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西北师大附中高一物理奥赛教案:动量和能量


专题:动量与牛顿运动定律、功能关系综合应用专题
例题 1:下面是一个物理演示实验,它显示:图中自由下落的物体 A 和 B 经反弹 后,B 能上升到比初始位置高得多的地方。 A 是某种材料做成的实心球,质量 m1=0.28kg,在其顶部 的凹坑中插着质量 m2=0.10kg 的木棍 B。 B 只是松松地插在凹 坑中,其下端与坑底之间有小空隙,将此装置从 A 下端离地 板的

高度 H=1.25m 处由静止释放。实验中,A 触地后在极短 的时间内反弹,且其速度大小不变;接着木棍 B 脱离 A 开始 上升,而球 A 恰好停留在地板上。求木棍 B 上升的高度,重力加速度 g=10m/s2。 解析:根据题意,A 碰地板后,反弹速度的大小等于它下落到地面时速度的大小: v1 = 2 gH A 刚反弹后,速度向上,立刻与下落的 B 碰撞,碰前 B 的速度: v2 = 2 gH 由题意,碰后 A 速度为 0,以 v '2 表示 B 上升的速度,根据动量守恒: A m1 B m2

m1 v1? m2 v? 2

m?2 v2
'2 v2 2g

令 h 表示 B 上升的高度,有: h =

由以上各式并代入数据得 h = 4.05m。 例题 2: 如图所示, 水平轨道 AB 与竖直面 C 内的半径为 R=2.5m 的光滑半圆轨道 BC 相切 于 B 点,C 点为半圆轨道的最高点。可以看成 质点的质量分别为 m1、m2 的两滑块静止在水 平轨道上的 A 点,已知 m2=2m1,两滑块与水 平轨道间的动摩擦因数μ =0.2, A、 B 间的距离 B V0 m1 m2 S=11m A

S=11m,两滑块靠少许塑胶炸药粘在一起。若给两滑块水平向左的初速度 v0,滑块恰 好能够通过半圆轨道的最高点 C,且当滑块通过 C 点时,塑胶炸药突然爆炸使两滑块
1

分开,爆炸后滑块 m2 沿直径 CB 做自由落体运动。 (g=10m/s2) 。求: (1)两滑块获得的初速度 v0 的大小。 (2)滑块 m1 在水平面上的落点距 B 点的距离。 解析:⑴在 AB 段,对 m1、m2 整体,据动能定理,有 - ? (m1 ? m2 ) gs ?

1 1 2 2 (m1 ? m2 )v B ? (m1 ? m2 )v0 2 2

在 BC 段,m1、m2 整体机械能守恒,即

1 1 2 2 (m1 ? m2 )v B ? (m1 ? m2 )vC ? (m1 ? m2 ) g ? 2 R 2 2
其中, vC ?

gR

解方程组,得 v0 ? 9 (m/s) ⑵在 C 处爆炸时,m1、m2 系统动量守恒,即

(m1 ? m2 )vC ? m1v1 ,得 v1 ? 3vC ? 15 (m/s)
此后,m1 平抛,有

x ? v1t



2R ?

1 2 gt 2

解方程组,得 x ? 15 (m) 例题 3:如图所示,一对杂技演员(都视为质点)乘秋千(秋千绳处于水平位置) 从 A 点由静止出发绕 O 点下摆,当摆到最低点 B 时,女演员在极短时间内将男演员 沿水平方向推出,然后自已刚好能回到高处 A 。求男演员落地点 C 与 O 点的水平距离 s。已知男演员质量 m1,和女演员质量 m2 m1 之比 =2,秋千的质量不计,秋千的摆长为 m2 R , C 点比 O 点低 5R。
2

例题 4: 在原子核物理中, 研究核子与核关联的最有效途径是 “双电荷交换反应” 。 这类反应的前半部分过程和下述力学模型类似。 两个小球 A 和 B 用轻质弹簧相连, 在 光滑的水平直轨道上处于静止状态。在它们左边有一垂直于轨 道的固定挡板 P,右边有一小球 C 沿轨道以速度 射向 B 球,

如图所示。C 与 B 发生碰撞并立即结成一个整体 D。在它们继 续向左运动的过程中,当弹簧长度变到最短时,长度突然被锁定,不再改变。然后, A 球与挡板 P 发生碰撞,碰后 A、D 都静止不动,A 与 P 接触而不粘连。过一段时间, 突然解除锁定(锁定及解除定均无机械能损失) 。已知 A、B、C 三球的质量均为 m。 (1)求弹簧长度刚被锁定后 A 球的速度。 (2)求在 A 球离开挡板 P 之后的运动过程中,弹簧的最大弹性势能。 解析:我们先来弄清整个物理过程,下图 5 展示了分析解决该问题的程序。 (1)设 C 球与 B 球粘结成 D 时,D 的速度为 v1 ,由动量守恒,有,
mv0 ? (m ? m)v1 (1)

当弹簧压至最短时,D 与 A 的速度相等,设此速度为 v 2 ,由动量守恒,有
2mv1 ? 3mv2

(2)

1 由(1) (2)两式得 A 的速度 v 2 ? v0 3

(2)设弹簧长度被锁定后,贮存在弹簧中的势能为 E P ,由能量守恒,有
1 1 ? 2mv12 ? ? mv2 2 ? E P 2 2

撞击 P 后,A 与 D 的动能都为零,解除锁定后,当弹簧刚恢复到自然长度时,势 能全部转变成 D 的动能,设 D 的速度为 v 3 ,则有
EP ? 1 ? 2m ? v 3 2 2

当弹簧伸长,A 球离开挡板 P,并获得速度。当 A、D 的速度相等时,弹簧伸至
3

最长。设此时的速度为 v 4 ,由动量守恒,有
2mv3 ? 3mv4 ? ,由能量守恒,有 当弹簧伸到最长时,其势能最大,设此势能为 E P

1 1 ? ? 2mv3 2 ? ? mv4 2 ? E P 2 2

解以上各式得
? ? EP 1 mv0 2 36

例题 5:如图所示,质量分别为 mA、mB、mC 的三个物 体置于光滑的水平面上, A 从 B 的光滑圆弧槽的右端自静止 滑下,已知 B 的半径为 R,A、C 可视为质点。 求: (1)当 A 第一次滑到圆弧槽的底端时,A、B、C 的速度分别是多大?这时 A 对 B 的压力是多大? (2)A 再沿槽向左滑到最高点时,A、B、C 三物体的速度多大? 解析: (1)在 A 由最高点滑到最低点的过程中,A、B、C 组成的系统在水平方 向上动量守恒,系统机械能守恒,且 B、C 始终具有相同的速度,设当 A 第一次滑到 圆弧槽的底端时,A 的速度为 v1,B、C 的速度 v2。
m A v1 ? (m B ? mC)v 2

m A gR ?

1 1 m A v12 ? (m B ? mC)v 2 2 2 2
m B ? mC ? 2 gR m A ? m B ? mC

解以上方程得: v1 ?

v2 ?

mA2 ? 2 gR (m A ? m B ? mC)(m B ? mC)

当 A 第一次滑到圆弧槽的底端时,A 相对 B 的速度大小为 v ? v1 ? v 2 ,设这时 A
4

对 B 的压力为 N,由牛顿运动定律有:
2 (v ? v 2) N ? mAg ? mA 1 R

可解得:N= (2)当 A 由最高点滑到最低点以后,B 开始减速并与 C 分离,A 沿 B 的圆弧槽 减速上滑,A、B 组成的系统在水平方向上动量守恒, A 沿槽向左滑到最高点时,A、 B 具有相同的速度,设为 v3。
m A v1 ? m B v 2 ? (m A ? m B )v3

解得:v3= 此时 C 的速度仍为 v2。 思考:在此问题中,若没有物块 C,只有 A 和 B,其它条件补变,求:槽体 B 向 一侧滑动的最大距离。 解析:系统在水平方向上动量守恒,当小球运动到槽的最左端时,槽向左运动的 距离最大设为 s1,则
m B s1 ? m A s 2 s1 ? s 2 ? 2 R

解得: s1 ?

mA ? 2R m A ? mB

例题 6:如图所示,一质量为 M、长为 l 的长方形木板 B 放在光滑的水平地面上, 在其右端放一质量为 m 的小木块 A,m<M。现以地面为参照系,给 A 和 B 以大小相 等、方向相反的初速度(如图),使 A 开始向左运动、B 开始向右运动,但最后 A 刚 好没有滑离 L 板。以地面为参照系。(1)若已知 A 和 B 的初速度大小为 v0, 求它们最后的速度的大小和方向。 (2)若初速度的大小未知,求小木块 A 向左运动到达的 最远处(从地面上看)离出发点的距离。
5

解析:(1)A 刚好没有滑离 B 板,表示当 A 滑到 B 板的最左端时,A、B 具有 相同的速度。设此速度为 V , A 和 B 的初速度的大小为 v0 ,则由动量守恒可 得: Mv0-mv0=(M+m)V

解得:

V?

M ?m V0 , M ?m

方向向右

(2)A 在 B 板的右端时初速度向左,而到达 B 板左端时的末速度向右,可见 A 在运动过程中必经历向左作减速运动直到速度为零,再向右作加速运动直到速度为 V 的两个阶段。 设 L1 为 A 开始运动到速度变为零过程中向左运动的路程, L2 为 A 从速 度为零增加到速度为 V 的过程中向右运动的路程, L 为 A 从开始运动到刚到达 B 的最 左端的过程中 B 运动的路程,如图所示。设 A 与 B 之间的滑动摩擦力为 f,则由功能 关系可知: 对于 B: fL ?
1 1 Mv0 2 ? MV 2 2 2

B L1 L2 L

A

对 A: fL1 ?

1 mv0 2 2

fL 2 ?

1 2 MV 2

由几何关系 L+(L1- L2)=l 解得 L1 ?
M ?m l 4M

方法 2:由系统动能定理得:
1 1 fl ? (M ? m)v0 2 ? (M ? m)V 2 2 2

对 A:f=ma
6

2aL1=v02 同理可得: L1 ?
M ?m l 4M

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