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理科数学小题训练2(带答案)


理科数学小题训练 2 一、本题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,每小题有且只有一个选项是符合题目要求的. 1. 已知集合 A ? ? y | y ? A 、 ? ?1, ?? ? 2. A.
? ? ? , x ? R ? , B ? ?y | y ? log2 ( x ? 1), x ? R?,则 A 2 ? 1
x

B?(<

br />


B . ?0,???

C. ?1, ?? ?

D. ? 2, ??? ) D. ) D. 2550
3 3 ? ? i 2 2

若复数 z 满足 ( 3 ? 3i) z ? 6i (i 是虚数单位) ,则 z=(
? 3 3 ? i 2 2

B.

3 3 ? i 2 2

C.

3 3 ? i 2 2

3. 如果执行右面的程序框图,那么输出的 S ? ( A.2400 4. B.2450 C. 2500

一组数据中每个数据都减去 80 构成一组新数据,则这组新 )

数据的平均数是 1.2 , 方差是 4 .4 , 则原来一组数的方差为 (
A. 5.6 B. 4.8 C. 4.4 D. 3.2

5 、已知直线 Ax ? By ? C ? 0 (其中 A2 ? B 2 ? C 2 , C ? 0 )与圆

ON =( x 2 ? y 2 ? 4 交于 M , N ,O 是坐标原点,则 OM ·
A.


D. 2

- 2

B.

- 1

C. 1

6. 从 5 位男数学教师和 4 位女数学教师中选出 3 位教师派到 3 个班担任班主任 (每班 1 位班 主任) ,要求这 3 位班主任中男女教师都有,则不同的选派方案共有( A.210 B.420 C.630 D.840 )

7. 已知函数 f ( x) ? x2 ? (b ? 4 ? a 2 ) x ? 2a ? b 是偶函数, 则函数图像与 y 轴交点的纵坐标的最 大值是(
A. - 4

) .
B. 2 C. 3 D. 4

8. 三位同学合作学习,对问题“已知不等式 xy ? ax2 ? 2 y 2 对于 x ??1,2?, y ??2,3? 恒成立,求 a 的取值范围”提出了各自的解题思路. 甲说: “可视 x 为变量, y 为常量来分析”. 乙说: “寻找 x 与 y 的关系,再作分析”. 丙说: “把字母 a 单独放在一边,再作分析”. 参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数 a 的取值范围是(
A. ? ?1,6? B.



[? 1 , 4 )

C. [?1,??)

D. [1, ??)

二、填空题:本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 35 分,把答案填在题中横线上。 (一) 、选做题(请考生在第 9、10、11 三题中任选两题作答,如果全做,则按前两题记分)
?? ? 9. 以极坐标系中的点 ?1 , ? 为圆心,1 为半径的圆的极坐标方程是 6? ?

; , 最大值为 ;

10. 已知函数 f ( x) ? 3 4 ? x ? 4 x ? 3 ,则函数 f ( x) 的最小值为

11. 已知平面 ? 截圆柱体 , 截口是一条封闭曲线 , 且截面与底面所成的角为 30 ° , 此曲线 是 ,它的离心率为 ;

(二) 、必做题(12~16 题) 12. 若函数 f(x)=ex-2x-a 在 R 上有两个零点,则实数 a 的取值范围是 _________________; 13. 设 f ( x) ? (2 x ? 1) 6 ,则 y ? f ( x ) 的导函数 y ? f ?( x) 展开式中 x 2 的系数为 14. 以曲线 y ? e x , x ? 2 , y ? 1 围成封闭图形的面积是 ; ;

15. 在平面直角坐标系 xOy 中,已知 ?ABC 顶点 A(?4, 0) 和 C (4, 0) ,顶点 B 在椭圆
sin A ? sin C x2 y 2 ? ? ? 1 上,则 sin B 25 9



16 .在计算 “ 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ” 时,某同学学到了如下一种方法:先改写第 k 项:
1 k ( k ? 1) ? [k (k ? 1)(k ? 2)? ( k ? 1) k ( k ? 1)], 由此得 3 1 1? 2 ? (1? 2 ? 3 ? 0 ?1? 2), 3 1 2 ? 3 ? (2 ? 3 ? 4 ? 1? 2 ? 3), 3


1 n(n ? 1) ? [n(n ? 1)(n ? 2) ? (n ? 1)n(n ? 1)]. 3 1 相加,得 1? 2 ? 2 ? 3 ? ??? ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2). 3

类比上述方法,请你计算“ 1? 2 ? 3 ? 2 ? 3 ? 4 ? ??? ? n(n ? 1)(n ? 2) ”,其结果为 三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17. ( 12 分) 已知在 VABC 中, 若 ?A ﹑?B﹑?C 所对的边分别为 a﹑b﹑c, (Ⅰ)求角 A、B、C 的大小;



c o s A b 且 sin C ? cos A . ? c o s B a

C? (Ⅱ)设函数 f ? x ? ? sin ? 2x ? A? ? cos ? ? 2x ? ? ,求函数 f ? x ? 的单 ? 2?

调递增 区间,并指出它相邻两对称轴间的距离. ..

18. ( 12 分)某项计算机考试按科目 A、科目 B 依次进行,只有科目 A 成绩合格时,才可继 续参加科目 B 的考试,已知每个科目只允许有一次补考机会,两个科目均合格方获得证书, 现某人参加这项考试, 科目 A 每次考试成绩合格的概率为 假设各次考试合格与否均互不影响. (Ⅰ)求他不需要补考就可获得证书的概率; (Ⅱ)在这次考试过程中,假设他不放弃所有的 考试机会,记他参加考试的次数为 ? ,求随即变量 ? 的分布列和数学期望. 19. ( 12 分)如图 1,平面四边形 ABCD 关于直线
AC 对称,?A=60? , CD ? 2 。 把 ?ABD ?C ? 90 ? ,

3 2 , 科目 B 每次考试合格的概率为 , 4 3

沿 BD 折起 (如图 2) , 使二面角 A ? BD ? C 的余弦 值等于
3 。对于图 2, (1)求 AC 的长,并证明: 3

AC ? 平面 BCD ; (2)求直线 AC 与平面 ABD 所

成角的正弦值。 20. ( 13 分)祖国大陆允许台湾农民到大陆创业以来,在 11 个省区设立了海峡两岸农业合 作试验区和台湾农民创业园,台湾农民在那里申办个体工商户可以享受“绿色通道”的申请、 受理、审批一站式服务,某台商在第一年初到大陆创办一座 120 万元的蔬菜加工厂 M,M 的 价值在使用过程中逐年减少,从第二年到第六年,每年初 M 的价值比上年初减少 10 万元; 从第七年开始,每年初 M 的价值为年初的 75%。 (1)求第 n 年初 M 的价值 an 的表达式; (2)设 An ?
a1 ? a2 ? n ? an , 若An 大于 80 万元,则

M 继续使用,否则须在第 n 年初对 M 更新,证明:必须在第九年初对 M 更新。 21. ( 13 分)已知中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率为
3 2 的椭圆过点( 2 , ). 2 2

(1) 求椭圆方程; (2) 设不过原点 O 的直线 l ,与该椭圆交于 P, Q 两点,直线 OP, PQ, OQ 的 斜率依次为 k1 、 k 、 k2 ,满足 k1 、 2k 、 k2 依次成等差数列,求 ?OPQ 面积的取值范围. 参考答案 1.B.解析: A = B = ?0,??? ,故选 B. 2.A.解析: z ?
3 3 6i = ? ? i ,故选 A. 2 2 3 ? 3i

3.D.解析: S ? 2 1 ? 2 2 ? 2 3 ? ?2 50 ? 2550 ,故选 D. 4.C.解析:前后两组数据波动情况一样,故选 C.

5.A.解析: 圆心 O 到直线 Ax ? By ? C ? 0 的距离 d ?
OA OB cos ?AOB ? 2 2 cos 以 OM · ON =(·

C A2 ? B 2

? 1 ,所以 ?AOB ?

2? ,,所 3

2? ? ?2 ,故选 A. 3

3 3 3 6.B.解析: A9 ? ( A5 ? A4 ) = 420,故选 B.

7.D.解析: b ? 4 ? a2 , 令m ? 2a ? b,即b ? 2a ? m,用数形结合的方法即可得结果 ,故选 D. 8.C.解析: a?
y y y2 y 1 1 y y2 y 1 1 ? 2 2 ? ?2( ? ) 2 ? , 又 a ? ? 2 2 ? ?2( ? ) 2 ? , 而 ? ?1, 3 ?, x x x 4 8 x x x 4 8 x

y 1 2 1? ? ? ?2( x ? 4 ) ? 8 ? = -1,故选 C. ? ? man

选做题(9-11 题,考生只能从中选做两题) 9. ? ? 2cos ? ? ?
? ?

??

? .解析:可利用解三角形和转化为直角坐标来作,也可以转化为直角坐 6?

标系下求圆的方程来处理,主要考查极坐标的有关知识,以及转化与化归的思想方法. 10. 3,5.解析:设 4 ? x ? cos? , x ? 3 ? sin ? ,则 y= 3cos ? ? 4sin ? ?5sin( ? ? ?) ,故最小 值为 3,最大者为 5. 11. 椭圆, 率为
1 . 2 1 2r 4 3r .解析:椭圆的短轴长为圆柱底面直径 2r,长轴长为 ,所以离心 ? o 2 cos 30 3

12. ?2 ? 2 ln 2,?? ? .解析:令 f , ( x) ? e x ? 2 ? 0 ,则 x ? ln 2 ,所以 f (ln 2) ? 2 ? 2ln 2 ? a ? 0 , 故 a ? 2 ? 2 ln 2 . 13. 480 14. e 2 ? 3 15.
5 4

1 1 16. n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) .解析: 1? 2 ? 3 ? (1? 2 ? 3 ? 4 ? 0 ?1? 2 ? 3), , 4 4 1 n(n ? 1)(n ? 2) ? [n(n ? 1)(n ? 2)(n ? 3) ? (n ? 1)n(n ? 1)(n ? 2)]. 用累加的方法即得结果. 4

17. (本小题满分 12 分) 解:(Ⅰ)由题设及正弦定理知:
cos A sin B ? ,得 sin 2 A ? sin 2 B , cos B sin A

∴ 2 A ? 2 B 或 2 A ? 2 B ? ? ,即 A ? B 或 A ? B ? 当 A ? B 时,有 sin(? ? 2 A) ? cos A , 即 sin A ?

?

1 ? 2? ,得 A ? B ? , C ? ; 2 6 3

2



? 时,有 sin(? ? ) ? cos A ,即 cos A ? 1 ,不符题设, 2 2 ? 2? ∴ A ? B ? ,C ? . ???????7分 6 3 ? ? ? (Ⅱ) 由(Ⅰ)及题设知: f ( x) ? sin(2 x ? ) ? cos(2 x ? ) ? 2sin(2 x ? ) ; 6 3 6 ? ? ? ? 当 2 x ? ? [2k? ? , 2k? ? ](k ? Z ) 时, f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 为增函数, 6 2 2 6 ? ? ? 即 f ( x) ? 2sin(2 x ? ) 的单调递增区间为 [k? ? , k? ? ](k ? Z ) . ???11分 6 3 6 ? 它的相邻两对称轴间的距离为 . ???12 分 2
当 A? B ?

?

18. (本小题满分 12 分) 解:设该人参加科目 A 考试合格和补考为时间 A1、A2 ,参加科目 B 考试合格和补考合格 为时间 B1、B2,事件A1、 A2、B1、B2 相互独立. (Ⅰ)设该人不需要补考就可获得证书为事件 C,则 C= A1B1 ,
P(C ) ? P( A1 B1 ) ? P( A1 ) P( B1 ) ? 3 2 1 ? ? . 4 3 2

???????4 分

(Ⅱ) ? 的可能取值为 2,3,4. 则
3 2 1 1 27 9 ? ; P( (? ? 2) ? ? ? ? ? 4 3 4 4 48 16 3 1 2 1 3 2 3 1 1 18 3 ? ; P (? ? 3) ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 4 3 3 4 4 3 4 3 3 48 8

1 3 1 2 1 3 1 1 3 1 ? P (? ? 4) ? ? ? ? ? ? ? ? ? . 4 4 3 3 4 4 3 3 48 16

???????9 分

所以,随即变量 ? 的分布列为

?
P 所以 E? ? 2 ?
27 18 3 5 ? 3? ? 4 ? ? . 48 48 48 2

2
27 48

3
18 48

4
3 48

??????12 分

19、 (1)取 BD 的中点 E ,连接 AE、CE ,由 AB ? AD、CB ? CD ,得: AE ? BD、
CE ? BD ,∴ ?AEC 就是二面角 A ? BD ? C 的平面角,∴ cos?AEC ?

3 。 3

?ACE 中 AE ? 6 , CE ? 2 , AC 2 ? AE 2 ? CE 2 ? 2 AE ? CE ? cos?AEC ? 4 ,故 AC ? 2 。

由 AB ? AD ? BD ? 2 2 , AC ? BC ? CD ? 2 ,∴ AC 2 ? BC 2 ? AB 2 ,

AC 2 ? BD 2 ? AD 2 ,∴ ?ACB ? ?ACD ? 90? ,即 AC ? BC 、 AC ? CD ,

又 BC ? CD ? C ,∴ AC ? 平面 BCD 。 ∴ BD ? 平面 ABD , (2) 法一: 由 (1) 知 BD ? 平面 ACE , 平面 ACE ? 平面 ABD , 平面 ACE ? 平面 ABD ? AE ,作 CF ? AE 交 AE 于 F ,则 CF ? 平面 ABD , ∴ ?CAF 是 AC 与平面 ABD 所成的角, sin?CAF ? sin?CAE ? 法二:设点 C 到平面 ABD 的距离为 h ,∵VC ? ABD ? VA? BCD ,
1 1 1 1 2 3 ∴ ? ? 2 2 ? 2 2 sin60? ? h ? ? ? 2 ? 2 ? 2 ,∴ h ? ,于是 AC 与平面 ABD 所成角 ? 的正 3 2 3 2 3

CE 3 。 ? AE 3

弦为 sin? ? 20.

h 3 。 ? AC 3

21.(1)

x2 ? y2 ? 1 4

? x ? kx ? m (2)由 ? 2 得 (1 ? 4k 2 ) x2 ? 8kmx ? 4(m2 ?1) ? 0 2 ?x ? 4 y ? 4

得 k ? 0 或 m2 ? 若 k ? 0 , S?opq 若 m2 ?

1 , 2 1 ? x1 ? x2 y1 ? 2 (1 ? m 2 )m 2 ? 1 2

1 1 8k 2 ? 1 , S?opq ? x1 ? x2 m ? ,令 8k 2 ?1 ? t ? 1 2 2 2 1 ? 4k 2t ? 1 ,综上 S?opq ? (0,1] t ?1
2

得 S ?opq ?


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