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竞赛辅导(三)函数


函数 3

1

竞赛辅导(三)函数(上)
函数的定义域、值域、图象与性质是 历届高中数学联赛中的重点和热点内容, 通常出现在一试的题目中,并以二次函数 问题为最,作为代数解决问题的工具,也 时常需运用函数思想来解决一些更有挑战 的竞赛试题.

2

函数 1.函数的值域(最值)及其求法 主要方法有单调性法、换元法、判别式法、不 等式法、配方法. 2.函数的性质与图象 主要指单调性、奇偶性、周期性、对称性等, 在解决与函数有关的(如方程、不等式等)问题时,巧 妙地利用函数及其图象的相关性质,可以使问题得到 简化,从而达到解决问题的目的. 3.二次函数问题(热点问题) 在高考和高中联赛中都占有重要的地位. 注意解析式与函数的图象的关系. 4.函数方程与迭代(了解一下) 含有未知函数的等式的方程叫做函数方程. 3

一.函数的值域(最值)及其求法 思考 1.求下列函数的值域: ⑴ y ? x ? 1? x

? ?1,1?

x ⑵y? 2 (教程 P38 ) x ? x ?1
? 1 ? ? ? 3 ,1? ? ?

⑶y ? x ? x 2 ? 3 x ? 2 (教程 P38 )
? 3? ?1, 2 ? ? ? 2, ?? ? ? ?
2

思考 2.若函数 y ? log3 ( x ? ax ? a) 的值域为 R , 则实数 a 的取值范围是______.(94 年第 5 届“希 望杯”全国数学邀请赛)a ≤ ?4 或 a ≥ 0
4

1答案

2答案

⑶解:∵ y ? x ? x2 ? 3x ? 2 的定义域为 ? ??,1? ? ? 2, ??? ⑴易知 y ? x ? x2 ? 3x ? 2 在 ? 2,??? 上是增函数, ∴当 x ? ? 2,??? 时, y ? ? 2, ??? ;
2

3 32 1 3 ⑵当 x ≤1 时∵ y ? x ? x ? 3 x ? 2 ? x ? ? ( x ? ) ? ? 2 2 4 2 1 ? 3 4 = ? 在 ? ??,1? 上是减函数 2 3 2 1 3 (x ? ) ? ? ? x 2 4 2 3 ∴当 x ≤ 1 时, ? y ≥ 1 2 ? 3? 2 综上所述,函数 y ? x ? x ? 3x ? 2 的值域为 ?1, ? ? ? 2, ?? ? ? 2?
5

[法一]: 根据函数值域定义, 对于任意实数 y , 关于 x 的 方 程 log3 ( x2 ? ax ? a) ? y 即 x 2 ? ax ? a ? 3 y ? 0 恒 有 解, 因此 ? ? a 2 ? 4(a ? 3 y ) ? a 2 ? 4a ? 4 ? 3 y ≥ 0 —— (*) y 恒 成 立 , ?4 ? 3 ? 0 ? ( * ) 式 成 立 的 充 要 条 件 是 a 2 ? 4a ≥ 0 ,解得 a ≤ ?4 或 a ≥ 0 . [法二]:根据对数函数和二次函数的性质, u( x ) ? x 2 ? ax ? a( x ? R) 的 最 小 值 不 大 于 0 , 即
a ? a ? ≤ 0 解得 a ≤ ?4 或 a ≥ 0 . 4 [评注]:解法一运用转化思想把对数函数转化为指数 形式(关于 x 的二次方程)获得解答;解法二运用对数 函数和二次函数的性质获得思路.
6

2

练习一: 函数的值域(最值)及其求法 1.(教程 P44 9)函数 y ? x ? 2 x ? 1 的值域是( A ) ? ? 1? 1? (A) ? y y ≥ ? (B) ? y y ≤ ? (C) ? y y ≥ 0? (D) ? y y ≤ 0? 2? 2? ? ? 2.(教程 P85 5)函数 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在 [-3,3]上的最小值是

4.

3.( 教程 P86 14)求函数 f ( x ) ? x4 ? 3 x 2 ? 6 x ? 13 ? x 4 ? x 2 ? 1 的最大值. 10 2 4.( 教程 P86 17)设 f ( x) ? ? x ? 2tx ? t , x ?? ?1,1? 求 ? f ( x )max ?min . ? ?

1 ? 4

7

2答案

3,4答案

2.[分析]这是 1996 年北京高中一年级数学竞赛的复赛试题, 是一个四次函数的最值问题.表面上看起来很难.但借助于配方 法、换元法及二次函数极(最)值性质,可得结果. 解:∵y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5=[(x+1)(x+4)][(x+2)(x+3)]+5 =(x2+5x+4)(x2+5x+6)+5=(x2+5x+5-1)(x2+5x+5+1)+5 =(x2+5x+5)2+4 5 2 5 2 2 2 设 t=x +5x+5,则 y=t +4,对 t=x +5x+5=(x+ ) ? , x∈[-3,3],易知 2 4 5 tmin= ? ,tmax=29 4 5 5 2 ∴y=t +4,t∈[ ? ,29]抛物线开口向上,对称轴 t=0∈[ ? ,29], 4 4 ∴ymin=4 故 y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5 在[-3,3]上的最小值是 4.
8

练习 3.∵ f ( x ) ? ( x ? 3)2 ? ( x 2 ? 2)2 ? x 2 ? ( x 2 ? 1)2 ∴可知函数 y ? f ( x ) 的几何意义是抛物线 y ? x 2 上的点 2 P ( x , x ) 到两定点 A(3, 2), B(0,1) 的距离之差. ∴ PA ? PB ≤ AB ? 10
练习 4.∵ f ( x) ? ?( x ? t )2 ? t 2 ? t , ? 1 ≤ x ≤1 . 当 t ≤ ?1 时, f ( x)max ? f (?1) ; 当 ?1 ? t ? ?1 时, f ( x )max ? f (t ) ; 当 t ≥ 1 时, f ( x )max ? f (1) ; ∴ f ( x )max
? ?3t ? 1 ( t ≤ ?1) 1 ?2 ? ? t ? t ( ?1 ? t ? 1) 不难得到 ? f ( x )max ?min ? ? ? ? 4 ? t ? 1 ( t ≥ 1) ?
9

二.函数的性质与图象 思考 1. 函数 y = f ( x ) 对任意实数 x,总有 (1)f (a-x) = f ( b + x ),这里 a,b 是常数, 问函数的图像有什么性质,证明你的结论; (2)f (a-x) =-f ( b + x ),这里 a,b 是常数, 问函数的图像有什么性质,证明你的结论. 思考 2. (1)已知(3x+y) +x +4x+y=0, 求 4x+y 的值. (2)解方程:(x+8)2007+x2007+2x+8=0 思考 3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立,若 f(x)=0 仅有 101 个不同的实 数根,那么所有实数根的和为( ) (A)150 (B)
303 2

2007

2007

(C)152
2答案

(D)

305 2

10

1答案

3答案

1.解:(1)设y = f (a-x) = f ( b+ x )则点P (a-x,y), Q ( b + x, y) 都在函数y = f (x)的图像上.

(a ? x ) ? (b ? x ) a ? b 且P、Q 两点纵坐标相等, ? ∵ 2 a?b 2 ∴ PQ 垂直直线 x ? ,且被其平分, 2 ?b a ∴ P、Q 两点关于直线x ? 对称 而P、Q又是曲线y = f (x)上的 2 ∴ 函数y = f (x)的图像关于直线 x ? a ? b 对称. 2

(2)设 y= f (a-x)=-f (b + x ),则点R (a-x,y),S ( b+x, -y)都在函数y = f (x) 的图像上.
?b ? x ? a ? x a ? b ? ? ? 2 2 ?? ?? y ? y ? 0 ? 2 ?

a?b ,0). ∴线段RS的中点是定点M( 2

即R、S两点关于定点M 对称,而R、S是曲线y = f (x)上的动点.

a?b ,0 ∴ 函数y = f (x)的图像关于点 M( )对称. 2

11

2.(1)解:构造函数f(x)=x2007+x,则 f(3x+y)+f(x)=0 注意到f(x)是奇函数且为R上的增函数, 所以 3x+y=-x ∴4x+y=0
(2)解:原方程化为(x+8)2007+(x+8)+x2007+x=0 即(x+8)2007+(x+8)=(-x)2007+(-x) 构造函数f(x)=x2001+x 原方程等价于f(x+8)=f(-x) 而由函数的单调性可知f(x)是R上的单调递增函数 于是有x+8=-x ∴ x=-4为原方程的解

12

3.定义在实数集上的函数 f(x),对一切实数 x 都有 f(x+1)=f(2-x)成立, f(x)=0 仅有 101 个不同的实数 若 根,那么所有实数根的和为( ) (A)150 (B)
303 2

(C)152

(D)

305 2

3 提示:由已知,函数 f(x)的图象有对称轴 x= 2 于是这 101 个根的分布也关于该对称轴对称.
3 即有一个根就是 ,其余 100 个根可分为 50 对,每一对 2 3 的两根关于 x= 对称 2 3 利用中点坐标公式,这 100 个根的和等于 × 100=150, 2 3 303 所有 101 个根的和为 × 101= .选 B 2 2 13

练习二: 1.( 教 程 P55 5) 设 函 数 f ( x ) 对 一 切 实 数 x 满 足: f (3 ? x ) ? f (3 ? x ) ,且方程 f ( x) ? 0 恰有 6 个不同 实根,则这 6 个实根之和为( ) (A)18 (B)12 (C)9 (D)0 2.( 教 程 P55 5) 对 任 意 整 数 x , 函 数 f ( x ) 满 足

A

1 ? f ( x) 1 f ( x ? 1) ? ,若 f (1) ? 2 ,则 f (2007) ? ____. ? 1 ? f ( x) 2 3.(教程 P70 8) f ( x ) 是周期为 2 的奇函数,当 x ? ?0,1?
时, f ( x ) ? 2 x ? 1 ,则 f (log 1 24) 的值是(
2

D)
1 (D) ? 2
14

23 (A) ? 24

5 (B) ? 6

5 (C ) ? 2



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