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高中数学课程内容及其分布的国际比较——基于12个国家高中数学课程标准的研究


2015年

第54卷

第7期

数学通报



高中数学课程内容及其分布的国际比较
——基于12个国家高中数学课程标准的研究
曹一呜
(北京师范大学数学学院
100875)




550001)

(贵州师范大学师范大学

1问题的提出 我国高中数学课程标准的修订工作已经启 动,如何修订,需要立足本土,拓展视野,从多个角 度,开展进行深入的研究. 目前已有不少学者对数学课程标准进行深入 比较研究,有以2—3个国家之间进行的一些知识 主题之间进行比较的[1],也有针对某一主题,对多 个国家开展深入研究的[2].本文则以包括中国在 内的12个国家高中数学课程标准文本文件为依 据,从知识领域、知识单元、知识主题三个层面,来 分析这些国家高中数学课程包括哪些内容及其分 部情况,试图搞清这一最基本的、也是课程设置中 最核心的问题,期盼能对我国的高中数学课程标 准修订、以及数学教学改革的实施提供一定借鉴 和参考. 2研究设计 2.I研究国家的选取 亚洲:中国大陆、新加坡、韩国;欧洲:芬兰、德 国、法国、英国、俄罗斯;美洲:加拿大、美国;大洋 洲:澳大利亚;非洲:南非. 从地理位置上看,12个国家遍及五大洲,包 含发达国家与发展中国家,经济状况、文化背景、 教育水平不尽相同,可以较好地反映当今国际上 主流国家高中数学课程内容分布的特点. 从国际教育比较项目上看,包含了在国际学 生评估项目(Program
for International Student

家,选择了颇具代表性的欧洲国家法国、英国;作 为连续三次均低于OECD平均水平的国家,选择 了俄罗斯、美国,而这两个国家则是国际上数学、 科学等很多方面都是非常强势的国家;另外,还选

择了没有参加过PISA测试的非洲代表国家——
南非.对这些国家高中数学课程标准的研究也能 同时一窥国际数学教育发展的不同水平和方向. 2.2高中数学课程标准版本的选取 中国:2003年教育部制订《普通高中数学课 程标准(实验)》(必修,选修系列2)[4]. 新加坡:2011年教育部公布的《数学教学大 纲一H2水平》[引. 韩国:2011年教育科学技术部发布的《数学 教育课程》(高中部分)[6]. 芬兰:2003年国家教育委员会发布的《普通 高中国家核心课程》(高级大纲)[7]. 加拿大:2009年魁北克省课程标准(科学选 项)[引. 澳大利亚:2013年公布的《高中数学课程标 准》(专业数学课程)[9]. 德国:2010年黑森州数学课程大纲(完全中 学高级阶段?提高课程)[8]. 法国:2011年教育部公布的《高中数学大纲》 (理科大纲)[8]. 英国:1999年教育部颁布的《英格兰国家数 学课程》(关键阶段4?高级课程)[83. 俄罗斯:2004年教育部颁布《中学教育标准 ?数学部分》10~11(或12)年级(侧重数学发展 方向水平)[8]. 美国:2010年发布的《统一核心州数学标准》 (高中部分)[8]. 南非:2012年颁布的《课程与评价标准》(高

Assessment,简称PISA)“数学素养”中连续三次 (2012,2009,2006)[33均显著高于OECD平均水 平的国家(地区):中国(上海)(参加了2012,2009 年测试),新加坡,韩国,芬兰,加拿大,澳大利亚, 德国(在2006年测试中与OECD平均不显著); 作为连续三次均与OECD平均水平不显著的国

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lO

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表1

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中部分)[1…. 为了表述简便,下文提及上述文本时均使用 “某国标准”. 本文中除南非之外的11个国家以连续三次 参加PISA数学素养测试的平均排名顺序排序; 以类似我国“理科”层次要求进行课程标准版本选 取;关于各国高中阶段的划分以及课程内容主要 依据曹一鸣,代钦,王光明主编的《十三国数学课 程标准评介(高中卷)》[8]一书,并进一步参考相关 课程标准原文. 2.3研究思路与方法 本文以12个国家颁布的高中数学课程标准 文本作为研究对象,主要针对其中的“内容标准” 部分进行比较研究.基于内容标准中每个整句(即 内容条目)为基本单位,依次划分为知识领域、知 识单元、知识主题(如表1所示),本研究中做出如 下界定,“知识领域”是基于高中数学课程研究内 容进行的一级划分,“知识单元”是在知识领域的 基础上,结合各国实际情况进行的二级划分;“知 识主题”是在知识单元的基础上,主要以包含若干 内容条目的最小内容主题为依据进行的三级划 分.在三个层次中针对内容条目数量进行统计,进 而分析不同国家高中数学课程内容分布的异同.
表2 国家 中国’ 新加坡’ 韩国 芬兰’

三个层次知识划分的基本情况
知识领域

合计


数与代数l

mtgC-与/LOl

统计与概率陋积纠其他

知识主题(个数)

说明:“其他”领域的15个知识单元,由于各国之间情 况姜异较大,不再讲行知识丰顾的划分.

本文主要以定量研究的方法对12国高中数 学课程标准进行文本分析,基于“内容标准”内容 条目逐条进行编码,分别从知识领域、知识单元、 知识主题三个不同层次逐层统计出各国相应的内 容条目数量以及比重,通过统计数据进行课程内 容分布的比较研究,从而进一步分析在国际视野 下我国课程内容分布的基本情况. 3高中数学课程内容分布的比较与分析 3.1基于知识领域内容分布的比较与分析 综合12国课程的内容领域,参考数学科学的 具体分支,为了课程内容及分布情况更具可比性, 以课程标准中内容条目为基本单位,将高中数学 课程内容统一按照5个知识领域进行划分,并计 算各个知识领域中所占的相应比重,如表2所示.

12国高中数学课程知识领域内容分布统计表 统计与概率
26
35 14 4 7 8 19 29 31 5 30 15 19

数与代数
48
44 62 18 16 46 14 36 58 28 79 58 42

图形与几何
26
5 29 7 9 10 7 13 23 27 40 16 18

微积分
11

其他
48 21

小计 30% 17% 25% 27% 3% 46% 22% 17% 11% 7% 8% 2% 20%
159 127
233 59 33 144 91 126 126 71 162 99 120

30% 35% 27% 31% 48% 32% 15% 29% 46% 39% 49% 59% 35%

16% 4% 12% 12% 27% 7% 8% 10% 18% 38% 25% 16% 15%

16% 28% 6% 7% 21% 6% 21% 23% 25% 7% 19% 15% 16%

7% 17% 30% 24% 0% 10% 34% 21% 0% 8% 0% 8% 14%

22
70 14 0 14 31 27 0 6 0

58
16 1 66 20 21 14 5 13 2 24

加拿大+ 澳大利亚。
德国 法国 英国 俄罗斯’ 美国。 南非 均值


17

说明:由于四舍五人的原因,全文中标注“*”的国家累计百分比不是100%;综合各国具体情况,将以下内容纳入“其 他”知识领域主要有以下几种:为了学习和研究其他数学内容所需要掌握的工具类数学知识:向量、组合数学、集合、算法 初步、常用逻辑用语、推理与证明;高等数学类知识:微分方程、矩阵、图论、数论、数值代数、线性代数、幂级数、仿射投影; 综合类数学知识:数学建模.共15个知识单元.

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续表

从中可以看出: 第一,从内容条目数量上看,我国仅在“微积 分”领域少于12个国家的平均水平;其他四个领 域均高于平均水平.其中,“其他”的内容条目是平 均水平的2倍. 第二,从内容条目比重上看,就12国平均水 平而言,我国在内容条目比重中,“图形与几何”、
其他 知识领域 微积分
知识单元

微分学;积分学;其他 向量;组合数学;推理与证明;矩阵;微 分方程;常用逻辑用语;数值代数;集 合;线性代数;图论;算法初步;数论; 幂级数;仿射投影;数学建模

“统计与概率”与平均水平相当,在“数与代数”、
“微积分”略低于平均水平,在“其他”比平均水平 高出较多. 另外, 在“数与代数”中,南非比重最大,高出平均水 平24%,也是12国中唯一超过50%的国家,其次 是美国、加拿大,均接近50%;德国最小,是唯一 低于20%的国家. 在“图形与几何”中,俄罗斯比重最大,高出平 均水平23%,也是12国中唯一超过30%的国家, 其次是加拿大、美国,均接近30%;新加坡最小. 在“统计与概率”中,新加坡比重最大,高出平 均水平12%,其次是英国、法国;澳大利亚、韩国 最小. 在“微积分”中,德国比重最大,高出平均水平 20%,其次是韩国、芬兰;值得一提的是,从加拿 大、英国、美国三国的标准文本中,并没有发现微 积分的内容条目.事实上,我们知道,这些国家的 微积分是作为大学选修课程单独开设的。 在“其他”中,澳大利亚比重最大,高出平均水 平26%,也是12国中唯一超过40%的国家,其次 是中国、芬兰;南非最小. 3.2基于知识单元内容分布的比较与分析 为了进一步分析12国课程内容分布的基本 情况,综合考虑各国标准中知识领域下属的单元, 将5个知识领域细化为32个知识单元(如表3所
示). 表3知识领域之下知识单元的具体内容 知识领域 数与代数 图形与几何 统计与概率 知识单元 函数;数与数系;方程;代数式;不等
式;数列;其他

说明:“数与代数”领域中“其他”单元主要包含三角 恒等变换、解三角形、解决问题等内容;“图形与几何”领 域中“其他”单元主要包含解决问题、交流、二维和三维关 系等内容;“统计与概率”领域中“其他”单元主要包含解 决问题、交流等内容;“微积分”领域中“其他”单元主要包 含微积分基本定理、综合运用微分和积分、数学文化等内 容.其中各个领域知识单元按照同时包含这个单元的国 家数量降序排列.

一方面,在以上知识单元中,覆盖面最广的国 家是韩国,具有21个知识单元,比重达到66%; 其次是我国,具有19个知识单元,比重达到 59%;覆盖面最窄的国家是加拿大,具有11个知 识单元,比重仅为34%,具体情况如图1所示.一 定程度上说明我国课程内容的覆盖面在国际上是 比较广的.


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擦 暑长 釜

鼎 ●具有知识单元的个数
图I

12国具有知识单元个数的统计

另一方面,就我国课程而言,在“数与代数” 中,数与数系、方程、代数式所占比重均低于12国 平均,其中“数与数系”与平均水平差距最大 (18%);“函数”则高于平均水平19%.在“图形与 几何”中,没有平面几何、其他的内容条目,“解析 几何”高于平均水平34%;在“统计与概率”中,没

立体几何;解析几何;平面几何;其他 统计;概率;其他

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有“其他”的内容条目,“概率”低于平均水平9%, “统计”高于平均水平15%;在“微积分”中,“积分 学”低于平均水平20%,“其他”高于平均水平 12%;在“其他”领域中,向量、证明与推理、常用逻 辑用语、集合、算法初步内容条目数量明显高于平 均水平(具体情况如表4~7、图2所示). 进一步分析,数与数系、方程、代数式、平面几 何等知识单元的主要内容在初中阶段已经学习 过;而概率、积分学的内容比重相对较低.
表4“数与代数”领域知识单元比重统计 函数
我国。 52% 数与 数系 8% 26% 我国

表7“微积分”领域知识单元比重统计

微分学
73% 65%

积分学
9% 29%

其他
18% 6%

12国平均

3.3基于知识主题内容分布的比较与分析 为了深入分析12国课程内容分布的具体情 况,将32个知识单元细化为108个知识主题.
∞ 如 其他
10%

方程
0% 12%

代数 式
2% 9%

不等 式 17% 5%

数列
10% 7%

知 如 加

12国平均。 33%

9% 加



表5“图形与几何”领域知识单元比重统计 立体几何
我国 31% 24% 解析几何 69% 35%



_
丑冀互”<目卫蟹卫轰丑带 ÷毒嚣埝辑嚣霭≤球灸划诬 嚣 毒< 釜 型

平面几何
0% 35%

其他
0% 6%

12国平均

一具有知识主题的个数
图3

12国具有知识单元个数的统计

表6“统计与概率”领域知识单元比重统计 统计
我国 12国平均+ 62% 47%

一方面,在知识主题中,我国是覆盖面最广的 国家,具有50个知识主题,比重达到46%;其次 是韩国,具有45个知识主题,比重达到42%;覆 盖面最窄的国家是澳大利亚,具有18个知识主 题,比重仅为17%,具体情况如图3所示.再次说

概率
38% 47%

其他
oH 5%



明我国课程内容的覆盖面在国际上是比较广的. 另一方面,对于知识主题在国家间的基本分 布情况进行统计(如表8所示):




首先选取知识主题中前20%的主题(即7个







及以上国家均有的主题)作为研究对象,一定程度





l鏊I曩卜I
掣 王



上可以视作为12国比较关注的知识内容,与我国 标准中的主题进行比较研究.

咖扑墨进趟密《]妊楚蚺愆瓤醛辎 董豁目鼎椒珏排g圈霜颡螺辎捌 如坷 媳 求释 掣 Ⅻ鲁杂扑 熹剐 长剽 《 琳 遐落

-中国

囊12国平均水平

图2其他领域知识单元内容条目数量统计

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表8知识主题的国家分布情况统计

13

国家数量 主题数量 主题所占比重 累计比重

12


11

10




























12







20

34

i% 1%

1% 2%

1% 3%

6% 9%

3% 12%

7% 19%

11% 30%

8% 38%

7% 45%

5% 50%

19%. 69%

31% 100%

表9

7个及以上国家均出现的知识主题

共有某个知识主题 的国家数量
12 11
10

知识主题 函数及其图象
向量 三角函数

复数;代数式;指数函数;不等式


(组);概率的计算公式;组合数学 一次方程(组);导数在研究函数中


的应用:导数概念及其几何意义 数的运算;二次方程(组);等差数列 与等比数列;对数函数;三角形的性


一我国内容条目一12国平均内容条目 图5我国条目数量低于平均水平统计

质及证明;空间几何体;用样本估计 总体;概率的统计定义

同时,我国内容条目数量低于12国平均水平 的还有:函数及其图象,复数,代数式,概率的计算 公式,导数在研究函数中的应用一共5个主题.其

对于以上20个知识主题,我国内容中没有的 是:数的运算,一次方程(组),二次方程(组),三角 形的性质及其证明共4个主题.但是,进一步分析 发现,它们已经出现在初中数学课程当中.因此, 对于12国比较关注的知识主题,我国标准覆盖得 比较全面.
25

中,“函数及其图象”“代数式”主要内容在初中已 经学过. 其余内容与平均水平存在一定差距.以“复 数”为例,我国课程主要集中在复数的基本概念, 复数的代数表示法以及几何意义,复数代数形式 的四则运算;而12国中还有复数的笛卡尔表示、 极坐标表示、复平面以及复数的应用等内容. 其次,选取知识主题中的后20%(即只有1 个国家独有的主题)作为研究对象,与我国标准中 的主题进行比较研究.
表10

20 l 5
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l_ l l冬I【叁L I,.L毛一鬣
_
?

数与代


图形与

统计与 概率


几何


微积分 其他

1个国家独 有的主题







聚类分析
我国独有

的主题 ●我国内容条目麓12国平均内容条目 图4我国条目数量高于(等于)平均水平统计

实习作业



几何概型 数学文化

数学
文化

算法 初步

从上表中可以发现:12国中我国独有知识主 题共有6个.其中,“实习作业”条目:根据某个主

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题,收集17世纪前后发生的一些对数学发展起重 大作用的历史事件和人物的有关资料或现实生活 中的函数实例,采取小组合作的方式写一篇有关 函数概念的形成、发展或应用的文章,在班级中进 行交流.具体要求参见数学文化的要求H]. “数学文化”条目:通过阅读材料,了解人类认 识随机现象的过程.收集有关微积分创立的时代 背景和有关人物的资料,并进行交流;体会微积分 的建立在人类发展中的意义和价值.具体要求见 本标准中“数学文化”的要求n]. 由此可知,“数学文化”作为我国课程的特征 之一贯穿在整个高中数学课程内容之中. 另外,以“算法初步”为例,只有我国将其作为 独立的一个知识单元组织课程内容.其他国家有 一些零星的算法知识分散在课程内容中,比如澳 大利亚在“矩阵”中提出了“矩阵算法”的内容条 目;芬兰在“数值代数方法”中提出了“学习算法的 思想”;法国课程中有一些专门设计算法的活动, 比如:用绘图工具能很快得到由代数式定义的函 数的图像,有趣的是,对分段函数,学生需要编写 算法进行画图;几何坐标系是为了把几何性质变 换成数值,并为实施简单的算法来求解问题提供 了可能等等. 4结论与启示 高中数学课程内容的选择一直是数学课程标 准研制中的最基本问题.他山之石,可以攻玉.通 过12国高中数学课程比较研究,可以基于国际视 野进一步了解我国课程内容分布的基本情况,从 而为我国高中数学课程课程标准的研制、高中数

余领域相差也并不是很大.相比较而言,“其他”领 域内容偏多,比重超过平均水平10%. 因此,应当适当精简“其他”领域内容,可以考 虑适当增加“微积分”领域内容,特别是积分内容. (3)从知识单元内容分布上看,我国课程较为 重视“函数”“解析几何”“统计”等内容,也重视“算 法初步”“集合”“基本逻辑用语”“向量”、“推理与 证明”等工具性数学知识的内容. (4)从知识主题内容分布上看,我国课程重视 “数学文化”的渗透及工具性知识的学习.在“数与 代数”“图形与几何”“统计与概率”“微积分”领域 均有涉及数学文化的内容条目,这也成为我国课 程的特征之一.另外,算法初步,集合,常用逻辑用 语等内容均为数学工具性知识,从一个侧面说明 我国比较注重工具性数学知识的学习. (5)我国在“复数”“导数在函数中的应用”等 主题内容比较单薄,可以适当增加相应内容以便 更好地与大学数学内容衔接. (6)在我国所独有的知识主题中,以“算法初 步”为例,其他国家如澳大利亚、芬兰、法国主要是 依托具体内容呈现,这一现象也值得我们思考,是 否有必要单独设置这些主题.
参考文献


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2宋丹丹,曹一呜.高中数学课程标准中函数内的国际比较研 究口].数学通报,2014,12:1—7,16
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201212014—04一oi].http:7}WWW.oecd.org/pisa/


学课程改革的实施提供一定的借鉴和参考: (1)从整体上看,我国高中数学课程覆盖面比 较广 在108个知识主题中,我国课程占总体知识 主题的46%,居12国之首,尤其是在“数与代数” “统计与概率”领域.同时,对于我国高中数学课程 没有覆盖的,其他国家比较关注的主题,基本出现 在我国初中数学课程中,一定程度上也说明了我 国初中数学课程要求的程度比深. (2)从知识领域内容分布上看,我国课程整体 上分布比较合理.其中“图形与几何”“统计与概 率”内容条目比重与12国平均水平几乎一致;其


中华人民共和国教育部制订.普通高中数学课程标准(实验) [s].北京:人民教育出版社,2003 宁连华,崔黎华,金海月.新加坡高中数学课程标准评介[J]. 数学教育学报,2013,8:1—5

6金康彪,贾宇翔.韩国高中数学课程标准评介[J].数学教育学
报,2013,10:42—46

7康明嫒,Fritjof.芬兰高中课程改革及高中数学课程标准评介 l-J].数学教育学报,2013,8:11—15 8曹一鸣,代钦,王光明.十三国数学课程标准评介(高中卷) [M].北京:北京师范大学出版社,2013 9董连春,Max Stephens.澳大利亚全国统一高中数学课程标准 评述[J].数学教育学报,2013,8:16--20 10李娜,曹一鸣,Lyn Webb.南非国家高中数学课程与评价标 准评介口].数学教育学报,2013,8:6—10

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