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2016年安徽财贸职业学院单招数学模拟试题(附答案)


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2016 年安徽财贸职业学院单招数学模拟试题(附答案)
一、选择题:本大题共 l2 小题,每小题 5 分.共 60 分.在每小题给出的四个选项 中.只有一项是符合题目要求的. 1.设集合 A ? {x || x ? 2 |? 2, x ? R}, B ? { y || y ? ? x 2 ,?1 ? x ? 2}, 则 ?R

(A∩B)等于 ( ) A.R B. {x | x ? R且x ? 0} C.{0} D. ? ( )

2.已知 cos( ? ? ? ) ?

3 5 ? ? , sin ? ? ? , 且? ? (0, ), ? ? (? ,0), 则 sin ? = 5 13 2 2
B.

A.

33 65

63 65

C. ?

33 65

D. ?

63 65
( )

m,n, 3.对于平面 ?和共面的直线 下列命题中真命题是
A.若 m ? ? , m ? n, 则n // ? C.若 m ? ?,n // ?,则m // n 4.数列 ?an ? 中,若 a1 ? A ?1 B.若 m // ?,n // ?,则m // n

m // n D.若 m,n与?所成的角相等,则

1 1 (n ? 2, n ? N ) 则 a2007 的值为 , an ? 2 1 ? an ?1
C 1 D 2

B

1 2

5.如果 f '( x) 是二次函数, 且 f '( x) 的图象开口向上,顶点坐标为(1,- 3), 那么曲线 y=f(x)上任一点的切线的倾斜角α 的取值范围是( A. (0, 2π ] 3 )

π 2π π 2π π 2π B. [0, )∪[ , π) C. [0, ]∪[ , π) D. [ , ] 2 3 2 3 2 3 )

6.两直线 3x+y-2=0 和 y+a=0 的夹角为( A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°

7.已知函数 y ? f ( x)(x ? R)满足f ( x ? 2) ? f ( x) 且当 x ? [?1,1]时f ( x) ? x 2 ,则

y ? f ( x)与y ? log7 x 的图像的交点个数为(



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A.3 B.4 C.5 D.6

8.若关于 x 的方程 4cos x ? cos2 x ? m ? 3 ? 0 恒有实数解,则实数 m 的取值范围是 A. ? ?1, ??? B. ? ?1,8? C

?0,8?

D ?0,5?

9.如图,在杨辉三角中,斜线的上方从 1 开始按箭头所示的数组 成一个锯齿形数列 1,3,3,4,6,5,10,……,记此数列为 {an } , 则 a21 等于 A.55 B.65 C.78 D.66

x2 y2 10.已知点 F1、F2 为双曲线 2 ? 2 ? 1 (a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点, P 为右支上一点, a b 点 P 到右准线的距离为 d ,若 | PF1 | 、 | PF2 | 、d 依次成等差数列,则此双曲线离心率
的取值范围是( A. 1, 2 ? 3 ? ) B 1, 3 ?

?

?

?

?

C ?2 ? 3, ??

?

?

D ?2 ? 3,2 ? 3 ?

?

?

11.如图, 直线 MN 与双曲线 C:

x 2 y2 - = 1 的左右两支分别交于 a2 b2

M、N 两点, 与双曲线 C 的右准线相交于 P 点, F 为右焦点,若 → → |FM|=2|FN|, 又NP= λ PM (λ ∈R), 则实数λ 的取值为 ( ) A. 1 2 B. 1 C.2 D. 1 3

12.△ABC 的 AB 边在平面α 内,C 在平面α 外, AC 和 BC 分别与面α 成 30°和 45°的角,且 面 ABC 与α 成 60°的二面角, 那么 sin∠ACB 的值为 ( A. 1 B. 1 3 C. 2 2 3 D. 1 或 1 3 )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分.把答案填在题中横线上. x 2 1 13. 二项式( - )9 展开式中 的系数为________ 2 x x 14.一个五位数由数字 0,1,1,2,3 构成, 这样的五位数的个数为_________

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15. 过定点 P(1,4)作直线交抛物线 C: y=2x2 于 A、B 两点, 过 A、B 分别作抛物线 C 的 切线交于点 M, 则点 M 的轨迹方程为_________ 16.定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? ) ? f ( x ) ? 0, 且函数 f ( x ? ) 为奇函数,给

5 2

5 4

5 5 ;②函数 f ( x ) 的图像关于点 ( ,0) 4 2 5 5 对称;③函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? 对称;④函数 f ( x ) 的最大值为 f ( ) . 2 2
出下列结论:①函数 f ( x ) 的最小正周期是 其中正确结论的序号是__________(写出所有你认为正确的结论的序号)

三、解答题:本大题共6小题,共 74 分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步 骤。 17.如图,函数 y=2sin(πx+φ ),x∈R,(其中 0≤φ ≤ (Ⅰ)求φ 的值; (Ⅱ)设 P 是图象上的最高点,M、N 是图象与 x 轴的交点,求 PM与PN的夹角 .

? )的图象与 y 轴交于点(0,1). 2

.

18.(本题满分 13 分)已知等差数列 {an } 满足:公差 d ? 0. an ? an?1 ? 4n 2 ? 1 (n=1,2,3,…) ①求通项公式 an ;

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②求证:

2 2 2 2 + + +… + ?1 . a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n ?1

19.(本题满分 12 分)甲、乙两人在罚球线投球命中的概率分别为

2 3 和 ,假设两 3 4

人投球是否命中,相互之间没有影响;每次投球是否命中,相互之间也没有影响。 ①甲、乙两人在罚球线各投球一次,求两人都没有命中的概率; ②甲、乙两人在罚球线各投球两次,求甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的 概率.

20.(本题满分 12 分)如图,在四棱锥 E-ABCD 中, F 为 AE 的中点,AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE, AB=BC=CE=2CD= 2, ∠BCE=1200. ①求证:DF⊥平面 ABE ; ②求点 B 到平面 ADE 的距离.

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21.(本题满分 12 分)如图, F ?, F 分别为椭圆

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 和双曲线 a 2 b2

x2 y 2 ? ? 1 的右焦点,A、B 为椭圆和双曲线的公共顶点.P、Q 分别为双曲线和椭圆上 y a 2 b2
不同于 A、B 的第一象限内的点,且满足

??? ? ???? ? PA ? PB = ? QA ? QB ?? ? R? , PF ? 3QF ? .
⑴求出椭圆和双曲线的离心率; (2)设直线 PA、PB、QA、QB 的斜率分别是

?

?

P Q A O F/


F B

x

F?

k1 , k2 , k3 , k4 .求证: k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 .

22.(本题满分 12 分)设 x=1 是函数 f ?x? ? x 3 ? ax2 ? bx 的一个极值点( a ? 0 ). (I)求 a 与 b 的关系式(用 a 表示 b ),并求 f ( x) 的单调区间; (II)设 m>0,若 f ( x) 在闭区间 ?m, m ? 1? 上的最小值为 ? 3 ,最大值为 0,求 m 与 a 的值.

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参考答案
一、选择题: 题 号 答 案 二、填空题: 13、-252 14、48 15、y=4x-4 16、②_③ 三、解答题: 17、解:(Ⅰ)因为函数图象过点(0,1) 所以 2sin ? ? 1 ,即 sin ? ?

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

11

12

B

A

C

A

B

B

D

C

D

A

A

D

1 ? ? ?,因为 0 ? ? ? 所以 ? ? . 2 2 6

(Ⅱ)由函数 y ? 2sin(? x ?

?
6

) 及其图象,得

1 1 5 M (? , 0), P( , 2), N ( , 0), 6 3 6
所以 PM ? (? , ?2, ) PN ? ( , ?2) 从而

???? ?

1 2

????

1 2

???? ? ???? ???? ? ???? 15 PM ? PN cos ? PM , PN ?? ???? ? ???? ? 17 PM ? PN

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故 ? PM , PN ?? arccos

???? ? ????

15 17
………1 分

18、解:①依题意可设 an ? a1 ? ?n ? 1?d

则 an ? an?1 ? ?a1 ? ?n ? 1?d ?? ?a1 ? nd? ? a1 ?a1 ? d ? ? ?2a1 ? d ?dn ? d 2 n 2 ? 4n 2 ? 1 对 n=1,2,3,……都成立 ………3 分



又 d ? 0. 解得 a1 ? 1, d ? 2

∴ an ? 2n ? 1.

………6 分

②∵

2 2 2 1 1 ? 2 ? ? ? a n a n ?1 4n ? 1 (2n ? 1)(2n ? 1) 2n ? 1 2n ? 1

…………9 分



2 2 2 2 + + +… + a1 a 2 a 2 a 3 a 3 a 4 a n a n ?1
……12 分

1 1 1 1 1 1 ? (1 ? ) ? ( ? ) ? ? ? ( ? ) ? 1? ? 1. 3 3 5 2n ? 1 2n ? 1 2n ? 1

19、解:(Ⅰ)依题意,记“甲投一次命中”为事件 A,“乙投一次命中”为事件 B,
则 P( A) ?

2 3 1 1 , P( B) ? , P( A) ? , P( B) ? . 3 4 3 4

…………3 分

∵“甲、乙两人各投球一次,都没有命中”的事件为 A ? B

? P( A ? B) ? P( A) ? P( B) ?

1 1 1 ? ? . 3 4 12

…………5 分

(Ⅱ)∵甲、乙两人在罚球线各投球二次时,
1 甲命中 1 次,乙命中 0 次的概率为 P 1 ? C2

2 1 ?1? 1 …………7 分 ? ?? ? ? 3 3 ?4? 36

2

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甲命中 2 次,乙命中 0 次的概率为 P2 ? ? ? ? ? ? ?
2

? 2? ? 3?

2

?1? ? 4?

2

1 …………9 分 36

3 1 1 ? 2? 1 甲命中 2 次,乙命中 1 次”的概率为 P3 ? ? ? ? C2 ? ? ? …………11 分 4 4 6 ? 3?
故甲、乙两人在罚球线各投球两次,甲投球命中的次数比乙投球命中的次数多的 概率为 P= P1 ? P2 ? P3 ?

2 9

20、解:取 BE 的中点 O,AE 的中点 F,连 OC,OF,CD.则 1 OF ∥ BA 2
∵AB⊥平面 BCE,CD⊥平面 BCE, AB=2CD ∴CD ∥

1 BA , OF ∥ CD∴ OC ∥ FD ……3 分 2

∵BC=CE, ∴OC⊥BE.又 AB⊥平面 BCE. ∴OC⊥平面 ABE. ∴FD⊥平面 ABE. ②∵CD ∥ ……6 分

1 BA ,延长 AD, BC 交于 T 2

则C为BT 的中点..……. .…….…………. .…….……………8 分 过 B 作 BH⊥AE,垂足为 H。∵平面 ADE.⊥平面 ABE。∴BH⊥平面 BDE. 由已知有 AB⊥BE. BE= 2 3 ,AB= 2, ∴BH= 3 , 从而点 B 到平面 ADE 的距离为 3 ……………… ……………12 分

21、解: (I)设 O 为原点,则 PA ? PB =2 PO , QA ? QB =2 QO 。 而 PA ? PB = ? QA ? QB ,得 PO = ? QO , 于是 O、P、Q 三点共线。 ……………2 分

?

?

因为 PF ? 3QF ? 所以 PF∥QF/,且 PF ? 3 QF ? ,……………3 分

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得? ?

OP OQ

?

PF QF ?

?

OF OF ?

? 3,



a2 ? b2 ? 3, ∴ a 2 ? 2b 2 a2 ? b2

……………5 分

因此椭圆的离心率为

2 6 . 双曲线的离心率为 . 2 2

……………7 分

(II)设 P( x1 , y1 ) 、 Q( x2 , y2 ) , 点 P 在双曲线

x2 2b 2

?

y2 b2

? 1 的上,有

x12 y12 ? ?1。 2b 2 b 2

2 则 x1 ? 2b 2 ? 2 y12 .

所以 k1 ? k 2 ?

y1 y1 2x y x ? ? 2 1 12 ? 1 。 x1 ? a x1 ? a x1 ? 2b y1 ? y2 b
2

①…………9 分

又由点 Q 在椭圆

x2 2b
2

2 2 。 ? 1 上,有 x2 ? 2b 2 ? ?2 y2

同理可得 k 3 ? k 4 ? ?

x2 ② y2

……………10 分

∵O、P、Q 三点共线。∴

x1 x2 。 ? y1 y2
……………12 分

由①、②得 k1 ? k2 ? k3 ? k4 ? 0 。 22、解:(I) f ?? x ? ? 3x 2 ? 2ax ? b ……………1 分

由已知有: f ??1? ? 0, ∴ 3 ? 2a ? b ? 0 ,∴ b ? ?2a ? 3 ……………2 分 从而 f ?? x ? ? 3?x ? 1?? x ?

? ?

2a ? 3 ? ? 3 ?
2a ? 3 . ∵ a ? 0 ∴x2 ? ?1 3

令 f ?? x ? =0得:x1=1,x2= ?

当x变化时, f ?? x ? 、f(x)的变化情况如下表:

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?? ?, x2 ?
+ 增函数

?x 2 ,1?
- 减函数

?1,???
+ 增函数

f ?? x ?
f ( x)

从上表可知: f ( x) 在 ? ? ?,?

? ?

2a ? 3 ? ? , ?1,??? 上是增函数; 3 ?

在??

? 2a ? 3 ? ,1? ,上是减函数 ……………5 分 3 ? ?

(II)∵m>0,∴m+1>1. 由(I)知: ①当 0<m<1 时, m ? 1 ? ?1,2? . 则最小值为 f ?1? ? ?3, 得: a ? 1 此时 f ?x? ? x 3 ? x 2 ? 5x .从而 f ?m? ? m m 2 ? m ? 5 ? 0, ∴最大值为 f ?m ? 1? ? 0, 得 m ? ……7 分

?

?

21 ? 3 2
……9 分

此时 f ?m? ? m m 2 ? m ? 5 ? ?2m?m ? 1? ? ?? 3,0?, 适合. ②当 m ? 1 时, f ( x) 在闭区间 ?m, m ? 1? 上是增函数. ∴最小值为 f ?m? ? m m 2 ? am ? 2a ? 3 ? ?3 ⑴ 最大值为 f ?m ? 1? ? ?m ? 1??m ? 1? ? a?m ? 1? ? ?2a ? 3? =0.
2

?

?

?

?

?

?

⑵………10 分

由⑵得: m 2 ? am ? ?2a ? 3? ? ?2m ? 1 ? a ⑶ ⑶代入⑴得: ? m?2m ? 1 ? a ? ? ?3 .即 m?2m ? 1 ? a ? ? 3 又 m ? 1, a ? 0 ∴ 2m ? 1 ? a ? 3 从而 m?2m ? 1 ? a ? ? 3 ∴此时的 a,m 不存在 综上知: m ?

21 ? 3 , a ? 1. 2

………12 分


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