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江西省南昌市第二中学、临川区第一中学等2016届高三4月份联考(二)数学(理)试题


2016 届高三年级四月份联考(二)

数学(理)试卷
命题人:南昌二中 周启新 本试卷分第 I 卷(选择题)和第 II 卷(非选择题)两部分,满分 150 分,考试时间 120 分钟。 第 I 卷(选择题 共 60 分) 一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1.已知

全集 U ? R , A ? {x | x2 ? 2 x ? 0}, B ? {x | x ? ?1} ,则集合 ???U ( A ? B) =( A. (??, ?1] ? (0, ??) A. ? B. (??, ?1) ? [0, ??) B. ? C. (?1, 0] D. [?1, 0) ) 2.复数 Z ? (sin θ ? 2cos θ ) ? (sin θ ? 2cos θ )i 是纯虚数,则 sin θ cos θ =( )

5 2

2 5

C. ③ y ? xf ? x ?

2 5

D. ④ y ? f ? x? ? x

5 2


3.已知函数 f ( x ) 为定义在 R 上的奇函数,则下列函数中为奇函数的是( ① y ? f (| x |) A.①③ A. 2 5.如图给出的是计算 ② y ? f (? x) B. ②③ B. 5 C.①④ C. 10 D.②④

4. 等比数列 ?an ? 中,a3 ? 5 ,a8 ? 2 , 则数列 ?lg an ? 的前 10 项和等于 (



D. lg 50

1 1 1 1 ? ? ?? ? 的值的一个框图, 2 4 6 20
C. i ? 10 ? D. i ? 11?

其中判断框内应填入的条件是( ) A. i ? 8? B. i ? 9?
2

6.已知抛物线 C : y ? 4x , A , B 是抛物线 C 上的两点,且线段 AB 的中 点坐标为 (2, 2) ,则 AB 所在直线的方程为( ) A. x ? y ? 4 ? 0 B. x ? y ? 0 C. 2 x ? y ? 2 ? 0 D. 2 x ? y ? 6 ? 0 7.某车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行 了 5 次试验.根据收集到的数据(如下表),由最小二乘法求得回归直线方 ^ 程y=0.72x+58.4. 10 20 30 71 76 79 表中有一个数据模糊不清,经推断,该数据的准确值为( A. 85 B. 86 C. 87 零件数 x (个) 加工时间 y (min) 40 ) D. 88 50 89

a 2 5 8. ( x ? )(3 x ? ) 的展开式中各项系数的和为 3,则该展开式中常数项为( ) x x A. 2520 B. 1440 C. ?1440 D. ?2520 3 9.圆柱的底面半径为 r ,其全面积是侧面积的 倍。 O 是圆柱中轴线的中点,若在圆柱内任 2 取一点 P ,则使 | PO |? r 的概率为( ) 1 1 2 3 A. B. C. D. 3 2 3 4
1

10.下列四个命题中,正确的有( ) ①两个变量间的相关系数 r 越小,说明两变量间的线性相关程度越低; ②命题“ ?x ? R ,使得 x 2 ? x ? 1 ? 0 ”的否定是:“对 ?x ? R , 均有 x 2 ? x ? 1 ? 0 ” ; ③命题“ p ? q 为真”是命题“ p ? q 为真”的必要不充分条件; ④若函数 f ( x) ? x3 ? 3ax2 ? bx ? a2 在 x ? ?1 有极值 0 ,则 a ? 2, b ? 9 或 a ? 1, b ? 3 . A. 0 个 B. 1 个 C. 2 个 D.3 个 11.过双曲线

x2 y 2 ? ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的右焦点 F 作一条直线,当直线斜率为 1 时,直线与 a 2 b2

双曲线左、右两支各有一个交点;当直线斜率为 2 时,直线与双曲线右支有两个不同的交点, 则双曲线离心率的取值范围为( ) A. (1, 2) B. (1, 5)
2 2

C. ( 2, 2) D. ( 2, 5) 12.某几何体三视图如图所示,则该几何体的外接球 的表面积为( ) A.

主视图 D.

侧视图 1 1

41 41? 48

B. 12?

C.

25? 4

41? 4

俯视图 第Ⅱ卷(非选择题共 90 分) 本卷包括必考题和选做题两部分,第 13~21 题为必考题,每个试题考生都必须作答,第 22~ 24 题为选做题,考生根据要求作答。 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.设向量 a 与 b 的夹角为 ? ,且 a ? (3,3), 2b ? a ? (?1,1) ,则 cos ? ? __________.

?

?

?

? ?

? x ? 1, y ?1 ? 则W ? 14.实数 x , y 满足不等式组 ? y ? 0, 的取值范围是_________. x ? x ? y ? 0, ?
15.己知函数 f ( x) ?

2 3 x ? x 2 ? ax ? 1 的图像上存在两条斜率为 3 的切线,且切点的横坐标都 3

n

大于零,则实数 a 的取值范围为

16 . 在 数 列 {an } 中 , a1 ? 0 , an?2 ? (?1) an ? 2 . 记 Sn 是 数 列 {an } 的 前 n 项 和 , 则

S2 0 1 6 ?S

2013

?

.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤,解答 应写在答题卡上的指定区域内. 17. (本小题满分 12 分) 如图, D 是直角 ?ABC 斜边 BC 上一点, AC ? 3DC . (Ⅰ)若 ?DAC ? 30 ,求角 B 的大小;
?

(Ⅱ)若 BD ? 2DC ,且 AD ? 2 ,求 DC 的长.

2

18. (本小题满分 12 分) 某小学对五年级的学生进行体质测试, 已知五年一班共有学生 30 人, 测试立定跳远的成绩 用茎叶图表示如下(单位:cm): 男 女 7 15 5 7 8 9 9 9 8 16 1 8 4 5 2 9 8 3 5 6 17 0 2 7 5 4 6 1 2 4 18 0 1 1 19 男生成绩在 175cm 以上(包括 175cm)定义为“合格”,成绩在 175cm 以下(不包括 175cm) 定义为“不合格”. 女生成绩在 165cm 以上(包括 165cm)定义为“合格”,成绩在 165cm 以下(不包括 165cm) 定义为“不合格”. (I)求五年一班的女生立定跳远成绩的中位数; (II)若从五年一班成绩“合格”的学生中选取 2 人参加复试,用 X 表示其中男生的人数, 写出 X 的分布列,并求 X 的数学期望.

19. (本小题满分 12 分) 如图所示, 在四棱柱 ABCD ? A1B1C1D1 中, 底面 ABCD 是梯形,AD ∥ BC , 侧面 ABB1 A 1 为菱形, ?DAB ? ?DAA 1。 (Ⅰ)求证: A1B ? BC ;
? (Ⅱ)若 AD ? AB ? 3BC , ?A 1 AB ? 60 ,

点 D 在平面 ABB1 A 1B 的中点, 1 上的射影恰为线段 A 求平面 DCC1D1 与平面 ABB1 A 1 所成锐二面角的大小.

20. (本小题满分 12 分) x2 y 2 6 已 知 椭 圆 C1 : 2 ? 2 ? 1( a ? b ? 0) 的 离 心 率 为 , 焦 距 为 4 2 , 抛 物 线 C2 : a b 3 x2 ? 2 py( p ? 0) 的焦点 F 是椭圆 C1 的顶点.

??? ? ??? ? (Ⅱ)C1 上不同于 F 的两点 P , Q 满足 FP ? FQ ? 0 ,且直线 PQ 与 C2 相切,求 ?FPQ 的 面积.
21. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ? a ln( x ? 1) ?

(Ⅰ)求 C1 与 C2 的标准方程;

(Ⅰ)讨论 f ( x ) 在 (0, ??) 上的单调性; (Ⅱ)若对任意的正整数 n 都有 (1 ? )

a ?1 ? a ? 1 (a ? R) x ?1
1 n
n?a

? e 成立,求 a 的取值范围.
3

四、请考生在第 22~24 三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分。 22. (本小题满分 10 分)选修 4—1:几何证明选讲 如图,⊙ O 的半径为 4 ,线段 AB 与⊙ O 相交于点 C 、 D , AC ? 2 ,?BOD ? ?A ,OB 与 ⊙ O 相交于点 E . (Ⅰ)求 BD 长; (Ⅱ)当 CE ? OD 时,求证: AO ? AD .

23、 (本小题满分 10 分)选修 4-4:极坐标与参数方程

? x ? 2 ? 2cos ? ( ? 为参数) .在平面直角坐标系中,以坐标 ? y ? 2sin ? 原 点 为 极 点 , x 轴 的 非 负 半 轴 为 极 轴 建 立 极 坐 标 系 , 曲 线 C2 的 极 坐 标 方 程 为 ? ? cos(? ? ) ? 2 2 ( ? ? 0,0 ? ? ? 2? ) . 4 (Ⅰ)求 C1 与 C2 交点的极坐标;
已知曲线 C1 的参数方程为 ? (Ⅱ) P 是 C1 上的任意一点,过 P 点作与 C2 的夹角为 45 的直线交 C2 于点 A .求 | PA | 的最大值。
?

24.(本小题满分 10 分)选修 4-5:不等式选讲 已知 ?x0 ? R 使得关于 x 的不等式 | x ? 1| ? | x ? 2 |? t 成立. (I)求满足条件的实数 t 的集合 T ; (Ⅱ)若 m ? 1 , n ? 1 ,且对于 ?t ? T ,不等式 log3 m ? log3 n ? t 恒成立,试求 m ? n 的最 小值.

2016 届高三年级四月份联考(二)数学(理)试卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. 1. A 2. C 3. D 4. B 5. C 6. B 7. A 8. B 9. C 10. A 11. D 12.D
4

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,把答案填在答题卡的相应位置. 13.

3 10 10

14. [ ?1,1)

15. (3, )

7 2

16. 2016

三、解答题 17.解: (Ⅰ)在△ ABC 中,根据正弦定理,有

AC DC . ? sin ?ADC sin ?DAC

因为 AC ? 3DC ,所以 sin ?ADC ? 3 sin ?DAC ? 又 ?ADC ? ?B ? ?BAD ? ?B ? 60? ? 60?
? ? ? ?

3 . 2
所以 ?ADC ? 120° .

于是 ?C ? 180 ? 120 ? 30 ? 30 ,所以 ?B ? 60° . ……………………6 分 (Ⅱ)设 DC ? x ,则 BD ? 2 x , BC ? 3 x , AC ? 3x .

AC 3 6 , cos B ? , AB ? 6 x. ? BC 3 3 2 2 2 在 ?ABD 中,由余弦定理,得 AD ? AB ? BD ? 2 AB ? BD cos B , 6 2 2 2 即 ( 2) ? 6 x ? 4 x ? 2 ? 6 x ? 2 x ? ? 2 x 2 ,得 x ? 1 . 故 DC ? 1. ………12 分 3 165 ? 168 ? 166.5 cm.………3 分 18.解:(I)五年一班的女生立定跳远成绩的中位数为 2 (II)因为女生共有 18 人,其中有 10 人合格,依题意, X 的取值为 0,1,2. ………4 分
于是 sin B ?
2 1 1 0 C80C10 C8 C10 80 C82C10 5 28 则 P( X ? 0) ? , P( X ? 2) ? , ? , P( X ? 1) ? 2 ? ? 2 2 C18 17 C18 153 C18 153

(每项 2 分)……………………………10 分 因此, X 的分布列如下: 0 X

1

2

80 28 5 P 153 153 17 ∴ .(未化简不 5 80 28 136 8 E ( X ) ? 0 ? ? 1? ? 2? ? ? (人) 17 153 153 153 9
扣分)……12 分

8 8 ? (人) 18 9 19.解: (Ⅰ)连接 AB1 、 A1D 、 BD ,设 AB1 交 A 1B 于 点 O ,连 OD ,如图 19—1 所示。 ΔABD , 由 AA 1D ≌ 1 ? AB , ?DAB ? ?DAA 1 ,可得 ΔAA
(或是,因为 X 服从超几何分布,所以 E (X) ? 2 ? 所以 A1D ? BD , 由于 O 是线段 A 1B 的中点,所以 DO ? A 1B , 又根据菱形的性质知 AO ? A1B ,所以 A1B ? 平面 ADO , 所以 A1B ? AD ,又因为 AD ∥ BC ,所以 A1B ? BC 。……………6 分
5 图 19—1

(Ⅱ)由(Ⅰ)知 A1B ? AB1 ,又由题意知 DO ? 平面 ABB1 A 1 ,故可分别以射线、射线、射 线为轴、轴、轴的正方向建立空间直角坐标系,如图 19—2 所示。 设 AD ? AB ? 3BC ? 3a ,

3a 3 3a , | OA |?| OB1 |? , 2 2 3a 2 2 所以 | OD |? | AD | ? | OA | ? , 2 3 3 3 3 3 3 从而 A(0, ? a, 0) ,B( a, 0, 0) ,B1 (0, a, 0) ,D(0, 0, a ) , 2 2 2 2 ???? ? ???? 3 3 3 所以 CC1 ? BB1 ? (? a, a,0) 。 2 2 ??? ? 1 ???? ???? 3 3 3 1 3 由 BC ? AD 可得 C ( a, a, a) ,所以 DC ? ( a, a, ? a ) 。 3 2 2 2 2 2 设平面 DCC1D1 的一个法向量为 m ? ( x0 , y0 , z0 ) ,
? | OB |? 由 ?A 1 AB ? 60 可知

图 19—2

? 3 3 3 ???? ? ? x0 ? y0 ? 0 ? ? m ? CC ? 0 ? ? 2 2 1 由? ,得 ? , ???? m ? DC ? 0 3 3 ? ? x ? ? y0 ? z0 ? 0 0 ? ?2 2 取 y0 ? 1 ,则 x0 ? 3 , z0 ? 2 3 ,所以 m ? ( 3,1, 2 3) 。 ???? 3 OD ? (0, 0, a ) , 又平面 ABB1 A 的法向量为 1 2 ???? ?? ???? ?? OD ? m 3 3a 3 ?? ? ? 所以 cos ? OD, m ?? ???? 。 3 2 | OD | ? | m | a?4 2 π 故平面 DCC1D1 与平面 ABB1 A .……………………12 分 1 所成锐二面角的大小为 6
20.解: (I)设椭圆 解得 又抛物线 , : ,故抛物线 (II)显然,直线 则 即 , 的焦距为 ,故椭圆 ,依题意有 的标准方程为 开口向上,故 是椭圆 , ,

. ……………………3 分 的上顶点, . ……………………5 分 ,设 ,

C2 的标准方程为

的斜率存在. 设直线 ,

的方程为

Q( x2 , y2 ) ,


( )……………………7 分

6

? y ? kx ? m ? 联立 ? x 2 y 2 ,消去 整理得, ?1 ? ? ?12 4 依题意, , x2 是方程( )的两根,
, 解得 联立 令 此时, .……………………12 分 21.解: (Ⅰ) f ?( x) ? 当a ? ? , ( , 将 和

( , 代入( )得

).



时直线 PQ 过点 F,不合题意,应舍去). ……………………9 分 ,消去 整理得, ,解得 , .……………10 分 经检验, , , 符合要求.

?a a ?1 ax ? 2a ? 1 ,…………………1 分 ? ?? 2 x ? 1 ( x ? 1) ( x ? 1) 2

1 时, f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递增; 2 1 2a ? 1 2a ? 1 ) 上单调递减,在 ( ? , ?? ) 上单调递增, 当 ? ? a ? 0 时, f ( x ) 在 (0, ? 2 a a 当 a ? 0 时, f ?( x) ? 0 在 (0, ??) 上恒成立,所以 f ( x ) 在 (0, ??) 上单调递减。………6 分 1 n?a a 1 1 ? e ? (1 ? ) ln(1 ? ) ? ? 0 。………………7 分 (Ⅱ) (1 ? ) n n n n ) ? 0 。 令 g ( x) ? (1 ? ax) ln(1 ? x) ? x ,x ? (0,1] , 故要上式成立, 只需对 ?x ? (0,1] , 有 g(x a ?1 g ?( x) ? f ( x) ? ?a ln( x ? 1) ? ? a ?1 ………………8 分 x ?1
由(Ⅰ)可知,

1 时,∴ g ( x) 在 (0,1] 上单调递增; ∴ g ( x) ? g (0) ? 0 ,符合题意。 2 ②当 a ? 0 时,∴ g ( x) 在 (0,1] 上单调递减; ∴ g ( x) ? g (0) ? 0 ,不符合题意。 1 1 2a ? 1 ) 上单调递减; ③当 ? ? a ? ? 时, g ( x) 在 (0, ? 2 3 a 2a ? 1 ) 时, g ( x) ? g (0) ? 0 ,不符合题意。 ∴当 x ? (0, ? a 1 ④当 ? ? a ? 0 时, g ( x) 在 (0,1] 上单调递减; 3 ∴当 x ? (0,1] 时 g ( x) ? g (0) ? 0 ,不符合题意。 1 综上可知, a 的取值范围为 (??, ? ] .…………………12 分 2
①当 a ? ?
7

22.解: (Ⅰ)∵OC=OD,∴∠OCD=∠ODC,∴∠OCA=∠ODB. ∵∠BOD=∠A,∴△OBD∽△AOC.∴ ∵OC=OD=4,AC=2,∴

BD OD ? , OC AC
…………………5 分

BD 4 ? ,∴BD=8. 4 2

(Ⅱ)证明:∵OC=OE,CE⊥OD.∴∠COD=∠BOD=∠A. ∴∠AOD=1800—∠A—∠ODC=1800—∠COD—∠OCD=∠ADO. ∴AD=AO …………………10 分 23、解: (Ⅰ)将 ?

? x ? 2 ? 2cos ? , 2 2 消去参数 ? ,得 ? x ? 2? ? y ? 4 , y ? 2sin ? ?
2

所以 C1 的普通方程为: x

? y2 ? 4x ? 0 .
解得 ?

将曲线 C2 的极坐标方程化为直角坐标方程得: x ? y ? 4 ? 0 . 由?

? x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0, ? x ? y ? 4 ? 0,

? x ? 4, ? x ? 2, 或? ? y ? 0 ? y ? ?2.

所以 C1 与 C2 交点的极坐标分别为

? 4,0? 或 ? ?2
?

2,

7? 4

(2 ? 2cos ?, 2sin ?),P 到直线 C2 的距离为 d (Ⅱ)设 P

? ? . ……………………5 分 ?

d?

2 ? 2cos ? ? 2sin ? ? 4 2

? ? 2 sin ? ? cos ? ? 1 ? 2 2 sin (? ? ) ?1 4

d max ? 2? ( 2 2 ? 1) ? 2 2 ? 2 ………………………10 分 ? sin 4 24.解:(I)错误!未找到引用源。, ……………………………………………3 分 所以 x ? 1 ? x ? 2 ? 1 ,所以 t 的取值范围为 ? ??,1? .………………………………5 分 PA max ?
(Ⅱ)由(I)知,对于 ?t ? T ,不等式 log 3 m ? log 3 n ? t 恒成立,只需 log3 m ? log3 n ? tmax , 所以 log 3 m ? log 3 n ? 1 ,…………………………………………………………………7 分 又因为 m ? 1, n ? 1 ,所以 log 3 m ? 0, log 3 n ? 0 .又
? log m ? log3 n ? ? log3 mn ? 1 ? log3 m ? log3 n ? ? 3 ? log3 m= log3 n时,取等号,此时m ? n ? , ? ? 2 4 ? ?
2 2

所以 ? log 3 mn ? ? 4 ,所以 log 3 mn ? 2 , mn ? 9 ,
2

所以 m ? n ? 2 mn ? 6 ,即 m ? n 的最小值为 6 ? 此时m=n=3? .………………………10 分

8


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