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2012-5导数综合题


导数综合题
1、已知二次函数 f ( x ) ? x 2 ? x ,若不等式 f ( ? x ) ? f ( x ) ? 2 x 的解集为 C. (1)求集合 C; (2)若方程 f ( a x ) ? a x ? 1 ? 5 ( a ? 0 , a ? 1) 在 C 上有解,求实数 a 的取值范围; (3)记 f ( x ) 在 C 上的值域为 A,若 g ( x ) ? x 3 ? 3 tx ? 求实数 t 的取值范围.
t 2 , x ? [ 0 ,1 ] 的值域为 B,且 A ? B



2、设函数 f ( x ) ? ax 3 ? 2 bx 2 ? cx ? 4 d ( a , b , c , d ? R )的图象关于原点对称,且 x ? 1 时,
f ( x ) 取极小值 ?
2 3



①求 a , b , c , d 的值; ②当 x ? ? ? 1,1 ? 时,图象上是否存在两点,使得过此两点处的切线互相垂直?试证明你 的结论。 ③若 x1 , x 2 ? ? ? 1,1? ,求证: f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?
4 3



3、已知函数 f ( x ) ?

1 3

x

3

?

( k ? 1) 2

x , g (x) ?
2

1 3

? kx 且 f ( x ) 在区间 ( 2 , ?? ) 上为增函数.

(1)求 k 的取值范围; (2)若函数 f ( x ) 与 g ( x ) 的图象有三个不同的交点,求实数 k 的取值范围.

1

4、已知函数 f ( x )? ax 3 ? bx 取极值 1. (1)求 a , b , c 的值;

2

是定义在 R 上的奇函数,且 x ? ? 1 时,函数 ? cx ( a ? 0)

(2)若 x 1, x 2 ? ?? 1,? ,求证: f ( x 1)? f ( x 2)? 2 ; 1 (3)求证:曲线 y ? f ( x ) 上不存在两个不同的点 A , B ,使过 A , B 两点的切线都垂直于直 线 AB .

5. 已知函数 f ( x ) ? ln x , g ( x ) ? (Ⅰ)求 F(x)的单调区间;

a x

( a ? 0 ) ,设 F ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) 。

(Ⅱ) 若以 y ? F ( x )( x ? ?0 ,3 ?) 图象上任意一点 P ( x 0 , y 0 ) 为切点的切线的斜率 k ? 立,求实数 a 的最小值。 (Ⅲ)是否存在实数 m ,使得函数 y ? g (
x 2a
2

1 2

恒成

?1

) ? m ? 1 的图象与 y ? f (1 ? x ) 的图象恰
2

好有四个不同的交点?若存在,求出 m 的取值范围,若不存在,说明理由。

2

6. 定义 F ( x , y ) ? (1 ? x ) y , x , y ? ( 0 , ?? ) , (1) 令函数 f ( x ) ? F (1, log 2 ( x 2 ? 4 x ? 9 )) 的图象为曲线 C1, 曲线 C1 与 y 轴交于点 A (0, m) ,过坐标原点 O 作曲线 C1 的切线,切点为 B(n,t) (n>0) ,设曲线 C1 在点 A、B 之间的 曲线段与线段 OA、OB 所围成图形的面积为 S,求 S 的值。 (2)当 x , y ? N * 且 x ? y 时 , 证明 F ( x , y ) ? F ( y , x ); (3)令函数 g ( x ) ? F (1, log 2 ( x 3 ? ax
2

? bx ? 1)) 的图象为曲线 C2,若存在实数 b 使得曲

线 C2 在 x 0 ( ? 4 ? x 0 ? ? 1) 处有斜率为-8 的切线,求实数 a 的取值范围。

n 7. (1)求证:当 a ? 1 时,不等式 ( e ? x ? 1) ?

ax e 2

2

x

对于 n ? R 恒成立 .

(2)对于在(0,1)中的任一个常数 a ,问是否存在 x 0 ? 0 使得 e 立?如果存在,求出符合条件的一个 x 0 ;否则说明理由。

x0

? x0 ? 1 ?

a x0 2e 2

x0



3

8. 把函数 y (1)若 x

? ln x ? 2

的图象按向量 a
f (x) ? 2x x? 2
2

? (? 1, 2 )

平移得到函数

f (x)

的图象。

?0

证明:
1 2 x
2


? 2 bm ? 3

(2)若不等式 范围。

? f (x ) ? m
2

对于 x ? [? 1,1] 及 b ? [? 1,1] 恒成立,求实数 m 的取值

9. 已知函数 y ? | x | ? 1 , y ?

x ? 2 x ? 2 ? t ,y ?
2

1 2

(x ?

1? t x

) ( x ? 0) 的最小值恰好是方

程 x 3 ? ax 2 ? bx ? c ? 0 的三个根,其中 0 ? t ? 1 . (1)求证: a 2 ? 2 b ? 3 ; (2)设 ( x1 , M ) , ( x 2 , N ) 是函数 f ( x ) ? x 3 ? ax 2 ? bx ? c 的两个极值点. ①若 | x1 ? x 2 | ?
2 3

,求函数 f ( x ) 的解析式;

②求 | M ? N | 的取值范围.

4

10. 已知函数 f ( x ) ?
x

ax
2

? b

,在 x ? 1 处取得极值为 2。

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的解析式; (Ⅱ)若函数 f ( x ) 在区间(m,2m+1)上为增函数,求实数 m 的取值范围; (Ⅲ)若 P(x0,y0)为 f ( x ) ?
ax x
2

? b

图象上的任意一点,直线 l 与 f ( x ) ?
x

ax
2

? b

的图象

相切于点 P,求直线 l 的斜率的取值范围.

11. 已知:在函数 f ( x ) ? mx 3 ? x 的图象上,以 N (1, n ) 为切点的切线的倾斜角为

?
4



(Ⅰ)求 m , n 的值; (Ⅱ)是否存在最小的正整数 k ,使得不等式 f ( x ) ? k ? 1993 对于 x ? [? 1, 3 ] 恒成立?如 果存在,请求出最小的正整数 k ;如果不存在,请说明理由; (Ⅲ)求证: | f (sin x ) ? f (cos x ) |? 2 f ( t ?
1 2t ) ( x ? R ,t ? 0 ) .

5

12. 设 M 是由满足下列条件的函数 f ( x ) 构成的集合:“①方程 f ( x ) ? x ? 0 有实数根;② 函数 f ( x ) 的导数 f ? ( x ) 满足 0 ? f ? ( x ) ? 1 .” (I)判断函数 f ( x ) ?
x 2 ? sin x 4

是否是集合 M 中的元素,并说明理由;

(II) 集合 M 中的元素 f ( x ) 具有下面的性质: f ( x ) 的定义域为 D, 若 则对于任意[m, ? D, n] 都存在 x 0 ? [m,n],使得等式 f ( n ) ? f ( m ) ? ( n ? m ) f ? ( x 0 ) 成立”,试用这一性质证明: 方程 f ( x ) ? x ? 0 只有一个实数根; (III)设 x 1 是方程 f ( x ) ? x ? 0 的实数根,求证:对于 f ( x ) 定义域中任意的
x 2 , x 3 , 当 | x 2 ? x 1 |? 1, 且 | x 3 ? x 1 |? 1时 , | f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) |? 2 .

13. 若函数 f ( x ) ? ( x 2 ? ax ? b ) e x ? 2 ( x ? R ) 在 x ? 1 处取得极值. (I)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ) ,并求 f ( x ) 的单调区间; (II)是否存在实数 m,使得对任意 a ? (0,1) 及 x1 , x 2 ? [0, 2] 总有 | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) |?
[( m ? 2) a ? m ]e
2 ?1

? 1 恒成立,若存在,求出 m 的范围;若不存在,请说明理由.

6

14. 已 知 二 次 函 数 f ( x ) ? a x 2 ? b x ? c , 直 线 l1 : x ? 2 , 直 线 ;.若直线 l 1、l 2 与函数 l 2 : y ? ? t ? 8 t (其中 0 ? t ? 2 ,t 为常数)
2

f

? x ? 的图象以及 l 2 、 y 轴与函数 f ? x ? 的图象所围成的封闭图形如

图阴影所示. (Ⅰ)求 a 、 b 、 c 的值; (Ⅱ)求阴影面积 S 关于 t 的函数 S ? t ? 的解析式; (Ⅲ)若 g ( x ) ? 6 ln x ? m , 问是否存在实数 m ,使得 y ? f ? x ? 的图 象与 y ? g ? x ? 的图象有且只有两个不同的交点?若存在,求出 m 的 值;若不存在,说明理由.

15. 已知函数 f ( x ) ?

x a

3 2

图象上斜率为 3 的两条切线间的距离为
bf ' ( x ) x ?3。

2 10 5

,f(x)的导数为

f ' ( x ) ,函数 g ( x ) ? f ( x ) ?

(1)若函数 g(x)在 x=1 有极值,求 g(x)的解析式; (2)若函数 g(x)在[-1,1]是增函数,且 b 2 ? mb ? 4 ? g ( x ) 在[-1,1]上都成立,求实数 m 的取值范围。

7

答案及解析 1. [解](1) f ( x ) ? f ( ? x ) ? 2 x 2 当 x ? 0 时, 2 x 2 ? 2 x ? 当 x ? 0 时, 2 x 2 ? ? 2 x ? 所以集合 C ? [? 1,1] ----------------------------------------------------------1 分
0 ? x ?1 ?1 ? x ? 0

------------------------------------------------2 分 -------------------------------3 分

--------------------------------------------------------4 分

(2) f ( a x ) ? a x ?1 ? 5 ? 0 ? ( a x ) 2 ? ( a ? 1) a x ? 5 ? 0 ,令 a x ? u 则方程为 h ( u ) ? u 2 ? ( a ? 1) u ? 5 ? 0 当 a ? 1 时, u ? [
1 a , a ] , h (u ) ? 0

h (0) ? ? 5
1 a

----------------------------------5 分

在[

, a ] 上有解,

1 1 1 ? ?5? 0 ? h( ) ? 2 ? 1 ? 则? a ? a?5 a a ? h ( a ) ? a 2 ? ( a ? 1) a ? 5 ? 0 ?

---------------------------------------7 分
1 a

当 0 ? a ? 1 时, u ? [ a , 则?
? h(a ) ? 0 ? 1 h( ) ? 0 ? a ?

1 a

]

, g (u ) ? 0 在 [ a ,
1 2

]

上有解,

?
1 2

0? a ?

---------------------------------------------9 分

所以,当 0 (3) A
? [?

? a ? 1 4

或 a ? 5 时,方程在 C 上有解,且有唯一解。----------------10 分 -------------------------------------------------11 分
? x
3

,2 ]

①当 t ? 0 时,函数 g ( x )

? 3 tx ?

t 2

在 x ? [ 0 ,1] 单调递增,所以函数 g ( x ) 的值域
1 ? ?t ? ? 2 ,解得 ? 2 ?t ? ? 5 ?

B ?[

t 2

,1 ?

5 2

t]



∵A? B ,

1 ? t ? ? ? 4 ∴? 2 5 ?2 ? 1 ? t 2 ?

,即 t

? ?

2 5

------13 分

②当 t ? 0 时,任取 x 1 , x 2 ? [ 0 ,1] , x 1 ? x 2
g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? x1 ? 3 tx 1 ? x 2 ? 3 tx 2 ? ( x1 ? x 2 )( x1 ? x1 x 2 ? x 2 ? 3 t )
3 3 2 2

10

若 t ? 1 ,∵ 0 ? x 1 ? 1 , 0 ? x 2 ? 1 , x 1 ? x 2 ,∴ x12 ? x1 x 2 ? x 2 ? 3 ? 3t
? [1 ? 5 2 t, t 2 ]

2

∴ g ( x 1 ) ? g ( x 2 ) ? 0 ,函数 g ( x ) 在区间 [ 0 ,1] 单调递减, B
5 1 ? ?1 ? t ? ? 2 4 ∴? t ? ? 2 2 ?

:又 t ? 1 ,所以 t ? 4 。-------------------------------------15 分

20

若0 ? t ? 1,
8

若 g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0, 则须 x12 ? x1 x 2 ? x 2 2 ? 3t ,∵ x 1 ? x 2 ,∴ 3 x12 ? 3 t , x1 ? t . 于是当 x1 , x 2 ? [ t ,1] 时, x12 ? x1 x 2 ? x 2 2 ? 3t , g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0 ;---------------16 分 当 x1 , x 2 ? [0, t ] 时, x12 ? x1 x 2 ? x 2 2 ? 3t , g ( x1 ) ? g ( x 2 ) ? 0. 因此函数 g ( x ) 在 [ t ,1] 单调递增;在 [ 0 , t ] 单调递减. g ( x ) 在 x ? t 达到最小值。
2 ? ? g ( 0 ) ? 2 或 g (1 ) ? 2 t ? 4或 t ? ? ? ? 1 ? ? 5 g( t) ? ? ? ?8 ( t ) 3 ? 2 ( t ) 2 ? 1 ? 0 4 ? ?

要使 A ? B ,则 ?



因为 0 ? t ? 1 ,所以使得 A ? B 的 t 无解。--------------------------------------18 分 综上所述: t 的取值范围是: ( ?? , ?
2 5 ] ? [ 4 , ?? )

2. 解:①? 函数 f ( x ) 的图象关于原点对称
? 对任意实数 x ,有 f ( ? x ) ? ? f ( x ) ?

? ax ? 2 bx ? cx ? 4 d ? ? ax ? 2 bx ? cx ? 4 d
3 2 3 2

即 bx 2 ? 2 d ? 0 恒成立
3 2

? b ? 0, d ? 0

? f ( x ) ? ax ? cx , f ?( x ) ? 3 ax ? c
? x ? 1 时, f ( x ) 取极小值 ?
?a ? 1 3 , c ? ?1

2 3

,? 3 a ? c ? 0 且 a ? c ?

2 3

②当 x ? ? ? 1,1 ? 时,图象上不存在这样的两点使结论成立。 假设图象上存在两点 A ( x1 , y1 ), B ( x 2 y 2 ) ,使得过此两点处的切线互相垂直,则由
f ? ( x ) ? x ? 1 知两点处的切线斜率分别为 K 1 ? x1 ? 1, K 2 ? x 2 ? 1
2 2 2 2 且 ( x12 ? 1)( x 2 ? 1) ? ? 1

(*)
2

? x1 , x 2 ? [-1,1]? ( x1 ? 1)( x 2 ? 1) ? 0 与(*)矛盾
2

③? f ? ( x ) ? x 2 ? 1

令 f ?( x ) ? 0 得 x ? ? 1 ,? x ? ( ?? , ? 1) ,
x ? ( ? 1,1) 时 f ?( x ) ? 0
2 3

或 x ? (1, ? ? ) 时, f ?( x ) ? 0

? f ? ( x ) 在[-1,1]上是减函数,且 f m a x ( x ) ? f ( ? 1) ?
9

……10 分

f m in ( x ) ? f (1) ? ?

2 3

? 在[-1,1]上 f ( x ) ?

2 3 2 3 ? 2 3 ? 4 3

? x1 , x 2 ? ? ? 1,1 ? 时, f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ? f ( x 1 ) ? f ( x 2 ) ?

3. 解: (1)由题意 f ? ( x ) ? x 2 ? ( k ? 1) x ……………………1 分 因为 f ( x ) 在区间 ( 2 , ?? ) 上为增函数 所以 f ?( x ) ? x 2 ? ( k ? 1) x ? 0 在 ( 2 , ?? ) 上恒成立,………………3 分 即 k ? 1 ? x 恒成立 , 又 x ? 2 所以 k ? 1 ? 2 , 故 k ? 1 ……………………5 分 当 k=1 时, f ?( x ) ? x 2 ? 2 x ? ( x ? 1) 2 ? 1在 x ? ( 2 , ?? ) 恒大于 0, 故 f ( x ) 在 ( 2 , ?? ) 上单增,符合题意. 所以 k 的取值范围为 k≤1.……………………6 分 (2)设 h ( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ?
x
3

?

( k ? 1) 2

x

2

? kx ?

1 3

3
2

h ? ( x ) ? x ? ( k ? 1) x ? k ? ( x ? k )( x ? 1)

令 h ?( x ) ? 0 得 x ? k 或 x ? 1 ………………8 分 由(1)知 k≤1, ①当 k=1 时, h ?( x ) ? ( x ? 1) 2 ? 0 , h ( x ) 在 R 上递增,显然不合题意………9 分 ②当 k<1 时, h ( x ), h ?( x )随 x 的变化情况如下表: x
h ?( x )
( ?? , k )

k 0 极大

(k,1) -

1 0 极小

(1,+ ? ) +

+

h( x)



?

k

3

?

k

2

?

1 3



k ?1 2



6

2

……………………11 分 由于
k ?1 2 ? 0 , 欲使 f ( x ) 与 g ( x ) 图象有三个不同的交点,

即方程 f ( x ) ? g ( x )
10

也即 h ( x ) ? 0 有三个不同的实根
k
3

故需 ?

?

k

2

?

1 3

? 0 即 ( k ? 1)( k

2

? 2 k ? 2) ? 0,

6

2

所以 ?

?k ? 1 ?k
2

? 2k ? 2 ? 0

, 解得 k ? 1 ?

3

综上,所求 k 的范围为 k ? 1 ? 4. 解:(1)函数 f ( x )? ax 3 ? bx 即 ? f ( ? x )? ? f ( x ), bx
f ( x )? ax
3

3 .……………………14 分
2

是定义在 R 上的奇函数, ? cx ( a ? 0)
? 0 对于 x ? R 恒成立,? b ? 0 .
2

2

? cx , f ? x )? 3 ax (

?c

? ? x ? ? 1 时,函数取极值 1. ∴ 3 a ? c ? 0, a ? c ? 1 ,

解得: a ? (2) f ( x )?

1 2 1 2

,c ? ?
3

3 2



……………………………………………4 分
3 2 x
2

x

?

3 2

x , f ?( x ) ?

?

3 2

?

3 2

( x ? 1 )( x ? 1 ) ,

x ? ? ? 1,? 时 f ? x )? 0 ,? f ( x ) 在 x ? ?? 1,1? 上是减函数, 1 (

……………6 分

即 f (1)? f ( x )? f ( ? 1) ,则 f ( x ) ? 1 , 当 x 1, x 2 ? ?? 1,? 时, f ( x 1)? f ( x 2)? f ( x 1)? f ( x 2)? 1 ? 1 ? 2 .…9 分 1 (3)设 A ( x 1, y 1), B ( x 2, y 2)( x 1 ? x 2) ,
? f ? x )? ( 3 2 x
2

?

3 2

,过 A , B 两点的切线平行,
2 2

? f ? x 1)? f ? x 2),可得 x 1 ? x 2 . ( (
y 2 ? y1 x 2 ? x1
3 2 )( 1 2

? x 1 ? x 2 ? x 1 ? ? x 2 , 则 y 1 ? ? y 2 , k AB ?
3 2
4 2

?

y1 x1

?

1 2

x1 ?

2

3 2

,

( 由于过 A 点的切线垂直于直线 AB ,?

x1 ?

2

x1 ?

2

3 2

)? ? 1, 分 12

∴ 3 x 1 ? 12 x 1 ? 13 ? 0 ,∵ ? ? ? 12 ? 0 ,? 关于 x 1 的方程无解.
? 曲线上不存在两个不同的点 A , B ,使过 A , B 两点的切线都垂直于直线 AB .

5.



.(



)

F

( x ) ? f ( x ) ? g ( x ) ? ln x ?

a x

(x ? 0

11

F '(x) ?

1 x

?

a x
2

?

x ? a x
2

( x ? 0)

? a ? 0 ,由 F ?( x ) ? 0 ? x ? ( a , ?? ), ? F ( x ) 在( a , ?? )上单调递增。

由 F ?( x ) ? 0 ? x ? ( 0 , a ), ? F ( x ) 在( 0 , a )上单调递减
? F ( x )的单调递减区间为(
x? a x
a ? (? ? a ? 1 2 1 2 x0
2


a , ?? )
1 2

0 , a ),单调递增区间为(
x0 ? a x0
2

(Ⅱ) F ? ( x ) ?

2

( 0 ? x ? 3 ), k ? F ? ( x 0 ) ?
1 2

?

( 0 ? x 0 ? 3 ) 恒成立
1 2

? x 0 ) min 1 2 ?1
2

当 x 0 ? 1时,?

x0

2

? x 0 取得最大值

,? a nmn ?

…………………………………………4 分
)? m ?1 ? 1 2 x
2

(Ⅲ)若 y ? g (
x
2

2a
2

? m ?

1 2

的图象与

y ? f (1 ? x ) ? ln( x ? 1) 的图象恰有四个不同交点,



1 2

x

2

? m ?
2

1 2

? ln( x 1 2 x
2

2

? 1 ) 有四个不同的根,亦即 1 2

m ? ln( x

? 1) ?
2

? 1 2

有四个不同的根。
2

令 G ( x ) ? ln( x ? 1 ) ?
2x x
2

x

?

1 2


? x ? x ( x ? 1 )( x ? 1 ) x
2

则 G ?( x ) ?

?1

? x ?

2x ? x x
2

3

?1

?

?1



当 x 变化时 G ? ( x ). G ( x ) 的变化情况如下表:
x
G ? ( x ) 的符号
G ( x ) 的单调性

( ? ? , 1) ?

(-1,0) ↘

(0,1) + ↗

(1, ? ? ) ↘

+ ↗
1 2

由表格知: G ( x ) 最小值 ? G ( 0 ) ?

, G ( x ) 最大值 ? G (1 ) ? G ( ? 1 ) ? ln 2 ? 0 。 1 2 ? 1 2

画出草图和验证 G ( 2 ) ? G ( ? 2 ) ? ln 5 ? 2 ?
y ? G ( x ) 与 y ? m 恰有四个不同的交点,
?当m ? ( 1 2 , ln 2 )时, y ? g ( x 2a
2

可知,当 m ? ( , ln 2 ) 时,
2

1

?1

)? m ?1 ?

1 2

x2 ? m ?

1 2

的图象与

12

y ? f (1 ? x ) ? ln( x ? 1)的图象恰有四个不同的
2 2

交点。 ………………4 分

6. 解: (1)? F ( x , y ) ? (1 ? x ) y
? f ( x ) ? F (1, log 2 ( x ? 4 x ? 9 ) ? 2
2 log 2 ( x ? 4 x ? 9 )
2

? x ? 4 x ? 9 ,故 A(0,9)…1 分
2

又过坐标原点 O 向曲线 C1 作切线,切点为 B(n,t) (n>0) f ?( x ) ? 2 x ? 4 . ,
?t ? n ? 4 n ? 9 ? ??t , 解得 B ( 3 , 6 ) …………3 分 ? 2n ? 4 ? ?n
2

? S ? ?0 (x
3

2

? 4 x ? 9 ? 2 x ) dx ? (

x

3

? 3x

2

3

? 9 x ) |0 ? 9 .
3

………………5 分
x ln( 1 ? x ) x , x ? 1, 由 h ? ( x ) ? 1? x ? ln( 1 ? x ) x
2

(2)令 h ( x ) ?

,…………6 分
1 1 1? x ? x (1 ? x )
2

又令 p ( x ) ?

x 1? x

? ln( 1 ? x ), x ? 0 , ? p ? ( x ) ?

(1 ? x )

2

?

?

? 0,

? p ( x ) 在 [ 0 , ?? ) 单调递减.……………………7 分 ? 当 x ? 0时有 p ( x ) ? p ( 0 ) ? 0 , ? 当 x ? 1时有 h ?( x ) ? 0 ,

? h ( x ) 在 [1, ?? ) 单调递减,………………8 分
ln( 1 ? x ) x
?

? 1 ? x ? y时 , 有

?

ln( 1 ? y ) y

,? y ln( 1 ? x ) ? x ln( 1 ? y ), ? (1 ? x )

y

? (1 ? y ) ,
x

? 当 x , y ? N 且 x ? y 时 F ( x , y ) ? F ( y , x ). ………………9 分

(3) g ( x ) ? F (1, log 2 ( x 2 ? ax

2

? bx ? 1) ? x ? ax
3

2

? bx ? 1,

设曲线 C 2 在 x 0 ( ? 4 ? x ? ? 1) 处有斜率为-8 的切线, 又由题设 log 2 ( x 3 ? ax
2

? bx ? 1) ? 0 , g ? ( x ) ? 3 x ? 2 ax ? b ,
2

2 ① ? 3 x 0 ? 2 ax 0 ? b ? ? 8 ? ② 有解,…………11 分 ∴存在实数 b 使得 ? ? 4 ? x 0 ? ? 1 ? 3 2 ③ ? x 0 ? ax 0 ? bx 0 ? 1 ? 1

2 2 由①得 b ? ? 8 ? 3 x 0 ? 2 ax 0 , 代入③得 ? 2 x 0 ? ax 0 ? 8 ? 0 ,…………12 分

13

? 2 x 0 ? ax 0 ? 8 ? 0 ?由? ?? 4 ? x0 ? 8 ? 0
2

有解, 2 ? ( ? 4 ) 2 ? a ? ( ? 4 ) ? 8 ? 0 或 2 ? ( ? 1) 2 ? a ? ( ? 1) ? 8 ? 0 , 得

? a ? 10 或 a ? 10 ,

? a ? 10 . ………………14 分
2 x

7. (1)证明:(Ⅰ)在 x ? 0 时,要使 e ? x ? 1 ?
x

ax e 2

成立。

只需证: e ?
x

a 2

x e ? x ? 1 即需证: 1 ?
2 x

a 2

x ?
2

x ?1 e
x
x


x

令 y(x) ?

a 2

x ?
2

x ?1 e 1 e
2 x

,求导数 y ? ( x ) ? a x ?

1 ? e ? ( x ? 1) e (e )
x 2

? ax ?

?x e
x

∴ y ?( x ) ? x ( a ?

) ,又 a ? 1 ,求 x ? 0 ,故 y ? ( x ) ? 0

∴ y ( x ) 为增函数,故 y ( x ) ? y (0) ? 1 ,从而①式得证
x
2

(Ⅱ)在 x ? 0 时,要使 e ? x ? 1 ? a
x

e

x

成立。

2 ax 2 ax 2
2 2

只需证: e ?
x

e

?x

? x ? 1 ,即需证: 1 ?

ax 2

2

e

?2 x

? ( x ? 1) e

?x



令m (x) ?

e

?2 x

? ( x ? 1) e

?x

,求导数得 m ? ( x ) ? ? xe ? 2 x ? e x ? a ( x ? 1) ? ? ?

而 ? ( x ) ? e x ? a ( x ? 1) 在 x ? 0 时为增函数 ,故 ? ( x ) ? ? (0) ? 1 ? a ? 0 ,从而 m ( x ) ? 0 ∴ m ( x ) 在 x ? 0 时为减函数,则 m ( x ) ? m (0) ? 1 ,从而②式得证
ax 2 x0 2
2 2

由于①②讨论可知,原不等式 e ? x ? 1 ?
2

e 在 a ? 1 时,恒成立…………(6 分)

x

(2)解:将 e

x0

? x0 ? 1 ? a ?

e

x0

变形为

a x0 2

2

?

x0 e
x0

?1? 0



要找一个 X0>0,使③式成立,只需找到函数 t ( x ) ? 满足 t ( x ) m in ? 0 即可,对 t ( x ) 求导数 t ? ( x ) ? x ( a ? 令 t ?( x ) ? 0 得 e ?
x

ax 2
1 e
x

2

?

x ?1 e
x

? 1 的最小值,

)

1 a

,则 x= -lna,取 X0= -lna

在 0< x < -lna 时, t ? ( x ) ? 0 ,在 x > -lna 时, t ?( x ) ? 0
14

t ( x ) 在 x=-lna 时,取得最小值 t ( x 0 ) ?

a 2

(ln a ) ? a ( ? ln a ? 1) ? 1
2

下面只需证明: 又令 p ( a ) ? 则 p ?( a ) ?
1 2
a 2

a 2

(ln a ) ? a ln a ? a ? 1) ? 0 ,在 0 ? a ? 1 时成立即可
2
2

(ln a ) ? a ln a ? a ? 1 ,对 p ( a ) 关于 a 求导数
2

(ln a ) ? 0 ,从而 p ( a ) 为增函数 a 2 (ln a ) ? a ln a ? a ? 1 ? 0 得证
2

则 p ( a ) ? p (1) ? 0 ,从而

于是 t ( x ) 的最小值 t ( ? ln a ) ? 0 因此可找到一个常数 x 0 ? ? ln a (0 ? a ? 1) ,使得③式成立 8. 解 : 1 ) 由 题 设 得 f ? x ? ? ln ( x ? 1) , 令 g ( x ) ? f ( x ) ? (
g (x) ?
'

……………………(14 分)
2x x? 2 ? ln ( x ? 1) ? 2x x? 2 , 则

1 x ?1

?

2( x ? 2) ? 2 x ( x ? 2)
2

?

x

2 2

( x ? 1)( x ? 2 )

. ? x ? 0,? g ( x ) ? 0, ? g ( x ) 在 ? 0, ? ? ? 上
'

是增函数。故 g ( x ) ? g (0) ? 0, 即 f ? x ? ? (2)原不等式等价于
1 2 1 2

2x x?2
2



1 2

x ? f ( x ) ? m ? 2bm ? 3 。
2 2

令h(x) ?

x ? f (x ) ?
2 2

x ? ln (1 ? x ), 则 h ( x ) ? x ?
2 2

'

2x 1? x
2

?

x ? x
3

1? x

2



令 h ' ( x ) ? 0, 得 x ? 0, x ? 1, x ? ? 1. 列表如下(略) 2 ? 当 x ? ? ? 1,1 ? 时, h ( x ) m ax ? 0, ? m ? 2 bm ? 3 ? 0 。 令 Q ( b ) ? ? 2 m b ? m 2 ? 3, 则 ?
? Q (1) ? m ? 2 m ? 3 ? 0 ?
2

? Q ( ? 1) ? m ? 2 m ? 3 ? 0 ?
2

解得 m ? ? 3 或 m ? 3 。

9. 解: (1)三个函数的最小值依次为 1 , 1 ? t , 1 ? t , 由 f (1) ? 0 ,得 c ? ? a ? b ? 1 ∴
f ( x )? x ? ax?
3 2 2

b? x

c ?

3

x?

2

ax ?

(b x ?

?a 1 ) b ?

? ( x ? 1)[ x ? ( a ? 1) x ? ( a ? b ? 1)] ,

故方程 x 2 ? ( a ? 1) x ? ( a ? b ? 1) ? 0 的两根是 1 ? t , 1 ? t . 故 1 ? t ? 1 ? t ? ? ( a ? 1) , 1 ? t ? 1 ? t ? a ? b ? 1 .
( 1? t ? 1 ? t ) ? ( a ? 1) ,即 2 ? 2( a ? b ? 1) ? ( a ? 1)
2 2

2



a ? 2b ? 3 .
2

15

(2)①依题意 x1 , x 2 是方程 f '( x ) ? 3 x 2 ? 2 ax ? b ? 0 的根, 故有 x 1 ? x 2 ? ?
2a 3

, x1 x 2 ?

b 3



且△ ? (2 a ) 2 ? 12 b ? 0 ,得 b ? 3 . 由 | x1 ? x 2 |?
2 3?b 3
2 3

( x1 ? x 2 ) ? 4 x1 x 2 ?
2

2

a ? 3b
2

?

2 3?b 3

3

?

;得, b ? 2 , a 2 ? 2 b ? 3 ? 7 .

由(Ⅰ)知 1 ? t ? 1 ? t ? ? ( a ? 1) ? 0 ,故 a ? ? 1 , ∴ ∴
a ? ? 7 , c ? ? ( a ? b ? 1) ?
f ( x) ? x ?
3

7 ?3

7x ? 2x ?
2

7 ?3.

3 2 ② | M ? N |? | f ( x1 ) ? f ( x 2 ) | ? | ( x13 ? x 2 ) ? a ( x12 ? x 2 ) ? b ( x1 ? x 2 ) |

? | x1 ? x 2 | ? | ( x1 ? x 2 ) ? x1 x 2 ? a ( x1 ? x 2 ) ? b |
2

?

2

3?b 3

| (?
3

2a 3

) ?
2

b 3

? a ? (?
2 3

2a 3

)?b|

?

4 27

(3 ? b ) 2 (或

4 27

(

9?a 2

)2 ) .

由(Ⅰ) ( a ? 1) 2 ? ( 1 ? t ? 1 ? t ) 2 ? 2 ? 2 1 ? t 2 ∵
0 ? t ?1,



2 ? (a ? 1 ) ? , 4
2

又 a ? ?1 ,



? 2 ? a ?1 ? ? 2,
2

? 3 ? a ? ? 2 ? 1 , 3 ? 2 2 ? a ? 9 (或
4 27
3

2 ? b ? 3)



0 ? |M ? N ? |

(? 3

2

2.. )

10. 解: (Ⅰ)已知函数 f ( x ) ?
x

ax
2

?b

,? f ' ( x ) ?
? f ' (1 ) ? 0 ? f (1 ) ? 2

a ( x ? b ) ? ax ( 2 x )
2

(x ? b)
2

2

…………1分

又函数 f ( x ) 在 x ? 1 处取得极值 2,? ?

…………2分

? a (1 ? b ) ? 2 a ? 0 ?a ? 4 ? ? ? 即? a ? 2 ?b ? 1 ? ?1 ? b

? f (x) ? x

4x
2

?1

……………………4 分

16

? (Ⅱ) f ' ( x ) ?

4( x

2

? 1) ? 4 x ( 2 x ) (x
2

?

4 ? 4x (x
2

2

? 1)

2

? 1)

由 f '( x) ? 0 , 4 ? 4 x 2 ? 0 , 得
2

即?1 ? x ? 1 所以 f ( x ) ?
x 4x
2

?1

的单调增区间为(-1,1)…………………………

6分

因函数 f ( x ) 在(m,2m+1)上单调递增,
?m ? ?1 ? 则有 ? 2 m ? 1 ? 1 , ? ?2m ? 1 ? m

…………7分

解得 ? 1 ? m ? 0 即 m ? ( ? 1,0 ] 时,函数 f ( x ) 在(m,2m+1)上为增函数 ……… 8分 (Ⅲ)? f ( x ) ?
x 4x
2

?1

? f '(x) ?
2

4( x

2

? 1) ? 4 x ( 2 x ) (x
2

? 1)

2

直线 l 的斜率 k ? f ' ( x 0 ) ? 即 k ? 4[
2 ( x 0 ? 1)
2 2

4 ( x 0 ? 1) ? 8 x 0 ( x 0 ? 1)
2 2

2

…………9分

?

1 x0 ? 1
2

]



1 x0 ? 1
2

? t , t ? ( 0,1 ] ,…………10分

则 k ? 4 ( 2 t 2 ? t ), t ? ( 0,1]
? k ? [? 1 2 ,4]

即直线 l 的斜率 k 的取值范围是 [ ?
2

1 2

,4]

………………12分
2 3

11. 解: (Ⅰ) f ? ( x ) ? 3 mx 分 ∵

? 1 ,依题意,得 f ? (1) ? tan

?
4

,即 3 m ? 1 ? 1 ,m ?

. …2

f (1) ? n , ∴ n ? ?

1 3

.
2 2

……………………3 分 . …………………………4 分
2 2 ? x ? 2 2

(Ⅱ)令 f ? ( x ) ? 2 x 2 ? 1 ? 0 ,得 x ? ? 当? 1 ? x ? ?
2

2 2

时, f ? ( x ) ? 2 x 2 ? 1 ? 0 ;当 ?

时,

f ?( x ) ? 2 x ? 1 ? 0 ;


f( 2 2

2 2

? x ? 3 时, f ? ( x ) ? 2 x
2 3

2

?1 ? 0 .

又 f ( ? 1) ?

1 3

, f (?
2 3

2 2

) ?

2 3



) ? ?

, f ( 3 ) ? 15 .

因此,当 x ? [ ? 1, 3 ] 时, ?

? f ( x ) ? 15 .

要使得不等式 f ( x ) ? k ? 1993 对于 x ? [ ? 1, 3 ] 恒成立,则 k ? 15 ? 1993 ? 2008 . 所以,存在最小的正整数 k ? 2008 ,使得不等式 f ( x ) ? k ? 1993 对于 x ? [ ? 1, 3 ] 恒成立. (Ⅲ)方法一: | f (sin x ) ? f (cos x ) | ? | ( sin
3
?| 2 3 (sin
3

2

3

x ? sin x ) ? (

2 3

cos

3

x ? cos x ) |

x ? cos

3

x ) ? (sin x ? cos x ) |

17

? | (sin x ? cos x )[

2 3

(sin
2 3

2

x ? sin x cos x ? cos
1 3 |?
1 3

2

x ) ? 1] |
3

? | sin x ? cos x | ? | ?

sin x cos x ?

| sin x ? cos x | ?

1 3

|

2 sin( x ?

?
4

)| ?

3

2 3

2

.

又∵ t ? 0 ,∴ t ? ∴
2 f (t ? 1 2t ) ? 2[
2 3

1 2t
(t ?

?
1 2t
3

2 ,t
) ? (t ?

2

?

1 4t
2

? 1.
1 2t )[ 2 3 (t
2

1 2t

)] ? 2 ( t ?

?

1 4t
2

)?

1 3

] ? 2 2(

2 3

?

1 3

) ?

2 3

2

.

综上可得, | f (sin x ) ? f (cos x ) |? 2 f ( t ? 方法二:由(Ⅱ)知,函数 f ( x ) 在 [-1, ? 数; 在[
2 2

1 2t

) ( x ? R , t ? 0 ).

………14 分
2 2

2 2

]上是增函数;在[ ?
) ? 2 3

,
2

2 2

]上是减函
1 3

, 1]上是增函数.又 f ( ? 1 ) ?
2 3

1 3

,f ( ?
2 3

2 2

,f (

2 2 2 3

) ? ?

, f (1 ) ? ?

.

3

所以,当 x∈[-1,1]时, ?

? f (x) ?

,即 | f ( x ) |?
2 3

.
2 3

∵ sin x , cos x ∈[-1,1],∴ | f (sin x ) |?

, | f (cos x ) |?
2 3 ? 2 3 ?

.
2

∴ | f (sin x ) ? f (cos x ) |? | f (sin x ) | ? | f (cos x ) |? 又∵ t ? 0 ,∴ t ? ∴ 2 f (t ?
1 2t
1 2t ?

2 3

.……11 分

2 ? 1 ,且函数 f ( x ) 在 [1, ?? ) 上是增函数.

) ? 2 f(

2 ) ? 2[

2 3

(

2) ?
3

2] ?
1 2t

2 3

2

.

…………………13 分

综上可得, | f (sin x ) ? f (cos x ) |? 2 f ( t ? 12. 解: (1)因为 f ? ( x ) ?
1 3 4 4 1 2 ? 1 4

) ( x ? R , t ? 0 ).……………14 分

cos x ,…………2 分

所以 f ? ( x ) ? [ , ] 满足条件 0 ? f ?( x ) ? 1, ………………3 分 又因为当 x ? 0 时, f ( 0 ) ? 0 ,所以方程 f ( x ) ? x ? 0 有实数根 0. 所以函数 f ( x ) ?
x 2 ? sin x 4

是集合 M 中的元素.…………4 分

(2)假设方程 f ( x ) ? x ? 0 存在两个实数根 ? , ? (? ? ? ) , 则
f (? ) ? ? ? 0 , f ( ? ) ? ? ? 0

, ………5 分 不妨设 ? ? ? , 根据题意存在数 c ? (? , ? ),

使得等式 f ( ? ) ? f (? ) ? f ( ? ? ? ) f ?( c ) 成立,……………………7 分 因为 f (? ) ? ? , f ( ? ) ? ? , 且 ? ? ? ,所以 f ? ( c ) ? 1 , 与已知 0 ? f ? ( x ) ? 1 矛盾,所以方程 f ( x ) ? x ? 0 只有一个实数根;…………9 分
18

(3)不妨设 x 2 ? x 3 ,因为 f ?( x ) ? 0 , 所以 f ( x ) 为增函数,所以 f ( x 2 ) ? f ( x 3 ) , 又因为 f ?( x ) ? 1 ? 0 ,所以函数 f ( x ) ? x 为减函数,………………10 分 所以 f ( x 2 ) ? x 2 ? f ( x 3 ) ? x 3 ,…………11 分 所以 0 ? f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) ? x 3 ? x 2 ,即 | f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) |? | x 3 ? x 2 |, …………12 分 所以 | f ( x 3 ) ? f ( x 2 ) |? | x 3 ? x 2 |? | x 3 ? x 1 ? ( x 2 ? x 1 ) ? | x 3 ? x 1 | ? | x 2 ? x 1 |? 2 . 13. 解: (I)
2 x?2 f ? ( x ) ? [ x ? ( a ? 2) x ? a ? b ]e

,由条件得:

f ? (1) ? 0

. (1 分)

? 2a ? b ? 3 ? 0
2

,? b ? ? 3 ? 2 a .
x?2

f ? ( x ) ? [ x ? ( a ? 2) x ? 3 ? a ]e

?0

得: ( x ? 1)[ x ? ( ? 3 ? a )] ? 0 . (2 分) (4 分) (5 分) (6 分)

当 a ? ? 4 时, x ? 1 不是极值点, ? a ? ? 4 . 当 a ? ? 4 时,得 x ? 1 或 x ? ? 3 ? a ;当 a ? ? 4 时,得 x ? ? 3 ? a 或 x ? 1 . 综上得:当 a ? ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ? ? , ? 3 ? a ) 及 (1, ? ? ) 单调递减区间为 ( ? 3 ? a , 1) . 当 a ? ? 4 时, f ( x ) 的单调递增区间为 ( ?? , 1) 及 ( ? 3 ? a , ? ? ) 单调递减区间为 (1, ? 3 ? a ) . (II) a ? (0, 1) 时,由(I)知 f ( x ) 在 [0, 1) 上单调递减,在 (1, 2] 上单调递增. ? 当 x ? [0, 2 ] 时, f ( x ) ? f (1) ? (1 ? a ? b ) e ? ( ? 2 ? a ) e .
?1 ?1 m in



f (0) ? ( ? 3 ? 2 a ) e

?2



f (2) ? 4 ? 2 a ? b ? 1 ,则 f (2) ? f (0)
?1

. (8 分)

? 当 x ? [0, 2]

时,

f ( x ) ? [( ? 2 ? a ) e , 1]

.

?

由条件有: [( m ? 2) a ? m 2 ]e ? 1 ? 1 ?
( m ? 2) a ? m ? 2 ? a
2

f ( x1 ) ? f ( x 2 )

m ax

? f ( x ) m ax ? f ( x ) m in ? 1 ? (2 ? a ) e

?1

.

.即 ( m ? 1) a ? m 2 ? 2 ? 0 对 a ? (0, 1) 恒成立.
? g (0 ) ? m ? ? g (1) ? m ?
2

令 g ( a ) ? ( m ? 1) a ? m 2 ? 2 ,则有: ?
? 5 ?1 2

?2 ? 0 ? m ?1 ? 0 .

2

(1 0 分 )

解得: m

?

2

或m

?

.

(14 分)

14. 解: (I)由图形可知二次函数的图象过点(0,0)(8,0) , ,并且 f ? x ? 的 最大值为 16
? ?c ? 0 ? ? ?a ? ?1 则 ?a ? 82 ? b ?8 ? c ? 0 解 之 得 : b ? 8 ? 2 ?c ? 0 ? 4ac ? b ? ? 16, ? 4a ?



∴函数 f ? x ? 的解析式为 f ( x ) ? ? x 2 ? 8 x

19

(Ⅱ)由 ?

? ? y ? ?t

2

? 8t ? 8x

?y ? ?x ?



2

x ? 8 x ? t ( t ? 8 ) ? 0 ,? x 1 ? t , x 2 ? 8 ? t ,
2

∵0≤t≤2,∴直线 l 2 与 f ? x ? 的图象的交点坐标为( t , ? t 2 ? 8 t ) 由定积分的几何意义知:
S (t ) ?

?
2

t 0

[( ? t ? 8 t ) ? ( ? x ? 8 x )] dx ?
2 2
3

?
3

2 t

[( ? x ? 8 x ) ? ( ? t ? 8 t ] dx
2 2
2

? [( ? t ? 8 t ) x ? ( ?

x

? 4 x )]
2

t 0

? [( ?

x

? 4 x ) ? (? t ? 8t ) ? x ]
2 2 t

3
? ? 4 3 t ? 10t ? 16t ?
3 2

3

40 3

……………9 分

(Ⅲ)令 ? ( x ) ? g ( x ) ? f ( x ) ? x 2 ? 8 x ? 6 ln x ? m . 因为 x ? 0 ,要使函数 f ? x ? 与函数 g ? x? 有且仅有 2 个不同的交点,则函数
? ( x ) ? x ? 8 x ? 6 ln x ? m 的图象与 x 轴的正半轴有且只有两个不同的交点
2

? ? (x) ? 2 x ? 8 ?
'

6 x

?

2x

2

? 8x ? 6 x

?

2 ( x ? 1 )( x ? 3 ) x

( x ? 0)

∴ x =1 或 x =3 时, ? ' ( x ) ? 0 当 x ∈(0,1)时,? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 是增函数,当 x ∈(1,3)时,? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 是 减函数,当 x ∈(3,+∞)时, ? ' ( x ) ? 0 , ? ( x ) 是增函数 ? ( x )极大值为 ? (1) ? m ? 7 ; ? ( x )极小值为 ? ( 3 ) ? m ? 6 ln 3 ? 15 又因为当 x →0 时, ? ( x ) ? ?? ;当 x ? ?? 时, ? ( x ) ? ?? 所以要使 ? ( x ) ? 0 有且仅有两个不同的正根,必须且只须 ?
?m ? 7 ? 0

? ? (1 ) ? 0

?? ( 3 ) ? 0 或? ' ? ? ( 3 ) ? 0 ? ? (1 ) ? 0

即?

? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 或? , ∴ m ? 7 或 m ? 15 ? 6 ln 3 . ? m ? 6 ln 3 ? 15 ? 0 ? m ? 7 ? 0

∴当 m ? 7 或 m ? 15 ? 6 ln 3 . 时,函数 f ? x ? 与 g ? x ? 的图象有且只有两个不同交点。 15. 解:? f ' ( x ) ?
3 a
2

? x ,∴由
2

3 a
2

?x

2

? 3 有 x ? ? a ,即切点坐标为(a,a),(-a,-a),

20

∴切线方程为 y-a=3(x-a),或 y+a=3(x+a), 整理得 3x-y-2a=0,或 3x-y+2a=0。
? | ?2a ? 2a | 3 ? ( ? 1)
2 2

?

2 10 5

解得: a ? ? 1 , ? f ( x ) ? x 3 , f ' ( x ) ? 3 x 2 ,

? g ( x ) ? 3 x ? 3 bx ? 3 。
2

(1)? g ' ( x ) ? 3 x 2 ? 3 b ? g ( x ) 在 x=1 处有极值,
? g ' (1) ? 0 ,即 3 ? 1 ? 3b ? 0 ,解得 b=1,
2

? g ( x) ? 3x ? 3x ? 3 。
2

(2)∵函数 g(x)在[-1,1]是增函数,? g ' ( x ) ? 3 x 2 ? 3 b 在[-1,1]上恒大于 0,
? b ? 0 。又? b ? mb ? 4 ? g ( x ) 在[-1,1]上恒成立,? b ? mg ? 4 ? g (1) ,
2 2

即 b 2 ? mb ? 4 ? 4 ? 3 b , ? m ? b ? 3 在 b ? ( ?? , 0 ] 上恒成立,? m ? 3 ,
? m 的取值范围是 [ 3 , ?? ) 。

21



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