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定积分的简单应用面积


§3

定积分的简单应用

3.1 平面图形的面积

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思考:试用定积分表示下面各平面图形的面积值: 图2.如图 图1.曲边梯形 y y y ? f2 ( x) y ? f ( x)

y ?

f1 ( x )

A1 ? ? f ( x )dx
a

o

a

b

b

x

o

a
b a

b

x

图 y3.如图
0

a

b

图4.如图 y y ? f2 ( x)

A2 ? ? [ f 2 ( x ) ? f1 ( x )]dx

x
0

a
b x
b

y ? f ( x)

A3 ? ?? f ( x )dx
a

b

A4 ? ? f2 ( x )dx ? ? f1( x )dx ? ? [ f2 ( x ) ? f1 ( x )]dx
a a a
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b

y ? f1 ( x )

b

题型一 由单一函数曲线围成的平面图形的面积

【训练1】 求由曲线y=sin x与x轴在区间

[0,2π]上所围成的图形 的面积S.
解 如图所示,所求面积

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题型二 求直线与曲线围成图形的面积

【例2】 计算由直线y=x+3, 曲线y=x2-6x+13所围图形

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解 作出直线 y=x+ 3,曲线 y =x2-6x+13 的草图,所求面积 为图中阴影部分的面积.解方程
?y=x2-6x+13 ? 组? ? ?y=x+3

得直线 y= x

+3 与曲线 y=x2-6x+13 的交 点坐标为(2,5)和(5,8).因此,所
? 2 ? 2 ? (x+3)dx-? (x -6x+13)dx=? (-x + 求图形的面积 S=? ? ? ? ?

5 2

5 2

5 2

?

?

1 3 7 2 5 9 7x-10)dx=(-3x +2x -10x)|2=2.
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【训练2】 计算直线y=2x+3与曲线y=x2 所围图形面积.
解析
?y=2x+3, ? 画出图像,如图解方程组? 2 ? y = x , ?

得A(-1,1),B(3,9). 故所求图形的面积为
?3 (2x+3-x2)dx=(x2+3x- x3)| 3 -1 ? 3 ?-1

1

32 =3.
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变式题 计算由曲线 y 2 ? 2 x 和直线 y ? x ? 4所围成的图形的面积.
4

解:
2

两曲线的交点

2

y ? 2x

? y ? 2x ? ( 2,?2), (8,4). ? ?y ? x?4
S ? 2S1 ? S2 ? 2?
2 0 2 8 0 8 2

S1 S1

S2

y? x? 84

y2 ? 2 x

2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx

? ? 2 2 xdx ? ? ( 2 x ? x ? 4)dx
2

3 4 2 3 2 2 1 2 16 64 26 8 2 2 2 ? x |0 ?( x ? x ? 4 x) |2 ? ? ? ? 18 3 3 2 3 3 3
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题型三 由两条曲线围成的平面图形的面积

例 1 计算由两条抛物线 y 2 ? x 和 y ? x 2 所围成的 图形的面积.

? ?y ? x ? x ? 0 及 x ? 1 ? 解 2 y ? x ? ? 两曲线的交点 O(0,0) B(1,1)

y ?x
2

y

S ? S曲梯形OABC - S曲梯形OABD
1 ?2 3 x ? 2 S ? ( x - x )dx ? ? x ? ? ? . 0 3 ?0 3 ?3

C

B
2

y ? x D
A

??

1
1

?

0

xdx ? ? x dx
2 0
2

1

o
3 1

x

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题型四 由两条以上的曲线和直线所围成图形面积

【例 3】 (12 分)求由曲线 y= x,y=2 1 -x,y=-3x 所围成图形的面积.

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[规范解答] 法一 画出草图,如图所示.
? ?y= x, 解方程组? ? ?x+y=2.

?y= x, ?x+y=2, ? ? ? 及? 1 1 y=- x. y=- x, ? ? 3 3 ? ? 得交点分别为(1,1),(0,0),(3,-1). 所以S= [
0
?1 ? ? ?

(4分) (6分)

? 1 ? ? 1 ? ?3 x-?- x?]dx+? [(2-x)-?- x?]dx ? 3 ? ? ? 3 ? ? 1

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1 1 ?3 ? = ( x+ x)dx+? (2-x+ x)dx 3 3 ?
?1 ? ? ?0

1



?2 3 1 ?? ? 1 2 1 2??3 2 1 ? x + x ? ?0+ ? 2x- x + x ??1 2 6 ?? ?3 2 6 ?? ?

(8 分)

? 1 2??3 2 1 = + + ?2x-3x ??1 3 6 ? ??

(10 分) (12 分)

5 1 1 13 = +6- ×9-2+ = . 6 3 3 6

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【题后反思】 由两条或两条以上的曲线围成的 较为复杂的图形,在不同的区间位于上方和下 方的曲线不同.求出曲线的不同的交点横坐 标,将积分区间细化,分别求出相应区间曲边 梯形的面积再求和,注意在每个区间上被积函 数均是由上减下.

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练习 计算由曲线 y ? 2 x , 直线 y ? x ? 4以及 x 轴所围 成的图形的面积.
y ? 2x

解:

两曲线的交点

? ? y ? 2 x ? (0,0), (8, 4). ? ? ?y ? x ? 4
直线与x轴交点为(4,0)
S ? S1 ? S2 ? ?
4 0

S1

S2 y ? x?4

2 xdx ? [ ?
8

8

4

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx]
4

8

? (?

4

0

2 xdx ? ?

4

2 xdx) ? ? ( x ? 4)dx ? ?
4

8

8

0

2 xdx ? ? ( x ? 4)dx
4

8

2 2 3 1 2 40 8 2 8 ? x |0 ?( x ? 4 x) |4 ? 3 2 3
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巩固练习:
1.由定积分的性质和几何意义,说明下列 各式的值.
a

(1) ??a a ? x dx
2 2

? a2
2
2

(2) ?0 ( 1 ? ( x ? 1) ? x)dx

1

?

1 ? 4 2

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2.一桥拱的形状为抛物线,已知该抛物线拱的 高为常数h,宽为常数b,求抛物线拱的面积. y 4h
y?? b2 x2 ? h
2 S ? bh 3

0 x 3.已知直线y=kx分抛物线y=x-x2与x轴所 围图形为面积相等的两部分,求k的值.

4 1? 2
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3

2 .已知自由落体的速率 v = gt ,则
落体从t=0到t=t0所走的路程为
1 2 A.3gt0 1 2 C.2gt0 [答案] C
[解析]

(2 B.gt0
1 2 D.6gt0

)

如果变速直线运动的速度为v=v(t)(v(t)≥0),
?a

b 那么从时刻t=a到t=b所经过的路程是? ? v(t)dt, ?



1 2? 1 2 1 2 ? =2gt ?t00 =2g(t0-0)=2gt0.故应选C.
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3 .如果 1N 能拉长弹簧 1cm ,为了
将弹簧拉长6cm,所耗费的功为 A.0.18J B.0.26J ()

C.0.12J
[答案] A

D.0.28J

[解析] 设F(x)=kx,则拉力1N时,x=0.01m, ∴k=100.

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例4 已知抛物线y=x2-2x及直线x=0,x=a,y=0 围成的平面图形的面积为4/3,求a的值. 思路:根据a的取值的不同分类讨论.
4 ,解得a=-1 ?a ( x ? 2 x)dx ? 3 a 4 2 (2 x ? x )dx ? ,解得a=2 当0<a≤2时,
当a≤0时,
0 2

3 2 a 4 2 2 当a>2时, ? (2 x ? x )dx ? ? ,( x ? 2 x)dx ? ,无解 0 2 3 b 故a=-1或a=2
0

?

注意 S ? ?a | f ( x) |dx(a ? b)
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若”面积为4/3”,改为”面积不超过4/3”呢?

[-1,2] 活页规范训练


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