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创新设计必修五WORD训练3-3-1


3.3 二元一次不等式(组)与简单的线性规划 问题
3.3.1 二元一次不等式(组)与平面区域

一、基础达标 1.已知点(-3,-1)和(4,-6)分别在直线 3x-2y-a=0 的两侧,则 a 的取值 范围是 ( A.(-24,7) C.(-∞,-7)∪(24,+∞) 答案 解析 B 因为点(-3,-1)和(4,-6)分别在直线 3x-2y-a=

0 的两侧,所以 B.(-7,24) D.(-∞,-24)∪(7,+∞) )

[3×(-3)-2×(-1)-a]×[3×4-2×(-6)-a]<0,即(a+7)(a-24)<0,解得 -7<a<24,故选 B.

?4x+3y≤12, 2.不等式组?x-y>-1, ?y≥0
A.2 B.4 C.6 答案 解析 C

表示的平面区域内整点的个数是

( D.8

)

画出可行域后,可按 x=0,x=1,x=2,x=3 分类代入检验,符合要

求的点有(0,0),(1,0),(2,0),(3,0),(1,1),(2,1)共 6 个.

?y≥0, 3. 直线 2x+y-10=0 与不等式组? x-y≥-2, ?4x+3y≤20
x≥0,

表示的平面区域的公共点有

( A.0 个 答案 解析 B 画出可行域如图阴影部分所示. B.1 个 C.2 个 D.无数个

)

∵直线过(5,0)点,故只有 1 个公共点(5,0). 4.如图所示,表示满足不等式(x-y)(x+2y-2)>0 的点(x,y) 所在的平面区域为 ( )

答案 解析

B 不等式(x-y)(x+2y-2)>0 等价于不等式组

?x-y>0, (Ⅰ)? ?x+2y-2>0 ?x-y<0, 或不等式组(Ⅱ )? 分别画出不等式组(Ⅰ )和 (Ⅱ)所表示的平面区 ?x+2y-2<0. 域,再求并集,可得正确答案为 B. 5.原点与点(1,1)有且仅有一个点在不等式 2x-y+a>0 表示的平面区域内,则 a 的取值范围为________. 答案 解析 -1<a≤0 根据题意,分以下两种情况:

?a>0 ①原点(0,0)在该区域内,点(1,1)不在该区域内.则? .无解. ?a+1≤0 ?a≤0 ②原点(0,0)不在该区域内,点(1,1)在该区域内,则? ,∴-1<a≤0. ?a+1>0 综上所述,-1<a≤0.

?x-y≤1, 6. 不等式组? -x+y≤1, ?-x-y≤1
x+y≤1, 答案 解析 正方形

表示的平面区域的形状为_____________________

___________________________________________________.

如图所示的阴影部分,不等式组表示的平面区域是边

长为 2的正方形. 7.某人准备投资 1 200 万兴办一所完全中学,对教育市场进行 调查后,他得到了下面的数据表格(以班级为单位): 学段 初中 高中 班级学 生人数 45 40 配备 教师数 2 3 硬件建 设/万元 26/班 54/班 教师年 薪/万元 2/人 2/人

因生源和环境等因素,办学规模以 20 到 30 个班为宜.分别用数学关系式和 图形表示上述的限制条件. 解 设开设初中班 x 个,开设高中班 y 个,根

据题意, 总共招生班数应限制在 20~30 之间, 所以有 20≤x + y≤30. 考虑到所投资金的限 制,得到 26x+54y+2×2x+2×3y≤1 200. 即 x+2y≤40.另外,开设的班数不能为负,则 x≥0,y≥0,

?x+2y≤40, 把上面的四个不等式合在一起,得到? x≥0, ?y≥0,

20≤x+y≤30,

用图形表示这个限制条件,得到如图的平面区域(阴影部分) 8. 制订投资计划时, 不仅要考虑可能获得的盈利, 而且要考虑可能出现的亏损. 某 投资人打算投资甲、乙两个项目,根据预测,甲、乙项目可能的最大盈利率 分别为 100%和 50%,可能的最大亏损率分别为 30%和 10%,若投资人计划 投资金额不超过 10 万元,要求确保可能的资金亏损不超过 1.8 万元,列出投 资人对甲、乙两个项目投资数的数学关系式,并画出相应的平面区域. 解 设投资人分别用 x 万元、y 万元投资

甲、乙两个项目, 由题意知

?0.3x+0.1y≤1.8, ?x≥0, ?y≥0.
x+y≤10, 上述不等式组表示的平面区域如图所示的 阴影部分(含边界). 二、能力提升

?2x-y-2≥0, 9.(2013· 山东)在平面直角坐标系 xOy 中,M 为不等式组?x+2y-1≥0, ?3x+y-8≤0
示的区域上一动点,则直线 OM 斜率的最小值为( 1 A.2 B.1 C.-3 答案 C 1 D.-2 )

所表

解析

作出可行域如图,由图象可知当 M 位于

点 D 处时, OM 的斜率最小.由 ?x+2y-1=0, ?x=3 ? 得? , ?3x+y-8=0 ?y=-1 -1 1 即 D(3,-1),此时 OM 的斜率为 3 =-3,选 C. 10.若点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离为 4,且点 P 在不等式 2x+y-3<0 表示的平面区域内,则实数 m 的值为________. 答案 解析 -3 由点 P(m,3)到直线 4x-3y+1=0 的距离 d= |4m-9+1| =4,得 m=7 5

或 m=-3.又点 P 在不等式 2x+y-3<0 表示的平面区域内,当 m=-3 时, 点 P 的坐标为(-3,3),则 2×(-3)+3-3<0,符合题意;当 m=7 时,点 P 的坐标为(7,3),则 2×7+3-3>0,不符合题意,舍去.综上,m=-3.

?x≥0, 11.(2013· 大纲版)记不等式组?x+3y≥4, ?3x+y≤4,
答案 ?1 ? ?2,4? ? ?

所表示的平面区域为 D,若直线 y

=a(x+1)与 D 有公共点,则 a 的取值范围是________.

解析

?x≥0, 满足约束条件?x+3y≥4, ?3x+y≤4,

的平面区域如图示:

因为 y=a(x+1)过定点(-1,0). 所以当 y=a(x+1)过点 B(0,4)时,得到 a=4, 1 当 y=a(x+1)过点 A(1,1)时,对应 a=2. 又因为直线 y=a(x+1)与平面区域 D 有公共点. 1 所以2≤a≤4. 12.在△ABC 中,A(3,-1)、B(-1,1)、C(1,3),写出△ABC 区域(包括边界)所 表示的二元一次不等式组. 解 如图所示,

可求得直线 AB、BC、CA 的方程分别为 x+2y -1=0,x-y+2=0,2x+y-5=0. 由于△ABC 区域在直线 AB 右上方,∴x+2y- 1≥0; 在直线 BC 右下方,∴x-y+2≥0; 在直线 AC 左下方,∴2x+y-5≤0.

?x+2y-1≥0, ∴△ABC 区域可表示为?x-y+2≥0, ?2x+y-5≤0.
三、探究与创新

?x≥3, 13.利用平面区域求不等式组?y≥2, ?6x+7y≤50

的整数解.



先画出平面区域,再用代入法逐个验证.

把 x=3 代入 6x+7y≤50, 32 得 y≤ 7 ,又∵y≥2, ∴整点有(3,2),(3,3),(3,4); 把 x=4 代入 6x+7y≤50, 26 得 y≤ 7 , ∴整点有(4,2),(4,3). 20 把 x=5 代入 6x+7y≤50,得 y≤ 7 , ∴整点有(5,2); 把 x=6 代入 6x+7y≤50,得 y≤2,整点有(6,2); 8 把 x=7 代入 6x+7y≤50,得 y≤7,与 y≥2 不符. ∴整数解共有 7 个为(3,2),(3,3),(3,4),(4,2),(4,3),(5,2),(6,2).


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