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2009年全国高中数学联合竞赛(四川初赛)


二 00 九年高中数学联赛四川赛区初赛试题 详细参考答案及评分标准
说明: 1、评阅试卷时,请依据评分标准.选择题和填空题只设 5 分和 0 分两档;其它各题的 评阅,请严格按照评分标准规定的评分档次给分,不要再增加其它中间档次. 2、如果考生的解答题方法和本解答不同,只要思路合理,步骤正确,在评阅时可参考 本评分标准适当划分档次评分,5 分一个档次,不要再增加其它中间

档次. 一、选择题(每小题 5 分,共 30 分) 1、下列函数中,以

? 为最小正周期的偶函数是( 2
B、 y ? sin 2 x cos2 x



A、 y ? sin 2 x ? cos2 x C、 y ? sin 2 x ? cos2 x 解:在 A 中,取 x ? 在 B 中, y ?

D、 y ? sin 2 2 x ? cos2 2 x

?
4

,则 y ? 1 ;取 x ? ?

?
4

,则 y ? ?1 ,从而 y 不是偶函数;

1 sin 4 x ,它不是偶函数; 2 1 ? cos 2 x 在 C 中, y ? ,它的最小正周期为 ? ; 2
在 D 中, y ? ? cos 4 x ,符合条件.故答案选 D.

2、甲、乙两人之间进行一场打完 7 局的比赛(每局无平局) ,则比赛结果出现甲比乙 为 4:3 的概率是 A、

35 128

B、

5 16

C、

4 7

D、

5 8

C 74 35 解:符合条件的概率为 7 ? .故答案选 A. 128 2

2 3、 函数 y ? x 的图象 F1 与它按向量 a ? (m,1) 平移后的函数图象 F2 在 x ? 1 处的切线互

相垂直,则实数 m 的值为( A、 ?

) C、

5 4

B、 ?

3 4

3 4

D、

5 4

2 解:因为 y?(1) ? 2 ,故 F2 的函数为 y ? x ? m) ? 1 ,其在 x ? 1 处的切线的斜率为 (

( ? k 2 ? 2 1 ? m) ( ,由 2 ? 2 1 ? m) ?1 知 m ?

5 .故答案选 D. 4

4、设数列 {an } 满足: a1 ? 2 , a n ?1 ? 1 ? 则 P2009 的值为( A、 ? ) C、

1 ,记数列 {an } 的前 n 项之积为 Pn , an

1 2

B、 ? 1

1 2

D、1

解:因为 a n ? 2 ? 1 ?

1 a n ?1

? 1?

1 1? 1 an

?

?1 , an ? 1

于是 a n ?3 ? 1 ?

1 an?2

? 1?

1 ? a n ,故 {an } 是以 3 为周期的周期数列 ?1 an ? 1

又 a1 ? 2 , a 2 ?

1 , a3 ? ?1 ,从而 P3 ? ?1 2

所以, P2009 ? ? 1 669 P2 ? ?1 .故答案选 B. ( )

5、已知关于 x, y 的方程组 ?

? x 2 ? y 2 ? 2k 2 仅有一组实数解,则符合条件的实数 k 的个 ?kx ? y ? 2k

数是( ) A、1 B、2 C、3 D、4 解:若 k ? 0 ,显然方程组仅有一组解(0,0) ,故 k ? 0 符合条件; 若 k ? 0 ,则 x 2 ? y 2 ? 2k 2 的图象是一个以 (0, 0) 为圆心,以 r ? 径的圆,而 kx ? y ? 2k 表示直线.

2 | k | 为半

由题设条件知

| 2k | k 2 ?1

? 2 | k | ,即

4k 2 ? 2k 2 ,解得 k ? ?1 . 1? k 2

综上所述,符合条件的实数 k 共有 3 个.故答案选 C.

6、已知 a, b, c 均为大于 0 的实数, 设命题 P:以 a, b, c 为长度的线段可以构成三角形的三边 命题 Q: a ? b ? c ? 2(ab ? bc ? ca)
2 2 2

则 P 是 Q 的( ) A、充分但不必要条件 C、充要条件

B、必要但不充分条件 D、既不充分也不必要条件

2 解:一方面,若 P 成立,则 b ? c ? a ,故 a(b ? c) ? a 2 ,即 ab ? ac ? a

同理: ba ? bc ? b , ca ? cb ? c
2

2

所以, a 2 ? b 2 ? c 2 ? 2(ab ? bc ? ca) ,即 Q 成立. 另一方面,若 Q 成立,取 b ? c ? 1, a ? 2 ,这时以 a, b, c 为长度的线段不能构成 三角形的三边,即 P 不成立. 综上所述,P 是 Q 的充分但不必要条件.故选 A. 二、填空题(每小题 5 分,共 30 分) 7、若实数 x 满足 log2 x ? 1 ? cos? ,其中 ? ? [ ? 则函数 f ( x) ?| x ? 1 | ?2 | x ? 3 | 的最大值等于 解:由条件知 1 ? cos? ? [1,2] ,则 2 ? x ? 4 , 从而 f ( x) ? x ? 1 ? 2 | x ? 3 | 当 2 ? x ? 3 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 | x ? 3 |? 5 ? x ,此时最大值为 3; 当 3 ? x ? 4 时, f ( x) ? x ? 1 ? 2 | x ? 3 |? 3x ? 7 ,此时最大值为 5. 综上所述, f (x) 在 x ? 4 时取到最大值 5.

?
2

,] , 0


8、设二项式 3x ? 1) 2n ? a2n x 2n ? a2n?1 x 2n?1 ? ? ? a2 x 2 ? a1 x ? a0 ( 记 Tn ? a0 ? a2 ? ? ? a2n , Rn ? a1 ? a3 ? ? ? a2n?1 ,则 lim
2n 2n

Tn ? n ??? R n



2n 解:取 x ? 1 ,得 2 ?

? ai ;取 x ? ?1 ,得 4 2n ? ? (?1) i ai
i ?0 i ?0

从而 Tn ?

2 2n ? 4 2n 2 2n ? 4 2n , Rn ? 2 2

于是 lim

Tn 2 2n ? 4 2n ? lim 2n ? ?1.故答案填 ? 1 . n??? R n??? 2 ? 4 2n n

9、已知 ?ABC 的三边长分别为 3、4、5,点 P 为 ?ABC 内部(不含边界)一动点, 则点 P 到三边距离之积的最大值等于 .

, 解:设 a ? 3 b ? 4,c ? 5 ,则 ?ABC 为直角三角形,其面积为 S ?ABC ? 6 .
记点 P 到三边 a,b,c 的距离分别为 ha,hb,hc , 则 aha ? bhb ? chc ? 2S ?ABC ? 12

aha ? bhb ? chc 1 aha ? bhb ? chc 3 4 3 16 ? ( ) ? ? 故 ha hb hc ? abc abc 3 60 15
等号当且仅当 ?

?aha ? bhb ? chc ,即 S ?PAB ? S ?PBC ? S ?PCA , ?aha ? bhb ? chc ? 12
16 . 15

亦即 P 为 ?ABC 的重心时取得.故答案填

10、在长方体 ABCD? A1 B1C1 D1 中,棱 AB ? 6 , BC ? BB1 ? 的一动点,则 AP ? PB1 的最小值是 .

2 ,点 P 是线段 BC1 上

解:如图, 将 ?BB1C1 沿 BC1 为轴旋转至与平面 ABC 共面,得 ?BB2 C1 , 1 则 ?ABB2 ? 135? ,故 AP ? PB1 ? AP ? PB2
2 ? AB 2 ? 6 2 ? 2) ? 2 ? 6 ? 2 cos 135 ? ? 5 2 . (

D1 B1 D P A B

C1

A1

B2 C

等号当且仅当 P 为 AB2 与 BC1 的交点时取得. 故答案填 5 2 .

11、集合 A ? {x |

1 1 ? 2 x ? , x ? R} , B ? {x | x 2 ? 2tx ? 1 ? 0} , 4 2
..

若 A ? B ? A ,则实数 t 的取值范围是 解:因为 A ? {x | ?2 ? x ? ?1} , A ? B 故 x ? 2tx ? 1 ? 0 在 x ? [?2, ? 1] 上恒成立.
2

1 1 5 ? 2t ,而 x ? [?2, ? 1] 时 x ? ? [? ,?2] x x 2 5 5 所以 ? ? 2t ,即 t ? ? . 2 4 5 5 所以,实数 t 的取值范围是 ( ?? ,? ] .故答案填 ( ?? ,? ] . 4 4
又x?

12、直线 l1 与直线 l 2 平行, l1 上有 5 个不同的点, l 2 上有 10 个不同的点,将 l1 上的点与

l 2 上的点连线段,若没有三条线段交于同一点,则这些线段之间的交点共有
(用具体的数字作答)

个.

解:经过任何一个交点的两条线段的 4 个端点,两个在 l1 上,两个在 l 2 上,以它们为顶 点,构成一个四边形,这个交点就是四边形对角线的交点.所以,任何一个交点与两个顶点
2 2 在 l1 上,两个顶点在 l 2 上的四边形一一对应.所以,所求的交点个数共有 C5 C10 ? 450.故

答案填 450. 三、解答题 13、已知奇函数 f (x) 在定义域 [?3, 3] 内是减函数,且 f ( x 2 ? 2 x) ? f ( x ? 2) ? 0 , 求实数 x 的取值范围.

?? 3 ? x 2 ? 2 x ? 3 解:由 f (x) 的定义域知 ? ?? 3 ? x ? 2 ? 3
2 解 ? 3 ? x ? 2x ? 3 得 ? 1 ? x ? 3

解 ? 3 ? x ? 2 ? 3 得 ?1 ? x ? 5 所以有 ? 1 ? x ? 3 ①
2 因为 f (x) 是奇函数,得 f ( x ? 2x) ? ? f ( x ? 2) ? f (2 ? x)

……5 分 ……10 分

又因为 f (x) 在定义域内单减,故 x ? 2 x ? 2 ? x
2

解得 x ? ?1 或 x ? 2



……15 分 ……20 分

由①、②得 2 ? x ? 3 ,即实数 x 的取值范围为 (2, 3] .

14、如图,已知 PA,PB 是⊙ O 的两条切线, PCD 是⊙ O 的一条割线, E 是 AB 与 PD 的交点. 证明:

PC CE ? . PD DE 证法一:连结 AC ,AD,BC 和 BD ,


A _

PC S ?PAC S ?PBC ? ? PD S ?PAD S ?PBD

……5 分
P _ O _ C _ E _ B _
2

∵ ?PAC ∽ ?PDA , ?PBC ∽ ?PDB ∴

D _

S ?PAC AC S BC , ?PBC ? ? 2 S ?PAD AD S ?PBD BD 2

2



AC BC ? AD BD

……10 分



PC AC 2 AC BC ? ? ? PD AD 2 AD BD
AC AE ? DB DE



又∵ ?ACE ∽ ?DBE , ?BCE ∽ ?DAE

BC CE ? DA AE PC CE ? 故由①、②、③得 PD DE
∴ ②, 证法二: (同证法一前) ∴



……15 分 ……20 分

PC AC 2 AC BC ? ? ? PD AD 2 AD BD



又∵

CE S ?ACE S ?BCE S ?ACE ? S ?BCE S ?ACB ? ? ? ? DE S ?DAE S ?BDE S ?DAE ? S ?BDE S ?ADB

……15 分

? 而 ?ACB ? ?ADB ? 180 ,∴ sin ?ACB ? sin ?ADB

CE AC ? CB ? sin ?ACB AC ? CB ? ? DE DA ? DB ? sin ?ADB DA ? DB PC CE ? 由①、②知 . PD DE


② ……20 分

15、如图,双曲线的中心在坐标原点 O ,焦点在 x 轴上,两条渐近线分别为 l1,l 2 ,经 过右焦点 F 垂直于 l1 的直线分别交 l1,l 2 于 A,B 两点. 又已知该双曲线的离心率 e ? (I) 求证: OA | 、 AB | 、OB | 依次成等差数列; | | |

5 . 2

y
(II)若 F( 5 0 ,求直线 AB 在双曲线上所 ,) 截得的弦 CD 的长度. 解: (I)如图,由已知 e ?
2

B l1 D

5 c2 5 ,即 2 ? , 4 4 a

F

O

C A

x

故a ?
2

4 2 c 5


l2

c
从而 b ? c ? a ?
2 2 2

1 2 c 5

②,故

b 5 1 ? ? a 2c 2 5
1 2
……5 分

设 ?AOF ? ?BOF ? ? ,则 tan ? ? 故 tan ?AOB ? tan 2? ?

| AB | 4 2 tan ? 4 ? ? ,即 2 1 ? tan ? 3 | OA | 3

令 | OA |? 3m(m ? 0) ,则 | AB |? 4m , | OB |? 5m ,满足 | OA | ? | OB |? 2 | AB | , 所以, | OA | 、 AB | 、OB | 依次成等差数列 | | ……10 分

(II)由已知 c ? 5 ,代入①,②得 a 2 ? 4, b 2 ? 1 ,
2

于是双曲线的方程为

x2 ? y2 ? 1 4

设直线 AB 的斜率为 k ,则 k ? tan ?BFX ? tan ?AFO ? cot ? ? 2 于是直线 AB 的方程为:y ? 2( x ? 5 ) ……15 分

? y ? 2( x ? 5 ) ? 2 联立 ? x 2 ,消 y 得 15x ? 32 5x ? 84 ? 0 2 ? 4 ? y ?1 ?
故弦 CD 的长度 | CD |? 1 ? k 2 ?

(?32 5 ) 2 ? 4 ? 15? 84 4 ? ? 5? ? ……20 分 15 15 3

2 2 2 16、设正实数 a, b, c ,满足 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 9 .证明: abc ? 1 ? 3a .

证法一:由条件知 9 ? a ? b ? c ? 3a ,故 a ?
2 2 2 2

3.

……5 分 ……10 分

又由 c ? a )(b ? a ) ? 0 知 bc ? a b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 9 ? 2a 2 (
2 2 2 2

只须证 a 2 9 ? 2a 2 ? 3a ? 1 (1)当 3a ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? (2)当 3a ? 1 ? 0 ,即

1 时,结论显然成立; 3

1 3 4 2 2 ?a? 时,只须证 a (9 ? 2a ) ? (3a ? 1) 3 3

即证

2a 6 ? 9a 4 ? 9a 2 ? 6a ? 1 ? 0
6 4 2 6 4 2

因为 2a ? 9a ? 9a ? 6a ? 1 ? 2a ? 9a ? 9a ? 5

? (2a 2 ? 1)(a 2 ? 1)(a 2 ? 3) ? (a 2 ? 2)


……15 分

1 3 时,有 2a 2 ? 1 ? 0, a 2 ? 1 ? 0, a 2 ? 3 ? 0, a 2 ? 2 ? 0 ?a? 3 3
6 4 2

所以, 2a ? 9a ? 9a ? 6a ? 1 ? 0

……20 分

证法二:由条件知 9 ? a ? b ? c ? 3a ,故 a ?
2 2 2 2

3.

……5 分 ……10 分

又由 c 2 ? a 2 )(b 2 ? a 2 ) ? 0 知 bc ? a b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 9 ? 2a 2 ( 只须证 a 2 9 ? 2a 2 ? 3a ? 1 (1)当 3a ? 1 ? 0 ,即 0 ? a ? (2)当 3a ? 1 ? 0 ,即

1 时,结论显然成立; 3

1 3 时,只须证 a 4 (9 ? 2a 2 ) ? (3a ? 1) 2 ?a? 3 3

即须证

2a 6 ? 9a 4 ? 9a 2 ? 6a ? 1 ? 0
6 4 2

记 f (a) ? 2a ? 9a ? 9a ? 6a ? 1 因为 f ?(a) ? 12a ? 36a ? 18a ? 6 ? 12a (a ? 3) ? 6(a ? 3)
5 3 3 2



1 3 2 时,有 a ? 3 ? 0, ?a? 3 3 1 3 时 f ?(a) ? 0 , ?a? 3 3

a ?3? 0

故当

因此 f (a ) 在

1 3 ?a? 时单调递减 , 3 3
1 3 2 9 9 6 ? 4 ? 2 ? ? 1 ? 0 ,即(*)成立 6 3 3 3 3

……15 分 ……20 分

所以, f (a) ? f ( ) ?

2 2 2 16、设正实数 a, b, c ,满足 a ? b ? c ,且 a ? b ? c ? 9 .

证明: abc ? 1 ? 3a . 证明:由条件知 9 ? a ? b ? c ? 3a ,故 a ?
2 2 2 2

3.

……5 分

又由 c 2 ? a 2 )(b 2 ? a 2 ) ? 0 知 bc ? a b 2 ? c 2 ? a 2 ? a 9 ? 2a 2 ( 只须证 a 2 9 ? 2a 2 ? 1 ? 3a
2 (1)若 0 ? a ? 1 ,则 9 ? 2a ?

……10 分

7?

9 ,从而 4a 2 9 ? 2a 2 ? 9a 2 4

于是 (a 2 9 ? 2a 2 ? 1) 2 ? 4a 2 9 ? 2a 2 ? 9a 2 所以, a 2 9 ? 2a 2 ? 1 ? 3a . (2)若 1 ? a ? 即证 ……15 分

3 ,则只须证 a 2 9 ? 2a 2 ? 3a ? 1

2a 6 ? 9a 4 ? 9a 2 ? 6a ? 1 ? 0
6 4 2 6 4 2

又因为 2a ? 9a ? 9a ? 6a ? 1 ? 2a ? 9a ? 9a ? 5

? (2a 2 ? 1)(a 2 ? 1)(a 2 ? 3) ? (a 2 ? 2) ? 0 ,结论成立.

……20 分


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