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重庆18中2010-2011学年高一数学下学期期末考试试题


重庆 18 中 2010——2011 学年度(下)期末考试高一年级 数 学 试 题
一.选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的. (1)已知数列 { a n } 为等比数列,且 a 1 ? 1, a 4 ? 8 ,则公比 q ? (A) 1 (B) 2
2,b ?
?

>
(C) 4
3 , B ? 60 ,那么角 A ?
?

(D) 8

(2)已知 ? ABC 中, a ? (A) 135
?

(B) 90

(C) 45

?

(D) 30

?

?x ? 0 ? (3)已知 ? y ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最小值为 ?x ? y ? 2 ?

(A) 2 (B) 0 (C) ? 2 (4)若 a ? b ? 0 ,那么下列不等式中正确的是 (A)
1 a ? 1 b

(D) ? 4

(B)

1 a

?

1 b

(C) ab ? b

2

(D) ab ? a
2

2

(5) 袋内装有 6 个球, 每个球上都记有从 1 到 6 的一个号码, 设号码为 n 的球重 n ? 6 n ? 12 克,这些球等可能地从袋里取出(不受重量、号码的影响).若任意取出 1 球,则其重量大 于号码数的概率为 (A)
1 6

(B)

1 3

(C)
1 a ? 2 b

1 2

(D)

2 3

(6)实数 a , b 均为正数,且 a ? b ? 2 ,则 (A) 3 (B) 3 ? 2 2

的最小值为 (D)
3 2 ? 2

(C) 4

(7)为了解某校身高在 1 . 60 m ~ 1 . 78 m 的高一学生的情况,随机地抽查了该校 100 名高一 学生,得到如图 1 所示频率直方图.由于不慎将部分数据丢失,但知道前 4 组的频数成等比 数列,后 6 组的频数成等差数列,设最大频率为 m ,身高在 1 . 66 m ~ 1 . 74 m 的学生数为 n , 则 m , n 的值分别为 (A) 0 . 27 , 78 (B) 0 . 27 ,83 (C) 0 . 81 , 78 (D) 0 . 09 ,83

用心

爱心

专心

1

图2 (8)若执行如图 2 所示的程序框图,当输入 n ? 1, m ? 5 ,则输出 p 的值为 (A) ? 4 (B) 1 (C) 2 (D) 5
b a

(9)锐角三角形 A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 B ? 2 A ,则 围是 (A) (1, 2 ) (B) (1, 3 ) (C) ( 2 , 3 )

的取值范

(D) ( 3 , 2 2 )

(10)已知数列 { a n } 满足 3 a n ? 1 ? a n ? 4 ( n ? 1) ,且 a 1 ? 9 ,其前 n 项之和为 S n ,则满足不 等式 S n ? n ? 6 ?
1 125

的最小整数是

(A) 5 (B) 6 (C) 7 (D) 8 二.填空题:本大题共 5 小题,每小题 5 分,共 25 分.把答案填写在答题卡相应位置上. (11)已知等差数列 { a n } ,若 a 1 ? a 3 ? a 5 ? 9 ,则 a 2 ? a 4 ? __________. (12)某校有教师 400 人,男学生 3000 人,女学生 3200 人.现用分层抽样的方法,从所有 师生中抽取一个容量为 n 的样本,已知从男生中抽取的人数为 100 人,则 n ? __________. (13)现有红、黄、蓝、绿四种不同颜色的灯泡各一个,从中选取三个分别安装在 ? ABC 的 三个顶点处,则 A 处不安装红灯的概率为__________. (14)某城市缺水问题比较突出,为了制定节水管理办法,对全市居民某年的月均用水量进 行了抽样调查,其中 4 位居民的月均用水量分别为 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 .根据图 3 所示的程序框图, 若知 x 1 , x 2 , x 3 , x 4 分别为 1, 2 ,1 . 5 , 0 . 5 ,则输出的结果 S 为__________.

用心

爱心

专心

2

图3

(15)在 ? A B C 中,内角 A , B , C 的对边分别为 a , b , c ,若 C ? 6 0 ,且 3 a b ? 2 5 ? c ,则
2

?

? A B C 的面积最大值为__________.

三.解答题:本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. (16) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 设 { a n } 是公差大于 0 的等差数列, a 1 ? 2 , a 3 ? a 2 ? 10 . (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)设 { b n } 是首项为 1 ,公比为 2 的等比数列,求数列 { a n ? b n } 的前 n 项和 S n . (17) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 9 分, (Ⅱ)小问 4 分. ) 已知 x 1 , x 2 , ? , x n ( n ? N , n ? 100 ) 的平均数是 x ,方差是 s .
2
?

2

(Ⅰ)求数据 3 x 1 ? 2 , 3 x 2 ? 2 , ? , 3 x n ? 2 的平均数和方差; (Ⅱ)若 a 是 x 1 , x 2 , ? , x 100 的平均数, b 是 x1 0 1 , x1 0 2 , ? , x n 的平均数.试用 a , b , n 表示
x.

(18) (本小题满分 13 分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ) 分, (Ⅲ)小问 7 分. ) 已知数列 { a n } 的通项公式为 a n ? n ? 2 ,为了
n

小问 2

求 数

列 { a n } 的和,现已给出该问题的算法程序框图. (Ⅰ)请在图中执行框①②处填上适当的表达 该算法完整; (Ⅱ)求 n ? 4 时,输出 S 的值; (Ⅲ)根据所给循环结构形式的程序框图,写 代码. 图4 (19) (本小题满分 12分, (Ⅰ)小问 4 分, (Ⅱ) 分. ) 已知函数 f ( x ) ? log 2 ( x ? x ) , g ( x ) ? log 2 ( ax ? a ) .
2

式,使

出 伪

小问 8

(Ⅰ)求 f ( x ) 的定义域;
用心 爱心 专心 3

(Ⅱ)若 g ( x ) 的定义域为 (1, ?? ) ,求当 f ( x ) ? g ( x ) 时 x 的取值范围. (20) (本小题满分 12 分, (Ⅰ)小问 6 分, (Ⅱ)小问 6 分. ) 已知变量 S ? sin
a ?b 3

? .

(Ⅰ)若 a 是从 0 ,1, 2 , 3 四个数中任取的一个数, b 是从 0 ,1, 2 三个数中任取的一个数, 求 S ? 0 的概率; (Ⅱ) a 是从区间 [ 0 , 3 ] 中任取的一个数,b 是从区间 [ 0 , 2 ] 中任取的一个数, S ? 0 若 求 的概率. (21) (本小题满分 12分, (Ⅰ)小问 5 分, (Ⅱ)小问 7 分. ) 已知各项均为正数的数列 { a n } ,其前 n 项和为 S n ,且满足 2 S n ? a n ? a n . (Ⅰ)求 { a n } 的通项公式; (Ⅱ)若数列 {
1 an
2
2

} 的前 n 项和为 T n ,求证:当 n ? 3 时, T n ?

3 2

?

1 ? 2n 2n
2

.

重庆八中 2010——2011 学年度(下)期末考试高一年级 数学试题参考答案 一、选择题
BCDAD DACCC

? ? ? ? B? A ? 2A ? A ? ? ? ? ? ? ? 2 2 9.由题意得 ? ,又 ? ? ? ? A? 6 4 ?B ? ? ?2 A ? ? ? ? ? 2 ? 2
b a ? s in B s in A b a ? s in 2 A s in A ? 2 cos A ? 3 1 3 ( a n ? 1) ,所以 a 1 125
n

?

2 s in A c o s A s in A

? 2 c o s A ,所以 2 c o s

?
4

? 2 cos A ? 2 cos

?
6

即 2 ?

10.因为 3 a n ? 1 ? a n ? 4 ? a n ? 1 ? 1 ? ?
1
n

n

? 8(?

1 3

)

n ?1

? 1 ,所以用分组求和

可得 S n ? n ? 6 ? 6 ? ( ? ) ,所以 S n ? n ? 6 ?
3

? 3 ? 7 5 0 显然最小整数为 7 .

二、填空题 11. 6 12. 2 2 0 13.
3 4
2 2 2

14.

5 4

15.

25 3 16
2 2

15 . 由 余 弦 定 理 可 得 c ? a ? b ? a b , 所 以 3 a b ? 2 5 ? a ? b ? a b , 化 简 可 得

用心

爱心

专心

4

25 ? a ? b ? 2ab ? 2ab ? 2ab 即
2 2

25 4

? a b 当且仅当 a ? b 时等号成立,所以三角形 A B C

的面积 S ? 三、解答题

1 2

a b s in C ?

1 2

?

25 4

?

3 2

?

25 3 16

,所以最大值为

25 3 16



16. 解: (Ⅰ)由题意 a 1 ? 2 d ? ( a 1 ? d ) ? 1 0
2

由 a 1 ? 2 得 2 ? 2 d ? ( 2 ? d ) ? 1 0 ??????????3 分
2

化简得 d ? 2 d ? 8 ? 0 解得 d ? 2 或 d ? ? 4 (舍)
2

所以 a n ? 2 ? ( n ? 1) ? 2 ? 2 n ??????6 分 (Ⅱ)由题意 b n ? 2
n ?1

??????8 分

所以 S n ? ( a 1 ? b1 ) ? ( a 2 ? b 2 ) ? ? ? ( a n ? b n )
? ( a 1 ? a 2 ? ? ? a n ) ? ( b1 ? b 2 ? ? ? b n ) ? ( 2 ? 4 ? ? ? 2 n ) ? (1 ? 2 ? ? ? 2
n(2 ? 2n) 2 1? 2
n
n ?1

)

?

?

1? 2

? 2 ? n ? n ? 1 ???13 分
n 2

17.解: (Ⅰ)由题意有 x ?

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

设数据 3 x 1 ? 2 , 3 x 2 ? 2 , ? , 3 x n ? 2 的平均数和方差分别为 x , s ,则
' '2

x ?
'

(3 x1 ? 2 ) ? (3 x 2 ? 2 ) ? ? ? (3 x n ? 2 ) n

? s
'2

3( x1 ? x 2 ? ? ? x n ) n ? ? 1 n 1 n

? 2 ? 3 x ? 2 ???5 分
' 2 ' 2

[(3 x1 ? 2 ? x ) ? (3 x 2 ? 2 ? x ) ? ? ? (3 x n ? 2 ? x ) ]
' 2

[9 ( x1 ? x ) ? 9 ( x 2 ? x ) ? ? ? 9 ( x n ? x ) ] ? 9 s ???????????9 分
2 2 2 2

(Ⅱ) x ?
?

x1 ? x 2 ? ? ? x n n

?

( x1 ? x 2 ? ? ? x1 0 0 ) ? ( x1 0 1 ? ? ? x n ) n

1 0 0 a ? ( n ? 1 0 0 )b n

????13 分

18.解: (Ⅰ)第①处填 S ? S ? a ? b 第②处填 b ? 2 b ??????4 分 (Ⅱ) n ? 4 时, S ? 1 ? 2 ? 2 ? 2 ? 3 ? 2 ? 4 ? 2 ? 9 8 ??????6 分
2 3 4

用心

爱心

专心

5

(Ⅲ) S ? 0
i ?1 a ?1

b ? 2 W H IL E i ?? n

S ? S ? a?b i ? i ?1 a ? a ?1 b ? 2?b W END P R IN T END S

?????????13 分

19.解: (Ⅰ)由题意 x ? x ? 0 得 x ? 0 或 x ? 1 所以 f ( x ) 的定义域为 { x | x ? 0 或 x ? 1} ????????4 分
2

(Ⅱ)因为 g ( x ) ? log 2 ( ax ? a ) ,所以 a x ? a ? 0 即 a ( x ? 1) ? 0 由于 g ( x ) ? log 2 ( ax ? a ) 的定义域为 (1, ?? ) ,所以 x ? 1 ? 0 , 所以 a ? 0 ??????6 分 f ( x ) ? g ( x ) 由以上结论可得 x ? 1 且 x ? x ? a x ? a 即 ( x ? 1)( x ? a ) ? 0
2

①当 0 ? a ? 1 时, x ? 1 ②当 a ? 1 时, x ? a ??????12 分 20.解:设事件 A 为“ S ? 0 ” . 当 0 ? a ? 3 , 0 ? b ? 2 时,对 S ? s in (Ⅰ)基本事件共 12 个:
(0, ), , , , ), , ), , , , ),2, ),2, ,2, ), ,), , , , ) .其中第一个数表示 a 的 0 (0 1) (0 2 (1 0 (1 1) (1 2 ( 0 ( 1) ( 2 (3 0 (3 1) (3 2

a?b 3

? ? 0 成立的条件为 a ≥ b .

取值,第二个数表示 b 的取值. 事件 A 中包含 9 个基本事件,事件 A 发生的概率为 P ( A ) ?
9 12 ? 3 4

.????6 分

0 (Ⅱ)试验的全部结束所构成的区域为 ? ( a, b ) | 0 ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 2 ? .

用心

爱心

专心

6

0 构成事件 A 的区域为 ? ( a, b ) | 0 ≤ a ≤ 3, ≤ b ≤ 2, a ≥ b ? .

3? 2 ?

1

?2

2

所以所求的概率为 ?

2 3? 2
2

?

2 3

.????12 分

21. 解: (Ⅰ)因为 2 S n ? a n ? a n ??① ,所以 2 a 1 ? a 1 ? a 1 得 a 1 ? 1或 0 (舍)
2

且 2 S n ? 1 ? a n ? 1 ? a n ? 1 ??②,
2

①-②得 2 a n ? a n ? a n ? 1 ? a n ? a n ? 1 化简得 ( a n ? a n ? 1 ? 1)( a n ? a n ? 1 ) ? 0
2 2

因为数列 { a n } 各项均为正数,所以 a n ? a n ? 1 ? 1 ? 0 即 a n ? a n ? 1 ? 1 所以 { a n } 为等差数列, a n ? n 经检验, a 1 ? 1 也符合该式 ????????????5 分 (Ⅱ)当 n ? 3 时,
Tn ? ? 1? ? ? 1 2 1 2 ? ? ? 1 2 1 2 1 2 (3 ? (1 ? (1 ? 2 1? 2 2 1 2 n ? ? ? 2 2 1 n
2

1 1
2

? 2

1 2
2

? 2 3 1
2 2

1 3
2

?? 2 n 1
2

1 n
2 2

1

(

2 2

2

?

?? ?

) ? ? 1 3
2

(1 ? 1 ?

? 1 2
2

1 3
2

?? ?

1 n
2

?

1 n
2

) ? 1 n
2

2

2

(1 ? 2 1 ?

?2 2

1 2
2

1 3
2

?? ? 2 2

1 ( n ? 1) 1 n
2 2

?

1 n
2

)

2?3 ? 2 2 )? 3 2 ?

?? ? 2 3 ?

( n ? 1) ? n 2 ( n ? 1) ?

? 2 n

) 1 n
2

?? ? 1 ? 2n 2n
2

?

)

得证????12 分

用心

爱心

专心

7


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