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2012年安徽师大附中自主招生数学试题及答案


□□ 2012 安徽师大附中自主招生 数 学 试 卷 题 得 号 分 一 二 总 分 一、填空题(本大题共 8 小题,每小题 7 分,共 56 分. 把答案填在题中横线上) 1.若 x ? 2 ? 1,则 x3 ? (2 ? 2) x2 ? (1 ? 2 2) x ? 2 的值是 . 2.有 6 个量杯 A 、 B 、 C 、 D 、 E 、 F ,它们的容积分别是 16 毫升、18 毫升、22 毫升、 23 毫升、24 毫升和 34 毫升.有些量杯中注满了酒精,有些量杯中注满了蒸馏水,还剩下一 个空量杯, 而酒精的体积 是蒸馏水体积的两倍. 那么注满蒸馏水的量杯是 . 3.各边互不相等的 ?ABC ,两条高的长度分别为 4 和 12,若第三条高的长度也是整数,那 么这条高的长度等于 . ? 4 .如图 1, 在 ?ABC 中 , AB ? AC , ?A ? 40 , 延长 AC 到 D , 使 CD ? BC , 点 P 是 ?ABD 的内心,则 ?BPC ? . 图1 图2 图3 5. ?ABC 的三边长 a, b, c 都为整数,且 a ? bc ? b ? ca ? 24 ,当 ?ABC 为等腰三角形时,它 的三边边长分别为 . 6. 如图 2,凸五边形 ABCDE 内接于半 径为 1 的⊙ O , ABCD 是矩形, AE ? ED ,且 BE 和 CE 把 AD 三等分.则此五边形 ABCDE 的面积是 . 7 .方程 x ? ax ? b ? 0 的两根为 x1 , x2 ,且 x13 ? x23 ? x12 ? x22 ? x1 ? x2 ,则有序实数对 2 ( a, b) 共有 对. 8 .如图 3, 正 ?EFG 内接于正方形 ABCD ,其中 E, F , G 分别在边 AB, AD, BC 上,若 AE BG ? 2 ,则 ? EB BC . 二、解答题(本大题共 3 小题,共 44 分,答题应写出文字说明、证明过程或演 算步骤) 9. (本小题满分14分)如图,⊙ O1 与⊙ O2 相交于 A 、 B 两点,过点 B 的直线交⊙ O1 与⊙ O2 于 C 、 D .弧 BD 的中点为 M , AM 交⊙ O1 于 E ,交 CD 于 F ,连 CE, AD, DM . (1) 求证: AD ? EF ? DM ? CF ; (2) 求证: EF 2 MF ? ; CE 2 MA (3) 若 BC ? 5, BD ? 7, CF ? 2DF , AM ? 4MF ,求 MF 和 CE 的长. 10. (本小题满分 14 分)两个男孩曹俊和伍岳在 3 ? 3 棋盘上用黑棋子和白棋子对局,规则 如下: (I)他们轮流下子; (II)每轮到一次,就把一个棋子放在棋盘的空格里; (III)棋手轮到时, 可选择一白子或一黑子,并且不必要总用同色; (IV)当棋盘填满时,某一行、列或对角线 有偶数个黑棋子,曹俊就得 1 分,而某一行、列或对角线有奇数个黑棋子,伍岳就得 1 分; (V)棋手至少得到 8 分中的 5 分,就算得胜. (1) 4 : 4 和局是否可能?若可能,请列出一种表格的情况;若不可能,请说明理由; (2)叙述先下手的男孩的取胜策略. 11. (本小题满分 16 分)已知直线 y ? 顶点为 M 1 x 和 y ? ? x ? m ,二次函数 y ? x2 ? px ? q 图象的 2 (1)若 M 恰在直线 y ? 1 x 和 y ? ? x ? m 的交点

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