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2.1曲线与方程(三个课时)(2)


2.1 曲线与方程
2.1.1 曲线与方程

复习回顾:
我们研究了直线和圆的方程. 1.经过点P(0,b)和斜率为k的直线L的方程 为____________ 2.在直角坐标系中,平分第一、三象限的

y ? kx ? b

x-y=0 直线方程是______________
3.圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程
为_______________________.

( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

为什么?

思考?
坐标系中,平分第一、三象限的直线方程是x-y=0
第一、三象限角平分线

l ?

点的横坐标与纵坐标相等 条件

曲线
y

x=y(或x- y=0)方程

?

l
0

x-y=0
x

含有关系:
(1)

l 上点的坐标都是方程x-y=0的解

(2)以方程x-y=0的解为坐标的点都 在 l 上
∴说直线 l 的方程是 x ? y ? 0 ,又说方程 x ? y ? 0 的直线是 l .

思考?
圆心为C(a,b) ,半径为r的圆C的方程为:

( x ? a ) ? ( y ? b) ? r
2 2

2

(2)、方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 表示如图的圆 图像上的点M与此方程 ( x ? a) ? ( y ? b) ? r
2 2 2

有什么关系?

y

0
满足关系:

· ·
M

x

(1)、如果M ( x0 , y0 )是圆上的点,那么

M ( x0 , y0 ) 一定是这个方程的解
的解,那么以它为

(2)、如果M ( x0 , y0 )是方程 ( x ? a)2 ? ( y ? b)2 ? r 2 坐标的点一定在圆上。

定义: 一般地,在直角坐标系中,如果某曲线C(看
作点的集合或适合某种条件的点的轨迹)上的点 与一个二元方程f(x,y)=0的实数解建立了如下 的关系: (1)曲线上点的坐标都是这个方程的解; (2)以这个方程的解为坐标的点都是曲线上的点. y 那么,这个方程叫做曲线的方程; f(x,y)=0 这条曲线叫做方程的曲线.

说明:

0

x

1.曲线的方程—反映的是图形所满足的数量关系; 方程的曲线—反映的是数量关系所表示的图形.

2.“曲线上的点的坐标都是这个方程 的解” , 阐明曲线上没有坐标不满足方程的点,也就是 说曲线上所有的点都符合这个条件而毫无例外.
(纯粹性). 3.“以这个方程的解为坐标的点都在曲线上”, 阐明符合条件的所有点都在曲线上而毫无遗漏. (完备性). 由曲线的方程的定义可知: 如果曲线C的方程是 f(x,y)=0,那么点P0(x0 ,y0) 在曲线C 上的 充要条件 是 f(x0, y0)=0

例1 :判断下列命题是否正确 (1)过点A(3,0)且垂直于x轴的直线的方程 为︱x︱=3 (2)到x轴距离等于1的点组成的直线方程为y=1 (3)到两坐标轴的距离之积等于1的点的轨迹方 程为︱xy︱=1 (4) △ABC的顶点A(0,-3),B(1,0),C(-1,0), D为BC中点,则中线AD的方程x=0
解:(1)不正确,不具备完备性,应为x=3, (2)不正确,不具备纯粹性,应为y=±1. (3)正确. (4)不正确,不具备完备性,应为x=0(-3≤y≤0).

例2.证明与两条坐标轴的距离的积是常数k(k>0) 的点的轨迹方程是xy=±k.

证明: (1)如图,设M ( x0 , y0 ) 是轨迹上的任意一点, 因为点M与x轴的距离为y0 , 与y轴的距离为x0 , 所以 x0 ? y0 ? k ,即( x0 , y0 ) 是方程xy ? ? k的解。
o y

M
x

(2)设点 M 1的坐标 ( x1 , y1 )是方程 xy ? ? k的解, 即x1 y1 ? ? k ,即 x1 ? y1 ? k
而 x1 , y1 正是点M 1到纵轴、横轴的距离, 因此点M 1到两条直线的距离的积 是常数k , 点M 1是曲线上的点。

由(1), (2)可知,xy ? ?k是与两条坐标轴的距离 。 的积为常数k (k ? 0)的点的轨迹方程。

归纳:

证明已知曲线的方程的方法和步骤
第一步,设 M (x0,y0)是曲线C上任一点, 证明(x0,y0)是f(x,y)=0的解; 第二步,设(x0,y0)是 f(x,y)=0的解,证明 点 M (x0,y0)在曲线C上.

练习1:下列各题中,下图各曲线的曲线方程是 所列出的方程吗?为什么? (1)曲线C为过点A(1,1),B(-1,1)的折 线(如图(1))其方程为(x-y)(x+y)=0; 不是 (2)曲线C是顶点在原点的抛物线其方程 为x+ y =0; 不是 (3)曲线C是Ⅰ, Ⅱ象限内到x轴,y轴的距 离乘积为1的点集其方程为y= 。 是
y
1 1 -1 0 x 1 -2 -1 0 1 2 1

y

y

x

-2 -1 0 1 2

x







练习2:下述方程表示的图形分别是下图 中的哪一个?

Y 1 O 1 X 1 O 1 X -1 O -1

x - y =0

② |x|-|y|=0
Y

③ x-|y|=0
Y 1 X Y 1 1 O -1 1 X

A

B

C

D

①表示 B

②表示 C

③表示 D

练习3:若命题“曲线C上的点的坐标满足方程 f(x,y)=0”是正确的,则下列命题中正确的是( D) A.方程f(x,y)=0 所表示的曲线是C B.坐标满足 f(x,y)=0 的点都在曲线C上 C.方程f(x,y)=0的曲线是曲线C的一部分或是曲 线C D.曲线C是方程f(x,y)=0的曲线的一部分或是全 部

练习4:设圆M的方程为( x ? 3) ? ( y ? 2) ? 2 ,直线l 的方程为x+y-3=0, 点P的坐标为(2,1),那么( C )
2 2

A.点P在直线上,但不在圆上 B.点P在圆上,但不在直线上; C.点P既在圆上,也在直线上 D.点P既不在圆上,也不在直线上 练习5:已知方程 mx ? ny ? 4 ? 0 的曲线经过 4 4 点 A(1,?2), B(?2,1) ,则 m =_____, n =______.
2 2

5

5

课外练习: 1. “曲线 C 上的点的坐标都是方程 f ( x, y) =0 的解” 是“方程 f ( x, y) =0 是曲线 C 的方程”的(C )条 件. (A)充分非必要 (B)必要非充分 (C)充要 (D)既非充分也非必要 2.△ABC 的顶点坐标分别为 A(?4, ?3) , B(2, ?1) , C (5,7) , 则 AB 边上的中线的方程为___________.

3x ? 2 y ? 0(?1≤ x ≤ 5)

2.1.2求曲线的方程 ( 1)

复习回顾
1.复习曲线的方程和方程的曲线的概念 2. 练习: (1) 设A(2,0)、B(0,2), 能否说线段AB的方程为x+y-2=0? (2) 方程x2-y2=0表示的图形是_______ 3.证明已知曲线的方程的方法和步骤

上一节,我们已经建立了曲线的方程.方程的 曲线的概念.利用这两个重要概念,就可以借助 于坐标系,用坐标表示点,把曲线看成满足某 种条件的点的集合或轨迹,用曲线上点的坐标 (x,y)所满足的方程f(x,y)=0表示曲线,通过 研究方程的性质间接地来研究曲线的性质.这一 节,我们就来学习这一方法.

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线C

坐标(x, y)

x, y的制约条件 代数意义

“数形结合” 数学思想的 基础

方程f ( x, y) ? 0

1.解析几何与坐标法: 我们把借助于坐标系研究几何图形的方法叫做坐标法. 在数学中,用坐标法研究几何图形的知识形成了一门叫 解析几何的学科.因此,解析几何是用代数方法研究几何 问题的一门数学学科.
2.平面解析几何研究的主要问题: (1)根据已知条件,求出表示平面曲线的方程; (2)通过方程,研究平面曲线的性质.

说明:本节主要讨论求解曲线方程的一般步骤.

问题 1. 设 A、B 两点的坐标是 (-1,-1)、(3,7), 求线段 AB 的垂直平分线的方程.

如何求曲线的方程?

法一:运用现成的结论──直线方程的知识来求. 1 7 ? (?1) 解:∵ kAB ? ? 2 ,∴所求直线的斜率 k = ? 3 ? (?1) 2 ?1 ? 3 ?1 ? 7 , ) 即(1,3) 又∵线段 AB 的中点坐标是 (

2 2 1 ∴线段 AB 的垂直平分线的方程为 y ? 3 ? ? ( x ? 1) . 2 法二:若没有现成的结论怎么办? 即 x+2y-7=0

──需要掌握一般性的方法

问题1.设A、B两点的坐标是(-1,-1),(3,7), 求线段AB的垂直平分线的方程.
解法二:设M(x,y)是线段AB的垂直平分线上任意一点 ,也就是点M属于集合 P ? ?M | MA |?| MB |? 由两点间的距离公式,点M所适合条件可表示为:
.

( x ? 1)2 ? ( y ? 1)2 ? ( x ? 3)2 ? ( y ? 7)2

将上式两边平方,整理得: x+2y-7=0 ① 我们证明方程①是线段AB的垂直平 分线的方程. (1)由求方程的过程可知,垂直平 分线上每一点的坐标都是方程①解; (2)设点M1的坐标(x1,y1)是方程 ①的解,即: x+2y1-7=0 x1=7-2y1

点M1到A、B的距离分别是
M 1 A ? ( x1 ? 1)2 ? ( y1 ? 1)2 ? (8 ? 2 y1 )2 ? ( y1 ? 1)2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13);

M 1 B ? ( x1 ? 3) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2 ? ( 4 ? 2 y1 ) 2 ? ( y1 ? 7 ) 2
2 ? 5( y1 ? 6 y1 ? 13)

? M1 A ? M1B ,

即点M1在线段AB的垂直平分线上. 由(1)、(2)可知方程①是线段AB的垂直平分线的方程.

这种求曲线的方程的方法叫:直接法

由上面的例子可以看出,求曲线(图形)的方 程,一般有下面几个步骤: (1)建系设点:建立适当的坐标系,用有序实数 对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式; (5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相 同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况, 可适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略 步骤(2),直接列出曲线方程.

例2.已知一条直线l和它上方的一个点A,点A到 l的距离是2,一条曲线也在l的上方,它上面的每 一点到A的距离减去到l的距离的差都是2,建立 适当的坐标系,求这条曲线的方程.
解:取直线l为x轴,过点A且垂直于直线l的直线为y轴, 建立坐标系xOy, 设点M(x,y)是曲线上任意一点, MB⊥x轴,垂足是B, 1)建系设点

? MA ? MB ? 2
2

2)列式
2

B 因为曲线在x轴的上方,所以y>0, 所以曲线的方程是

? ( x ? 0) ? ( y ? 2) ? y ? 2 3)代换 1 2 4)化简 ?y ? x 8

A(0, 2) ?

?M

1 2 y ? x ( x ? 0) 8

5)审查

通过上述两个例题了解坐标法的解题方法, 明确建立适当的坐标系是求解曲线方程的基础; 同时,根据曲线上的点所要适合的条件列出等 式,是求曲线方程的重要环节,在这里常用到 一些基本公式,如两点间距离公式,点到直线 的距离公式,直线的斜率公式,中点公式等, 因此先要了解上述知识,必要时作适当复习.

课堂练习: 练习 1.已知点 M 与 x 轴的距离和点 M 与点 F(0,4) 的距离相等,求点 M 的轨迹方程.
解:设点 M 的坐标为(x,y) ∵点 M 与 x 轴的距离为 y ,
FM ? x ? ( y ? 4)
2 2

建立坐标系 设点的坐标

限(找几何条件) 代(把条件坐标化

∴ y = x ? ( y ? 4)
2
2 2 2

2

∴ y ? x ? y ? 8 y ? 16 2 ∴ x ? 8 y ? 16 这就是所求的轨迹方程.

化简

思考:( P

37

练习第 3 题)

活用几何性质来找关系

如图,已知点 C 的坐标是(2 , 2) , 过点 C 直线 CA 与 x 轴交于点 A,过点 C 且与直线 CA 垂直的直线 CB 与 y 轴交于点 B,设点 M 是线段 AB 的中点,求点 M 的 轨迹方程. y

B

思维漂亮!

M
0

( x, y ) C
A

?

x

2.1.2 求曲线的方程 ( 2)

复习回顾 求曲线(图形)的方程步骤: (1)建系设点:建立适当的坐标系,用有序实数 对(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标; (2)列式:写出适合条件p的点M集合P={M|p(M)} (3)代换:用坐标表示条件p(M),列出方程f(x,y)=0; (4)化简:化方程f(x,y)=0为最简形式;

(5)审查:说明以化简后的方程的解为坐标的点 都在曲线上. 说明:一般情况下,化简前后方程的解集是相 同的,步骤(5)可以省略不写,如有特殊情况, 可适当予以说明.另外,根据情况,也可以省略 步骤(2),直接列出曲线方程.

练习1. 解:

2.

y2 ? x2

y ? x的

B

3.

B

4.到F(2,0)和y轴的距离相等的动点的轨迹方 程是_________ y2=4(x-1)
解:设动点为(x,y),则由题设得

化简得:

y2=4(x-1)

这就是所求的轨迹方程.

5. 在三角形ABC中,若|BC|=4,BC边上的
中线AD的长为3,求点A的轨迹方程. 解:取B、C所在直线为x轴,线段BC的中垂线 为y轴,建立直角坐标系. 设A(x,y),又D(0,0),所以

| AD |? x ? y ? 3
2 2

化简得 :x2+y2=9 (y≠0) 这就是所求的轨迹方程.

求轨迹方程的常见方法:

①直接法 ② 定义法 ③代入法 ④参数法
1.直接法: 求轨迹方程最基本的方法, 直接通过 建立x, y之间的关系, 构成 F(x, y)=0 即可.
2.定义法:(待定系数法)利用所学过的圆的定义、 椭圆的定义、双曲线的定义、抛物线的定义直 接写出所求的动点的轨迹方程,这种方法叫做 定义法.这种方法要求题设中有定点与定直线 及两定点距离之和或差为定值的条件,或利用 平面几何知识分析得出这些条件.(下面的课 中讲)

3.代入法:这个方法又叫相关点法或坐标代换法. 即利用动点P’(x’,y’)是定曲线F(x,y)=0上的动 点,另一动点P(x,y)依赖于P’(x’,y’),那么可 寻求关系式x’=f(x,y),y’=g(x,y)后代入方程 F(x’,y’)=0中,得到动点P的轨迹方程.

例、已知△ABC,A(-2,0),B(0,-2),第三个顶点C 在曲线y=3x2-1上移动,求△ABC的重心的轨迹 方程.

(代入法)

4.参数法: 选取适当的参数,分别用参数表示动 点坐标x,y,得出轨迹的参数方程,消去参数,即 得其普通方程。

归纳:选参数时必须首先考虑到制约动点的各 种因素,然后再选取合适的参数,常见的参数 有角度、直线的斜率、点的坐标、线段长度等。

例、经过原点的直线l与圆 x2 ? y2 ? 6x ? 4 y ? 9 ? 相交于两 0 个不同点A、B,求线段AB的中点M的轨迹方程.

解:设 M ( x, y ) ,A ( x1 , y1 ) ,B ( x2 , y2 )
x1 ? x2 ? x ? ? ? 2 则? ? y ? y1 ? y2 ? ? 2

y
M

设直线 l 的方程为 y ? kx

0 消去 y 得 (1 ? k ) x ? (6 ? 4k ) x ? 9 ? 0
2 2

? y ? kx 由方程组 ? 2 2 ? x ? y ? 6 x ? 4 y ? 10 ? 0

B

? ?C

A

l

x

消参法 3 ? 2 k ? x? 2 2 2 ? k 消去参数 得 x ? y ? 3x ? 2 y ? 0 ? 1? k ∴? ? y ? k ? 3 ? 2k 然后由△>0 得参数 k 的范围,再确定 x 的范围 ? 1? k 2 ?

6 ? 4k 9 x1 ? x2 ? , x1 ? x2 ? 2 1? k 1? k 2

课堂小结
1.求曲线的方程的一般步骤:

设(建系设点)

--- M(x,y)

找(找等量关系) --- P={M|M满足的条件} 列(列方程) 化(化简方程)

验(以方程的解为坐标的点都是曲线上的点)

2.“数形结合” 数学思想的基础

点M

按某中规律运动
几何意义

曲线C

x, y的制约条件

坐标(x, y)

方程f ( x, y) ? 0

代数意义

3、求曲线 方程的四种方法:直接法、定义法、代
入法、参数法

练习1、已知?ABC的两个顶点A, B的坐标分别是(?5,0),(5,0), 且AC , BC所在直线的斜率之积等于m(m ? 0), 试探求 顶点C的轨迹方程。
直线 AC 的斜率 kAC=
y (x≠-5) ; x?5

(直接法) 解:设 C(x,y) .由已知,得

直线 BC 的斜率 kBC=
y (x≠5) ; x?5

由题意,得 k ACkBC=m, y y 所以, × =m(x ≠±5) . x?5 x?5 x2 y2 写成 - =1(x≠±5) .
25 25m

( x ? 3) 2 ? y 2 ? 48 x 2 ? y 2 ? 25


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