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河南省郑州市2014-2015学年上期期末高二数学(理)试题卷(含答案)


郑州市 2014-2015 学年上期期末考试

高 二 数 学(理)试 题 卷
考试时间 120 分钟 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题所给出的四个选项中, 只有一项是符合题目要求的) 1.已知命题 p : ?x ? 0, x2 ? 0 ,那么 ? p 是 A. ?x ? 0, x2 ? 0 C. ?x ? 0

, x2 ? 0 B. ?x ? 0, x2 ? 0 D. ?x ? 0, x2 ? 0

2.等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,且 S3 ? 6, a3 ? 0 ,则公差 d 等于 A. ?1 B. 1 C.2 D. ?2

3.设 a, b ? R ,则“ a ? b ”是“ (a ? b)b2 ? 0 ”的 A.充分不必要条件 C.充要条件 B. 必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

4.已知抛物线 y 2 ? mx 的焦点坐标为 (2, 0) ,则 m 的值为 A.

1 2

B.2

C.4

D.8

5.已知 a ? (2,4, x), b ? (2, y,2) ,若 a ? 6, a ? b ,则 x ? y 的值是 A. ?3 或 1 B.3 或 ?1 C. ?3 D.1

6.如图所示,为了测量某障碍物两侧 A, B 间的距离,给定下列四组数据,不能确定 A, B 间 距离的是 A. ? , a, b C. a, b, ? B. ? , ? , a D. ? , ? , b
γ C A α β B

?x ? y ? 3 ? 7.设变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? ?1 ,则目标函数 z ? 2 x ? 3 y 的最小值为 ?2 x ? y ? 3 ?
A. 6 B. 7 C.8 D.23 8. ?ABC 的三个内角为 A, B, C ,满足 6sinA ? 4sinB ? 3sin C ,则 ?ABC A.一定是直角三角形 C. 一定是钝角三角形 B. 一定是锐角三角形 D.可能是锐角三角形也可能是钝角三角形

(2,1) (-1,3) 9.已知点 和 在直线 3x ? 2 y ? a ? 0 的两侧,则 a 的取值范围是
高二数学(理)试题卷 第 1 页(共 4 页)

A. ?4 ? a ? 9 C. a ? ?4 或 a ? 9

B. ?9 ? a ? 4 D. a ? ?9 或 a ? 4

10. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 的顶点 A( ?5, 0) 和 C (5,0) 。顶点 B 在双曲线

x2 y2 sinB ? ? 1 上,则 为 16 9 sinA? sin C
A.

3 2

B.

2 3

C.

5 4

D.

4 5

11.已知各项均为正数的等比数列 {an } 中,a4 与 a14 的等比中项为 2 2 ,则 2a7 ? a11 的最小 值为 A.16
*

B. 8

C. 2 2

D.4

12.已知 m, n, s, t ? R , m ? n ? 2,

m n 4 ? ? 9 ,其中 m, n 是常数,且 s ? t 的最小值是 ,满 s t 9

足条件的点 (m, n) 是椭圆 A. x ? 2 y ? 1 ? 0 C. 2 x ? y ? 3 ? 0

x2 y2 ? ? 1 一弦的中点,则此弦所在的直线方程为 4 2
B. 2 x ? y ? 1 ? 0 D. x ? 2 y ? 3 ? 0

二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分) 13.已知等比数列 {an } 是递增数列,Sn 是 {an } 的前 n 项和。 若 a1 , a3 是方程 x ? 10 x ? 9 ? 0
2

的两个根,则 S6 ? ______ 14.设 x, y 均为正数,且

1 1 1 ? ? ,则 xy 的最小值为 ________ x ?1 y ?1 2

2 2 15. 在 ?ABC 中 , 角 A, B, C 的 对 边 分 别 为 a, b, c , 已 知 a ? c ? 2b , 且

sin A

cC o? s

3A c o s,则 C sb i? n ______
M N

y

16.如图,已知直线 l : y ? k ( x ? 1)(k ? 0) 与抛物线

A B O x

C : y ? 4 x 相交于 A, B 两点,且 A, B 两点在抛物
2

线 C 的准线上的射影分别是 M , N ,若 AM ? 2 BN , 则 k 的值是 ________

高二数学(理)试题卷

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三、解答题(本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本小题满分 10 分)
2 命题 p : 关于 x 的不等式 x ? 2ax ? 4 ? 0 , 对一切 x ? R 恒成立。 命题 q : 抛物线 y 2 ? 4ax

的焦点在 (1,0) 的左侧,若 p ? q 为真命题, p ? q 为假命题,求实数 a 的取值范围

18. (本小题满分 12 分) 在锐角 ?ABC 中,角 A, B, C 的对边分别为 a, b, c ,且 3 b ? 2csin B (1)求角 C 的大小; (2)若 c2 ? (a ? b)2 ? 6 ,求 ?ABC 的面积

19. (本小题满分 12 分) 为了防止洪水泛滥,保障人民生命财产安全,今年冬天,某水利工程队计划在黄河边选择 一块矩形农田,挖土以加固河堤,为了不影响农民收入,挖土后的农田改造成面积为

40000m2 的矩形鱼塘,其四周都留有宽 3m 的路面,问所选的农田的长和宽各为多少时,
才能使占有农田的面积最小

20. (本小题满分 12 分) 设 {an } 是等差数列, {bn } 是各项为正项的等比数列,且

a1 ? b1 ? 1, a3 ? b5 ? 21, a5 ? b3 ? 13
(1) 求 {an } , {bn } 的通项公式 (2)求数列 {

an } 的前 n 项和 Sn bn

高二数学(理)试题卷

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21. (本小题满分 12 分)

AB 上移动 如图,在长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中, AD ? AA 1 ? 1, AB ? 2 ,点 E 在棱
(1)证明: A1D ? 平面 D1EC1 ;
D1 A1 B1 C1

? (2) AE 等于何值时,二面角 D1 ? EC ? D 的大小为 4

D A E B

C

22. (本小题满分 12 分) 已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 3 的半径等于椭圆 E :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的短半轴长, 椭圆 E 的右 a 2 b2

焦点 F 在圆 C 内,且到直线 l : y ? x ? 6 的距离为 3 ? 共点,设直线 l 交椭圆 E 于不同的两点 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 ) (1)求椭圆 E 的方程 (2)求证: AF ? BF ? BM ? AM

2 ,点 M 是直线 l 与圆 C 的公 2
y

F O M A B x

高二数学(理)试题卷

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2014—2015 学年上期期末学业水平测试

高中二年级
一、选择题

数学(理科)

参考答案

1.C;2.D;3.B;4.D;5.A;6.A;7.B;8.C;9.A;10.C; 11.B;12.D. 二、填空题 13.364; 三、解答题 17. 14. 9; 15. 4 ; 16.

2 2. 3

解:设 g ( x) ? x2 ? 2ax ? 4, 由于关于 x 的不等式 x2 ? 2ax ? 4 ? 0 对一切 x ? R 恒成立,
2 故 ? ? 4a ? 16 ? 0 ,∴ ?2 ? a ? 2 .

????2 分

又∵抛物线 y 2 ? 4ax 的焦点在 ?1,0? 的左侧, ∴a<1. a ? 0.
??2 ? a ? 2, ∴ 1 ? a ? 2 ;或 a ? 0. a ? 1, ?

????4 分

又由于 p 或 q 为真,p 且 q 为假,可知 p 和 q 一真一假.?5 分 (1)若 p 真 q 假,则 ? (2)若 p 假 q 真,则 ? ????7 分 ????9 分

?a ? ?2或a ? 2, ∴ a ? ?2 . ?a ? 1,

综上可知,所求实数 a 的取值范围为1 ? a ? 2 ,或 a ? ?2 .或 a ? 0. 10 分
18.解: (1) 由正弦定理

a b c ? ? . sin A sin B sin C

???2 分

得: 3 sin B ? 2sin C sin B. 即 sin C ? 又 C 为锐角,? C ? 60 .

3 , 2

???4 分

????6 分
2

(2)由余弦定理: c ? a ? b ? 2ab cos C ? (a ? b ) ? ab.
2 2 2

??8 分 ????10 分

又 c ? (a ? b) ? 6 ,? ab ? 6,
2 2

1 3 3 . ? △ ABC 的面积为 ab sin C ? 2 2

????12 分

高二数学(理)试题卷

第 5 页(共 4 页)

19.解:设鱼塘的长为 x m,宽为 y m,农田面积为 s ,则农田长为( x +6)m,宽为( y +6)m,

xy =40 000. s ? ( x ? 6)( y ? 6)

? x y ?6 ( x ? y) ? 3 6 ? 4 0 0 0? 0

3 ?6 x 6? ( y 4 分) ?
????8 分

? 4 0 0 3? 6 1 xy 2 ?

42436.

当且仅当 x ? y ? 200时取等号,所以当 x ? y ? 200,Smin=42436m2, 答:当所选农田长为 206m,宽为 206m 时,占有农田面积最小. ????12 分 20.(1)设 ?an ? 的公差为 d , ?bn ? 的公比为 q ,则依题意有 q ? 0 ,
4 ? ?1 ? 2d ? q ? 21, 由 a3 ? b5 ? 21 , a5 ? b3 ? 13 ,得 ? 2 ? ?1 ? 4d ? q ? 13. 解得 d ? q ? 2, 所以 an ? 2n ? 1, bn ? 2n?1.

????2 分

????4 分 ????6 分

a n 2n ? 1 ? n ?1 , bn 2 3 5 2n ? 3 2n ? 1 所以 S n ? 1 ? 1 ? 2 ? ? n ? 2 ? n ?1 2 2 2 2 5 2n ? 3 2n ? 1 2 S n ? 2 ? 3 ? ? ? ? n ?3 ? n ? 2 , 2 2 2
(2) 两式相减得:

S n ? 2 ? 2 ? (1 ?

1 1 1 2n ? 1 ? 2 ? ? n ? 2 ) ? n ?1 2 2 2 2 1 1 ? n ?1 2n ? 1 2n ? 3 ? 2 ? 2 ? 2 ? n ?1 ? 6 ? n ?1 . 1 2 2 1? 2

????12 分

21. 证明:以 D 为原点,直线 DA,DC,DD1 分别为 x , y , z 轴, 建立空间直角坐标系 o ? xyz ,设 AE=x,则 A1(1,0,1) ,D1(0, 0,1) ,E(1,x,0) , C1 (0,2,1) ,C(0,2,0)?2 分 (1)? DA 1?D 1E ? (1,0,1) ? (1, x,?1) ? 0,

D1 A1

z
B1

C1

D o

C E B

y

DA ,0,1) ? (?1,2 ? x,1) ? 0, 1 ? EC 1 ? (1

x
????4 分

A

? DA1 ? D 1 E, DA 1? EC . 1

D1E EC1 ? E.

D1E ? 平面D1EC1.
????6 分

EC1 ? 平面D1EC1 ? DA1 ? 平面D1EC1.

(2)设平面 D1EC 的法向量 n ? (a, b, c) ,∴ CE ? (1, x ? 2,0), D1C ? (0,2,?1), 由?

? ?n ? D1C ? 0,

?2b ? c ? 0, ?? 令 b=1, ∴c=2,a=2-x, a ? b ( x ? 2) ? 0. n ? CE ? 0 ? ? ?
高二数学(理)试题卷 第 6 页(共 4 页)

∴ n ? (2 ? x,1,2). 又平面 ECD 的一个法向量为 DD ), 1 ? (0,0,1 依题意 cos

????8 分

?
4

?

| n ? DD1 | | n | ? | DD1 |

?

2 2 2 ? ? . ????10 分 2 2 2 ( x ? 2) ? 5

∴ x1 ? 2 ? 3 (不合,舍去) , x2 ? 2 ? 3. ∴AE= 2 ? 3 时,二面角 D1—EC—D 的大小为

? . 4

????12 分

22. 解: (Ⅰ)设点 F ? c, 0 ?? c ? 0 ? ,则 F 到直线 l 的距离为
c? 6 2 ? 3? 2 , 2

????2 分

即 c ? 6 ? 6 ? 1 ,因为 F 在圆 C 内,所以 c ? 3 ,故 c ? 1 ;??4 分 因为圆 C 的半径等于椭圆 E 的短半轴长,所以 b 2 ? 3 ,
x2 y 2 椭圆方程为 ? ? 1. 4 3

????6 分
? 6 2 ? 3,

(Ⅱ)因为圆心 O 到直线 l 的距离为

所以直线 l 与圆 C 相切, M 是切点, 故 △AOM 为直角三角形,所以 AM ? OA ? OM ? x12 ? y12 ? 3 ,
x12 y12 1 又 ? ? 1 ,可得 AM ? x1 ,又因为直线 l 过点(0,? 6 ) ,且斜率 4 3 2
2 2

为 1,所以 AM ? x1.
AF ? ( x1 ? 1) 2 ? y12 ,又

1 2

????8 分
x12 y12 1 ? ? 1 ,可得 AF ? 2 ? x1 ,???10 分 4 3 2

所以 AF ? AM ? 2 ,同理可得 | BF | ? | BM |? 2 , 所以 AF ? AM ? | BF | ? | BM | ,即 AF ? BF ? BM ? AM .????

高二数学(理)试题卷

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