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资阳高2013级一诊理科数学试题


资阳市高中 2013 级第一次诊断性考试

数 学(理工类)
注意事项: 1.本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题) 。答题前,考生务必将自己的姓名、准 考证号填写在答题卡上。 2.回答第Ⅰ卷时,选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需 改动,用橡皮擦干净后,再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。 3.回答第Ⅱ卷时,将答案写在答题卡上,写在本试卷上无效。 4.考试结束后,将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷 (选择题 共 60 分)
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。 1.已知集合 M ? {x | ( x ? 2)( x ? 2) ≤ 0} , N ? {x | x ? 1 ? 0} ,则 M ? N = (A) {x|-2≤x<1} 2.函数 f ( x) ? (A) (2, ??)
1 4 ? 2x

(B) {x|-2≤x≤1} 定义域为 (B) [2, ??)
5 ?i= 2?i

(C) {x|-2<x≤1}

(D) {x| x<-2}

(C) (??, 2)

(D) (??, 2]

3.已知 i 是虚数单位,复数 (A) -2

(B) 2

(C) i-2

(D) 2+i

4.给出以下四个判断,其中正确的判断是 (A) 若“ p 或 q ”为真命题,则 p , q 均为真命题 (B) 命题“若 x ≥ 4 且 y ≥ 2 ,则 x ? y ≥ 6 ”的逆否命题为“若 x ? y ? 6 ,则 x ? 4 且 y ? 2 ” (C) 若 x≠300° ,则 cosx≠

1 2

(D) 命题“ ? x0 ? R, e x0 ? 0 ”是假命题

资阳高三数学(理科)试卷 第 1 页(共 4 页)

1 5.已知 ? ? (0,π) ,且 sin ? + cos ? = ,则 tan ? 的值为 5

(A) ? (C)

4 3

(B) ?

3 4

3 4 (D) 4 3 6.已知正项等比数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2a3-a1,则该数列的公比为

(A) 2 (C) 4 7.执行右图所示的程序框图,则输出的 S ? (A) 1023 (B) 512 (C) 511 (D) 255 8.已知 x0 是函数 f ( x) ? e x ?

1 2 1 (D) 4

(B)

1 的一个零点(其中 e 为自然对 x ?1

数的底数) ,若 x1 ? (1, x0 ) , x2 ? ( x0 , ??) ,则 (A) f ( x1 )<0,f ( x2 )<0 (C) f ( x1 )>0,f ( x2 )<0 (B) f ( x1 )<0,f ( x2 )>0 (D) f ( x1 )>0,f ( x2 )>0

9.已知a>0,b>0,且 2a ? b ? ab ,则a+2b的最小值为 (A) 5+ 2 2 (B) 8 2 (C) 5 (D) 9

?a sin x ? 2,x ? 0, ? ?) ? S ,则a的取值范 10.设函数 f ( x) ? ? 2 (其中a∈R)的值域为S,若 [1, ? x ? 2a,x ? 0

围是

1 (A) (??, ) 2

3 7 (B) [1, ] ? ( ,2] 2 4

1 (C) (??, ) ? [1,2] 2

3 (D) ( , ??) 2

11.P是△ABC内一点,△ABC,△ABP,△ACP的面积分别对应记为S,S1,S2,已知 ??? ? 3? ??? ? ? ??? ? S2 S CP ? CA ? CB ,其中 ? ? (0,1) ,若 ? 3 ,则 ? S1 S1 4 4 1 1 1 (A) 1 (B) (C) (D) 2 4 3
资阳高三数学(理科)试卷 第 2 页(共 4 页)

12.设 f ( x) 是定义在 R 上的增函数,其导函数为 f ?( x) ,且满足 关系正确的是 (A) f ( x2 ) ? f ( x ? 1) (C) f(x)>x-1

f ( x) ? x ? 1 ,下面的不等 f ?( x)

(B) ( x ? 1) f ( x) ? xf ( x ? 1) (D) f(x)<0

资阳高三数学(理科)试卷 第 3 页(共 4 页)

第Ⅱ卷(非选择题 共 90 分)
本卷包括必考题和选考题两部分。第 13 题?第 21 题为必考题,每个试题考生都必须做 答。第 22 题?第 24 题为选考题,考生根据要求做答。 注意事项: 必须使用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔在答题卡上题目指示的答题区域内作答。作图时可先 用铅笔绘出,确认后再用 0.5 毫米黑色墨迹签字笔描清楚。答在试题卷、草稿纸上无效。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分。 13.已知向量a=(2,–1),b=(m,3),若a∥b,则m的值是________.
? x ? 0, ? 14. 已知A为不等式组 ? y ? 0, 表示的平面区域, 则当a从–1连续变化到1时, 动直线 x ? y ? a ?y ? x ? 2 ?

扫过A中的那部分区域的面积为________. 15.已知数列{an}满足 a1=20,an?1 ? an ? 2 (n ? N*),则当数列{an}的前 n 项和 Sn 取得最大值 时,n 的值为________. 16.在锐角△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若b=2,B=2A,则 c 的取值范围是 ___________. 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17.(本小题满分 12 分)
?log 1 x ? ?1, ? 已知命题p:实数x满足不等式组 ? 3 命题q:实数x满足不等式 2 x2 ? 9 x ? a ? 0 ( a ? R ). 2 ? x ? 6 x ? 8 ? 0 , ?

(Ⅰ) 解命题p中的不等式组; (Ⅱ) 若p是q的充分条件,求a的取值范围. 18(本小题满分 12 分)
2 sin x ? cos x)) ,函数f(x)= a· b. 已知向量 a ? ( 2 sin x, (cos x ? sin x)) , b ? (cos x, 2 (Ⅰ) 求 y ? f ( x) 的单调递增区间;

(Ⅱ) 若将f(x)的图象向左平移

? 个单位,再将各点的 4

纵坐标伸长为原来的2倍,横坐标不变,得到函数 g ( x) 的 图象. 写出 g ( x) 的解析式并在给定的坐标系中画出它在区 间 [0,? ] 上的图象.

资阳高三数学(理科)试卷 第 4 页(共 4 页)

19.(本小题满分 12 分) 已知数列{an}的前n项和为Sn,且 Sn ? 2an ? n . (Ⅰ) 求证:数列{an+1}为等比数列; (Ⅱ) 令bn= an log 2 (an ? 1) ,求数列{bn}的的前n项和Tn.

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20.(本小题满分12分) 某厂生产当地一种特产,并以适当的批发价卖给销售商甲,甲再以自己确定的零售价出 售.已知该特产的销量(万件)与甲所确定的零售价成一次函数关系:当零售价为 80 元/件 时,销量为 7 万件;当零售价为 50 元/件时,销量为 10 万件.后来,厂家充分听取了甲的 意见,决定对批发价改革,将每件产品的批发价分成固定批发价和弹性批发价两部分,其中 固定批发价为 30 元/件,弹性批发价与该特产的销量成反比.当销量为 10 万件,弹性批发 价为 1 元/件.假设不计其它成本,据此回答下列问题. (Ⅰ) 当甲将每件产品的零售价确定为 100 元/件时,他获得的总利润为多少万元? (Ⅱ) 当甲将每件产品的零售价确定为多少时,每件产品的利润最大? 21.(本小题满分 12 分)
1 ax? -a(x+1) (其中 a ? R ),令h(x)=f(x)-g(x). 2 (Ⅰ) 当a>0时,求函数y=h(x)的单调区间;

已知函数f(x)=lnx-x,g(x)=

? a) 上恒成立,求a的最小整数值. (Ⅱ) 当a<0时,若 f(x)<g(x) 在 x ? (0,

请考生在 22、23、24 题中任选一题做答,如果多做,则按所做的第一题计分,做答时, 请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题目题号的方框涂黑。 22.(本小题满分 10 分) 选修 4-1:几何证明选讲 如图, △ ABC 的外接圆为⊙O, 延长 CB 至 Q, 再延长 QA 至 P, 使得 QC 2 ? QA2 ? BC ? QC . (Ⅰ) 求证:QA 为⊙O 的切线; (Ⅱ) 若 AC 恰好为∠BAP 的平分线,AB=10,AC=15,求 QA 的 长度. 23.(本小题满分 10 分) 选修 4-4:坐标系与参数方程
? 2 t, ? x ? ?4 ? ? 2 在平面直角坐标系中,直线 l 的参数方程为 ? (其中 t 为参数) .现以坐标 2 ? y ? ?2 ? t ? ? 2

原点为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2cos? . (Ⅰ) 写出直线 l 和曲线 C 的普通方程; (Ⅱ) 已知点 P 为曲线 C 上的动点,求 P 到直线 l 的距离的最大值. 24.(本小题满分 10 分) 选修 4-5:不等式选讲
资阳高三数学(理科)试卷 第 6 页(共 4 页)

已知函数 f ( x) ?| x ? a | . (Ⅰ) 当 a ? ?2 时,解不等式 f ( x) ≥16? | 2 x ? 1| ;
2] ,求证: f ( x) ? f ( x ? 2) ≥ 2a . (Ⅱ) 若关于 x 的不等式 f ( x) ≤1 的解集为 [0,

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