x)定义域内的任意 x 都有 f(-x)=f(x),则称 f(x)为偶函数。如
果函数 f(x)不具有上述性质,则 f(x)不具有奇偶性.如果函数同时具有上述两条性质,则 f(x) 既是奇函数,又是偶函数。 1 注意:○函数是奇函数或是偶函数称为函数的奇偶性,函数的奇偶性是函数的整体性质; 2 ○ 由函数的奇偶性定义可知,函数具有奇偶性的一个必要条件是,对于定义域内的任意一 个 x,则-x 也一定是定义域内的一个自变量(即定义域关于原点对称) 。 1 (2)利用定义判断函数奇偶性的格式步骤:○ 首先确定函数的定义域,并判断其定义域是 2 3 否关于原点对称;○ 确定 f(-x)与 f(x)的关系;○ 作出相应结论: 若 f(-x) = f(x) 或 f(-x)-f(x) = 0 或
f (? x) ( ?1 f ( x)

f ( x) ? 0 ) ,则 f(x)是偶函数;

若 f(-x) =-f(x) 或 f(-x)+f(x) = 0 或 f (? x) ? ?1 ( f ( x) ? 0 ) ,则 f(x)是奇函数。
f ( x)

1 (3)函数奇偶性的简单性质:○图象的对称性质:一个函数是奇函数的充要条件是它的图

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象关于原点对称;一个函数是偶函数的充要条件是它的图象关于 y 轴对称; ②设 f ( x) , g ( x) 的定义域分别是 D1 , D2 ,那么在它们的公共定义域上: 奇+奇=奇,奇 ? 奇=偶,偶+偶=偶,偶 ? 偶=偶,奇 ? 偶=奇 (4) 常见的几种函数的奇偶性(1) f ?x ? ? kx ? b :当且仅当 b=0 时为奇函数。 (2) f ( x) ? ax ? bx ? c 当且仅当 b=0 时为偶函数。
2

(3) f ( x) ? c (c 为非 0 常数)为偶函数

f ( x) ? 0 既为奇函数又为偶函数。

四.典例剖析
题型一 函数单调性的概念
)①若 x1,x2∈I,当 x1<x2 时,f(x1)<f(x2),则 1

例 1.选择题(1) .下列说法中正确的有(

y=f(x)在 I 上是增函数, ②函数 y=x2 在 R 上是增函数, ③函数 y=- 在定义域上是增函数, x
1 ④y= 的单调区间是(-∞,0)∪(0,+∞).

x

A.0 个

B.1 个 )

C.2 个

D.3 个

(2) .设(a,b),(c,d)都是函数 f(x)的单调增区间,且 x1∈(a,b),x2∈(c,d),x1<x2,则

f(x1)与 f(x2)的大小关系是(
A.f(x1)<f(x2) 不正确的是(

B.f(x1)>f(x2)

C.f(x1)=f(x2) B.(x1-x2)[f(x1)-f(x2)]>0 D.
x1 ? x2 >0 f ( x1 ) ? f ( x2 )

D.不能确定

(3).如果函数 f(x)在[a,b]上是增函数,对于任意的 x1,x2∈[a,b](x1≠x2),则下列结论中 )A. f ( x1 ) ? f ( x2 ) >0
x1 ? x2

C.f(a)<f(x1)<f(x2)<f(b) 答: (1)A (2)D (3)C

课堂练习 1:判断下列命题的真假: 1 (1)函数 f(x)= 在定义域上是减函数.(

x

) )

(2)已知 f(x)=

x,g(x)=-2x,则 y=f(x)-g(x)在定义域上是增函数.(
)

(3)若 f(x)为增函数,g(x)是增函数,则 f(x)g(x)也是增函数.( [答案] (1)× (2)√ (3)×

[解析] (1)函数的单调区间是函数定义域的子集,定义域不一定是函数的单调区间. (2)y=f(x)-g(x)=

x+2x 是定义域[0,+∞)上的增函数.
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(3)举例,f(x)=x,g(x)=x-2 都是定义域 R 上的增函数,但是 f(x)g(x)=x2-2x 在 R 上不是增函数.

题型二

函数单调性的判断
) D.y=x2-4x-3

1.已知函数单调性判断
例 2. (1)下列函数在区间(2,+∞)上为减函数的为( A.y=2x-7 答:C (2)函数 y=(2k+1)x+b 在(-∞,+∞)上是减函数,则 A. 1 B.y=-

x

C.y=-x2+4x+1

k?

1 2

B.

k?

1 2

C.

k ??

1 2

D.

k??

1 2

答:D

2.图像判断
例 3 ,求下列函数的单调区间: 答: (1)增区间 (2)增区间 (1)f(x)=|x2+2x-3|.

(2)y=-x2+2|x|+3.

[? 3 ,? 1] , [1, ,减区间 ?? )
减区间 (? ?, ?1] , [ 0 , 1]

(? ?, ?3 ] , ? 1, 1] [ [?1, 0],[1 ? ?)

3.定义判断
2-x 例 4 已知函数 f(x)= ,求 f(x)的单调区间。 . x+1 解: 任取 x1,x2∈(-1,+∞),且 x1<x2. 则 f(x1)-f(x2)= 2-x1 2-x2 3?x2-x1? - = . x1+1 x2+1 ?x1+1??x2+1? ∵x2>x1>-1,

∴x2-x1>0,(x1+1)(x2+1)>0,因此 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2), 所以 f(x)在(-1,+∞)上为减函数.同理,f(x)在(-∞,-1)上为减函数,。

4.复合函数单调性判断
例 5 (1)求下列函数 y ? 答: (1) ? (2)求 y=

? x 2 ? x ? 3 的单调区间:

?1 ? 13 1 ? ? 1 1 ? 13 ? , ? 为增区间, ? , ? 为减区间。 2? 2 ? ? 2 ?2
1 的单调区间.

x2-2x-3

1 解 由 x2-2x-3≠0,得 x≠-1 或 x≠3,令 t=x2-2x-3(t≠0),则 y= ,

t

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1 因为 y= 在(-∞,0),(0,+∞)上为减函数,

t

而 t=x2-2x-3 在(-∞,-1),(-1,1)上为减函数,在(1,3),(3,+∞)上是增函数,所以函 数 y= 1

x2-2x-3

的递增区间为(-∞,-1),(-1,1),

递减区间为(1,3),(3,+∞). 5.抽象函数单调性判断: 例 6 已知函数 f(x)对于任意 x,y∈R,总有 f(x)+f(y)=f(x+y),且当 x>0 时,f(x)<0,f(1) 2 =- . (1)求证:f(x)在 R 上是减函数;(2)求 f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值. 3 (1)证明 设 x1>x2,则 f(x1)-f(x2) 为减函数. (2)解 ∵f(x)在 R 上是减函数,∴f(x)在[-3,3]上也是减函数, ∴f(x)在[-3,3]上的最大值和最小值分别为 f(-3)与 f(3). 又∵f(3)=f(2+1)=f(2)+f(1)=f(1)+f(1)+f(1) ∴f(3)=3f(1)=-2,f(-3)=-f(3)=2.∴ =f(x1-x2+x2)-f(x2)=f(x1-x2)+f(x2)-f(x2) =f(x1-x2),又∵x>0 时,f(x)<0. 而 x1-x2>0,∴f(x1-x2)<0,即 f(x1)<f(x2),∴f(x)在 R 上

f(x)在[-3,3]上的最大值为 2,最小值为-2.
课堂小结: ①函数的单调性只在定义域内讨论,可以是整个定义域,也可以是定义域的某 个子区间;如果一个函数在某个区间上是单调的,那么在这个区间的子区间上也是单调的. ②判断函数单调性的方法有:定义法,图象法,用已知函数单调性判断,赋值法等。 课堂练习 2: (1)(2013·天津高一检测)下列函数中,在(0,+∞)上单调递增的函数是 1 A.y=

x

B.y=|x|+1 D.y=-2x+1

C.y=-x2+1

1 解析 函数 y= 在(0,+∞)上是减函数;y=|x|+1 在(0,+∞)上是增函数,y=-x2+1

x

在(0,+∞)上是减函数,y=-2x+1 在(0,+∞)上是减函数.答案 B (2) 已知定义在区间(0, +∞)上的函数 f(x)满足 f( )=f(x1)-f(x2), 且当 x>1 时, x)<0.(1) f(

x1 x2

求 f(1)的值;(2)判断 f(x)的单调性;(3)若 f(3)=-1,解不等式 f(|x|)<-2. 解 (1)令 x1=x2>0,代入得 f(1)=f(x1)-f(x1)=0,故 f(1)=0.

(2)任取 x1,x2∈(0,+∞),且 x1>x2,则 >1,由于当 x>1 时,f(x)<0,

x1 x2

∴f( )<0,即 f(x1)-f(x2)<0,∴f(x1)<f(x2),

x1 x2

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∴函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数.

x1 9 (3)由 f( )=f(x1)-f(x2)得 f( )=f(9)-f(3),而 f(3)=-1,∴f(9)=-2. x2 3
由于函数 f(x)在区间(0,+∞)上是单调递减函数, ∴当 x>0 时, f(|x|)<-2, f(x)<f(9), x>9; x<0 时, f(|x|)<-2, f(-x)<f(9), 由 得 ∴ 当 由 得 ∴-x>9,故 x<-9,∴不等式的解集为{x|x>9 或 x<-9}.

题型三

函数单调性的运用

例 6(求字母取值范围) (1)已知 y=f(x)在定义域(-1,1)上是减函数,且 f(1-a)<f(2a-1), 求 a 的取值范围.

?-1<1-a<1 ? 解 由题意可知? ,解得 0<a<1. ?-1<2a-1<1 ?

①又 f(x)在(-1,1)上是减函数, f(1 且

2 2 -a)<f(2a-1),∴1-a>2a-1,即 a< .②由①②可知,0<a< , 3 3 2 即所求 a 的取值范围是 0<a< . 3

(2)函数 f ( x) ?

x ?5 在(-∞,-2)上单调递增,求实数 a 的取值范围。 x?a?2

提示:此类题型常分离变量,转化为平移后的反比例函数,再画出图象解。

(答: -4≤a<3)

例 7(求函数的最值)已知函数 f(x)=

2

x-1

(x∈[2,6]),求函数的最大值和最小值. 2 2



设 x1 , x2 是区间[2,6]上的任意两个实数,且 x1<x2 ,则 f(x1)-f(x2)=

x1-1 x2-1





2[? x2-1? -? x1-1? ] 2? x2-x1? = ? x1-1? ? x2-1? ? x1-1? ? x2-1?
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由 2≤x1<x2≤6,得 x2-x1>0,(x1-1)(x2-1)>0,于是 f(x1)-f(x2)>0,即 f(x1)>f(x2). 所以,函数 y= 2 在区间[2,6]上是减函数.因此,函数 y= 在区间[2,6]的两个端点上 x-1 x-1 2

分别取得最大值与最小值,即在 x=2 时取得最大值,最大值是 2, 2 在 x=6 时取得最小值,最小值是 . 5 课堂练习 3: (1)已知函数 f(x)=- 2 ,x∈[0,2],求函数的最大值和最小值. 2

x+1

解:f(x)在区间[0,2]上是增函数.因此,函数 f(x)=-

x+1

在区间[0,2]的左端点取得最小值,

2 右端点取得最大值,即最小值是 f(0)=-2,最大值是 f(2)=- . 3 (2)已知函数 f(x)=

x2+a x

(a>0)在(2,+∞)上递增,求实数 a 的取值范围.

提示:用耐克函数 y ? ax ?

b (a>0,b>0)(又称为对勾函数)图象求解。 , x
x2+a x2+a 1 2 x1


解:设 2<x1<x2,由已知条件 f(x1)-f(x2)=

x2

=(x1-x2)+a

x2-x1 x1x2



(x1-x2)

x1x2-a x1x2

<0 恒成立.即当 2<x1<x2 时,x1x2>a 恒成立.又 x1x2>4,则 0<a≤4.

题型四

函数奇偶性的判断

1.注意函数 f(x)具有奇偶性的必要条件:其定义域必关于原点对称。
多数学生容易忽失, 且弄不清“定义域必关于原点对称”与“f(x)图象关于原点对称”两者的 区别。 例 8 : 已 知 f(x) = ax2 + bx 是 定 义 在 [a - 1,2a] 上 的 偶 函 数 , 那 么 a + b 的 值 是 1 A.- 3 1 B. 3 1 C. 2 1 D.- 2

解析:因 f(x)=ax2+bx 是定义在[a-1,2a]上偶函数,

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1 1 ∴a-1+2a=0,∴a= ,且 f(-x)=f(x),∴b=0,∴a+b= . 3 3

2.重点掌握好判断奇偶性的几种常用方法: (1)定义法。 (2)图象法。 (3)先化简,再判断。 (4)讨论法,适用于含参数 字母的函数。 (5)整体代换法。 (6)赋值法,适用于抽象函数。
例 9::判断下述函数的奇偶性:
1? x . ?1? f ? x ? ? ? x ? 1? 1? x 2 ? ?x +x (x>0), 2 2 (3)f(x)= x -1+ 1-x ; (4) f(x)=? 2 ? ?x -x (x<0);

(2)f(x)=x2-x3; 4-x (5)f(x)= . |x+3|-3
2

(6)定义在(-1,1)上的函数 f(x).对任意 x,y∈(-1,1)都有:f(x)+f(y)=f ?

? x+y ? ?; ?1+xy?

解(1)定义域不关于原点对称,从而函数 f(x)既不是奇函数也不是偶函数 (2)由于 f(-1)=2,f(1)=0,f(-1)≠f(1),f(-1)≠-f(1),从而函数 f(x)既不是奇函数也不是 偶函数.(3)f(x)的定义域为{-1,1},关于原点对称,又 f(-1)=f(1)=0,f(-1)=-f(1)=0, ∴f(x)既是奇函数又是偶函数. (4)由图像知 f(x)图像关于 y 柱对称,∴f(x)为偶函数.

?4-x2≥0 ? (5)由? 得,f(x)定义域为[-2,0)∪(0,2].∴定义域关于原点对称, ? ?|x+3|≠3
又 f(x)= 4-x2 ,f(-x)=- 4-x2 ,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)为奇函数.

x

x

(6)解:令 x=y=0?f(0)=0,令 y=-x,则 f(x)+f(-x)=0?

f(-x)=-f(x)?f(x)在(-1,1)上是奇函数.

思考题:判断 f ( x) ?

a2 ? x2 (常数a ? 0); 的奇偶性。 | x ? a | ?a

解:∵x ≤a , ∴要分 a >0 与 a <0 两类讨论,

2

2

①当 a >0 时, ?

?? a ? x ? a ? 函数的定义域为 ?a,0) ? (0, a)], [( ?| x ? a |? a

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高一数学上第 3 讲
?| x ? a |? 0,? f ( x) ?
?| x ? a |? 0,? f ( x) ?

a2 ? x2 ,∴当 a >0 时,f(x)为奇函数; x

a2 ? x2 a a , 取 定 义 域 内 关 于 原 点 对 两 点 ? , x2 ? ? , 称的 x1 ? x ? 2a 2 2

a a 3 3 ? f ( ) ? f (? ) ? ? ? 0,?当a ? 0时, f ( x) 既不是奇函数,也不是偶函数. 2 2 5 3

课堂小结: ①一般情况下的函数奇偶性判断,首先看函数的定义域是否关于原点对称,在 定义域关于原点对称的情况下,再化简解析式,根据 f(-x),f(x)的关系作出判断. ②对于较复杂的函数解析式,不易发现 f(-x),f(x)的关系,则可以通过判断 f(x)+f(-

x)=0 或 f(x)-f(-x)=0 是否成立来判断奇偶性.
③判断函数 f(x)是奇函数,必须对定义域内的每一个 x 均有 f(-x)=-f(x),而不能说存 在 x0 使 f(-x0)=-f(x0),即判断函数 f(x)是奇函数,不能用特殊值法.对偶函数的判断也一 样. ④分段函数的奇偶性判断,要以整体的观点进行,最好结合图象分析,避免盲目套用定 义出现错误. 课堂练习 4:判断下面结论是否正确(请在括号中打“√”或“×” . ) (1)偶函数图像不一定过原点,奇函数的图像一定过原点.( (2)函数 f(x)=0,x∈(0,+∞)既是奇函数又是偶函数.( ) ) ) )

(3)若函数 y=f(x+a)是偶函数,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称.(

(4)若函数 y=f(x+b)是奇函数,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.( 【解析】 (1)错误.当奇函数的定义域不含 0 时,则图像不过原点. (2)错误.函数 f(x)的定义域不关于原点对称.

(3)正确.函数 y=f(x+a)关于直线 x=0 对称,则函数 y=f(x)关于直线 x=a 对称. (4)正确.函数 y=f(x+b)关于点(0,0)中心对称,则函数 y=f(x)关于点(b,0)中心对称.

题型五 函数奇偶性的运用
1.利用函数的奇偶性求解析式
例 10 已知函数 f(x)(x∈R)是奇函数,且当 x>0 时,f(x)=2x-1,求函数 f(x)的解析式.

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[思路探索] 先将 x<0 时的解析式转化到(0,+∞)上求解.同时要注意 f(x)是定义域为 R 的 奇函数. 解 当 x<0,-x>0,∴f(-x)=2(-x)-1=-2x-1. 又∵f(x)是奇函数,∴f(-x)=-f(x),∴f(x)=2x+1.又 f(x)(x∈R)是奇函数, ∴f(-0)=-f(0),即 f(0)=0.

?2x-1,x>0, ? ∴所求函数的解析式为 f(x)=?0,x=0, ?2x+1,x<0. ?
教师小结::对于此类已知函数的奇偶性的问题,首先想到等式 f(-x)=f(x)(或-f(x)),充分 利用该等式及其函数图象特征就能解决问题.另外,函数 f(x)为奇函数且在 x=0 处有意义, 必有 f(0)=0.

2.已知函数的奇偶性求参数的值, (可用赋值法,或恒等式法求解)
例 11 (1)(2011 辽宁)若函数 f(x)= 1 A. 2 2 B. 3

x 为奇函数,则 a=( (2 x ? 1)( x ? a)
3 C. 4 D.1 ;

)

(2)(2011 浙江)若函数 f(x)=x2-|x+a|为偶函数,则实数 a= (3) 若函数 f(x)=

x+m

x2+nx+1

是定义在(-1,1)上的奇函数,求 f(x)的解析式.

【解析】(1)∵f(x)是奇函数, ∴f(-1)=-f(1),即 1 ?1 1 =- ,∴a= ,选 A. 2 (?2 ? 1)( ?1 ? a) (2 ? 1)(1 ? a)

(2)∵f(x)是偶函数,∴f(-1)=f(1),即 1-|1+a|=1-|-1+a|,∴a=0. (3)∵f(-x)=-f(x),∴ -x-m x-m x+m = ,∴ = , x2-nx+1 x2+nx+1 x2-nx+1 x2+nx+1 -x+m

变形整理得(2n-2m)x2-2m=0,

? ?2n-2m=0, 又∵x∈(-1,1),∴必有? ?-2m=0, ?

解得?

? ?m=0, ?n=0. ?

∴f(x)=

x

x2+1

(-1<x<1).

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3.函数单调性与奇偶性的综合应用
例 12 设定义在[-2,2]上的奇函数 f(x)在区间[0,2]上单调递减,若 f(m)+f(m-1)>0,求实 数 m 的取值范围. [ 思 路 探 索 ] → 解得m的取值范围 解 由 f(m)+f(m-1)>0,得 f(m)>-f(m-1),即 f(1-m)<f(m). 又∵f(x)在[0,2]上为减函数且 f(x)在[-2,2]上为奇函数,∴f(x)在[-2,2]上为减函数,

f? m? +f? m-1? >0 → f? 1-m? <f? m?



列不等式组

? ? ∴?-2≤m≤2, ?1-m>m, ?

-2≤1-m≤2,

?-2≤m≤2, ? 即? 1 m< , ? 2 ?

-1≤m≤3, 1 解得-1≤m< . 2

? 1? 因此实数 m 的取值范围是?-1, ?. 2? ?
课堂练习 5: (1)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数,x≥0 时,f(x)=x2-2x,则函数 f(x) 在 R 上的解析式是( A.f(x)=-x(x-2) C.f(x)=|x|(x-2) ). B.f(x)=x(|x|-2) D.f(x)=|x|(|x|-2)

解析 ∵f(x)在 R 上是偶函数,且 x≥0 时,f(x)=x2-2x, ∴当 x<0 时,-x>0,f(-x)=(-x)2+2x=x2+2x, 则 f(x)=f(-x)=x2+2x=-x(-x-2).又当 x≥0 时,f(x)=x2-2x=x(x-2), 因此 f(x)=|x|(|x|-2).答案 D (2)设定义在[-2,2]上的偶函数 g(x),当 x≥0 时,g(x)单调递增,若 g(1-m)<g(m)成立, 求 m 的取值范围. 解 ∵g(x)是定义在[-2,2]上的偶函数,则 g(x)=g(|x|). ∴不等式 g(1-m)<g(m)等价于 g(|1-m|)<g(|m|).

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高一数学上第 3 讲
-2≤m≤2, ?-1≤m≤3, ? 即? 1 ?m>2. ?

? ? ∴?-2≤1-m≤2, ?|1-m|<|m|. ?
-2≤m≤2,

1 因此,m 的取值范围为 <m≤2. 2

五.易错探究
混淆“单调区间”与“在区间上单调”致错 【示例】 若函数 f(x)=x2+2(a-1)x+4 的单调递减区间是 (-∞,4],则实数 a 的取值范 围是________. [错解] f(x)=x2+2(a-1)x+4=(x+a-1)2+4-(a-1)2, ∴函数 f(x)图象的对称轴为 x=1-a,又 f(x)的单调减区间是(-∞,4], 因此 1-a≥4,即 a≤-3. [错因分析] 错解中把单调区间误认为是在区间上单调. [正解] 因为函数的单调递减区间为(-∞,4],且函数图象的对称轴为直线 x=1-a,所以 1 -a=4,即 a=-3.答案 a=-3 [防范措施] 1.正确理解“单调区间”和“在区间上单调”的含义,函数的单调区间是函数单调

的最大范围,而函数在某一区间上单调,则指此区间是相应单调区间的子集.

六.品味高考(家庭作业)
1. (2013 年高考山东卷(文) )已知函数 f (x) 为奇函数,且当 x ? 0 时, f ( x) ? x 2 ?

1 ,则 x
( )

f (?1) ?
A.2 【答案】D 2.(2013 年高考湖南(文) )已知 f(x)是奇函数,g(x)是偶函数,且 f(-1)+g(1)=2,f(1)+g(-1)=4, B.1 C.0 D.-2

- 12 -

高一数学上第 3 讲
则 g(1)等于____ A. 4 【答案】B 3.(2013 年普通高等学校招生统一考试大纲版数学(理) )若函数 f ? x ? =x 2 ? ax ? B.3 C.2 D.1 ( )

1 在 x

?1 ? ? , +? ? 是增函数,则 a 的取值范围是 ?2 ?
(A)[-1,0] 【答案】D 4.(2012 年高考陕西理)下列函数中,既是奇函数又是增函数的为( (A) y ? x ? 1 答:D (B) y ? ? x
3

(B) [?1, ??)

(C) [0,3]

(D) [3, ??)



(C) y ?

1 x

(D) y ? x | x |

5.(2012 年高考福建理)设函数 (A). D(x)的值域为{0,1} (C). D(x)不是周期函数 [ 【解析】A,B.D 均正确,C 错误。 【答案】C

则下列结论错误的是 (B). D(x)是偶函数 (D). D(x)不是单调函数

6..(2011 年高考广东)设函数 f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数,则下列结论恒成立 的是( ) A.|f(x)|-g(x)是奇函数 C.f(x)-|g(x)|是奇函数 B.|f(x)|+g(x)是偶函数 D.f(x)+|g(x)|是偶函数

答;D 【解析】 F(x)=f(x)+|g(x)|, f(x)和 g(x)分别是 R 上的偶函数和奇函数, F(- 设 由 得

x)=f(-x)+|g(-x)|=f(x)+|g(x)|=F(x),∴f(x)+|g(x)|是偶函数,又可判断其他选项不恒成
立. 7.(2012 年高考上海理)已知 y ? f ( x) ? x 是奇函数,且 f (1) ? 1 ,若 g ( x) ? f ( x) ? 2 ,
2

则 g (?1) ? 【 答 案 】 ?1

. 【 解 析 】 因 为 函 数 y ? f ( x) ? x
2

为 奇 函 数 , 所 以

g (1) ? f (1) ? 2, 又f (1) ? 1, 所 以 g (1) ? 3, ,

- 13 -

高一数学上第 3 讲
f (?1) ? ?3, g (?1) ? f (?1) ? 2 ? ?3 ? 2 ? ?1 . f (?1) ? ? f (1).
8.(2013 年普通高等学校招生全国统一招生考试江苏卷(数学) )已知 f (x) 是定义在 R 上 的 奇 函 数 . 当 x ? 0 时 , f ( x ) ? x ? 4 x , 则 不 等 式 f ( x) ? x 的 解 集 用 区 间 表 示 为
2

___________. 【答案】 ?? 5,0? ? ?5,?? ?

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